द्वैध घातीय फलन: Difference between revisions

Revision as of 08:15, 4 July 2023

एकल घातीय फलन (नीला वक्र) की तुलना में द्वैध घातीय फलन (लाल वक्र)।

एक द्वैध घातीय फलन स्थिरांक (गणित) है जिसे घातांक की घात तक बढ़ाया जाता है। सामान्य सूत्र $f(x)=a^{b^{x}}=a^{(b^{x})}$ है (जहाँ a>1 और b>1), जो घातीय फलन की तुलना में बहुत तीव्रता से बढ़ता है। उदाहरण के लिए, यदि a = b = 10:

f(x) = 10^{10^x}
f(0) = 10
f(1) = 10¹⁰
f(2) = 10¹⁰⁰गूगोल
f(3) = 10¹⁰⁰⁰
f(100) = 10^10¹⁰⁰ = गूगोलप्लेक्स.

गुणनखंड घातीय फलनों की तुलना में तीव्रता से बढ़ते हैं, परन्तु द्वैध घातीय फलनों की तुलना में बहुत धीमी गति से बढ़ते हैं। यद्यपि, टेट्रेसन और एकरमैन फलन तीव्रता से बढ़ते हैं। विभिन्न फलनों की वृद्धि दर की तुलना के लिए बिग ओ अंकन देखें।

दोहरे घातीय फलन का व्युत्क्रम लघुगणक द्वैध लघुगणक लॉग(लॉग(x)) है।

द्वैध घातीय अनुक्रम

धनात्मक पूर्णांकों (या वास्तविक संख्याओं) के अनुक्रम को द्वैध घातीय वृद्धि दर कहा जाता है यदि अनुक्रम का $n$ वाँ पद देने वाला फलन ऊपर और नीचे $n$ के द्वैध घातीय फलनों से घिरा हो। उदाहरणों में इस प्रकार से निम्नलिखित सम्मिलित हैं-

फ़र्मेट संख्याएँ $F(m)=2^{2^{m}}+1$
संनादी अभाज्य संख्याएँ: अभाज्य संख्याएँ p, जिसमें अनुक्रम 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p 0, 1, 2, 3, ... से अधिक है। 0 से प्रारंभ होने वाली प्रथम कुछ संख्याएं 2, 5, 277, 5195977, ... (sequence A016088 in the OEIS) हैं।
द्वैध मेरसेन संख्या $MM(p)=2^{2^{p}-1}-1$
सिल्वेस्टर के अनुक्रम (sequence A000058 in the OEIS) $s_{n}=\left\lfloor E^{2^{n+1}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor$ के अवयव जहां E ≈ 1.264084735305302 (sequence A076393 in the OEIS) वर्डी का स्थिरांक है।
के-अरी बूलियन फलन की संख्या: $2^{2^{k}}$
अभाज्य संख्याएँ 2, 11, 1361, ... (sequence A051254 in the OEIS) $a(n)=\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor$ जहां A ≈ 1.306377883863 मिल्स स्थिरांक है।

अल्फ्रेड अहो और नील स्लोएन ने देखा कि कई महत्वपूर्ण पूर्णांक अनुक्रमों में, प्रत्येक पद स्थिरांक और पूर्व पद का वर्ग होता है। वे दिखाते हैं कि ऐसे अनुक्रमों को मध्य घातांक 2 के साथ द्वैध घातीय फलन के मानों को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करके बनाया जा सकता है।^[1] लोनास्कु और स्तानिका अनुक्रम के लिए कुछ और सामान्य पर्याप्त स्थितियों का वर्णन करते हैं जो द्वैध घातीय अनुक्रम और स्थिरांक का फलक हो।^[2]

