संख्या का गैर-पूर्णांक आधार

गैर-पूर्णांक प्रतिनिधित्व गैर-पूर्णांक संख्याओं का उपयोग स्थितीय अंक प्रणाली के मूलांक या आधार के रूप में करता है। इस प्रकार गैर-पूर्णांक मूलांक β > 1 के लिए, का मान होता है।

$x=d_{n}\dots d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}\dots d_{-m}$

${\begin{aligned}x&=\beta ^{n}d_{n}+\cdots +\beta ^{2}d_{2}+\beta d_{1}+d_{0}\\&\qquad +\beta ^{-1}d_{-1}+\beta ^{-2}d_{-2}+\cdots +\beta ^{-m}d_{-m}.\end{aligned}}$

संख्या d_i β गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होता हैं जो β से कम होता हैं। इसे 'β-विस्तार' के रूप में भी जाना जाता है, जो कि रेनी (1957) द्वारा प्रस्तुत की गई धारणा का प्रथम बार विस्तार से अध्ययन किया गया था। जिनके अनुसार प्रत्येक वास्तविक संख्या में कम से कम (संभवतः अनंत) β-विस्तार होता है। इस प्रकार सभी β-विस्तारों का समुच्चय जिसका परिमित प्रतिनिधित्व होता है, जो वलय Z[β,-β−1] का उपसमुच्चय होता है।

सामान्यतः कोडिंग सिद्धांत (कौट्ज़ 1965) में β-विस्तार और क्वासिक क्रिस्टल के मॉडल (बर्डिक एट अल, सन्न 1998; थर्स्टन 1989) के अनुप्रयोग होते हैं।

निर्माण

सामान्यतः β-विस्तार दशमलव विस्तार का सामान्यीकरण होता है। जबकि अनंत दशमलव विस्तार अद्वितीय नहीं होता हैं (उदाहरण के लिए, 1.000... = 0.999...), सभी परिमित दशमलव विस्तार अद्वितीय होते हैं। चूंकि, यहां तक ​​​​कि परिमित β-विस्तार भी अद्वितीय नहीं होते हैं, उदाहरण के लिए β = φ के लिए, φ + 1 = φ² β = φ सुनहरा अनुपात किसी दिए गए वास्तविक संख्या के β-विस्तार के लिए विहित विकल्प निम्नलिखित अतोषणीय एल्गोरिदम द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, अनिवार्य रूप से इसके कारण रेनी (1957) और इसके द्वारा यहां दिए गए अनुसार तैयार किया गया है।

मान लीजिए β > 1 आधार है और x गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या होती है। जिसे ⌊x⌋ द्वारा x के फर्श फलन (अर्थात्, x से कम या उसके समान्तर सबसे बड़ा पूर्णांक) को निरूपित करता है और {x} = x − ⌊x⌋ को x का भिन्नात्मक भाग होता है। इस प्रकार पूर्णांक k उपस्तिथ होता है जैसे कि β^k ≤ x < β^k+1 का समूह इत्यादि।

$d_{k}=\lfloor x/\beta ^{k}\rfloor$

और

$r_{k}=\{x/\beta ^{k}\}.\,$

के लिए k − 1 ≥  j > −∞, रखना

$d_{j}=\lfloor \beta r_{j+1}\rfloor ,\quad r_{j}=\{\beta r_{j+1}\}.$

दूसरे शब्दों में, x का विहित β-विस्तार का सबसे बड़ा d_k चुनकर परिभाषित किया गया है, जैसा कि β^kd_k ≤ x, पुनः सबसे बड़ा d_k−1 चुन कर जैसे कि β^kd_k + β^k−1d_k−1 ≤ x इत्यादि। इस प्रकार यह x का प्रतिनिधित्व करने वाले शब्दकोषीय रूप से सबसे बड़ा स्ट्रिंग चुनता है।

इसी प्रकार पूर्णांक आधार के साथ, यह संख्या x के लिए सामान्य रेडिक्स विस्तार को परिभाषित करता है। यह निर्माण सामान्य एल्गोरिथम को संभवतः β के गैर-पूर्णांक मानों तक विस्तारित करता है।

