प्वाइंटक्लास: Difference between revisions

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[[वर्णनात्मक सेट सिद्धांत]] के गणितीय क्षेत्र में, एक बिंदु वर्ग [[बिंदु (गणित)]] के [[सेट (गणित)]] का एक संग्रह है, जहां एक '' बिंदु '' को आमतौर पर कुछ [[सही सेट]] [[पोलिश स्थान]] का एक तत्व समझा जाता है। व्यवहार में, एक पॉइंटक्लास को आमतौर पर किसी प्रकार की 'परिभाषा संपत्ति' द्वारा चित्रित किया जाता है; उदाहरण के लिए, पोलिश रिक्त स्थान के कुछ निश्चित संग्रह में सभी खुले सेटों का संग्रह एक बिंदु वर्ग है। (एक खुले सेट को कुछ अर्थों में परिभाषित किया जा सकता है क्योंकि यह बिंदुओं का विशुद्ध रूप से मनमाना संग्रह नहीं हो सकता है; सेट में किसी भी बिंदु के लिए, उस बिंदु के पास पर्याप्त रूप से सभी बिंदु सेट में भी होने चाहिए।)
[[वर्णनात्मक सेट सिद्धांत|वर्णनात्मक सम्मुच्चय सिद्धांत]] के गणितीय क्षेत्र में, एक '''प्वाइंटक्लास''' [[बिंदु (गणित)]] के [[सेट (गणित)|सम्मुच्चय (गणित)]] का एक संग्रह है, जहां एक बिंदुको सामान्यतः कुछ [[सही सेट|उतम सम्मुच्चय]] [[पोलिश स्थान|परिष्कृत स्थान]] का एक तत्व समझा जाता है। व्यवहार में, एक पॉइंटक्लास को सामान्यतः किसी प्रकार की 'परिभाषा विशेषता' द्वारा चित्रित किया जाता है; उदाहरण के लिए, परिष्कृत रिक्त स्थान के कुछ निश्चित संग्रह में सभी खुले सम्मुच्चयों का संग्रह एक प्वाइंटक्लास है। (एक खुले सम्मुच्चय को कुछ अर्थों में परिभाषित किया जा सकता है क्योंकि यह बिंदुओं का विशुद्ध रूप से स्वेच्छाचारी संग्रह नहीं हो सकता है; सम्मुच्चय में किसी भी बिंदु के लिए, उस बिंदु के पास पर्याप्त रूप से सभी बिंदु सम्मुच्चय में भी होने चाहिए।)


पॉइंटक्लास सेट सिद्धांत और [[वास्तविक विश्लेषण]] से कई महत्वपूर्ण सिद्धांतों और प्रमेयों को तैयार करने में आवेदन पाते हैं। मजबूत सेट-सैद्धांतिक सिद्धांतों को विभिन्न बिंदुओं के निर्धारण के संदर्भ में कहा जा सकता है, जो बदले में इसका अर्थ है कि उन बिंदु वर्गों (या कभी-कभी बड़े वाले) में नियमितता गुण होते हैं जैसे कि लेबेसेग माप (और वास्तव में [[सार्वभौमिक रूप से मापने योग्य सेट]]), की संपत्ति बायर, और [[सही सेट संपत्ति]]।
पॉइंटक्लास सम्मुच्चय सिद्धांत और [[वास्तविक विश्लेषण]] से कई महत्वपूर्ण सिद्धांतों और प्रमेयों को तैयार करने में आवेदन पाते हैं। शक्तिशाली सम्मुच्चय-सैद्धांतिक सिद्धांतों को विभिन्न बिंदुओं के निर्धारण के संदर्भ में कहा जा सकता है, जो बदले में इसका अर्थ है कि उन प्वाइंटक्लास (या कभी-कभी बड़े वाले) में नियमितता गुण होते हैं जैसे कि लेबेसेग माप (और वास्तव में [[सार्वभौमिक रूप से मापने योग्य सेट|सार्वभौमिक रूप से मापने योग्य सम्मुच्चय]]), बायर की विशेषता, और [[सही सेट संपत्ति|उतम]] [[सही सेट संपत्ति|सम्मुच्चय विशेषता]]।


