वेरगेन्स (ऑप्टिक्स): Difference between revisions
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[[Image:Vergence.svg|thumb|right|एक बीम का | [[Image:Vergence.svg|thumb|right|एक बीम का वर्जेंस, वर्जेंस मीटर में केंद्र से दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होता है। यदि एक (पॉजिटिव) लेंस बीम को केंद्रित कर रहा है, तो उसे केंद्र के बाईं ओर बैठना पड़ता है, जबकि एक नकारात्मक लेंस को केंद्र के दाईं ओर बैठना पड़ता है ताकि उपयुक्त वेर्जेंस उत्पन्न हो सके।]][[प्रकाशिकी]] में, किरणें प्रकाश की किरणों (प्रकाशिकी) द्वारा निर्मित कोण है जो एक दूसरे के बिल्कुल [[समानांतर (ज्यामिति)]] नहीं हैं। किरणें जो [[ऑप्टिकल अक्ष|प्रकाशीय अक्ष]] के करीब जाती हैं जैसे वे फैलती हैं उन्हें 'अभिसरण' कहा जाता है, जबकि किरणें जो अक्ष से दूर जाती हैं वे विचलन कर रही हैं। ये काल्पनिक किरणें हमेशा प्रकाश के तरंगाग्र के लंबवत होती हैं, इस प्रकार प्रकाश की सीमा सीधे तरंगाग्र की वक्रता (प्रकाशिकी) की त्रिज्या से संबंधित होती है। एक उत्तल [[लेंस]] या अवतल [[घुमावदार दर्पण|दर्पण]] समानांतर किरणों को ध्यान केंद्रित करने का कारण बनता है, एक बिंदु की ओर अभिसरण करता हैं। उस केंद्र बिंदु (प्रकाशिकी) से परे, किरणें विचलन करती हैं। इसके विपरीत, एक अवतल लेंस या उत्तल दर्पण समानांतर किरणों को अपसरण करने का कारण होगा। | ||
प्रकाश में वास्तव में काल्पनिक किरणें नहीं होती हैं और प्रकाश स्रोत एकल-बिंदु स्रोत नहीं होते हैं, इस प्रकार सत्यापन | प्रकाश में वास्तव में काल्पनिक किरणें नहीं होती हैं और प्रकाश स्रोत एकल-बिंदु स्रोत नहीं होते हैं, इस प्रकार सत्यापन सामान पर प्रकाशीय प्रणाली के सरल किरण मॉडलिंग तक सीमित होता है। एक वास्तविक प्रणाली की सीमा एक प्रकाश स्रोत के व्यास, प्रकाशिकी से इसकी दूरी और प्रकाशीय सतहों की वक्रता का एक उत्पाद है। वक्रता में वृद्धि के कारण वर्जेंस में वृद्धि और [[फोकल लम्बाई]] में कमी आती है और छवि या स्थान का आकार (कटि व्यास) छोटा होगा। इसी तरह वक्रता में कमी से वर्जेंस कम हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप लंबी केन्द्र लंबाई और छवि या स्थानीय व्यास में सामान्यतौर पर वद्धि होती है। वर्जेंस, फोकल लम्बाई और कटि व्यास के बीच यह पारस्परिक संबंध पूरे प्रकाशीय प्रणाली में स्थिर है और इसे [[ ऑप्टिकल अपरिवर्तनीय | प्रकाशीय अपरिवर्तनीय]] कहा जाता है। एक बीम जिसे एक बड़े व्यास तक विस्तारित किया जाता है, उसमें विचलन की डिग्री कम होगी लेकिन यदि एक छोटे व्यास के संघनित हो तो विचलन अधिक होगा। | ||
सरल किरण मॉडल कुछ स्थितियों के लिए विफल हो जाता है, जैसे कि [[लेज़र]] प्रकाश के लिए | सरल किरण मॉडल कुछ स्थितियों के लिए विफल हो जाता है, जैसे कि [[लेज़र]] प्रकाश के लिए जहाँ [[गॉसियन बीम]] विश्लेषण का उपयोग किया जाना चाहिए। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
