आदेशित ज्यामिति: Difference between revisions
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क्रमबद्ध [[ज्यामिति]], ज्यामिति का | क्रमबद्ध [[ज्यामिति]], ज्यामिति का रूप है जिसमें मध्यवर्तीता (या बीचपन) की अवधारणा होती है, लेकिन, [[प्रक्षेप्य ज्यामिति]] की तरह, माप की मूल धारणा को छोड़ दिया जाता है। क्रमबद्ध ज्यामिति मौलिक ज्यामिति है जो एफ़िन ज्यामिति, [[यूक्लिडियन ज्यामिति]], निरपेक्ष ज्यामिति और [[अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति]] (लेकिन प्रक्षेप्य ज्यामिति के लिए नहीं) के लिए सामान्य रूपरेखा बनाती है। | ||
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[[मोरिट्ज़ पास्च]] ने पहली बार 1882 में माप के संदर्भ के बिना ज्यामिति को परिभाषित किया था। उनके सिद्धांतों में ग्यूसेप पीनो (1889), [[डेविड हिल्बर्ट]] (1899) और [[ओसवाल्ड वेब्लेन]] (1904) द्वारा सुधार किया गया था।<ref name=Coxeter69>{{cite book | last=Coxeter | first=H.S.M. | author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | title=ज्यामिति का परिचय| url=https://archive.org/details/introductiontoge0002coxe | url-access=registration | edition=2nd | publisher=[[John Wiley and Sons]] | year=1969 | isbn=0-471-18283-4 | zbl=0181.48101 }}</ref>{{rp|176}} [[यूक्लिड]] ने तत्वों की परिभाषा 4 में पास्च के दृष्टिकोण का अनुमान लगाया: | [[मोरिट्ज़ पास्च]] ने पहली बार 1882 में माप के संदर्भ के बिना ज्यामिति को परिभाषित किया था। उनके सिद्धांतों में ग्यूसेप पीनो (1889), [[डेविड हिल्बर्ट]] (1899) और [[ओसवाल्ड वेब्लेन]] (1904) द्वारा सुधार किया गया था।<ref name=Coxeter69>{{cite book | last=Coxeter | first=H.S.M. | author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | title=ज्यामिति का परिचय| url=https://archive.org/details/introductiontoge0002coxe | url-access=registration | edition=2nd | publisher=[[John Wiley and Sons]] | year=1969 | isbn=0-471-18283-4 | zbl=0181.48101 }}</ref>{{rp|176}} [[यूक्लिड]] ने तत्वों की परिभाषा 4 में पास्च के दृष्टिकोण का अनुमान लगाया: सीधी रेखा वह रेखा है जो अपने आप पर बिंदुओं के साथ समान रूप से स्थित होती है।<ref>{{cite book | last=Heath | first=Thomas | author-link=Thomas Little Heath | pages=[https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl/page/165 165] | title=यूक्लिड के तत्वों की तेरह पुस्तकें (खंड 1)| location=New York | publisher=[[Dover Publications]] | year=1956 | orig-year=1925 | isbn=0-486-60088-2 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl/page/165 }}</ref> | ||
==आदिम अवधारणाएँ== | ==आदिम अवधारणाएँ== | ||