अनुप्रयोग

एल्गोरिदमिक जटिलता

कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में, 2-एक्सपीटाइम द्वैध घातीय समय में हल करने योग्य निर्णय समस्याओं का वर्ग है। यह Aएक्सपीस्पेस के समतुल्य है, घातीय स्थान में वैकल्पिक ट्यूरिंग मशीन द्वारा हल की जा सकने वाली निर्णय समस्याओं का समुच्चय, और एक्सपीस्पेस का अधिसमुच्चय है।^[3] 2-एक्सपीटाइम में समस्या का उदाहरण जो एक्सपीटाइम में नहीं है, वह प्रेस्बर्गर अंकगणित में कथनों को सिद्ध या अस्वीकृत करने की समस्या है।^[4]

एल्गोरिदम के डिजाइन और विश्लेषण में कुछ अन्य समस्याओं में, एल्गोरिदम के विश्लेषण के अतिरिक्त उसके डिजाइन के भीतर द्वैध घातीय अनुक्रमों का उपयोग किया जाता है। उत्तल हल्स की गणना के लिए चैन का एल्गोरिदम उदाहरण है, जो परीक्षण मान h_i = 2^2ⁱ (अंतिम आउटपुट आकार के लिए अनुमान) का उपयोग करके गणनाओं का अनुक्रम निष्पादित करता है, अनुक्रम में प्रत्येक परीक्षण मान के लिए समय O(n log h_i) लेता है। इन परीक्षण मूल्यों की दोहरी घातीय वृद्धि के कारण, अनुक्रम में प्रत्येक गणना के लिए समय i के फलन के रूप में तीव्रता से बढ़ता है, और कुल समय अनुक्रम के अंतिम चरण के समय पर हावी होता है। इस प्रकार, एल्गोरिथ्म के लिए कुल समय O(nलॉगh) है जहां h वास्तविक आउटपुट आकार है।^[5]

संख्या सिद्धांत

कुछ संख्या सिद्धांत सीमाएँ द्वैध घातीय हैं। n भिन्न अभाज्य गुणनखंडों वाली विषम पूर्ण संख्याएँ अधिकतम ज्ञात होती हैं $2^{4^{n}}$ , नील्सन (2003) का परिणाम।^[6] उत्तल पॉलीहेड्रा में k ≥ 1 पूर्णांक बिंदुओं के साथ डी-आयामी पूर्णांक जाली में बहुवचन की अधिकतम मात्रा अधिकतम होती है

k\cdot (8d)^{d}\cdot 15^{d\cdot 2^{2d+1}},

पिखुरको (2001) का परिणाम।^[7] जे. सी. पी. मिलर और डेविड व्हीलर (कंप्यूटर वैज्ञानिक) द्वारा 1951 में ईडीएसएसी1 पर 79 अंकों का प्राइम पाए जाने के बाद से इलेक्ट्रॉनिक युग में सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या मोटे तौर पर वर्ष के दोहरे घातीय फलन के रूप में विकसित हुई है।^[8]

सैद्धांतिक जीवविज्ञान

जनसंख्या गतिशीलता में मानव जनसंख्या की वृद्धि को कभी-कभी द्वैध घातीय माना जाता है। वरफोलोमेयेव और गुरेविच^[9] प्रयोगात्मक रूप से फिट

N(y)=375.6\cdot 1.00185^{1.00737^{y-1000}}\,

जहां N(y) वर्ष y में जनसंख्या लाखों में है।

भौतिकी

स्व-स्पंदन के सभी थरथरानवाला मॉडल में, आयाम का लघुगणक समय के साथ तीव्रता से बदलता है (बड़े आयामों के लिए), इस प्रकार आयाम समय के द्वैध घातीय फलन के रूप में भिन्न होता है।^[10] डेंड्राइटिक मैक्रो मोलेक्यूल ्स को द्वैध-घातीय तरीके से बढ़ते देखा गया है।^[11]

