हाइपोमेट्रिक समीकरण

हाइपोमेट्रिक समीकरण, जिसे मोटाई समीकरण के रूप में भी जाना जाता है, आभासी तापमान, गुरुत्वाकर्षण और कभी-कभी हवा के परत माध्य पर विचार करते हुए वायुमंडलीय दबाव अनुपात को वायुमंडलीय परत की समतुल्य मोटाई से संबंधित करता है। यह हाइड्रोस्टेटिक समीकरण और आदर्श गैस नियम से प्राप्त होता है।

सूत्रीकरण

हाइपोमेट्रिक समीकरण को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

$$h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g}}\,\ln \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right),$$

जहां:

• $h$ = परत की मोटाई [m],
• $z$ = ज्यामितीय ऊँचाई [m],
• $R$ = शुष्क हवा के लिए विशिष्ट गैस स्थिरांक,
• ${\overline {T_{v}}}$ = केल्विन [K] में माध्य आभासी तापमान,
• $g$ = मानक गुरुत्वीय त्वरण [m/s²],
• $p$ = दबाव [पास्कल (यूनिट)].

मौसम विज्ञान में, $p_{1}$ और $p_{2}$ समदाब रेखीय सतहें हैं। रेडियोसोंडे (उपकरण) अवलोकन में, हाइपोमेट्रिक समीकरण का उपयोग संदर्भ दबाव स्तर की ऊंचाई और बीच में औसत आभासी तापमान को देखते हुए दबाव स्तर की ऊंचाई की गणना करने के लिए किया जा सकता है। फिर, बीच में औसत आभासी तापमान को देखते हुए, अगले स्तर की ऊंचाई की गणना करने के लिए नई गणना की गई ऊंचाई को नए संदर्भ स्तर के रूप में उपयोग किया जा सकता है, और इसी तरह।

व्युत्पत्ति

हाइड्रोस्टैटिक समीकरण:

$p=\rho \cdot g\cdot z,$

जहां $\rho$ घनत्व [kg/m³] है, इसका उपयोग (द्रव यांत्रिकी में) हाइड्रोस्टैटिक संतुलन के लिए समीकरण उत्पन्न करने के लिए किया जाता है, जिसे विभेदक (इनफिनिटिमल) रूप में लिखा जाता है:

$dp=-\rho \cdot g\cdot dz.$

इसे आदर्श गैस नियम के साथ जोड़ा गया है:

$p=\rho \cdot R\cdot T_{v}$

समाप्त करने के लिए $\rho$:

${\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot T_{v}}}\,\mathrm {d} z.$

इससे समाकलन किया गया है $z_{1}$ से $z_{2}$:

$\int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}=\int _{z_{1}}^{z_{2}}{\frac {-g}{R\cdot T_{v}}}\,\mathrm {d} z.$

R और g, z के साथ स्थिर हैं, इसलिए उन्हें अभिन्न के बाहर लाया जा सकता है। यदि तापमान z के साथ रैखिक रूप से भिन्न होता है (उदाहरण के लिए, z में एक छोटा परिवर्तन दिया जाता है),तो इसे प्रतिस्थापित करने पर समाकलन के बाहर भी लाया जा सकता है ${\overline {T_{v}}}$, के बीच का औसत आभासी तापमान $z_{1}$ और $z_{2}$है।

$\int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}\int _{z_{1}}^{z_{2}}\,\mathrm {d} z.$

समाकलन देता है

$\ln \left({\frac {p(z_{2})}{p(z_{1})}}\right)={\frac {-g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}(z_{2}-z_{1}),$

को सरल बनाना

$\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)={\frac {g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}(z_{2}-z_{1}).$

पुनर्व्यवस्थित:

$z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g}}\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),$

या, प्राकृतिक लॉग को हटाना:

${\frac {p_{1}}{p_{2}}}=e^{{\frac {g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}\cdot (z_{2}-z_{1})}.$

सुधार

Eötvös प्रभाव को हाइपोमेट्रिक समीकरण में सुधार के रूप में ध्यान में रखा जा सकता है। भौतिक रूप से, संदर्भ के एक फ्रेम का उपयोग करना जो पृथ्वी के साथ घूमता है, पूर्व की ओर बढ़ने वाला वायु द्रव्यमान प्रभावी रूप से कम होता है, जो दबाव के स्तर के बीच मोटाई में वृद्धि के अनुरूप होता है, और इसके विपरीत। सही हाइपोमेट्रिक समीकरण इस प्रकार है:

$$h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g(1+A)}}\cdot \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),$$

जहां Eötvös प्रभाव के कारण सुधार, ए, को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

$$A=-{\frac {1}{g}}\left(2\Omega {\overline {u}}\cos \phi +{\frac {{\overline {u}}^{2}+{\overline {v}}^{2}}{r}}\right),$$

कहाँ

• $\Omega$ = पृथ्वी के घूमने की दर,
• $\phi$ = अक्षांश,
• $r$ = पृथ्वी के केंद्र से वायु द्रव्यमान की दूरी,
• ${\overline {u}}$ = अनुदैर्ध्य दिशा (पूर्व-पश्चिम) में औसत वेग, और
• ${\overline {v}}$ = अक्षांशीय दिशा (उत्तर-दक्षिण) में माध्य वेग।

यह सुधार उष्णकटिबंधीय बड़े पैमाने पर वायुमंडलीय गति में काफी है।

यह भी देखें

• बैरोमेट्रिक सूत्र
• कार्यक्षेत्र दबाव भिन्नता