== मूल ढांचा ==
== मूल ढांचा ==
व्यवहार में, वर्णनात्मक सेट सिद्धांतकार अक्सर एक निश्चित पोलिश स्थान जैसे बायर स्पेस (सेट सिद्धांत) या कभी-कभी [[कैंटर स्पेस]] में काम करके मामलों को सरल बनाते हैं, जिनमें से प्रत्येक को [[शून्य आयामी]] होने का लाभ होता है, और वास्तव में इसके परिमित या गणनीय [[उत्पाद टोपोलॉजी]] के लिए [[होमियोमॉर्फिक]] होता है। , ताकि आयामीता के विचार कभी उत्पन्न न हों। [[Yiannis Moschovakis]] एक बार और सभी अंतर्निहित पोलिश रिक्त स्थान के संग्रह को ठीक करके अधिक सामान्यता प्रदान करता है, जिसमें सभी नेचुरल का सेट, सभी रियल का सेट, बेयर स्पेस और कैंटर स्पेस शामिल है, और अन्यथा पाठक को किसी भी वांछित सही पोलिश में फेंकने की अनुमति देता है। अंतरिक्ष। फिर वह एक उत्पाद स्थान को इन अंतर्निहित स्थानों के किसी भी परिमित कार्टेशियन उत्पाद के रूप में परिभाषित करता है। फिर, उदाहरण के लिए, पॉइंटक्लास <math>\boldsymbol{\Sigma}^0_1</math> सभी खुले सेटों का अर्थ है इन उत्पाद स्थानों में से किसी एक के सभी खुले सबसेट का संग्रह। यह उपाय रोकता है <math>\boldsymbol{\Sigma}^0_1</math> एक [[उचित वर्ग]] होने से, विशेष पोलिश रिक्त स्थान के रूप में अत्यधिक विशिष्टता से बचने के दौरान विचार किया जा रहा है (यह देखते हुए कि फोकस इस तथ्य पर है कि <math>\boldsymbol{\Sigma}^0_1</math> खुले सेट का संग्रह है, न कि स्वयं रिक्त स्थान पर)।
व्यवहार में, वर्णनात्मक सम्मुच्चय सिद्धांतकार प्रायः एक निश्चित परिष्कृत स्थान जैसे बेयर स्थल (सम्मुच्चय सिद्धांत) या कभी-कभी [[कैंटर स्पेस|कैंटर स्थल]] में काम करके मामलों को सरल बनाते हैं, जिनमें से प्रत्येक को [[शून्य आयामी]] होने का लाभ होता है, और वास्तव में इसके परिमित या गणनीय [[उत्पाद टोपोलॉजी|उत्पाद सांस्थिति]] के लिए [[होमियोमॉर्फिक]] होता है, ताकि आयामीता के विचार कभी उत्पन्न न हों। [[Yiannis Moschovakis|यियानिस मोस्कोवाकिस]] एक बार और सभी अंतर्निहित परिष्कृत रिक्त स्थान के संग्रह को ठीक करके अधिक सामान्यता प्रदान करता है, जिसमें सभी स्वाभाविक का सम्मुच्चय, सभी तत्त्व का सम्मुच्चय, बेयर स्थल और कैंटर स्थल सम्मिलित है, और अन्यथा पाठक को किसी भी वांछित सही परिष्कृत स्थल में फेंकने की अनुमति देता है। फिर वह एक उत्पाद स्थान को इन अंतर्निहित स्थानों के किसी भी परिमित कार्टेशियन उत्पाद के रूप में परिभाषित करता है। फिर, उदाहरण के लिए, पॉइंटक्लास <math>\boldsymbol{\Sigma}^0_1</math> सभी खुले सम्मुच्चयों का अर्थ इन उत्पाद स्थानों में से किसी एक के सभी खुले सबसम्मुच्चय का संग्रह है। यह उपाय एक [[उचित वर्ग]] <math>\boldsymbol{\Sigma}^0_1</math> होने से रोकता है, विशेष परिष्कृत रिक्त स्थान के रूप में अत्यधिक विशिष्टता से बचने के उपरान्त विचार किया जा रहा है (यह देखते हुए कि सकेंद्र इस तथ्य पर है कि <math>\boldsymbol{\Sigma}^0_1</math> खुले सम्मुच्चय का संग्रह है, न कि स्वयं रिक्त स्थान पर)।


