हॉसडॉर्फ विरोधाभास: Difference between revisions

Latest revision as of 10:54, 1 July 2023

हॉउसडॉर्फ विरोधाभास गणित में एक विरोधाभास है जिसका नाम फेलिक्स हॉसडॉर्फ के नाम पर रखा गया है। इसमें गोला ${S^{2}}$ में एक 3-आयामी गोला ${\mathbb {R} ^{3}}$ सम्मिलित है। इसमें कहा गया है कि यदि एक निश्चित गणनीय उपसमुच्चय को ${S^{2}}$ से हटा दिया जाता है, तो शेष को तीन असंयुक्त उपसमुच्चयों ${A,B}$ और ${C}$ में विभाजित किया जा सकता है। जैसे कि ${A,B,C}$ और ${B\cup C}$ सभी सर्वांगसमता (ज्यामिति) हैं। विशेष रूप से यह इस प्रकार है कि $S^{2}$ पर सभी उपसमुच्चयों पर कोई परिमित योज्य माप परिभाषित नहीं है जैसे कि सर्वांगसम समुच्चयों का माप समतुल्य है क्योंकि इसका तात्पर्य यह होगा कि ${B\cup C}$ की माप एक साथ $1/3$ , $1/2$ होती है, और पूरे क्षेत्र के गैर-शून्य माप का $2/3$ होता है।

विरोधाभास को 1914 में मैथमेटिसे एनालन में प्रकाशित किया गया था और उसी वर्ष हॉसडॉर्फ की पुस्तक, ग्रंडज़ुगे डेर मेंगेनलेह्रे में भी प्रकाशित किया गया था। बहुत अधिक प्रसिद्ध बानाच-तर्स्की विरोधाभास का प्रमाण हॉसडॉर्फ के विचारों का उपयोग करता है। इस विरोधाभास का प्रमाण वरण-अभिगृहीत पर निर्भर करता है।

यह विरोधाभास दर्शाता है कि सभी उपसमुच्चयों पर परिभाषित गोले पर कोई परिमित योगात्मक माप नहीं है जो सर्वांगसम भागों पर समतुल्य हो। हॉसडॉर्फ ने पहली बार समान पत्र में आसान परिणाम दिखाया था कि सभी उपसमुच्चय पर परिभाषित योगात्मक माप नहीं है। गोले पर घूर्णन के समुच्चय की संरचना एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, यहाँ कथन तल या रेखा पर सही नहीं है। वास्तव में, जैसा कि बाद में स्टीफन बानाच द्वारा दिखाया गया था,^[1] यूक्लिडियन समतल (साथ ही वास्तविक रेखा पर "लंबाई") में सभी परिबद्ध उपसमुच्चय के लिए एक "क्षेत्र" को इस तरह से परिभाषित करना संभव है कि सर्वांगसम समुच्चय का "क्षेत्रफल" समतुल्य हो। यह बैनाच माप, हालांकि, केवल परिमित योगात्मक है, इसलिए यह पूर्ण अर्थों में एक माप (गणित) नहीं है, लेकिन यह समुच्चय पर लेबेसेग माप के समतुल्य है जिसके लिए उत्तरार्द्ध सम्मिलित है। इसका तात्पर्य है कि यदि तल के दो विवृत उपसमुच्चय (या वास्तविक रेखा) समान-विघटनकारी हैं तो उनका क्षेत्रफल समान है।

यह भी देखें

बनच-टार्स्की विरोधाभास - ज्यामितीय प्रमेय
समुच्चय सिद्धांत के विरोधाभास

संदर्भ

↑ Stefan Banach, "Sur le problème de la mesure", Fundamenta Mathematicae 4: pp. 7–33, 1923; Banach, "Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes", Theorem 16, Fundamenta Mathematicae 6: pp. 244–277, 1924.

अग्रिम पठन

Hausdorff, Felix (1914). "Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen". Mathematische Annalen. 75 (3): 428–434. doi:10.1007/bf01563735. S2CID 123243365. (Original article; in German)
Hausdorff, Felix (1914). Grundzüge der Mengenlehre (in Deutsch).