रूपांतरण

उपरोक्त चरणों का पालन करते हुए, हम वास्तविक संख्या के लिए β-विस्तार $n\geq 0$ बना सकते हैं (चरण a के लिए $n<0$ समान होता हैं, चूँकि n को धनात्मक बनाने के लिए पहले −1 से गुणा किया जाता है, पुनः परिणाम को पुनः ऋणात्मक बनाने के लिए −1 से गुणा किया जाता है)।

सबसे पहले, हमें अपने k मान (n से अधिक β की निकटतम शक्ति के प्रतिपादक) को परिभाषित करने की आवश्यकता होती है, साथ ही अंकों की मात्रा भी, $\lfloor n_{\beta }\rfloor$ जहाँ $n_{\beta }$, n आधार β में लिखा गया है n और β के लिए k का मान इस प्रकार लिखा जा सकता है।

$k=\lfloor \log _{\beta }(n)\rfloor +1$

इस प्रकार k का मान मिलने के पश्चात् $n_{\beta }$ को d के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ

$d_{j}=\lfloor (n/\beta ^{j}){\bmod {\beta }}\rfloor ,\quad n=n-d_{j}*\beta ^{j}$

इसके लिए k − 1 ≥  j > −∞. पहला k का मान d दशमलव स्थान के बाईं ओर दिखाई देते हैं।

इसे निम्नलिखित स्यूडोकोड में भी लिखा जा सकता है।

function toBase(n, b) {
	k = floor(log(b, n)) + 1
	precision = 8
	result = ""

	for (i = k - 1, i > -precision-1, i--) {
		if (result.length == k) result += "."
		
		digit = floor((n / b^i) mod b)
		n -= digit * b^i
		result += digit
	}

	return result
}

ध्यान दें कि उपरोक्त कोड केवल $1<\beta \leq 10$ और $n\geq 0$ के लिए मान्य होता है, जिससे कि यह प्रत्येक अंक को उनके सही प्रतीकों या सही ऋणात्मक संख्याओं में परिवर्तित नही करता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी अंक का मान 10 होता है, तब इसे 10 के अतिरिक्त A के रूप में दर्शाया जाता है।

उदाहरण कार्यान्वयन कोड

आधार बनाना π

• जावास्क्रिप्ट

  function toBasePI(num, precision = 8) {    
      let k = Math.floor(Math.log(num)/Math.log(Math.PI)) + 1;
      if (k < 0) k = 0;
  
      let digits = [];
  
      for (let i = k-1; i > (-1*precision)-1; i--) {
          let digit = Math.floor((num / Math.pow(Math.PI, i)) % Math.PI);
          num -= digit * Math.pow(Math.PI, i);
          digits.push(digit);
  
          if (num <= 0)
              break;
      }
  
      if (digits.length > k)
          digits.splice(k, 0, ".");
  
      return digits.join("");
  }
  

आधार से π

• जावास्क्रिप्ट

  function fromBasePI(num) {
      let numberSplit = num.split(/\./g);
      let numberLength = numberSplit[0].length;
  
      let output = 0;
      let digits = numberSplit.join("");
  
      for (let i = 0; i < digits.length; i++) {
          output += digits[i] * Math.pow(Math.PI, numberLength-i-1);
      }
  