== [[ बोल्ड अक्षरों ]] पॉइंटक्लास ==
== [[ बोल्ड अक्षरों | बोल्डफेस]] पॉइंटक्लास ==
[[बोरेल पदानुक्रम]] में बिंदु वर्ग, और अधिक जटिल [[प्रक्षेपी पदानुक्रम]] में, बोल्डफेस फोंट में उप- और सुपर-स्क्रिप्टेड ग्रीक अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं; उदाहरण के लिए, <math>\boldsymbol{\Pi}^0_1</math> सभी [[बंद सेट]]ों का बिंदु वर्ग है, <math>\boldsymbol{\Sigma}^0_2</math> सभी F-sigma|F का बिंदु वर्ग है<sub>&sigma;</sub>सेट, <math>\boldsymbol{\Delta}^0_2</math> सभी सेटों का संग्रह है जो एक साथ F हैं<sub>&sigma;</sub> और जी-डेल्टा सेट | जी<sub>&delta;</sub>, और <math>\boldsymbol{\Sigma}^1_1</math> सभी [[विश्लेषणात्मक सेट]]ों का बिंदु वर्ग है।
[[बोरेल पदानुक्रम]] में प्वाइंटक्लास, और अधिक जटिल [[प्रक्षेपी पदानुक्रम]] में, बोल्डफेस अक्षर में उप- और अति-लिखित ग्रीक अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं; उदाहरण के लिए, <math>\boldsymbol{\Pi}^0_1</math> सभी [[बंद सेट|बंद सम्मुच्चय]]ों का प्वाइंटक्लास है, <math>\boldsymbol{\Sigma}^0_2</math> सभी F<sub>&sigma;</sub> सम्मुच्चय का प्वाइंटक्लास है, <math>\boldsymbol{\Delta}^0_2</math> सभी सम्मुच्चयों F<sub>&sigma;</sub> और G<sub>&delta;</sub> का संग्रह है जो एक साथ हैं, और <math>\boldsymbol{\Sigma}^1_1</math> सभी [[विश्लेषणात्मक सेट|विश्लेषणात्मक सम्मुच्चय]]ों का प्वाइंटक्लास है।


इस तरह के बिंदु वर्गों में सेट केवल एक बिंदु तक निश्चित होने चाहिए। उदाहरण के लिए, पोलिश स्थान में सेट किया गया प्रत्येक सिंगलटन बंद है, और इस प्रकार <math>\boldsymbol{\Pi}^0_1</math>. इसलिए ऐसा नहीं हो सकता कि हर <math>\boldsymbol{\Pi}^0_1</math> सेट पोलिश स्थान के एक मनमाना तत्व से अधिक निश्चित होना चाहिए (कहते हैं, एक मनमाना वास्तविक संख्या, या प्राकृतिक संख्याओं का एक मनमाना गणनीय अनुक्रम)। बोल्डफेस पॉइंटक्लास, हालांकि, (और आमतौर पर अभ्यास में) की आवश्यकता होती है कि कक्षा में सेट कुछ वास्तविक संख्या के सापेक्ष परिभाषित हो, जिसे [[ओरेकल मशीन]] के रूप में लिया जाता है। उस अर्थ में, बोल्डफेस पॉइंटक्लास में सदस्यता एक निश्चित संपत्ति है, भले ही यह पूर्ण निश्चितता नहीं है, लेकिन संभावित रूप से अपरिभाषित वास्तविक संख्या के संबंध में केवल निश्चितता है।
इस तरह के प्वाइंटक्लासों में सम्मुच्चय केवल एक बिंदु तक निश्चित होने चाहिए। उदाहरण के लिए, परिष्कृत स्थान में सम्मुच्चय किया गया प्रत्येक एकल सम्मुच्चय है, और इस प्रकार <math>\boldsymbol{\Pi}^0_1</math> है। इसलिए ऐसा नहीं हो सकता कि हर <math>\boldsymbol{\Pi}^0_1</math> सम्मुच्चय परिष्कृत स्थान के एक स्वेच्छाचारी तत्व से अधिक निश्चित होना चाहिए (कहते हैं, एक स्वेच्छाचारी वास्तविक संख्या, या प्राकृतिक संख्याओं का एक स्वेच्छाचारी गणनीय अनुक्रम)। बोल्डफेस पॉइंटक्लास (और सामान्यतः अभ्यास में) की आवश्यकता होती है कि कक्षा में सम्मुच्चय कुछ वास्तविक संख्या के सापेक्ष परिभाषित हो, जिसे [[ओरेकल मशीन|दिव्यवक्ता मशीन]] के रूप में लिया जाता है। उस अर्थ में, बोल्डफेस पॉइंटक्लास में सदस्यता एक निश्चित विशेषता है, भले ही यह पूर्ण निश्चितता नहीं है, लेकिन संभावित रूप से अपरिभाषित वास्तविक संख्या के संबंध में केवल निश्चितता है।