[[File:PSM V28 D191 Light wave divergence traveling through different focal points.jpg|thumb|एक साधारण [[दूरबीन]] | [[File:PSM V28 D191 Light wave divergence traveling through different focal points.jpg|thumb|एक साधारण [[दूरबीन]], कोलिमेटेड (समानांतर) प्रकाश तरंगें एक लेंस के माध्यम से अभिसरित होती हैं, फिर दूसरे लेंस द्वारा टकराने के लिए विचलन करती हैं, फिर से आँख के लेंस के माध्यम से परिवर्तित हो जाती हैं।]][[ज्यामितीय प्रकाशिकी]] में वेरजेंस प्रकाशीय तरंगाग्र की [[वक्रता]] का वर्णन करता है।<ref name = "Intro to Geomet Optics"> {{cite book |last= Katz |first= Milton |date= 2002|title= Introduction to Geometrical Optics |publisher= World Scientific |page= 85 |isbn= 978-981-238-202-3 }}</ref> वेरजेंस के रूप में परिभाषित किया गया है | ||
:<math>V = \frac{n}{r},</math> | :<math>V = \frac{n}{r},</math> | ||
जहाँ n माध्यम का अपवर्तनांक है और r बिंदु स्रोत से तरंगाग्र की दूरी है। | जहाँ n माध्यम का अपवर्तनांक है और r बिंदु स्रोत से तरंगाग्र की दूरी है। वेरजेंस को [[dioptre]]s (D) की इकाइयों में मापा जाता है जो m<sup>-1 के समतुल्य हैं।</sup><ref name = "Intro to Geomet Optics" />यह [[ऑप्टिकल शक्ति|प्रकाशीय शक्ति]] के संदर्भ में सत्यापन का वर्णन करता है। उत्तल लेंस जैसे प्रकाशिकी के लिए लेंस से निकलने वाले प्रकाश का अभिसरण बिंदु फोकल तल के निवेश पक्ष पर होता है और प्रकाशीय शक्ति में धनात्मक होता है। अवतल लेंस के लिए, फोकल लेंस के पीछे की ओर या [[फोकल प्लेन|फोकल तल]] के आउटपुट पक्ष पर होता है और शक्ति में ऋणात्मक होता है। बिना प्रकाशीय शक्ति वाले लेंस को [[ऑप्टिकल विंडो|प्रकाशीय विंडो]] कहा जाता है, जिसमें समधरातल समानांतर चेहरे होते हैं। प्रकाशीय शक्ति साधारण तौर पर इस बात से संबंधित है कि कितनी बड़ी धनात्मक छवियां बढ़ाई जाएंगी और कितनी छोटी ऋणात्मक छवियां कम हो जाएंगी। | ||
सभी प्रकाश स्रोत कुछ हद तक विचलन उत्पन्न करते हैं | सभी प्रकाश स्रोत कुछ हद तक विचलन उत्पन्न करते हैं क्योंकि इन स्रोतों से निकलने वाली तरंगों में हमेशा कुछ हद तक वक्रता होती है। उचित दूरी पर इन तरंगों को लेंस या दर्पण के उपयोग से सीधा किया जा सकता है, न्यूनतम विचलन के साथ संपार्श्विक बीम बनाते हैं लेकिन बीम के व्यास बनाम फोकल लम्बाई के आधार पर कुछ हद तक विचलन बना रहेगा। | ||
<ref name="Shukla">''Ophthalmic Medical Personnel: A Guide to Laws, Formulae, Calculations, and Clinical Applications'' by Aaron V. Shukla – Slack Inc. 2009 Page 73–76</ref><ref>''Clinical Optics and Refraction'' by Andrew Keirl, Caroline Christie – Elsevier 2007 Page 11–15</ref> जब बिंदु स्रोत और तरंगाग्र के बीच की दूरी बहुत बड़ी हो जाती है तो वर्जेंस शून्य हो जाता है जिसका अर्थ है कि तरंगाग्र समतल हैं और अब कोई पता लगाने योग्य वक्रता नहीं है। दूर के तारों के प्रकाश में इतना बड़ा दायरा होता है कि तरंगाग्र की किसी भी वक्रता का पता नहीं लगाया जा सकता है और इसका कोई वर्ग नहीं होता है।<ref name="Shukla" /> | |||