      return output;
  }
  

उदाहरण

आधार √2

आधार 2 का वर्गमूल|√2 बाइनरी अंक प्रणाली के समान ही व्यवहार करता है, जिससे कि किसी संख्या को बाइनरी अंक प्रणाली से आधार में परिवर्तन के लिए सभी को करना पड़ता है। चूँकि √2 प्रत्येक बाइनरी अंक के मध्य में शून्य अंक रखा जाता है। उदाहरण के लिए, 1911₁₀ = 11101110111₂ 101010001010100010101_√2 बन जाता है और 5118₁₀ = 1001111111110₂ 1000001010101010101010100_√2 बन जाता है। इसका अर्थ यह है कि प्रत्येक पूर्णांक को दशमलव बिंदु की आवश्यकता के बिना आधार √2 में व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार आधार का उपयोग वर्ग (ज्यामिति) की भुजा (ज्यामिति) के मध्य के संबंध को उसके विकर्ण के मध्य 1_√2 की भुजा लंबाई वाले वर्ग 10_√2 और 10_√2 के रूप में दिखाने के लिए भुजा की लंबाई के वर्ग भी किया जा सकता है। अतः 100_√2 का विकर्ण होता है। इस प्रकार आधार का अन्य उपयोग चांदी के अनुपात को दिखाने के लिए है जिससे कि आधार √2 में इसके प्रतिनिधित्व 11_√2 के रूप में दिखाना है। इसके अतिरिक्त, पार्श्व लंबाई 1_√2 के साथ नियमित अष्टभुज का क्षेत्रफल 1100_√2 होता है, पार्श्व लंबाई 10_√2 के साथ नियमित अष्टभुज का क्षेत्रफल 110000_√2 होता है, नियमित अष्टभुज का क्षेत्रफल 100_√2 और 11000000_√2 होता है।

सुनहरा आधार

सुनहरे आधार में, कुछ संख्याओं में से अधिक दशमलव आधार समतुल्य होते हैं और वह अस्पष्ट होते हैं। उदाहरण के लिए, 11_φ = 100_φ

आधार ψ

आधार ψ में कुछ संख्याएँ ऐसी भी होती हैं जो अस्पष्ट भी होती हैं। उदाहरण के लिए, 101_ψ = 1000_ψ

आधार e

आधार e (गणितीय स्थिरांक) के साथ प्राकृतिक लघुगणक सामान्य लघुगणक की भाँती व्यवहार करता है जैसे ln(1_e) = 0, ln (10_e) = 1, ln (100_e) = 2 और ln (1000_e) = 3।

आधार e मूलांक β> 1 का सबसे महत्वपूर्ण विकल्प होता है, जहां मूलांक अर्थव्यवस्था को रेडिक्स के उत्पाद के रूप में और मूल्यों की दी गई श्रेणी को व्यक्त करने के लिए आवश्यक प्रतीकों की स्ट्रिंग की लंबाई के रूप में मापा जाता है।

आधार π

आधार π का उपयोग किसी वृत्त के व्यास और उसकी परिधि के मध्य के संबंध को अधिक सरलता से दिखाने के लिए किया जा सकता है, जो इसकी परिधि से मेल खाता है। चूंकि परिधि = व्यास × π, व्यास 1_π वाला वृत्त 10_π की परिधि होता है, 10_π व्यास वाला वृत्त 100_π की परिधि होता है आदि। इसके अतिरिक्त, चूंकि क्षेत्र = π × त्रिज्या², 1_π की त्रिज्या वाला वृत्त, 10_π का क्षेत्रफल होता है, 10_π की त्रिज्या वाला वृत्त, 1000_π का क्षेत्रफल होता है और 100_π की त्रिज्या वाला वृत्त 100000_π का क्षेत्रफल होता है।

गुण

किसी भी स्थितीय संख्या प्रणाली में प्रत्येक संख्या को विशिष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आधार दस में, नंबर 1 के दो प्रतिनिधित्व होते हैं। 1.000... और 0.999.... दो भिन्न-भिन्न प्रतिनिधित्व वाली संख्याओं का समूह वास्तविक में सघन समूह होता है, किन्तु अद्वितीय β-विस्तार के साथ वास्तविक संख्याओं को वर्गीकृत करने का प्रश्न पूर्णांक आधारों की तुलना में अधिक सूक्ष्म होता है।