बोल्डफेस पॉइंटक्लास, या कम से कम जिन्हें आमतौर पर माना जाता है, [[वैज रिड्यूसिबिलिटी]] के तहत बंद हैं; अर्थात्, पॉइंटक्लास में एक सेट दिया गया है, इसकी उलटा छवि एक निरंतर फ़ंक्शन के तहत (एक उत्पाद स्थान से उस स्थान तक जिसमें दिया गया सेट एक सबसेट है) भी दिए गए पॉइंटक्लास में है। इस प्रकार एक बोल्डफेस पॉइंटक्लास [[वैज डिग्री]] का डाउनवर्ड-क्लोज्ड यूनियन है।
बोल्डफेस पॉइंटक्लास, या कम से कम जिन्हें सामान्यतः माना जाता है, [[वैज रिड्यूसिबिलिटी|स्फान समानेयता]] के अंतर्गत बंद हैं; अर्थात्, पॉइंटक्लास में एक सम्मुच्चय दिया गया है, इसकी उलटा छवि एक निरंतर फलन के अंतर्गत (एक उत्पाद स्थान से उस स्थान तक जिसमें दिया गया सम्मुच्चय एक सबसम्मुच्चय है) भी दिए गए पॉइंटक्लास में है। इस प्रकार एक बोल्डफेस पॉइंटक्लास [[वैज डिग्री]] का नीचे की ओर बंद एकसंध है।


== लाइटफेस पॉइंटक्लास ==
== लाइटफेस पॉइंटक्लास ==
बोरेल और प्रक्षेपी पदानुक्रम में [[प्रभावी वर्णनात्मक सेट सिद्धांत]] में समानताएं हैं, जिसमें निश्चितता संपत्ति अब एक ऑरेकल से संबंधित नहीं है, लेकिन इसे निरपेक्ष बना दिया गया है। उदाहरण के लिए, यदि कोई मूल खुले पड़ोस के कुछ संग्रह को ठीक करता है (कहते हैं, बेयर स्पेस में, सेट के सेट का संग्रह {x∈ω<sup>ओह</sup> <math>\mid</math> s प्राकृतिक संख्याओं के प्रत्येक निश्चित परिमित अनुक्रम के लिए x} का प्रारंभिक खंड है), फिर खुला, या <math>\boldsymbol{\Sigma}^0_1</math>, सेट को बुनियादी खुले पड़ोस के सभी (मनमाने) यूनियनों के रूप में चित्रित किया जा सकता है। अनुरूप <math>\Sigma^0_1</math> सेट, एक लाइटफेस के साथ <math>\Sigma</math>, अब ऐसे मोहल्लों की मनमानी यूनियनें नहीं हैं, बल्कि उनमें से संगणनीय सेट यूनियनें हैं। यानी एक सेट लाइटफेस है <math>\Sigma^0_1</math>, जिसे प्रभावी रूप से खुला भी कहा जाता है, यदि नैचुरल के परिमित अनुक्रमों का एक संगणनीय सेट S है, जैसे कि दिया गया सेट सेटों का मिलन है {x∈ω<sup>ओह</sup> <math>\mid</math> s, S में s के लिए x} का प्रारंभिक खंड है।
बोरेल और प्रक्षेपी पदानुक्रम में [[प्रभावी वर्णनात्मक सेट सिद्धांत|प्रभावी वर्णनात्मक सम्मुच्चय सिद्धांत]] में समानताएं हैं, जिसमें निश्चितता विशेषता अब एक भविष्यवाणी से संबंधित नहीं है, लेकिन इसे निरपेक्ष बना दिया गया है। उदाहरण के लिए, यदि कोई मूल खुले प्रतिवैस के कुछ संग्रह को ठीक करता है (कहते हैं, बेयर स्थल में, सम्मुच्चय के सम्मुच्चय का संग्रह {''x''∈ω<sup>ω</sup> s प्राकृतिक संख्याओं के प्रत्येक निश्चित परिमित अनुक्रम के लिए x} का प्रारंभिक खंड है), फिर खुला, या <math>\boldsymbol{\Sigma}^0_1</math>, सम्मुच्चय को बुनियादी खुले प्रतिवैस के सभी (स्वेच्छाचारी) समुच्च के रूप में चित्रित किया जा सकता है। अनुरूप <math>\Sigma^0_1</math> सम्मुच्चय, एक लाइटफेस के साथ <math>\Sigma</math>, अब ऐसे प्रतिवैस की स्वेच्छाचारी सम्मुच्चय नहीं हैं, बल्कि उनमें से संगणनीय सम्मुच्चय सम्मुच्चय हैं। यानी <math>\Sigma^0_1</math> एक सम्मुच्चय लाइटफेस है, जिसे प्रभावी रूप से खुला भी कहा जाता है, यदि नैचुरल के परिमित अनुक्रमों का एक संगणनीय सम्मुच्चय S है, जैसे कि दिया गया सम्मुच्चय {x∈ω<sup>oh</sup> <math>\mid</math> s सम्मुच्चयों का मिलन है, S में s के लिए x} का प्रारंभिक खंड है।