बाहरी संबंध

Hausdorff Paradox on ProofWiki

[1] Stefan Banach, "Sur le problème de la mesure", Fundamenta Mathematicae 4: pp. 7–33, 1923; Banach, "Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes", Theorem 16, Fundamenta Mathematicae 6: pp. 244–277, 1924.

[1]

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-हॉउसडॉर्फ विरोधाभास गणित में एक विरोधाभास है जिसका नाम [[फेलिक्स हॉसडॉर्फ]] के नाम पर रखा गया है। इसमें गोला शामिल है <math>{ S^2}</math> (तीन आयामी अंतरिक्ष में एक 3 आयामी क्षेत्र|<math>{ \R^3 }</math>). इसमें कहा गया है कि यदि एक निश्चित [[गणनीय सेट]] सबसेट को हटा दिया जाता है <math>{ S^2 }</math>, तो शेष को तीन असंयुक्त उपसमुच्चयों में विभाजित किया जा सकता है <math>{ A,B }</math> और <math>{ C }</math> ऐसा है कि <math>{ A, B, C }</math> और <math>{ B \cup C }</math> सभी [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] हैं। विशेष रूप से, यह इस प्रकार है <math>S^2</math> कोई माप (गणित) नहीं है # सभी उपसमुच्चय पर परिभाषित सामान्यीकरण जैसे कि सर्वांगसम समुच्चय का माप बराबर है (क्योंकि इसका अर्थ यह होगा कि माप <math>{ B \cup C }</math> एक साथ है <math>1/3</math>, <math>1/2</math>, और <math>2/3</math> पूरे गोले के गैर-शून्य माप का)।
+'''हॉउसडॉर्फ विरोधाभास''' गणित में एक विरोधाभास है जिसका नाम फेलिक्स हॉसडॉर्फ के नाम पर रखा गया है। इसमें गोला <math>{ S^2}</math> में एक 3-आयामी गोला <math>{ \R^3 }</math> सम्मिलित है। इसमें कहा गया है कि यदि एक निश्चित गणनीय उपसमुच्चय को <math>{ S^2 }</math>से हटा दिया जाता है, तो शेष को तीन असंयुक्त उपसमुच्चयों <math>{ A,B }</math> और <math>{ C }</math> में विभाजित किया जा सकता है। जैसे कि <math>{ A, B, C }</math> और <math>{ B \cup C }</math> सभी [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] हैं। विशेष रूप से यह इस प्रकार है कि <math>S^2</math> पर सभी उपसमुच्चयों पर कोई परिमित योज्य माप परिभाषित नहीं है जैसे कि सर्वांगसम समुच्चयों का माप समतुल्य है क्योंकि इसका तात्पर्य यह होगा कि <math>{ B \cup C }</math> की माप एक साथ <math>1/3</math>, <math>1/2</math> होती है, और पूरे क्षेत्र के गैर-शून्य माप का <math>2/3</math> होता है।
-पैराडॉक्स को 1914 में मैथमेटिसे एनालन में प्रकाशित किया गया था और उसी वर्ष हॉसडॉर्फ की पुस्तक, ग्रंडज़ुगे डेर मेंगेनलेह्रे में भी प्रकाशित किया गया था। अधिक प्रसिद्ध बानाच-टार्स्की विरोधाभास का प्रमाण हॉसडॉर्फ के विचारों का उपयोग करता है। इस विरोधाभास का प्रमाण पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है।
+विरोधाभास को 1914 में मैथमेटिसे एनालन में प्रकाशित किया गया था और उसी वर्ष हॉसडॉर्फ की पुस्तक, ग्रंडज़ुगे डेर मेंगेनलेह्रे में भी प्रकाशित किया गया था। बहुत अधिक प्रसिद्ध बानाच-तर्स्की विरोधाभास का प्रमाण हॉसडॉर्फ के विचारों का उपयोग करता है। इस विरोधाभास का प्रमाण वरण-अभिगृहीत पर निर्भर करता है।