क्रमबद्ध ज्यामिति में एकमात्र [[आदिम धारणा]]एँ [[बिंदु (ज्यामिति)]] ए, बी, सी, ... और मध्यवर्तीता का त्रिक संबंध [एबीसी] हैं जिसे बी के रूप में पढ़ा जा सकता है जो ए और सी के बीच है। | क्रमबद्ध ज्यामिति में एकमात्र [[आदिम धारणा]]एँ [[बिंदु (ज्यामिति)]] ए, बी, सी, ... और मध्यवर्तीता का त्रिक संबंध [एबीसी] हैं जिसे बी के रूप में पढ़ा जा सकता है जो ए और सी के बीच है। | ||
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रेखा AB अंतराल AB और दो किरणें A/B और B/A है। रेखा AB पर बिंदु संरेख कहलाते हैं। | रेखा AB अंतराल AB और दो किरणें A/B और B/A है। रेखा AB पर बिंदु संरेख कहलाते हैं। | ||
कोण में बिंदु O (शीर्ष) और O (भुजाओं) से निकलने वाली दो असंरेख किरणें होती हैं। | |||
त्रिभुज तीन असंरेख बिंदुओं (जिन्हें शीर्ष कहा जाता है) और उनके तीन खंडों एबी, बीसी और सीए द्वारा दिया जाता है। | |||
यदि तीन बिंदु A, B, और C असंरेख हैं, तो | यदि तीन बिंदु A, B, और C असंरेख हैं, तो समतल ABC त्रिभुज ABC की या दो भुजाओं के बिंदुओं के जोड़े के साथ संरेख वाले सभी बिंदुओं का समूह है। | ||
यदि चार बिंदु ए, बी, सी, और डी गैर-समतलीय हैं, तो | यदि चार बिंदु ए, बी, सी, और डी गैर-समतलीय हैं, तो स्थान (3-स्थान) एबीसीडी [[ चतुर्पाश्वीय |चतुर्पाश्वीय]] के चार चेहरों (तलीय क्षेत्रों) में से किसी से चुने गए बिंदुओं के जोड़े के साथ संरेख वाले सभी बिंदुओं का सेट है। ए बी सी डी। | ||
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# कम से कम दो बिंदु मौजूद हैं. | # कम से कम दो बिंदु मौजूद हैं. | ||
# यदि ए और बी अलग-अलग बिंदु हैं, तो | # यदि ए और बी अलग-अलग बिंदु हैं, तो सी मौजूद है जैसे कि [एबीसी]। | ||
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# यदि [एबीसी], तो [सीबीए] लेकिन नहीं [सीएबी]। | # यदि [एबीसी], तो [सीबीए] लेकिन नहीं [सीएबी]। | ||
# यदि C और D रेखा AB पर अलग-अलग बिंदु हैं, तो A रेखा CD पर है। | # यदि C और D रेखा AB पर अलग-अलग बिंदु हैं, तो A रेखा CD पर है। | ||
# यदि AB | # यदि AB रेखा है, तो रेखा AB पर बिंदु C नहीं है। | ||
# ([[पास्च का अभिगृहीत]]) यदि ABC | # ([[पास्च का अभिगृहीत]]) यदि ABC त्रिभुज है और [BCD] और [CEA] है, तो रेखा DE पर बिंदु F मौजूद है जिसके लिए [AFB] है। | ||
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## तलीय क्रमित ज्यामिति के लिए, सभी बिंदु | ## तलीय क्रमित ज्यामिति के लिए, सभी बिंदु तल में हैं। या | ||
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# सभी बिंदु | # सभी बिंदु ही तल, स्थान आदि में हैं (यह इस बात पर निर्भर करता है कि व्यक्ति किस आयाम में काम करना चाहता है)। | ||