एक सेट लाइटफेस है <math>\Pi^0_1</math> अगर यह एक का पूरक है <math>\Sigma^0_1</math> तय करना। इस प्रकार प्रत्येक <math>\Sigma^0_1</math> सेट में कम से कम एक इंडेक्स होता है, जो कम्प्यूटेशनल फंक्शन का वर्णन करता है, जिसमें बेसिक ओपन सेट की गणना होती है, जिससे यह बना है; वास्तव में इसमें अपरिमित रूप से ऐसे अनेक सूचकांक होंगे। इसी तरह, एक के लिए एक सूचकांक <math>\Pi^0_1</math> सेट बी बी के पूरक में बुनियादी खुले सेटों की गणना करने योग्य गणना योग्य फ़ंक्शन का वर्णन करता है।
'''एक सम्मुच्चय <math>\Pi^0_1</math> लाइटफेस है अगर यह''' एक का पूरक है <math>\Sigma^0_1</math> तय करना। इस प्रकार प्रत्येक <math>\Sigma^0_1</math> सम्मुच्चय में कम से कम एक इंडेक्स होता है, जो कम्प्यूटेशनल फंक्शन का वर्णन करता है, जिसमें बेसिक ओपन सम्मुच्चय की गणना होती है, जिससे यह बना है; वास्तव में इसमें अपरिमित रूप से ऐसे अनेक सूचकांक होंगे। इसी तरह, एक के लिए एक सूचकांक <math>\Pi^0_1</math> सम्मुच्चय बी बी के पूरक में बुनियादी खुले सम्मुच्चयों की गणना करने योग्य गणना योग्य फलन का वर्णन करता है।


एक सेट ए लाइटफेस है  <math>\Sigma^0_2</math> यदि यह एक संगणनीय अनुक्रम का संघ है <math>\Pi^0_1</math> सेट (अर्थात, के सूचकांकों की गणना योग्य गणना है <math>\Pi^0_1</math> ऐसे सेट करता है कि A इन सेटों का मिलन है)। लाइटफेस सेट और उनके सूचकांकों के बीच यह संबंध पुनरावर्ती ऑर्डिनल के माध्यम से लाइटफेस बोरेल पदानुक्रम को ट्रांसफिनिट में विस्तारित करने के लिए उपयोग किया जाता है। यह [[हाइपरअरिथमेटिक पदानुक्रम]] का उत्पादन करता है, जो बोरेल पदानुक्रम का लाइटफेस एनालॉग है। ([[हाइपरअरिथमेटिकल सिद्धांत]] के परिमित स्तरों को [[अंकगणितीय पदानुक्रम]] के रूप में जाना जाता है।)
एक सम्मुच्चय ए लाइटफेस है  <math>\Sigma^0_2</math> यदि यह एक संगणनीय अनुक्रम का संघ है <math>\Pi^0_1</math> सम्मुच्चय (अर्थात, के सूचकांकों की गणना योग्य गणना है <math>\Pi^0_1</math> ऐसे सम्मुच्चय करता है कि A इन सम्मुच्चयों का मिलन है)। लाइटफेस सम्मुच्चय और उनके सूचकांकों के बीच यह संबंध पुनरावर्ती ऑर्डिनल के माध्यम से लाइटफेस बोरेल पदानुक्रम को ट्रांसफिनिट में विस्तारित करने के लिए उपयोग किया जाता है। यह [[हाइपरअरिथमेटिक पदानुक्रम]] का उत्पादन करता है, जो बोरेल पदानुक्रम का लाइटफेस एनालॉग है। ([[हाइपरअरिथमेटिकल सिद्धांत]] के परिमित स्तरों को [[अंकगणितीय पदानुक्रम]] के रूप में जाना जाता है।)