संदर्भ

↑ Aho, A. V.; Sloane, N. J. A. (1973), "Some doubly exponential sequences", Fibonacci Quarterly, 11: 429–437.
↑ Ionaşcu, Eugen-Julien; Stănică, Pantelimon (2004), "Effective asymptotics for some nonlinear recurrences and almost doubly-exponential sequences" (PDF), Acta Mathematica Universitatis Comenianae, LXXIII (1): 75–87.
↑ Christos Papadimitriou, Computational Complexity (1994), ISBN 978-0-201-53082-7. Section 20.1, corollary 3, page 495.
↑ Fischer, M. J., and Michael O. Rabin, 1974, ""Super-Exponential Complexity of Presburger Arithmetic. Archived 2006-09-15 at the Wayback Machine" Proceedings of the SIAM-AMS Symposium in Applied Mathematics Vol. 7: 27–41
↑ Chan, T. M. (1996), "Optimal output-sensitive convex hull algorithms in two and three dimensions", Discrete and Computational Geometry, 16 (4): 361–368, doi:10.1007/BF02712873, MR 1414961
↑ Nielsen, Pace P. (2003), "An upper bound for odd perfect numbers", INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, 3: A14.
↑ Pikhurko, Oleg (2001), "Lattice points in lattice polytopes", Mathematika, 48 (1–2): 15–24, arXiv:math/0008028, Bibcode:2000math......8028P, doi:10.1112/s0025579300014339
↑ Miller, J. C. P.; Wheeler, D. J. (1951), "Large prime numbers", Nature, 168 (4280): 838, Bibcode:1951Natur.168..838M, doi:10.1038/168838b0.
↑ Varfolomeyev, S. D.; Gurevich, K. G. (2001), "The hyperexponential growth of the human population on a macrohistorical scale", Journal of Theoretical Biology, 212 (3): 367–372, Bibcode:2001JThBi.212..367V, doi:10.1006/jtbi.2001.2384, PMID 11829357.
↑ Kouznetsov, D.; Bisson, J.-F.; Li, J.; Ueda, K. (2007), "Self-pulsing laser as oscillator Toda: Approximation through elementary functions", Journal of Physics A, 40 (9): 1–18, Bibcode:2007JPhA...40.2107K, doi:10.1088/1751-8113/40/9/016, S2CID 53330023.
↑ Kawaguchi, Tohru; Walker, Kathleen L.; Wilkins, Charles L.; Moore, Jeffrey S. (1995). "डबल एक्सपोनेंशियल डेंड्रिमर ग्रोथ". Journal of the American Chemical Society. 117 (8): 2159–2165. doi:10.1021/ja00113a005.

[1] Aho, A. V.; Sloane, N. J. A. (1973), "Some doubly exponential sequences", Fibonacci Quarterly, 11: 429–437.

[2] Ionaşcu, Eugen-Julien; Stănică, Pantelimon (2004), "Effective asymptotics for some nonlinear recurrences and almost doubly-exponential sequences" (PDF), Acta Mathematica Universitatis Comenianae, LXXIII (1): 75–87.

[3] Christos Papadimitriou, Computational Complexity (1994), ISBN 978-0-201-53082-7. Section 20.1, corollary 3, page 495.

[4] Fischer, M. J., and Michael O. Rabin, 1974, ""Super-Exponential Complexity of Presburger Arithmetic. Archived 2006-09-15 at the Wayback Machine" Proceedings of the SIAM-AMS Symposium in Applied Mathematics Vol. 7: 27–41

[5] Chan, T. M. (1996), "Optimal output-sensitive convex hull algorithms in two and three dimensions", Discrete and Computational Geometry, 16 (4): 361–368, doi:10.1007/BF02712873, MR 1414961

[6] Nielsen, Pace P. (2003), "An upper bound for odd perfect numbers", INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, 3: A14.

[7] Pikhurko, Oleg (2001), "Lattice points in lattice polytopes", Mathematika, 48 (1–2): 15–24, arXiv:math/0008028, Bibcode:2000math......8028P, doi:10.1112/s0025579300014339

[8] Miller, J. C. P.; Wheeler, D. J. (1951), "Large prime numbers", Nature, 168 (4280): 838, Bibcode:1951Natur.168..838M, doi:10.1038/168838b0.