# (डेडेकाइंड का अभिगृहीत) | # (डेडेकाइंड का अभिगृहीत) रेखा पर सभी बिंदुओं के प्रत्येक विभाजन को दो गैर-रिक्त सेटों में इस प्रकार विभाजित करने के लिए कि दोनों में से कोई भी बिंदु दूसरे के दो बिंदुओं के बीच स्थित न हो, सेट का बिंदु होता है जो उस सेट के हर दूसरे बिंदु के बीच स्थित होता है और दूसरे सेट का हर बिंदु। | ||
ये अभिगृहीत हिल्बर्ट के अभिगृहीत#II से निकटता से संबंधित हैं। ऑर्डर|हिल्बर्ट के ऑर्डर के सिद्धांत। क्रमित ज्यामिति के स्वयंसिद्धीकरण के व्यापक सर्वेक्षण के लिए विक्टर (2011) देखें।<ref>{{cite journal | last = Pambuccian | first = Victor | doi = 10.1016/j.exmath.2010.09.004 | journal = Expositiones Mathematicae | pages = 24–66 | title = The axiomatics of ordered geometry: I. Ordered incidence spaces | volume = 29 | year = 2011| doi-access = free }}</ref> | ये अभिगृहीत हिल्बर्ट के अभिगृहीत#II से निकटता से संबंधित हैं। ऑर्डर|हिल्बर्ट के ऑर्डर के सिद्धांत। क्रमित ज्यामिति के स्वयंसिद्धीकरण के व्यापक सर्वेक्षण के लिए विक्टर (2011) देखें।<ref>{{cite journal | last = Pambuccian | first = Victor | doi = 10.1016/j.exmath.2010.09.004 | journal = Expositiones Mathematicae | pages = 24–66 | title = The axiomatics of ordered geometry: I. Ordered incidence spaces | volume = 29 | year = 2011| doi-access = free }}</ref> | ||
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[[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]], जानोस बोल्याई और [[निकोलाई लोबचेव्स्की]] ने [[समानांतर अभिधारणा]] की | [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]], जानोस बोल्याई और [[निकोलाई लोबचेव्स्की]] ने [[समानांतर अभिधारणा]] की धारणा विकसित की जिसे क्रमबद्ध ज्यामिति में व्यक्त किया जा सकता है।<ref name=Coxeter69/>{{rp|189,90}} | ||
प्रमेय (समानांतरता का अस्तित्व): | प्रमेय (समानांतरता का अस्तित्व): बिंदु ''ए'' और रेखा ''आर'' को देखते हुए, ''ए'' के माध्यम से नहीं, विमान ''एआर'' में ''ए'' से बिल्कुल दो सीमित किरणें मौजूद हैं ''जो ''r'' से नहीं मिलते। तो ''ए'' से होकर ''समानांतर'' रेखा है जो ''आर'' से नहीं मिलती है। | ||
प्रमेय (समानांतरता की संप्रेषणीयता): | प्रमेय (समानांतरता की संप्रेषणीयता): किरण और रेखा की समानता किरण की शुरुआत से खंड को जोड़कर या घटाकर संरक्षित की जाती है। | ||