प्रक्षेपी पदानुक्रम पर एक समान उपचार लागू किया जा सकता है। इसका लाइटफेस एनालॉग [[विश्लेषणात्मक पदानुक्रम]] के रूप में जाना जाता है।
प्रक्षेपी पदानुक्रम पर एक समान उपचार लागू किया जा सकता है। इसका लाइटफेस एनालॉग [[विश्लेषणात्मक पदानुक्रम]] के रूप में जाना जाता है।

Revision as of 09:53, 24 June 2023

वर्णनात्मक सम्मुच्चय सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, एक प्वाइंटक्लास बिंदु (गणित) के सम्मुच्चय (गणित) का एक संग्रह है, जहां एक बिंदुको सामान्यतः कुछ उतम सम्मुच्चय परिष्कृत स्थान का एक तत्व समझा जाता है। व्यवहार में, एक पॉइंटक्लास को सामान्यतः किसी प्रकार की 'परिभाषा विशेषता' द्वारा चित्रित किया जाता है; उदाहरण के लिए, परिष्कृत रिक्त स्थान के कुछ निश्चित संग्रह में सभी खुले सम्मुच्चयों का संग्रह एक प्वाइंटक्लास है। (एक खुले सम्मुच्चय को कुछ अर्थों में परिभाषित किया जा सकता है क्योंकि यह बिंदुओं का विशुद्ध रूप से स्वेच्छाचारी संग्रह नहीं हो सकता है; सम्मुच्चय में किसी भी बिंदु के लिए, उस बिंदु के पास पर्याप्त रूप से सभी बिंदु सम्मुच्चय में भी होने चाहिए।)

पॉइंटक्लास सम्मुच्चय सिद्धांत और वास्तविक विश्लेषण से कई महत्वपूर्ण सिद्धांतों और प्रमेयों को तैयार करने में आवेदन पाते हैं। शक्तिशाली सम्मुच्चय-सैद्धांतिक सिद्धांतों को विभिन्न बिंदुओं के निर्धारण के संदर्भ में कहा जा सकता है, जो बदले में इसका अर्थ है कि उन प्वाइंटक्लास (या कभी-कभी बड़े वाले) में नियमितता गुण होते हैं जैसे कि लेबेसेग माप (और वास्तव में सार्वभौमिक रूप से मापने योग्य सम्मुच्चय), बायर की विशेषता, और उतम सम्मुच्चय विशेषता

मूल ढांचा

व्यवहार में, वर्णनात्मक सम्मुच्चय सिद्धांतकार प्रायः एक निश्चित परिष्कृत स्थान जैसे बेयर स्थल (सम्मुच्चय सिद्धांत) या कभी-कभी कैंटर स्थल में काम करके मामलों को सरल बनाते हैं, जिनमें से प्रत्येक को शून्य आयामी होने का लाभ होता है, और वास्तव में इसके परिमित या गणनीय उत्पाद सांस्थिति के लिए होमियोमॉर्फिक होता है, ताकि आयामीता के विचार कभी उत्पन्न न हों। यियानिस मोस्कोवाकिस एक बार और सभी अंतर्निहित परिष्कृत रिक्त स्थान के संग्रह को ठीक करके अधिक सामान्यता प्रदान करता है, जिसमें सभी स्वाभाविक का सम्मुच्चय, सभी तत्त्व का सम्मुच्चय, बेयर स्थल और कैंटर स्थल सम्मिलित है, और अन्यथा पाठक को किसी भी वांछित सही परिष्कृत स्थल में फेंकने की अनुमति देता है। फिर वह एक उत्पाद स्थान को इन अंतर्निहित स्थानों के किसी भी परिमित कार्टेशियन उत्पाद के रूप में परिभाषित करता है। फिर, उदाहरण के लिए, पॉइंटक्लास सभी खुले सम्मुच्चयों का अर्थ इन उत्पाद स्थानों में से किसी एक के सभी खुले सबसम्मुच्चय का संग्रह है। यह उपाय एक उचित वर्ग होने से रोकता है, विशेष परिष्कृत रिक्त स्थान के रूप में अत्यधिक विशिष्टता से बचने के उपरान्त विचार किया जा रहा है (यह देखते हुए कि सकेंद्र इस तथ्य पर है कि खुले सम्मुच्चय का संग्रह है, न कि स्वयं रिक्त स्थान पर)।