[9] Varfolomeyev, S. D.; Gurevich, K. G. (2001), "The hyperexponential growth of the human population on a macrohistorical scale", Journal of Theoretical Biology, 212 (3): 367–372, Bibcode:2001JThBi.212..367V, doi:10.1006/jtbi.2001.2384, PMID 11829357.

[kouz-10] Kouznetsov, D.; Bisson, J.-F.; Li, J.; Ueda, K. (2007), "Self-pulsing laser as oscillator Toda: Approximation through elementary functions", Journal of Physics A, 40 (9): 1–18, Bibcode:2007JPhA...40.2107K, doi:10.1088/1751-8113/40/9/016, S2CID 53330023.

[11] Kawaguchi, Tohru; Walker, Kathleen L.; Wilkins, Charles L.; Moore, Jeffrey S. (1995). "डबल एक्सपोनेंशियल डेंड्रिमर ग्रोथ". Journal of the American Chemical Society. 117 (8): 2159–2165. doi:10.1021/ja00113a005.

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 {{short description|Exponential function of an exponential function}}
-[[Image:Double Exponential Function.svg|right|thumb|320px|एकल घातीय फ़ंक्शन (नीला वक्र) की तुलना में एक दोहरा घातीय फ़ंक्शन (लाल वक्र)।]]एक दोहरा घातीय फ़ंक्शन एक [[स्थिरांक (गणित)]] है जिसे एक [[घातांक]] की शक्ति तक बढ़ाया जाता है। सामान्य सूत्र है <math>f(x) = a^{b^x}=a^{(b^x)}</math> (जहाँ a>1 और b>1), जो एक घातीय फ़ंक्शन की तुलना में बहुत तेज़ी से बढ़ता है। उदाहरण के लिए, यदि a = b = 10:
+[[Image:Double Exponential Function.svg|right|thumb|320px|एकल घातीय फलन (नीला वक्र) की तुलना में द्वैध घातीय फलन (लाल वक्र)।]]एक द्वैध घातीय फलन [[स्थिरांक (गणित)]] है जिसे [[घातांक]] की घात तक बढ़ाया जाता है। सामान्य सूत्र <math>f(x) = a^{b^x}=a^{(b^x)}</math> है (जहाँ a>1 और b>1), जो घातीय फलन की तुलना में बहुत तीव्रता से बढ़ता है। उदाहरण के लिए, यदि a = b = 10:
-*एफ(एक्स) = 10<sup>10<sup>x</sup></sup>
+*f(x) = 10<sup>10<sup>x</sup></sup>
-*एफ(0) = 10
+*f(0) = 10
-*एफ(1) = 10<sup>10</sup>
+*f(1) = 10<sup>10</sup>
-*एफ(2) = 10<sup>100</sup>[[इसे काट दें]]
+*f(2) = 10<sup>100</sup>[[इसे काट दें|गूगोल]]
-*एफ(3) = 10<sup>1000</sup>
+*f(3) = 10<sup>1000</sup>
-*एफ(100) = 10<sup>10<sup>100</sup></sup> = [[ GOOGOLPLEX ]].
+*f(100) = 10<sup>10<sup>100</sup></sup> = [[ GOOGOLPLEX |गूगोलप्लेक्स]].
-गुणनखंड घातीय कार्यों की तुलना में तेजी से बढ़ते हैं, लेकिन दोगुने घातीय कार्यों की तुलना में बहुत धीमी गति से बढ़ते हैं। हालाँकि, [[tetration]] और [[एकरमैन फ़ंक्शन]] तेजी से बढ़ते हैं। विभिन्न कार्यों की वृद्धि दर की तुलना के लिए [[ बिग ओ अंकन ]] देखें।
+गुणनखंड घातीय फलनों की तुलना में तीव्रता से बढ़ते हैं, परन्तु द्वैध घातीय फलनों की तुलना में बहुत धीमी गति से बढ़ते हैं। यद्यपि, [[tetration|टेट्रेसन]] और [[एकरमैन फ़ंक्शन|एकरमैन फलन]] तीव्रता से बढ़ते हैं। विभिन्न फलनों की वृद्धि दर की तुलना के लिए [[ बिग ओ अंकन |बिग ओ अंकन]] देखें।
