मेरियोलॉजी: Difference between revisions

[[औपचारिक ऑन्टोलॉजी|औपचारिक तात्विकी]] में [[विधेय तर्क]] के अनुप्रयोगों के रूप में मेरियोलॉजी की विभिन्न विधियों से खोज की गई है, जिनमें से प्रत्येक में मेरियोलॉजी महत्वपूर्ण भाग है। इनमें से प्रत्येक क्षेत्र मेरियोलॉजी की अपनी [[स्वयंसिद्ध परिभाषा]] प्रदान करती है। ऐसी स्वयंसिद्ध प्रणाली का सामान्य अवयव स्वयंसिद्धीकरण यह धारणा है, जिसे समावेशन के साथ साझा किया जाता है, कि आंशिक-संपूर्ण संबंध अपने ब्रह्मांड को आंशिक रूप से व्यवस्थित करता है, जिसका अर्थ है कि सब कुछ स्वयं का भाग है (प्रतिवर्ती संबंध), जो कि संपूर्ण के भाग का भाग है स्वयं उस संपूर्ण ([[सकर्मक संबंध]]) का भाग है, और दो अलग-अलग संस्थाएं एक-दूसरे ([[एंटीसिमेट्रिक संबंध|प्रतिसममिति संबंध]]) का भाग नहीं हो सकती हैं, इस प्रकार [[पोसेट|क्रमित समुच्चय]] बनता है। इस स्वयंसिद्धीकरण का प्रकार इस बात से मना करता है कि सकर्मकता को स्वीकार करते समय कोई भी वस्तु कभी भी स्वयं का भाग (अप्रतिक्रियाशीलता) होती है, जिससे प्रतिसममिति स्वचालित रूप से अनुसरण करती है।

[[सामान्य सिस्टम सिद्धांत|सामान्य पद्धति सिद्धांत]] में, 'मेरियोलॉजी' पद्धति के अपघटन और भागों, संपूर्णताओं और सीमाओं पर औपचारिक कार्य को संदर्भित करता है (उदाहरण के लिए, मिहाजलो डी. मेसारोविक (1970), [[गेब्रियल क्रोन]] (1963), या मौरिस जेसल (बौडेन देखें (1989, 1998))) आदि। गेब्रियल क्रोन के नेटवर्क टियरिंग का श्रेणीबद्ध संस्करण कीथ बोडेन (1991) द्वारा प्रकाशित किया गया था, जो [[गंक (मेरियोलॉजी)]] पर डेविड लुईस के विचारों को दर्शाता है। ऐसे विचार सैद्धांतिक [[कंप्यूटर विज्ञान]] और [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में दिखाई देते हैं, प्रायः शीफ सिद्धांत, [[टोपोस]] के संयोजन में, या [[श्रेणी सिद्धांत]] आदि। कंप्यूटर विज्ञान में विशिष्टताओं पर [[स्टीव विकर्स (कंप्यूटर वैज्ञानिक)]], भौतिक प्रणालियों पर [[जोसेफ गोगुएन]] और लिंक सिद्धांत और [[क्वांटम यांत्रिकी]] पर टॉम एटर (1996, 1998) का कार्य भी देखें।

[[प्लेटो]] (विशेष रूप से, [[पारमेनाइड्स (संवाद)|पारमेनाइड्स]] संवाद) के दूसरे भाग में) और [[अरस्तू]] के बाद से तत्वमीमान्सा और तात्विकी में अनौपचारिक आंशिक-संपूर्ण तर्क को सचेत रूप से लागू किया गया था, और 19 वीं शताब्दी के गणित में 1910 के निकट समुच्चय सिद्धांत की विजय तक कमोबेश अनजाने में था। इस युग के आध्यात्मिक विचार जो भागों और संपूर्ण की अवधारणाओं पर चर्चा करते हैं उनमें दिव्य सादगी और सौंदर्य शास्त्रीय सम्मिलित हैं।