बोल्डफेस पॉइंटक्लास

बोरेल पदानुक्रम में प्वाइंटक्लास, और अधिक जटिल प्रक्षेपी पदानुक्रम में, बोल्डफेस अक्षर में उप- और अति-लिखित ग्रीक अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं; उदाहरण के लिए, सभी बंद सम्मुच्चयों का प्वाइंटक्लास है, सभी Fσ सम्मुच्चय का प्वाइंटक्लास है, सभी सम्मुच्चयों Fσ और Gδ का संग्रह है जो एक साथ हैं, और सभी विश्लेषणात्मक सम्मुच्चयों का प्वाइंटक्लास है।

इस तरह के प्वाइंटक्लासों में सम्मुच्चय केवल एक बिंदु तक निश्चित होने चाहिए। उदाहरण के लिए, परिष्कृत स्थान में सम्मुच्चय किया गया प्रत्येक एकल सम्मुच्चय है, और इस प्रकार है। इसलिए ऐसा नहीं हो सकता कि हर सम्मुच्चय परिष्कृत स्थान के एक स्वेच्छाचारी तत्व से अधिक निश्चित होना चाहिए (कहते हैं, एक स्वेच्छाचारी वास्तविक संख्या, या प्राकृतिक संख्याओं का एक स्वेच्छाचारी गणनीय अनुक्रम)। बोल्डफेस पॉइंटक्लास (और सामान्यतः अभ्यास में) की आवश्यकता होती है कि कक्षा में सम्मुच्चय कुछ वास्तविक संख्या के सापेक्ष परिभाषित हो, जिसे दिव्यवक्ता मशीन के रूप में लिया जाता है। उस अर्थ में, बोल्डफेस पॉइंटक्लास में सदस्यता एक निश्चित विशेषता है, भले ही यह पूर्ण निश्चितता नहीं है, लेकिन संभावित रूप से अपरिभाषित वास्तविक संख्या के संबंध में केवल निश्चितता है।

बोल्डफेस पॉइंटक्लास, या कम से कम जिन्हें सामान्यतः माना जाता है, स्फान समानेयता के अंतर्गत बंद हैं; अर्थात्, पॉइंटक्लास में एक सम्मुच्चय दिया गया है, इसकी उलटा छवि एक निरंतर फलन के अंतर्गत (एक उत्पाद स्थान से उस स्थान तक जिसमें दिया गया सम्मुच्चय एक सबसम्मुच्चय है) भी दिए गए पॉइंटक्लास में है। इस प्रकार एक बोल्डफेस पॉइंटक्लास वैज डिग्री का नीचे की ओर बंद एकसंध है।

लाइटफेस पॉइंटक्लास

बोरेल और प्रक्षेपी पदानुक्रम में प्रभावी वर्णनात्मक सम्मुच्चय सिद्धांत में समानताएं हैं, जिसमें निश्चितता विशेषता अब एक भविष्यवाणी से संबंधित नहीं है, लेकिन इसे निरपेक्ष बना दिया गया है। उदाहरण के लिए, यदि कोई मूल खुले प्रतिवैस के कुछ संग्रह को ठीक करता है (कहते हैं, बेयर स्थल में, सम्मुच्चय के सम्मुच्चय का संग्रह {x∈ωω s प्राकृतिक संख्याओं के प्रत्येक निश्चित परिमित अनुक्रम के लिए x} का प्रारंभिक खंड है), फिर खुला, या , सम्मुच्चय को बुनियादी खुले प्रतिवैस के सभी (स्वेच्छाचारी) समुच्च के रूप में चित्रित किया जा सकता है। अनुरूप सम्मुच्चय, एक लाइटफेस के साथ , अब ऐसे प्रतिवैस की स्वेच्छाचारी सम्मुच्चय नहीं हैं, बल्कि उनमें से संगणनीय सम्मुच्चय सम्मुच्चय हैं। यानी एक सम्मुच्चय लाइटफेस है, जिसे प्रभावी रूप से खुला भी कहा जाता है, यदि नैचुरल के परिमित अनुक्रमों का एक संगणनीय सम्मुच्चय S है, जैसे कि दिया गया सम्मुच्चय {x∈ωoh s सम्मुच्चयों का मिलन है, S में s के लिए x} का प्रारंभिक खंड है।