-दोहरे घातीय फ़ंक्शन का व्युत्क्रम लघुगणक#डबल लघुगणक लॉग(लॉग(x)) है।
+दोहरे घातीय फलन का व्युत्क्रम लघुगणक द्वैध लघुगणक लॉग(लॉग(x)) है।
-==दोगुना घातीय अनुक्रम==
+==द्वैध घातीय अनुक्रम==
-कहा जाता है कि धनात्मक पूर्णांकों (या वास्तविक संख्याओं) के अनुक्रम में दोगुनी घातीय वृद्धि दर होती है यदि फ़ंक्शन दे रहा हो {{mvar|n}}अनुक्रम का वां पद ऊपर और नीचे दोगुने घातीय फलनों से घिरा है {{mvar|n}}.
+धनात्मक पूर्णांकों (या वास्तविक संख्याओं) के अनुक्रम को द्वैध घातीय वृद्धि दर कहा जाता है यदि अनुक्रम का {{mvar|n}}वाँ पद देने वाला फलन ऊपर और नीचे {{mvar|n}} के द्वैध घातीय फलनों से घिरा हो। उदाहरणों में इस प्रकार से निम्नलिखित सम्मिलित हैं-
-उदाहरणों में शामिल
+* [[फ़र्मेट संख्या|फ़र्मेट संख्याएँ]] <math display="block">F(m) = 2^{2^m}+1</math>
-* [[फ़र्मेट संख्या]]एँ <math display="block">F(m) = 2^{2^m}+1</math>
+* संनादी अभाज्य संख्याएँ: अभाज्य संख्याएँ p, जिसमें अनुक्रम {{nowrap|1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/''p''}} 0, 1, 2, 3, ... से अधिक है। 0 से प्रारंभ होने वाली प्रथम कुछ संख्याएं 2, 5, 277, 5195977, ... {{OEIS|A016088}} हैं।
-* हार्मोनिक प्राइम्स: प्राइम्स पी, जिसमें अनुक्रम {{nowrap|1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/''p''}} 0, 1, 2, 3, ... से अधिक है{{pb}}0 से शुरू होने वाली पहली कुछ संख्याएं हैं 2, 5, 277, 5195977, ... {{OEIS|A016088}}
+* [[डबल मेरसेन नंबर|द्वैध मेरसेन संख्या]] <math display="block">MM(p) = 2^{2^p-1}-1</math>
-* [[डबल मेरसेन नंबर]] <math display="block">MM(p) = 2^{2^p-1}-1</math>
+* सिल्वेस्टर के अनुक्रम {{OEIS|A000058}} <math display="block">s_n = \left\lfloor E^{2^{n+1}}+\frac12 \right\rfloor</math>के अवयव जहां E ≈ 1.264084735305302 {{OEIS|A076393}} वर्डी का स्थिरांक है।
-* सिल्वेस्टर अनुक्रम के तत्व {{OEIS|A000058}} <math display="block">s_n = \left\lfloor E^{2^{n+1}}+\frac12 \right\rfloor</math> जहां E ≈ 1.264084735305302 वर्दी का स्थिरांक है {{OEIS|A076393}}.
+* के-अरी [[बूलियन फ़ंक्शन|बूलियन फलन]] की संख्या: <math display="block">2^{2^k}</math>
-* Arity|k-ary [[बूलियन फ़ंक्शन]] की संख्या: <math display="block">2^{2^k}</math>
 * अभाज्य संख्याएँ 2, 11, 1361, ... {{OEIS|A051254}} <math display="block">a(n) = \left\lfloor A^{3^n}\right\rfloor</math> जहां A ≈ 1.306377883863 मिल्स स्थिरांक है।
-[[ मैं अल्फ्रेड हूं ]] और [[नील स्लोएन]] ने देखा कि कई महत्वपूर्ण पूर्णांक अनुक्रमों में, प्रत्येक पद एक स्थिरांक और पिछले पद का वर्ग होता है। वे दिखाते हैं कि ऐसे अनुक्रमों को मध्य घातांक 2 के साथ दोगुने घातीय फलन के मानों को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करके बनाया जा सकता है।<ref>{{citation|first1=A. V.|last1=Aho|author-link1=Alfred Aho|first2=N. J. A.|last2=Sloane|author-link2=N. J. A. Sloane|url=http://neilsloane.com/doc/doubly.html|title=Some doubly exponential sequences|journal=[[Fibonacci Quarterly]]|volume=11|year=1973|pages=429–437}}.</ref>
