फैट-टेल्ड वितरण

फैट-टेल्ड वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो एक सामान्य वितरण या एक घातीय वितरण के सापेक्ष एक बड़े विषमता या कर्टोसिस प्रदर्शित करता है। सामान्य उपयोग में, मोटी-टेल्ड और भारी-टेल्ड वाले वितरण शब्द कभी-कभी पर्यायवाची होते हैं; फैट-टेल्ड को कभी-कभी भारी-टेल्ड वाले सबसेट के रूप में भी परिभाषित किया जाता है। विभिन्न अनुसंधान समुदाय बड़े पैमाने पर ऐतिहासिक कारणों से या दूसरे का पक्ष लेते हैं, और दोनों की त्रुटिहीन परिभाषा में अंतर हो सकता है।

भौतिक विज्ञान, पृथ्वी विज्ञान, अर्थशास्त्र और राजनीति विज्ञान: मोटे-टेल्ड वाले वितरणों को आनुभविक रूप से विभिन्न क्षेत्रों में देखा गया है। फैट-टेल्ड वितरण के वर्ग में वे सम्मिलित हैं जिनकी टेल्ड शक्ति नियम की तरह क्षीण हो जाती है, जो कि वैज्ञानिक साहित्य में उनके उपयोग में संदर्भ का एक सामान्य बिंदु है। चूंकि, फैट-टेल्ड वितरण में अन्य धीरे-धीरे क्षय करने वाले वितरण भी सम्मिलित हैं, जैसे लॉग-सामान्य वितरण।

अधिकतम स्थिति: शक्ति-नियम वितरण

फैट-टेल्ड का सबसे अधिकतम स्थिति एक वितरण द्वारा दिया जाता है जिसकी टेल्ड शक्ति-नियम वितरण की तरह घट जाती है.

विभिन्न स्थान और पैमाने के मापदंडों के लिए विभिन्न प्रकार के कॉची वितरण। कॉशी वितरण फैट-टेल्ड वाले वितरण के उदाहरण हैं।

अर्थात्, यदि यादृच्छिक चर X के पूरक संचयी वितरण को $\Pr[X>x]\sim x^{-\alpha }{\text{ as }}x\to \infty ,\qquad \alpha >0\,$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

तो वितरण को एक फैट-टेल्ड कहा जाता है यदि $\alpha <2$ है। ऐसे मानों के लिए विचरण और टेल्ड का विषमता गणितीय रूप से अपरिभाषित (शक्ति-नियम वितरण की विशेष गुण) है, और इसलिए किसी भी सामान्य या घातीय वितरण से बड़ा है। $\alpha >2$ के मानों के लिए, फैट-टेल्ड का दावा अधिक अस्पष्ट है, क्योंकि इस पैरामीटर श्रेणी में $\alpha$ के त्रुटिहीन मान के आधार पर विचरण विषमता और कर्टोसिस परिमित हो सकता है और इस प्रकार संभावित रूप से उच्च विचरण सामान्य या घातीय टेल्ड से छोटा होता है। यह अस्पष्टता अधिकांश ठीक-ठीक इस बारे में असहमति की ओर ले जाती है कि फैट-टेल्ड वाला वितरण क्या है या नहीं। $k>\alpha -1$ के लिए, $k^{th}$ क्षण अनंत है, इसलिए प्रत्येक शक्ति नियम वितरण के लिए, कुछ क्षण अपरिभाषित हैं।

नोट: यहाँ टिल्ड नोटेशन "$\sim$" फ़ंक्शन के स्पर्शोन्मुख तुल्यता को संदर्भित करता है, जिसका अर्थ है कि उनका अनुपात स्थिर रहता है। दूसरे शब्दों में असमान रूप से, वितरण की टेल्ड एक शक्ति नियम की तरह क्षय हो जाती है।

फैट-टेल्ड और अनुचित अनुमान विकृतियां

ब्राउनियन गति (नीचे) की तुलना में कॉची वितरण से लेवी उड़ान। ब्राउनियन गति की तुलना में कॉची वितरण में केंद्रीय घटनाएं अधिक सामान्य और दुर्लभ घटनाएं अधिक अधिकतम हैं। एकल घटना में कुल भिन्नता का 99% सम्मिलित हो सकता है, इसलिए अपरिभाषित भिन्नता।

सामान्य वितरण (प्रकार कि गति) से लेवी उड़ान।

सामान्य वितरण घटनाओं में फैट-टेल्ड वितरण की तुलना में जो पांच या अधिक मानक विचलन ("5-सिग्मा घटनाओं") के माध्य से विचलित होते हैं, उनकी संभावना कम होती है, जिसका अर्थ है कि सामान्य वितरण में चर-टेल्ड वाले वितरणों की तुलना में अधिकतम घटनाओं की संभावना कम होती है। कॉची वितरण (और सामान्य वितरण के अपवाद के साथ अन्य सभी स्थिर वितरण) जैसे फैट-टेल्ड वाले वितरण में अपरिभाषित सिग्मा (अधिक तकनीकी रूप से, भिन्नता अपरिभाषित है) होता हैं।