== अभिसरण, विचलन | प्रकाश को प्रसार की दिशा में विकीर्ण करने वाली रेखाओं में एक बंडल के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है जो हमेशा तरंगाग्र के लंबवत होते हैं जिन्हें "किरणें" कहा जाता है। असीम रूप से छोटी मोटाई की ये काल्पनिक रेखाएँ केवल उनके बीच के कोण से अलग होती हैं। रे ट्रेसिंग (भौतिकी) में, वर्जेंस को किसी भी दो किरणों के बीच के कोण के रूप में चित्रित किया जा सकता है। इमेजिंग या बीम के लिए वर्जेंस को अक्सर प्रकाश के शंकु के किनारे और प्रकाशीय अक्ष पर बंडल ([[सीमांत किरण|सीमांत]] किरणों) में सबसे बाहरी किरणों के बीच के कोण के रूप में वर्णित किया जाता है। यह ढलान सामान्यतौर पर [[रेडियंस|रेडियन]] में मापा जाता है। इस प्रकार इस मामले में एक लेंस द्वारा प्रेषित किरणों का अभिसरण प्रकाश स्रोत की त्रिज्या के बराबर होता है जो प्रकाशिकी से इसकी दूरी से विभाजित होता है। यह एक छवि के आकार या न्यूनतम स्थान व्यास को सीमित करता है जिसे किसी केंद्रिंग प्रकाशिकी द्वारा उत्पादित किया जा सकता है, जो उस समीकरण के पारस्परिक रूप से निर्धारित होता है, प्रकाश स्रोत के विचलन को दूरी से गुणा किया जाता है। वर्जेंस, फोकल लम्बाई और न्यूनतम स्थान व्यास (जिसे "कटि व्यास" भी कहा जाता है) के बीच यह संबंध सभी जगहों के माध्यम से स्थिर रहता है और इसे सामान्य तौर पर प्रकाशीय अपरिवर्तनीय के रूप में जाना जाता है।<ref>''Handbook of Ophthalmology'' by Amar Agarwal – Slack Inc. 2006 Page 597</ref><ref>''Encyclopedia of Modern Optics'' by Bob D. Guenther, Duncan Steel – Elsevier 2018 Page 113</ref> | ||
[[ लेजर द्वारा काटना |लेजर कटिंग]] या [[ लेसर वेल्डिंग | लेसर वेल्डिंग]] जैसे लेजर संचालन के साथ यह कोणीय संबंध विशेष रूप से महत्वपूर्ण हो जाता है क्योंकि स्थान व्यास के बीच हमेशा एक व्यापार संवृत होता है, जो ऊर्जा की तीव्रता और वस्तु की दूरी को प्रभावित करता है। जब बीम में कम विचलन वांछित होता है तो एक बड़ा व्यास बीम आवश्यक होता है, लेकिन यदि एक छोटे बीम की आवश्यकता होती है तो अधिक विचलन के लिए व्यवस्थित होना चाहिए और लेंस की स्थिति में कोई बदलाव इसे बदल नहीं पाएगा। एक छोटे स्थान को प्राप्त करने का एकमात्र तरीका कम फोकल-लम्बाई वाले लेंस का उपयोग करना है या बीम को बड़े व्यास में विस्तारित करना है।<ref>''Laser Materials Processing (Manufacturing, Engineering, and Materials Processing)'' by Leonard R. Migliore – CRC Press 2018 Page 50</ref> | |||
हालांकि, तरंगाग्र की वक्रता का यह माप केवल ज्यामितीय प्रकाशिकी में पूरी तरह से मान्य है, गॉसियन बीम प्रकाशिकी या [[ तरंग प्रकाशिकी | तरंग प्रकाशिकी]] में नहीं, जहां केंद्र पर तरंगाग्र [[तरंग दैर्ध्य]] पर निर्भर है और वक्रता केंद्र से दूरी के अनुपात में नहीं है। इस मामले में, प्रकाश का [[विवर्तन]] एक बहुत ही सक्रिय भूमिका निभाना प्रारंभ कर देता है, अधिकतर स्थान आकार को और भी बड़े व्यास तक सीमित कर देता है, विशेष रूप से दूर के क्षेत्र में।