एक सम्मुच्चय लाइटफेस है अगर यह एक का पूरक है तय करना। इस प्रकार प्रत्येक सम्मुच्चय में कम से कम एक इंडेक्स होता है, जो कम्प्यूटेशनल फंक्शन का वर्णन करता है, जिसमें बेसिक ओपन सम्मुच्चय की गणना होती है, जिससे यह बना है; वास्तव में इसमें अपरिमित रूप से ऐसे अनेक सूचकांक होंगे। इसी तरह, एक के लिए एक सूचकांक सम्मुच्चय बी बी के पूरक में बुनियादी खुले सम्मुच्चयों की गणना करने योग्य गणना योग्य फलन का वर्णन करता है।

एक सम्मुच्चय ए लाइटफेस है यदि यह एक संगणनीय अनुक्रम का संघ है सम्मुच्चय (अर्थात, के सूचकांकों की गणना योग्य गणना है ऐसे सम्मुच्चय करता है कि A इन सम्मुच्चयों का मिलन है)। लाइटफेस सम्मुच्चय और उनके सूचकांकों के बीच यह संबंध पुनरावर्ती ऑर्डिनल के माध्यम से लाइटफेस बोरेल पदानुक्रम को ट्रांसफिनिट में विस्तारित करने के लिए उपयोग किया जाता है। यह हाइपरअरिथमेटिक पदानुक्रम का उत्पादन करता है, जो बोरेल पदानुक्रम का लाइटफेस एनालॉग है। (हाइपरअरिथमेटिकल सिद्धांत के परिमित स्तरों को अंकगणितीय पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है।)

प्रक्षेपी पदानुक्रम पर एक समान उपचार लागू किया जा सकता है। इसका लाइटफेस एनालॉग विश्लेषणात्मक पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है।

सारांश

प्रत्येक वर्ग कम से कम उतना ही बड़ा है जितना कि उससे ऊपर की कक्षाएँ।

Lightface Boldface
Σ0
0
= Π0
0
= Δ0
0
(sometimes the same as Δ0
1
)
Σ0
0
= Π0
0
= Δ0
0
(if defined)
Δ0
1
= recursive
Δ0
1
= clopen
Σ0
1
= recursively enumerable
Π0
1
= co-recursively enumerable
Σ0
1
= G = open
Π0
1
= F = closed
Δ0
2
Δ0
2
Σ0
2
Π0
2
Σ0
2
= Fσ
Π0
2
= Gδ
Δ0
3
Δ0
3
Σ0
3
Π0
3
Σ0
3
= Gδσ
Π0
3
= Fσδ
Σ0
= Π0
= Δ0
= Σ1
0
= Π1
0
= Δ1
0
= arithmetical
Σ0
= Π0
= Δ0
= Σ1
0
= Π1
0
= Δ1
0
= boldface arithmetical
Δ0
α
recursive)
Δ0
α
countable)
Σ0
α
Π0
α
Σ0
α
Π0
α
Σ0
ωCK
1
= Π0
ωCK
1
= Δ0
ωCK
1
= Δ1
1
= hyperarithmetical
Σ0
ω1
= Π0
ω1
= Δ0
ω1
= Δ1
1
= B = Borel
Σ1
1
= lightface analytic
Π1
1
= lightface coanalytic
Σ1
1
= A = analytic
Π1
1
= CA = coanalytic
Δ1
2
Δ1
2
Σ1
2
Π1
2
Σ1
2
= PCA
Π1
2
= CPCA
Δ1
3
Δ1
3
Σ1
3
Π1
3
Σ1
3
= PCPCA
Π1
3
= CPCPCA
Σ1
= Π1
= Δ1
= Σ2
0
= Π2
0
= Δ2
0
= analytical
Σ1
= Π1
= Δ1
= Σ2
0
= Π2
0
= Δ2
0
= P = projective


संदर्भ

  • Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descriptive Set Theory. North Holland. ISBN 0-444-70199-0.