+[[ मैं अल्फ्रेड हूं |अल्फ्रेड अहो]] और [[नील स्लोएन]] ने देखा कि कई महत्वपूर्ण पूर्णांक अनुक्रमों में, प्रत्येक पद स्थिरांक और पूर्व पद का वर्ग होता है। वे दिखाते हैं कि ऐसे अनुक्रमों को मध्य घातांक 2 के साथ द्वैध घातीय फलन के मानों को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करके बनाया जा सकता है।<ref>{{citation|first1=A. V.|last1=Aho|author-link1=Alfred Aho|first2=N. J. A.|last2=Sloane|author-link2=N. J. A. Sloane|url=http://neilsloane.com/doc/doubly.html|title=Some doubly exponential sequences|journal=[[Fibonacci Quarterly]]|volume=11|year=1973|pages=429–437}}.</ref> लोनास्कु और स्तानिका अनुक्रम के लिए कुछ और सामान्य पर्याप्त स्थितियों का वर्णन करते हैं जो द्वैध घातीय अनुक्रम और स्थिरांक का फलक हो।<ref>{{citation
-Ionaşcu और Stănică एक अनुक्रम के लिए कुछ और सामान्य पर्याप्त स्थितियों का वर्णन करते हैं जो दोगुने घातीय अनुक्रम और एक स्थिरांक का फर्श हो।<ref>{{citation
   | last1 = Ionaşcu | first1 = Eugen-Julien
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 ==अनुप्रयोग==
 ===एल्गोरिदमिक जटिलता===
-[[कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत]] में, [[2-EXPTIME]] दोगुने घातीय समय में हल करने योग्य निर्णय समस्याओं का वर्ग है। यह A[[EXPSPACE]] के समतुल्य है, घातीय स्थान में एक [[वैकल्पिक ट्यूरिंग मशीन]] द्वारा हल की जा सकने वाली निर्णय समस्याओं का सेट, और EXPSPACE का एक सुपरसेट है।<ref>[[Christos Papadimitriou]], Computational Complexity (1994), {{isbn|978-0-201-53082-7}}. Section 20.1, corollary 3, page 495.</ref> 2-EXPTIME में एक समस्या का एक उदाहरण जो EXPTIME में नहीं है, वह [[प्रेस्बर्गर अंकगणित]] में कथनों को सिद्ध या अस्वीकृत करने की समस्या है।<ref>[[Michael J. Fischer|Fischer, M. J.]], and [[Michael O. Rabin]], 1974, "[http://www.lcs.mit.edu/publications/pubs/ps/MIT-LCS-TM-043.ps "Super-Exponential Complexity of Presburger Arithmetic.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060915010325/http://www.lcs.mit.edu/publications/pubs/ps/MIT-LCS-TM-043.ps |date=2006-09-15 }}" ''Proceedings of the SIAM-AMS Symposium in Applied Mathematics Vol. 7'': 27–41</ref>