<ref>{{Cite web|url=https://www.newport.com/n/focusing-and-collimating|title = Focusing and Collimating}}</ref> गैर-परिपत्र प्रकाश स्रोतों के लिए प्रकाशीय अक्ष से किरणों की क्रॉस-आंशिक स्थिति के आधार पर विचलन भिन्न हो सकता है। [[डायोड लेजर]] उदाहरण के लिए, लंबवत (धीमी धुरी) की तुलना में समांतर दिशा (तेज धुरी) में अधिक विचलन होता है, जो आयताकार पार्श्वचित्र के साथ बीम का उत्पादन करता है। विचलन में इस प्रकार के अंतर को बीम-शेपिंग विधियों द्वारा कम किया जा सकता है, जैसे [[रॉड लेंस]] का उपयोग करना जो केवल एक क्रॉस-आंशिक दिशा के साथ विचलन को प्रभावित करता है।<ref>''Laser Beam Shaping Applications'' by Fred M. Dickey, Todd E. Lizotte – CRC Press 2017 Page 76–77</ref> | |||
== अभिसरण, विचलन और हस्ताक्षर परिपाटी == | |||
तरंगाग्र एक बिंदु की ओर बढ़ते हुए धनात्मक क्रिया उत्पन्न करते हैं, इसे अभिसरण भी कहा जाता है क्योंकि तरंगाग्र सभी एक ही केंद्र बिंदु पर अभिसरण कर रहे हैं। इसके विपरीत, तरंगाग्र एक एकल स्रोत बिंदु से दूर प्रचार करते हुए ऋणात्मक क्रिया को रास्ता देते हैं, ऋणात्मक क्रिया को विचलन भी कहा जाता है। | |||
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* [[ऑप्टिकल संकल्प]] | * [[ऑप्टिकल संकल्प|प्रकाशीय समाधान]] | ||
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प्रकाशिकी में, किरणें प्रकाश की किरणों (प्रकाशिकी) द्वारा निर्मित कोण है जो एक दूसरे के बिल्कुल समानांतर (ज्यामिति) नहीं हैं। किरणें जो प्रकाशीय अक्ष के करीब जाती हैं जैसे वे फैलती हैं उन्हें 'अभिसरण' कहा जाता है, जबकि किरणें जो अक्ष से दूर जाती हैं वे विचलन कर रही हैं। ये काल्पनिक किरणें हमेशा प्रकाश के तरंगाग्र के लंबवत होती हैं, इस प्रकार प्रकाश की सीमा सीधे तरंगाग्र की वक्रता (प्रकाशिकी) की त्रिज्या से संबंधित होती है। एक उत्तल लेंस या अवतल दर्पण समानांतर किरणों को ध्यान केंद्रित करने का कारण बनता है, एक बिंदु की ओर अभिसरण करता हैं। उस केंद्र बिंदु (प्रकाशिकी) से परे, किरणें विचलन करती हैं। इसके विपरीत, एक अवतल लेंस या उत्तल दर्पण समानांतर किरणों को अपसरण करने का कारण होगा।
प्रकाश में वास्तव में काल्पनिक किरणें नहीं होती हैं और प्रकाश स्रोत एकल-बिंदु स्रोत नहीं होते हैं, इस प्रकार सत्यापन सामान पर प्रकाशीय प्रणाली के सरल किरण मॉडलिंग तक सीमित होता है। एक वास्तविक प्रणाली की सीमा एक प्रकाश स्रोत के व्यास, प्रकाशिकी से इसकी दूरी और प्रकाशीय सतहों की वक्रता का एक उत्पाद है। वक्रता में वृद्धि के कारण वर्जेंस में वृद्धि और फोकल लम्बाई में कमी आती है और छवि या स्थान का आकार (कटि व्यास) छोटा होगा। इसी तरह वक्रता में कमी से वर्जेंस कम हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप लंबी केन्द्र लंबाई और छवि या स्थानीय व्यास में सामान्यतौर पर वद्धि होती है। वर्जेंस, फोकल लम्बाई और कटि व्यास के बीच यह पारस्परिक संबंध पूरे प्रकाशीय प्रणाली में स्थिर है और इसे प्रकाशीय अपरिवर्तनीय कहा जाता है। एक बीम जिसे एक बड़े व्यास तक विस्तारित किया जाता है, उसमें विचलन की डिग्री कम होगी लेकिन यदि एक छोटे व्यास के संघनित हो तो विचलन अधिक होगा।
सरल किरण मॉडल कुछ स्थितियों के लिए विफल हो जाता है, जैसे कि लेज़र प्रकाश के लिए जहाँ गॉसियन बीम विश्लेषण का उपयोग किया जाना चाहिए।