सामान्यतः और अधिक समस्या उन वास्तविक संख्याओं को वर्गीकृत करता है, जिनके β-विस्तार आवधिक होते हैं। मान लीजिए β > 1, और 'Q'(β) β युक्त परिमेय संख्या का सबसे छोटा क्षेत्र विस्तार होता है। तब [0,1) में कोई भी वास्तविक संख्या जिसका आवधिक β-विस्तार, 'Q'(β) में होता है। इस प्रकार दूसरी ओर, इसका विलोम (तर्क) सत्य होना आवश्यक नहीं होता है। यदि β पिसोट संख्या है तब इसका विलोम मान्य होता है, चूंकि आवश्यक और पर्याप्त शर्तें ज्ञात नहीं होती हैं।

यह भी देखें

• बीटा एनकोडर
• गैर-मानक स्थितीय अंक प्रणाली
• दशमलव विस्तार
• विद्युत की श्रृंखला
• ओस्ट्रोव्स्की संख्या

संदर्भ

• Bugeaud, Yann (2012), Distribution modulo one and Diophantine approximation, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 193, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11169-0, Zbl 1260.11001
• Burdik, Č.; Frougny, Ch.; Gazeau, J. P.; Krejcar, R. (1998), "Beta-integers as natural counting systems for quasicrystals", Journal of Physics A: Mathematical and General, 31 (30): 6449–6472, Bibcode:1998JPhA...31.6449B, CiteSeerX 10.1.1.30.5106, doi:10.1088/0305-4470/31/30/011, ISSN 0305-4470, MR 1644115.
• Frougny, Christiane (1992), "How to write integers in non-integer base", LATIN '92, Lecture Notes in Computer Science, vol. 583/1992, Springer Berlin / Heidelberg, pp. 154–164, doi:10.1007/BFb0023826, ISBN 978-3-540-55284-0, ISSN 0302-9743.
• Glendinning, Paul; Sidorov, Nikita (2001), "Unique representations of real numbers in non-integer bases", Mathematical Research Letters, 8 (4): 535–543, doi:10.4310/mrl.2001.v8.n4.a12, ISSN 1073-2780, MR 1851269.
• Hayes, Brian (2001), "Third base", American Scientist, 89 (6): 490–494, doi:10.1511/2001.40.3268, archived from the original on 2016-03-24.
• Kautz, William H. (1965), "Fibonacci codes for synchronization control", Institute of Electrical and Electronics Engineers. Transactions on Information Theory, IT-11 (2): 284–292, doi:10.1109/TIT.1965.1053772, ISSN 0018-9448, MR 0191744.
• Parry, W. (1960), "On the β-expansions of real numbers", Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 11 (3–4): 401–416, doi:10.1007/bf02020954, hdl:10338.dmlcz/120535, ISSN 0001-5954, MR 0142719, S2CID 116417864.
• Petkovšek, Marko (1990), "Ambiguous numbers are dense", The American Mathematical Monthly, 97 (5): 408–411, doi:10.2307/2324393, ISSN 0002-9890, JSTOR 2324393, MR 1048915.
• Rényi, Alfréd (1957), "Representations for real numbers and their ergodic properties", Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 8 (3–4): 477–493, doi:10.1007/BF02020331, hdl:10338.dmlcz/102491, ISSN 0001-5954, MR 0097374, S2CID 122635654.
• Schmidt, Klaus (1980), "On periodic expansions of Pisot numbers and Salem numbers", The Bulletin of the London Mathematical Society, 12 (4): 269–278, doi:10.1112/blms/12.4.269, hdl:10338.dmlcz/141479, ISSN 0024-6093, MR 0576976.
• Thurston, W.P. (1989), "Groups, tilings and finite state automata", AMS Colloquium Lectures

अग्रिम पठन

• Sidorov, Nikita (2003), "Arithmetic dynamics", in Bezuglyi, Sergey; Kolyada, Sergiy (eds.), Topics in dynamics and ergodic theory. Survey papers and mini-courses presented at the international conference and US-Ukrainian workshop on dynamical systems and ergodic theory, Katsiveli, Ukraine, August 21–30, 2000, Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser., vol. 310, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 145–189, ISBN 978-0-521-53365-2, Zbl 1051.37007

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Base". MathWorld.