परिणामस्वरूप, जब डेटा एक अंतर्निहित फैट-टेल्ड वाले वितरण से उत्पन्न होता है, तो कठिनाई के सामान्य वितरण मॉडल में शूहॉर्निंग - और परिमित नमूना आकार पर आधारित (आवश्यक) सिग्मा का अनुमान लगाना - भविष्यवाणी की कठिनाई (और जोखिम) की सही डिग्री को कम करेगा। कई-विशेष रूप से बेनोइट मंडेलब्रॉट और नसीम तालेब ने सामान्य वितरण मॉडल की इस कमी को नोट किया है और प्रस्तावित किया है कि स्थिर वितरण जैसे मोटे-टेल्ड वाले वितरण अधिकांश पूँज़ी में पाए जाने वाले परिसंपत्ति रिटर्न को नियंत्रित करते हैं।

विकल्प मूल्य निर्धारण का ब्लैक-स्कोल्स मॉडल सामान्य वितरण पर आधारित है। यदि वितरण वास्तव में एक फैट-टेल्ड वाला है, तो मॉडल 5- या 7-सिग्मा घटना के बाद से कम कीमत वाले विकल्पों (पूँजी) को कम कर देगा, जो कि सामान्य वितरण की भविष्यवाणी की तुलना में बहुत अधिक है।

अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग

पूँजी में, फैट-टेल्ड अधिकांश होती है किन्तु अतिरिक्त कठिनाई के कारण उन्हें अवांछित माना जाता है। उदाहरण के लिए, निवेश रणनीति में एक वर्ष के बाद अपेक्षित प्रतिफल हो सकता है, जो कि इसके मानक विचलन का पांच गुना है। सामान्य वितरण मानते हुए, इसकी विफलता (ऋणात्मक वापसी) की संभावना दस लाख में से कम है; व्यवहार में, यह अधिक हो सकता है। पूँजी में उभरने वाले सामान्य वितरण सामान्यतः ऐसा इसलिये करते हैं क्योंकि संपत्ति के मान या मान को प्रभावित करने वाले कारक गणितीय रूप से अच्छी तरह से व्यवहार करते हैं, और केंद्रीय सीमा प्रमेय इस तरह के वितरण के लिए प्रदान करता है। चूंकि, दर्दनाक वास्तविक दुनिया की घटनाएं (जैसे तेल का झटका, बड़ा कॉर्पोरेट दिवालियापन, या राजनीतिक स्थिति में अचानक परिवर्तन) सामान्यतः गणितीय रूप से अच्छी तरह से व्यवहार नहीं किया जाता है।

ऐतिहासिक उदाहरणों में 1929 की वॉल स्ट्रीट दुर्घटना, ब्लैक मंडे (1987), डॉट-कॉम बबल , 2000 के दशक के उत्तरार्ध का वित्तीय संकट, 2010 का फ्लैश क्रैश, 2020 का स्टॉक मार्केट क्रैश और कुछ मुद्राओं की अनपेगिंग सम्मिलित हैं।

मार्केट रिटर्न डिस्ट्रीब्यूशन में फैट-टेल्ड्स के कुछ व्यवहार मूल (निवेशक अत्यधिक आशावाद या निराशावाद बड़े बाजार की चाल के लिए अग्रणी) भी होते हैं और इसलिए व्यवहारिक पूँजी में अध्ययन किया जाता है।

विपणन में, परिचित 80-20 नियम (उदाहरण के लिए, 20% ग्राहक राजस्व का 80% खाते हैं) अधिकांश पाया जाता है डेटा के अंतर्निहित मोटे टेल्ड वितरण का अभिव्यक्ति है।

फैट-टेल्ड भी वस्तु बाजारों में या रिकॉर्ड उद्योगमें विशेष रूप से ध्वनिप्रधान बाजारों में देखी जाती है। साप्ताहिक रिकॉर्ड बिक्री परिवर्तनों के लघुगणक के लिए संभाव्यता घनत्व कार्य अत्यधिक लेप्टोकोर्टिक है और सामान्य वितरण स्थिति की तुलना में संकीर्ण और बड़े अधिकतम और फैट-टेल्ड द्वारा विशेषता है। दूसरी ओर, इस वितरण में चार्ट में प्रवेश करने वाले नए रिकॉर्ड को बढ़ावा देने के कारण बिक्री में वृद्धि से जुड़ी केवल फैट-टेल्ड है।

यह भी देखें

• अंतिम जोख़िम
• काला हंस सिद्धांत
• यादृच्छिकता की सात अवस्थाएँ
• तालेब वितरण

बाहरी संबंध

• Examples of Fat Tails in Financial Time Series
• Fat Tail Distribution - John A. Robb