-यह विरोधाभास दर्शाता है कि सभी उपसमुच्चयों पर परिभाषित गोले पर कोई परिमित योगात्मक माप नहीं है जो सर्वांगसम टुकड़ों पर बराबर हो। (हॉसडॉर्फ ने पहली बार एक ही पेपर में आसान परिणाम दिखाया था कि सभी उपसमुच्चय पर परिभाषित योगात्मक माप नहीं है।) एसओ (3) की संरचना यहां एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।{{snd}} तल या रेखा पर कथन सत्य नहीं है। वास्तव में, जैसा कि बाद में [[स्टीफन बानाच]] द्वारा दिखाया गया था,<ref>
+यह विरोधाभास दर्शाता है कि सभी उपसमुच्चयों पर परिभाषित गोले पर कोई परिमित योगात्मक माप नहीं है जो सर्वांगसम भागों पर समतुल्य हो। हॉसडॉर्फ ने पहली बार समान पत्र में आसान परिणाम दिखाया था कि सभी उपसमुच्चय पर परिभाषित योगात्मक माप नहीं है। गोले पर घूर्णन के समुच्चय की संरचना एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, यहाँ कथन तल या रेखा पर सही नहीं है। वास्तव में, जैसा कि बाद में [[स्टीफन बानाच]] द्वारा दिखाया गया था,<ref>
 [[Stefan Banach]], [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm4/fm412.pdf "Sur le problème de la mesure"], Fundamenta Mathematicae 4: pp. 7&ndash;33, 1923; Banach, [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm6127.pdf "Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes"], Theorem 16, Fundamenta Mathematicae 6: pp. 244&ndash;277, 1924.
-</ref> यूक्लिडियन समतल (साथ ही वास्तविक रेखा पर लंबाई) में सभी बंधे हुए उपसमुच्चयों के लिए एक क्षेत्र को इस तरह से परिभाषित करना संभव है कि सर्वांगसम समुच्चयों का क्षेत्रफल बराबर हो। (यह बैनाच माप, हालांकि, केवल परिमित योगात्मक है, इसलिए यह पूर्ण अर्थों में एक माप (गणित) नहीं है, लेकिन यह सेट पर लेबेसेग माप के बराबर है जिसके लिए उत्तरार्द्ध मौजूद है।) इसका तात्पर्य है कि यदि दो खुले उपसमुच्चय विमान (या वास्तविक रेखा) बनच-तर्स्की विरोधाभास | समान-विघटनकारी हैं तो उनके पास समान क्षेत्र है।
+</ref> यूक्लिडियन समतल (साथ ही वास्तविक रेखा पर "लंबाई") में सभी परिबद्ध उपसमुच्चय के लिए एक "क्षेत्र" को इस तरह से परिभाषित करना संभव है कि सर्वांगसम समुच्चय का "क्षेत्रफल" समतुल्य हो। यह बैनाच माप, हालांकि, केवल परिमित योगात्मक है, इसलिए यह पूर्ण अर्थों में एक माप (गणित) नहीं है, लेकिन यह समुच्चय पर लेबेसेग माप के समतुल्य है जिसके लिए उत्तरार्द्ध सम्मिलित है। इसका तात्पर्य है कि यदि तल के दो विवृत उपसमुच्चय (या वास्तविक रेखा) समान-विघटनकारी हैं तो उनका क्षेत्रफल समान है।
 __NOTOC__
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|Banach–Tarski paradox}}
+* बनच-टार्स्की विरोधाभास - ज्यामितीय प्रमेय
-* {{annotated link|Paradoxes of set theory}}
+* समुच्चय सिद्धांत के विरोधाभास
 ==संदर्भ==
@@ Line 25: / Line 25: @@
 == बाहरी संबंध ==
 * [https://proofwiki.org/wiki/Hausdorff_Paradox Hausdorff Paradox] on ProofWiki
-[[Category: गणितीय विरोधाभास]] [[Category: विश्लेषण में प्रमेय]] [[Category: माप सिद्धांत]]
+[[Category:CS1 Deutsch-language sources (de)]]
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