बोरेल तुल्यता संबंध

गणित में, पोलिश स्थान X पर बोरेल तुल्यता संबंध X पर एक तुल्यता संबंध है जो X × X का बोरेल बीजगणित उपसमुच्चय है (उत्पाद टोपोलॉजी में).

औपचारिक परिभाषा

पोलिश स्थानों X और Y पर क्रमशः बोरेल तुल्यता संबंधों E और F को देखते हुए, कोई कहता है कि E प्रतीक E ≤_B में F के लिए बोरेल कम करने योग्य है F, अगर और केवल अगर कोई बोरेल फलन है

Θ : X → Y

जैसे कि सभी x,x' ∈ X के लिए, एक के पास है

x E x' ⇔ Θ(x) F Θ(x').

संकल्पनात्मक रूप से, यदि E, F के लिए बोरेल रिड्यूसिबल है, तो E, F से "अधिक जटिल नहीं है", और भागफल स्थान X/E में Y/F की तुलना में न्यूनतर या समान बोरेल प्रमुखता है, जहां "बोरेल कार्डिनैलिटी" कार्डिनैलिटी की तरह है, पर निश्चितता प्रतिबंध को छोड़कर साक्षी मानचित्रण।

कुराटोव्स्की का प्रमेय

माप स्थान X को 'मानक बोरेल स्थान' कहा जाता है यदि यह पोलिश स्थान के बोरेल उपसमुच्चय के लिए बोरेल-आइसोमोर्फिक है। कुराटोव्स्की के प्रमेय में कहा गया है कि दो मानक बोरेल रिक्त स्थान X और Y बोरेल-समरूपी iff हैं |X| = |Y|।

यह भी देखें

• अतिपरिमित तुल्यता संबंध

संदर्भ

• Harrington, L. A.; A. S. Kechris; A. Louveau (Oct 1990). "A Glimm–Effros Dichotomy for Borel equivalence relations". Journal of the American Mathematical Society. 3 (2): 903–928. doi:10.2307/1990906. JSTOR 1990906.
• Kechris, Alexander S. (1994). Classical Descriptive Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94374-9.
• Silver, Jack H. (1980). "Counting the number of equivalence classes of Borel and coanalytic equivalence relations". Annals of Mathematical Logic. 18 (1): 1–28. doi:10.1016/0003-4843(80)90002-9.
• Kanovei, Vladimir; Borel equivalence relations. Structure and classification. University Lecture Series, 44. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. x+240 pp. ISBN 978-0-8218-4453-3