+[[कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत]] में, [[2-EXPTIME|2-एक्सपीटाइम]] द्वैध घातीय समय में हल करने योग्य निर्णय समस्याओं का वर्ग है। यह A[[EXPSPACE|एक्सपीस्पेस]] के समतुल्य है, घातीय स्थान में [[वैकल्पिक ट्यूरिंग मशीन]] द्वारा हल की जा सकने वाली निर्णय समस्याओं का समुच्चय, और एक्सपीस्पेस का अधिसमुच्चय है।<ref>[[Christos Papadimitriou]], Computational Complexity (1994), {{isbn|978-0-201-53082-7}}. Section 20.1, corollary 3, page 495.</ref> 2-एक्सपीटाइम में समस्या का उदाहरण जो एक्सपीटाइम में नहीं है, वह [[प्रेस्बर्गर अंकगणित]] में कथनों को सिद्ध या अस्वीकृत करने की समस्या है।<ref>[[Michael J. Fischer|Fischer, M. J.]], and [[Michael O. Rabin]], 1974, "[http://www.lcs.mit.edu/publications/pubs/ps/MIT-LCS-TM-043.ps "Super-Exponential Complexity of Presburger Arithmetic.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060915010325/http://www.lcs.mit.edu/publications/pubs/ps/MIT-LCS-TM-043.ps |date=2006-09-15 }}" ''Proceedings of the SIAM-AMS Symposium in Applied Mathematics Vol. 7'': 27–41</ref>
-एल्गोरिदम के डिजाइन और विश्लेषण में कुछ अन्य समस्याओं में, एल्गोरिदम के विश्लेषण के बजाय उसके डिजाइन के भीतर दोगुने घातीय अनुक्रमों का उपयोग किया जाता है। उत्तल हल्स की गणना के लिए चैन का एल्गोरिदम एक उदाहरण है, जो परीक्षण मान एच का उपयोग करके गणनाओं का अनुक्रम निष्पादित करता है<sub>''i''</sub> = 2<sup>2<sup>i</sup></sup> (अंतिम आउटपुट आकार के लिए अनुमान), O(n log h) समय ले रहा है<sub>''i''</sub>) अनुक्रम में प्रत्येक परीक्षण मान के लिए। इन परीक्षण मूल्यों की दोहरी घातीय वृद्धि के कारण, अनुक्रम में प्रत्येक गणना के लिए समय i के एक फ़ंक्शन के रूप में तेजी से बढ़ता है, और कुल समय अनुक्रम के अंतिम चरण के समय पर हावी होता है। इस प्रकार, एल्गोरिथ्म के लिए कुल समय O(nलॉगh) है जहां h वास्तविक आउटपुट आकार है।<ref>{{citation
+एल्गोरिदम के डिजाइन और विश्लेषण में कुछ अन्य समस्याओं में, एल्गोरिदम के विश्लेषण के अतिरिक्त उसके डिजाइन के भीतर द्वैध घातीय अनुक्रमों का उपयोग किया जाता है। उत्तल हल्स की गणना के लिए चैन का एल्गोरिदम उदाहरण है, जो परीक्षण मान h<sub>''i''</sub> = 2<sup>2<sup>i</sup></sup> (अंतिम आउटपुट आकार के लिए अनुमान) का उपयोग करके गणनाओं का अनुक्रम निष्पादित करता है, अनुक्रम में प्रत्येक परीक्षण मान के लिए समय O(n log h<sub>''i''</sub>) लेता है। इन परीक्षण मूल्यों की दोहरी घातीय वृद्धि के कारण, अनुक्रम में प्रत्येक गणना के लिए समय i के फलन के रूप में तीव्रता से बढ़ता है, और कुल समय अनुक्रम के अंतिम चरण के समय पर हावी होता है। इस प्रकार, एल्गोरिथ्म के लिए कुल समय O(nलॉगh) है जहां h वास्तविक आउटपुट आकार है।<ref>{{citation
   | last = Chan | first = T. M. | author-link = Timothy M. Chan
   | doi = 10.1007/BF02712873
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   | year = 1996| doi-access = free
   }}</ref>
 ===[[संख्या सिद्धांत]]===
-कुछ संख्या सिद्धांत सीमाएँ दोगुनी घातीय हैं। n भिन्न अभाज्य गुणनखंडों वाली [[विषम पूर्ण संख्या]]एँ अधिकतम ज्ञात होती हैं <math>2^{4^n}</math>, नील्सन (2003) का परिणाम।<ref>{{citation