समांतरता का [[सकर्मक संबंध]] क्रमबद्ध ज्यामिति में सिद्ध नहीं किया जा सकता है।<ref>{{cite book | last=Busemann | first=Herbert | pages=139 | title=जियोडेसिक्स की ज्यामिति| location=New York | publisher=[[Academic Press]] | year=1955 | zbl=0112.37002 | series=Pure and Applied Mathematics | volume=6 | isbn=0-12-148350-9 }}</ref> इसलिए, समानता की क्रमबद्ध अवधारणा रेखाओं पर तुल्यता संबंध नहीं बनाती है। | समांतरता का [[सकर्मक संबंध]] क्रमबद्ध ज्यामिति में सिद्ध नहीं किया जा सकता है।<ref>{{cite book | last=Busemann | first=Herbert | pages=139 | title=जियोडेसिक्स की ज्यामिति| location=New York | publisher=[[Academic Press]] | year=1955 | zbl=0112.37002 | series=Pure and Applied Mathematics | volume=6 | isbn=0-12-148350-9 }}</ref> इसलिए, समानता की क्रमबद्ध अवधारणा रेखाओं पर तुल्यता संबंध नहीं बनाती है। | ||
Revision as of 11:41, 6 July 2023
क्रमबद्ध ज्यामिति, ज्यामिति का रूप है जिसमें मध्यवर्तीता (या बीचपन) की अवधारणा होती है, लेकिन, प्रक्षेप्य ज्यामिति की तरह, माप की मूल धारणा को छोड़ दिया जाता है। क्रमबद्ध ज्यामिति मौलिक ज्यामिति है जो एफ़िन ज्यामिति, यूक्लिडियन ज्यामिति, निरपेक्ष ज्यामिति और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति (लेकिन प्रक्षेप्य ज्यामिति के लिए नहीं) के लिए सामान्य रूपरेखा बनाती है।
इतिहास
मोरिट्ज़ पास्च ने पहली बार 1882 में माप के संदर्भ के बिना ज्यामिति को परिभाषित किया था। उनके सिद्धांतों में ग्यूसेप पीनो (1889), डेविड हिल्बर्ट (1899) और ओसवाल्ड वेब्लेन (1904) द्वारा सुधार किया गया था।[1]: 176 यूक्लिड ने तत्वों की परिभाषा 4 में पास्च के दृष्टिकोण का अनुमान लगाया: सीधी रेखा वह रेखा है जो अपने आप पर बिंदुओं के साथ समान रूप से स्थित होती है।[2]
आदिम अवधारणाएँ
क्रमबद्ध ज्यामिति में एकमात्र आदिम धारणाएँ बिंदु (ज्यामिति) ए, बी, सी, ... और मध्यवर्तीता का त्रिक संबंध [एबीसी] हैं जिसे बी के रूप में पढ़ा जा सकता है जो ए और सी के बीच है।
परिभाषाएँ
खंड AB बिंदु P का समुच्चय (गणित) है जैसे कि [APB]।
अंतराल AB खंड AB और इसके अंतिम बिंदु A और B हैं।
किरण ए/बी (बी से दूर ए से किरण के रूप में पढ़ें) बिंदु पी का सेट है जैसे कि [पीएबी]।
रेखा AB अंतराल AB और दो किरणें A/B और B/A है। रेखा AB पर बिंदु संरेख कहलाते हैं।
कोण में बिंदु O (शीर्ष) और O (भुजाओं) से निकलने वाली दो असंरेख किरणें होती हैं।
त्रिभुज तीन असंरेख बिंदुओं (जिन्हें शीर्ष कहा जाता है) और उनके तीन खंडों एबी, बीसी और सीए द्वारा दिया जाता है।
यदि तीन बिंदु A, B, और C असंरेख हैं, तो समतल ABC त्रिभुज ABC की या दो भुजाओं के बिंदुओं के जोड़े के साथ संरेख वाले सभी बिंदुओं का समूह है।
यदि चार बिंदु ए, बी, सी, और डी गैर-समतलीय हैं, तो स्थान (3-स्थान) एबीसीडी चतुर्पाश्वीय के चार चेहरों (तलीय क्षेत्रों) में से किसी से चुने गए बिंदुओं के जोड़े के साथ संरेख वाले सभी बिंदुओं का सेट है। ए बी सी डी।
आदेशित ज्यामिति के अभिगृहीत
- कम से कम दो बिंदु मौजूद हैं.