परिभाषा
ज्यामितीय प्रकाशिकी में वेरजेंस प्रकाशीय तरंगाग्र की वक्रता का वर्णन करता है।[1] वेरजेंस के रूप में परिभाषित किया गया है
जहाँ n माध्यम का अपवर्तनांक है और r बिंदु स्रोत से तरंगाग्र की दूरी है। वेरजेंस को dioptres (D) की इकाइयों में मापा जाता है जो m-1 के समतुल्य हैं।[1]यह प्रकाशीय शक्ति के संदर्भ में सत्यापन का वर्णन करता है। उत्तल लेंस जैसे प्रकाशिकी के लिए लेंस से निकलने वाले प्रकाश का अभिसरण बिंदु फोकल तल के निवेश पक्ष पर होता है और प्रकाशीय शक्ति में धनात्मक होता है। अवतल लेंस के लिए, फोकल लेंस के पीछे की ओर या फोकल तल के आउटपुट पक्ष पर होता है और शक्ति में ऋणात्मक होता है। बिना प्रकाशीय शक्ति वाले लेंस को प्रकाशीय विंडो कहा जाता है, जिसमें समधरातल समानांतर चेहरे होते हैं। प्रकाशीय शक्ति साधारण तौर पर इस बात से संबंधित है कि कितनी बड़ी धनात्मक छवियां बढ़ाई जाएंगी और कितनी छोटी ऋणात्मक छवियां कम हो जाएंगी।
सभी प्रकाश स्रोत कुछ हद तक विचलन उत्पन्न करते हैं क्योंकि इन स्रोतों से निकलने वाली तरंगों में हमेशा कुछ हद तक वक्रता होती है। उचित दूरी पर इन तरंगों को लेंस या दर्पण के उपयोग से सीधा किया जा सकता है, न्यूनतम विचलन के साथ संपार्श्विक बीम बनाते हैं लेकिन बीम के व्यास बनाम फोकल लम्बाई के आधार पर कुछ हद तक विचलन बना रहेगा।
[2][3] जब बिंदु स्रोत और तरंगाग्र के बीच की दूरी बहुत बड़ी हो जाती है तो वर्जेंस शून्य हो जाता है जिसका अर्थ है कि तरंगाग्र समतल हैं और अब कोई पता लगाने योग्य वक्रता नहीं है। दूर के तारों के प्रकाश में इतना बड़ा दायरा होता है कि तरंगाग्र की किसी भी वक्रता का पता नहीं लगाया जा सकता है और इसका कोई वर्ग नहीं होता है।[2]
प्रकाश को प्रसार की दिशा में विकीर्ण करने वाली रेखाओं में एक बंडल के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है जो हमेशा तरंगाग्र के लंबवत होते हैं जिन्हें "किरणें" कहा जाता है। असीम रूप से छोटी मोटाई की ये काल्पनिक रेखाएँ केवल उनके बीच के कोण से अलग होती हैं। रे ट्रेसिंग (भौतिकी) में, वर्जेंस को किसी भी दो किरणों के बीच के कोण के रूप में चित्रित किया जा सकता है। इमेजिंग या बीम के लिए वर्जेंस को अक्सर प्रकाश के शंकु के किनारे और प्रकाशीय अक्ष पर बंडल (सीमांत किरणों) में सबसे बाहरी किरणों के बीच के कोण के रूप में वर्णित किया जाता है। यह ढलान सामान्यतौर पर रेडियन में मापा जाता है। इस प्रकार इस मामले में एक लेंस द्वारा प्रेषित किरणों का अभिसरण प्रकाश स्रोत की त्रिज्या के बराबर होता है जो प्रकाशिकी से इसकी दूरी से विभाजित होता है। यह एक छवि के आकार या न्यूनतम स्थान व्यास को सीमित करता है जिसे किसी केंद्रिंग प्रकाशिकी द्वारा उत्पादित किया जा सकता है, जो उस समीकरण के पारस्परिक रूप से निर्धारित होता है, प्रकाश स्रोत के विचलन को दूरी से गुणा किया जाता है। वर्जेंस, फोकल लम्बाई और न्यूनतम स्थान व्यास (जिसे "कटि व्यास" भी कहा जाता है) के बीच यह संबंध सभी जगहों के माध्यम से स्थिर रहता है और इसे सामान्य तौर पर प्रकाशीय अपरिवर्तनीय के रूप में जाना जाता है।[4][5]