+कुछ संख्या सिद्धांत सीमाएँ द्वैध घातीय हैं। n भिन्न अभाज्य गुणनखंडों वाली [[विषम पूर्ण संख्या]]एँ अधिकतम ज्ञात होती हैं <math>2^{4^n}</math>, नील्सन (2003) का परिणाम।<ref>{{citation
   | last = Nielsen | first = Pace P.
   | journal = INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory
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-उत्तल पॉलीहेड्रा में k ≥ 1 पूर्णांक बिंदुओं के साथ डी-आयामी [[पूर्णांक जाली]] में एक [[ बहुवचन ]] की अधिकतम मात्रा अधिकतम होती है
+उत्तल पॉलीहेड्रा में k ≥ 1 पूर्णांक बिंदुओं के साथ डी-आयामी [[पूर्णांक जाली]] में [[ बहुवचन |बहुवचन]] की अधिकतम मात्रा अधिकतम होती है
 :<math>k\cdot(8d)^d\cdot15^{d\cdot2^{2d+1}},</math>
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   }}.</ref>
 ===सैद्धांतिक जीवविज्ञान===
-जनसंख्या गतिशीलता में मानव जनसंख्या की वृद्धि को कभी-कभी दोगुनी घातीय माना जाता है। वरफोलोमेयेव और गुरेविच<ref>{{citation
+जनसंख्या गतिशीलता में मानव जनसंख्या की वृद्धि को कभी-कभी द्वैध घातीय माना जाता है। वरफोलोमेयेव और गुरेविच<ref>{{citation
   | last1 = Varfolomeyev | first1 = S. D.
   | last2 = Gurevich | first2 = K. G.
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 ===भौतिकी===
-स्व-स्पंदन के [[सभी थरथरानवाला]] मॉडल में, आयाम का लघुगणक समय के साथ तेजी से बदलता है (बड़े आयामों के लिए), इस प्रकार आयाम समय के दोगुने घातीय कार्य के रूप में भिन्न होता है।<ref name="kouz">{{citation
+स्व-स्पंदन के [[सभी थरथरानवाला]] मॉडल में, आयाम का लघुगणक समय के साथ तीव्रता से बदलता है (बड़े आयामों के लिए), इस प्रकार आयाम समय के द्वैध घातीय फलन के रूप में भिन्न होता है।<ref name="kouz">{{citation
   | last1 = Kouznetsov | first1 = D.
   | last2 = Bisson | first2 = J.-F.
@@ Line 121: / Line 114: @@
   | issue = 9 | bibcode=2007JPhA...40.2107K| s2cid = 53330023
   }}.</ref>
-डेंड्राइटिक [[ मैक्रो मोलेक्यूल ]]्स को दोगुने-घातीय तरीके से बढ़ते देखा गया है।<ref>{{cite journal|title=डबल एक्सपोनेंशियल डेंड्रिमर ग्रोथ|first1=Tohru |last1=Kawaguchi |first2=Kathleen L. |last2=Walker |first3=Charles L. |last3=Wilkins |first4=Jeffrey S. |last4=Moore |journal=[[Journal of the American Chemical Society]] |year=1995 |volume=117 |number=8 |pages=2159–2165 |doi=10.1021/ja00113a005}}</ref>
+डेंड्राइटिक [[ मैक्रो मोलेक्यूल |मैक्रो मोलेक्यूल]] ्स को द्वैध-घातीय तरीके से बढ़ते देखा गया है।<ref>{{cite journal|title=डबल एक्सपोनेंशियल डेंड्रिमर ग्रोथ|first1=Tohru |last1=Kawaguchi |first2=Kathleen L. |last2=Walker |first3=Charles L. |last3=Wilkins |first4=Jeffrey S. |last4=Moore |journal=[[Journal of the American Chemical Society]] |year=1995 |volume=117 |number=8 |pages=2159–2165 |doi=10.1021/ja00113a005}}</ref>
 ==संदर्भ==
 {{reflist|2}}

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