- यदि ए और बी अलग-अलग बिंदु हैं, तो सी मौजूद है जैसे कि [एबीसी]।
- यदि [एबीसी], तो ए और सी अलग-अलग हैं (ए ≠ सी)।
- यदि [एबीसी], तो [सीबीए] लेकिन नहीं [सीएबी]।
- यदि C और D रेखा AB पर अलग-अलग बिंदु हैं, तो A रेखा CD पर है।
- यदि AB रेखा है, तो रेखा AB पर बिंदु C नहीं है।
- (पास्च का अभिगृहीत) यदि ABC त्रिभुज है और [BCD] और [CEA] है, तो रेखा DE पर बिंदु F मौजूद है जिसके लिए [AFB] है।
- आयामीता का सिद्धांत:
- तलीय क्रमित ज्यामिति के लिए, सभी बिंदु तल में हैं। या
- यदि ABC समतल है, तो समतल ABC में बिंदु D मौजूद नहीं है।
- सभी बिंदु ही तल, स्थान आदि में हैं (यह इस बात पर निर्भर करता है कि व्यक्ति किस आयाम में काम करना चाहता है)।
- (डेडेकाइंड का अभिगृहीत) रेखा पर सभी बिंदुओं के प्रत्येक विभाजन को दो गैर-रिक्त सेटों में इस प्रकार विभाजित करने के लिए कि दोनों में से कोई भी बिंदु दूसरे के दो बिंदुओं के बीच स्थित न हो, सेट का बिंदु होता है जो उस सेट के हर दूसरे बिंदु के बीच स्थित होता है और दूसरे सेट का हर बिंदु।
ये अभिगृहीत हिल्बर्ट के अभिगृहीत#II से निकटता से संबंधित हैं। ऑर्डर|हिल्बर्ट के ऑर्डर के सिद्धांत। क्रमित ज्यामिति के स्वयंसिद्धीकरण के व्यापक सर्वेक्षण के लिए विक्टर (2011) देखें।[3]
परिणाम
सिल्वेस्टर की संरेख बिंदुओं की समस्या
सिल्वेस्टर-गैलाई प्रमेय को क्रमबद्ध ज्यामिति के भीतर सिद्ध किया जा सकता है।[4][1]: 181, 2
समानांतरता
कार्ल फ्रेडरिक गॉस, जानोस बोल्याई और निकोलाई लोबचेव्स्की ने समानांतर अभिधारणा की धारणा विकसित की जिसे क्रमबद्ध ज्यामिति में व्यक्त किया जा सकता है।[1]: 189, 90
प्रमेय (समानांतरता का अस्तित्व): बिंदु ए और रेखा आर को देखते हुए, ए के माध्यम से नहीं, विमान एआर में ए से बिल्कुल दो सीमित किरणें मौजूद हैं जो r से नहीं मिलते। तो ए से होकर समानांतर रेखा है जो आर से नहीं मिलती है।
प्रमेय (समानांतरता की संप्रेषणीयता): किरण और रेखा की समानता किरण की शुरुआत से खंड को जोड़कर या घटाकर संरक्षित की जाती है।
समांतरता का सकर्मक संबंध क्रमबद्ध ज्यामिति में सिद्ध नहीं किया जा सकता है।[5] इसलिए, समानता की क्रमबद्ध अवधारणा रेखाओं पर तुल्यता संबंध नहीं बनाती है।
यह भी देखें
- घटना ज्यामिति
- यूक्लिडियन ज्यामिति
- हिल्बर्ट के अभिगृहीत
- टार्स्की के अभिगृहीत
- एफ़िन ज्योमेट्री
- पूर्ण ज्यामिति
- गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति
- एर्लांगेन कार्यक्रम
- चक्रीय क्रम
- विच्छेद संबंध
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 Coxeter, H.S.M. (1969). ज्यामिति का परिचय (2nd ed.). John Wiley and Sons. ISBN 0-471-18283-4. Zbl 0181.48101.
- ↑ Heath, Thomas (1956) [1925]. यूक्लिड के तत्वों की तेरह पुस्तकें (खंड 1). New York: Dover Publications. pp. 165. ISBN 0-486-60088-2.
- ↑ Pambuccian, Victor (2011). "The axiomatics of ordered geometry: I. Ordered incidence spaces". Expositiones Mathematicae. 29: 24–66. doi:10.1016/j.exmath.2010.09.004.
- ↑ Pambuccian, Victor (2009). "A Reverse Analysis of the Sylvester–Gallai Theorem". Notre Dame Journal of Formal Logic. 50 (3): 245–260. doi:10.1215/00294527-2009-010. Zbl 1202.03023.
- ↑ Busemann, Herbert (1955). जियोडेसिक्स की ज्यामिति. Pure and Applied Mathematics. Vol. 6. New York: Academic Press. p. 139. ISBN 0-12-148350-9. Zbl 0112.37002.
