बोरेल तुल्यता संबंध: Difference between revisions
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== औपचारिक परिभाषा == | == औपचारिक परिभाषा == | ||
पोलिश स्थानों X और Y पर क्रमशः बोरेल तुल्यता संबंधों E और F को देखते हुए, कोई कहता है कि E प्रतीक E ≤ में F के लिए बोरेल कम करने योग्य है | पोलिश स्थानों X और Y पर क्रमशः बोरेल तुल्यता संबंधों E और F को देखते हुए, कोई कहता है कि E प्रतीक E ≤<sub>B</sub> में F के लिए बोरेल कम करने योग्य है F, अगर और केवल अगर कोई [[बोरेल समारोह|बोरेल फलन]] है | ||
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जैसे कि सभी x,x<nowiki>'</nowiki> ∈ X के लिए, एक के पास है | जैसे कि सभी x,x<nowiki>'</nowiki> ∈ X के लिए, एक के पास है | ||
:x E x<nowiki>'</nowiki> ⇔ Θ(x) F Θ(x<nowiki>'</nowiki>). | :''x E x<nowiki>'</nowiki> ⇔ Θ(x) F Θ(x<nowiki>'</nowiki>)''. | ||
संकल्पनात्मक रूप से, यदि E, F के लिए बोरेल रिड्यूसिबल है, तो E, F से अधिक जटिल नहीं है, और भागफल स्थान X/E में Y/F की तुलना में | संकल्पनात्मक रूप से, यदि E, F के लिए बोरेल रिड्यूसिबल है, तो E, F से "अधिक जटिल नहीं है", और भागफल स्थान X/E में Y/F की तुलना में न्यूनतर या समान बोरेल [[प्रमुखता]] है, जहां "बोरेल कार्डिनैलिटी" कार्डिनैलिटी की तरह है, पर निश्चितता प्रतिबंध को छोड़कर साक्षी मानचित्रण। | ||
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माप स्थान ''X'' को '[[मानक बोरेल स्थान|'''मानक बोरेल स्थान''']]' कहा जाता है यदि यह पोलिश स्थान के बोरेल उपसमुच्चय के लिए बोरेल-आइसोमोर्फिक है। कुराटोव्स्की के प्रमेय में कहा गया है कि दो मानक बोरेल रिक्त स्थान ''X'' और ''Y'' बोरेल-समरूपी [[iff]] हैं |''X''| = |''Y''|। | |||
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गणित में, पोलिश स्थान X पर बोरेल तुल्यता संबंध X पर एक तुल्यता संबंध है जो X × X का बोरेल बीजगणित उपसमुच्चय है (उत्पाद टोपोलॉजी में).
औपचारिक परिभाषा
पोलिश स्थानों X और Y पर क्रमशः बोरेल तुल्यता संबंधों E और F को देखते हुए, कोई कहता है कि E प्रतीक E ≤B में F के लिए बोरेल कम करने योग्य है F, अगर और केवल अगर कोई बोरेल फलन है
- Θ : X → Y
जैसे कि सभी x,x' ∈ X के लिए, एक के पास है
- x E x' ⇔ Θ(x) F Θ(x').
संकल्पनात्मक रूप से, यदि E, F के लिए बोरेल रिड्यूसिबल है, तो E, F से "अधिक जटिल नहीं है", और भागफल स्थान X/E में Y/F की तुलना में न्यूनतर या समान बोरेल प्रमुखता है, जहां "बोरेल कार्डिनैलिटी" कार्डिनैलिटी की तरह है, पर निश्चितता प्रतिबंध को छोड़कर साक्षी मानचित्रण।
कुराटोव्स्की का प्रमेय
माप स्थान X को 'मानक बोरेल स्थान' कहा जाता है यदि यह पोलिश स्थान के बोरेल उपसमुच्चय के लिए बोरेल-आइसोमोर्फिक है। कुराटोव्स्की के प्रमेय में कहा गया है कि दो मानक बोरेल रिक्त स्थान X और Y बोरेल-समरूपी iff हैं |X| = |Y|।
यह भी देखें
संदर्भ
- Harrington, L. A.; A. S. Kechris; A. Louveau (Oct 1990). "A Glimm–Effros Dichotomy for Borel equivalence relations". Journal of the American Mathematical Society. 3 (2): 903–928. doi:10.2307/1990906. JSTOR 1990906.
- Kechris, Alexander S. (1994). Classical Descriptive Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94374-9.
- Silver, Jack H. (1980). "Counting the number of equivalence classes of Borel and coanalytic equivalence relations". Annals of Mathematical Logic. 18 (1): 1–28. doi:10.1016/0003-4843(80)90002-9.
- Kanovei, Vladimir; Borel equivalence relations. Structure and classification. University Lecture Series, 44. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. x+240 pp. ISBN 978-0-8218-4453-3