लेजर कटिंग या लेसर वेल्डिंग जैसे लेजर संचालन के साथ यह कोणीय संबंध विशेष रूप से महत्वपूर्ण हो जाता है क्योंकि स्थान व्यास के बीच हमेशा एक व्यापार संवृत होता है, जो ऊर्जा की तीव्रता और वस्तु की दूरी को प्रभावित करता है। जब बीम में कम विचलन वांछित होता है तो एक बड़ा व्यास बीम आवश्यक होता है, लेकिन यदि एक छोटे बीम की आवश्यकता होती है तो अधिक विचलन के लिए व्यवस्थित होना चाहिए और लेंस की स्थिति में कोई बदलाव इसे बदल नहीं पाएगा। एक छोटे स्थान को प्राप्त करने का एकमात्र तरीका कम फोकल-लम्बाई वाले लेंस का उपयोग करना है या बीम को बड़े व्यास में विस्तारित करना है।[6]
हालांकि, तरंगाग्र की वक्रता का यह माप केवल ज्यामितीय प्रकाशिकी में पूरी तरह से मान्य है, गॉसियन बीम प्रकाशिकी या तरंग प्रकाशिकी में नहीं, जहां केंद्र पर तरंगाग्र तरंग दैर्ध्य पर निर्भर है और वक्रता केंद्र से दूरी के अनुपात में नहीं है। इस मामले में, प्रकाश का विवर्तन एक बहुत ही सक्रिय भूमिका निभाना प्रारंभ कर देता है, अधिकतर स्थान आकार को और भी बड़े व्यास तक सीमित कर देता है, विशेष रूप से दूर के क्षेत्र में।[7] गैर-परिपत्र प्रकाश स्रोतों के लिए प्रकाशीय अक्ष से किरणों की क्रॉस-आंशिक स्थिति के आधार पर विचलन भिन्न हो सकता है। डायोड लेजर उदाहरण के लिए, लंबवत (धीमी धुरी) की तुलना में समांतर दिशा (तेज धुरी) में अधिक विचलन होता है, जो आयताकार पार्श्वचित्र के साथ बीम का उत्पादन करता है। विचलन में इस प्रकार के अंतर को बीम-शेपिंग विधियों द्वारा कम किया जा सकता है, जैसे रॉड लेंस का उपयोग करना जो केवल एक क्रॉस-आंशिक दिशा के साथ विचलन को प्रभावित करता है।[8]
अभिसरण, विचलन और हस्ताक्षर परिपाटी
तरंगाग्र एक बिंदु की ओर बढ़ते हुए धनात्मक क्रिया उत्पन्न करते हैं, इसे अभिसरण भी कहा जाता है क्योंकि तरंगाग्र सभी एक ही केंद्र बिंदु पर अभिसरण कर रहे हैं। इसके विपरीत, तरंगाग्र एक एकल स्रोत बिंदु से दूर प्रचार करते हुए ऋणात्मक क्रिया को रास्ता देते हैं, ऋणात्मक क्रिया को विचलन भी कहा जाता है।
यह भी देखें
- प्रकाशीय शक्ति
- प्रकाशीय समाधान
- कार्डिनल बिंदु (प्रकाशिकी)
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Katz, Milton (2002). Introduction to Geometrical Optics. World Scientific. p. 85. ISBN 978-981-238-202-3.
- ↑ 2.0 2.1 Ophthalmic Medical Personnel: A Guide to Laws, Formulae, Calculations, and Clinical Applications by Aaron V. Shukla – Slack Inc. 2009 Page 73–76
- ↑ Clinical Optics and Refraction by Andrew Keirl, Caroline Christie – Elsevier 2007 Page 11–15
- ↑ Handbook of Ophthalmology by Amar Agarwal – Slack Inc. 2006 Page 597
- ↑ Encyclopedia of Modern Optics by Bob D. Guenther, Duncan Steel – Elsevier 2018 Page 113
- ↑ Laser Materials Processing (Manufacturing, Engineering, and Materials Processing) by Leonard R. Migliore – CRC Press 2018 Page 50
- ↑ "Focusing and Collimating".
- ↑ Laser Beam Shaping Applications by Fred M. Dickey, Todd E. Lizotte – CRC Press 2017 Page 76–77