स्टैनिस्लाव लेस्निविस्की ने 1927 में ग्रीक शब्द μέρος (मेरोस, भाग) से मेरियोलॉजी गढ़ी, जो कि आंशिक-संपूर्ण के औपचारिक सिद्धांत को संदर्भित करता है, जिसे उन्होंने 1916 और 1931 के बीच प्रकाशित उच्च तकनीकी लेखों की श्रृंखला में तैयार किया था, और लेस्निविस्की (1992) में अनुवादित किया गया था। लेस्निविस्की के छात्र [[अल्फ्रेड टार्स्की]] ने वुडगर (1937) के अपने परिशिष्ट ई और टार्स्की (1984) के रूप में अनुवादित लेख में लेस्निविस्की की औपचारिकता को बहुत सरल बना दिया था। लेस्निविस्की के अन्य छात्रों (और छात्रों के छात्रों) ने 20वीं शताब्दी के समय इस पोलिश मेरियोलॉजी को विस्तृत किया। पोलिश मेरियोलॉजी पर साहित्य के ठीक चयन के लिए, श्रीज़ेडनिकी और रिकी (1984) देखें। पोलिश मेरियोलॉजी के सर्वेक्षण के लिए, सिमंस (1987) देखें। यद्यपि, 1980 या उसके बाद से, पोलिश मेरियोलॉजी पर शोध लगभग पूर्ण रूप से ऐतिहासिक प्रकृति का रहा है।

ए.एन. व्हाइटहेड ने [[ज्यामिति]] पर [[गणितीय सिद्धांत]] के चौथे खंड की योजना बनाई, परन्तु इसे कभी नहीं लिखा था। [[बर्ट्रेंड रसेल]] के साथ उनके 1914 के पत्राचार से ज्ञात होता है कि ज्यामिति के प्रति उनके इच्छित दृष्टिकोण को, दूरदर्शिता के लाभ के साथ, संक्षेप में मेरियोलॉजिकल के रूप में देखा जा सकता है। यह कार्य व्हाइटहेड (1916) और व्हाइटहेड के मेरियोलॉजिकल पद्धति (1919, 1920) में समाप्त हुआ था।

प्रतिवर्ती: मेरियोलॉजिकल पद्धति को परिभाषित करने में मूलभूत विकल्प यह है कि क्या वस्तुओं को स्वयं का भाग माना जाए। [[अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत]] में समान प्रश्न उठता है: क्या किसी समुच्चय को स्वयं का उपसमुच्चय माना जाना चाहिए। दोनों स्थितियों में, हाँ रसेल के विरोधाभास के अनुरूप विरोधाभासों को जन्म देता है: मान लीजिए कि वस्तु O है, जैसे कि प्रत्येक वस्तु जो स्वयं का उचित भाग नहीं है, वह O का उचित भाग है। क्या O स्वयं का उचित भाग है? नहीं, क्योंकि कोई भी वस्तु स्वयं का उचित भाग नहीं है; और हाँ, क्योंकि यह O के उचित भाग के रूप में सम्मिलित करने के लिए निर्दिष्ट आवश्यकता को पूर्ण करता है। समुच्चय सिद्धांत में, समुच्चय को प्रायः स्वयं का ''अनुचित'' उपसमुच्चय कहा जाता है। ऐसे विरोधाभासों को देखते हुए, मेरोलॉजी को स्वयंसिद्ध सूत्रीकरण की आवश्यकता होती है।

अतिव्यापत और निम्नव्यापत प्रतिवर्ती संबंध, [[सममित]] और असंक्रामी संबंध हैं।

सिमंस (1987), कैसाती और वर्ज़ी (1999) और होव्दा (2008) कई मेरियोलॉजिकल प्रणालियों का वर्णन करते हैं जिनके स्वयंसिद्ध उपरोक्त सूची से लिए गए हैं। हम कासाती और वर्ज़ी के बोल्डफेस नामकरण को अपनाते हैं। इस प्रकार की सबसे प्रसिद्ध प्रणाली वह है जिसे शास्त्रीय विस्तारक मेरियोलॉजी कहा जाता है, जिसे इसके पश्चात संक्षिप्त रूप में 'सीईएम' कहा जाएगा (अन्य संक्षिप्त रूपों को नीचे समझाया गया है)। 'सीईएम' में, 'P.1' से 'P.8' तक को स्वयंसिद्ध या प्रमेय के रूप में रखा जाता है। M9, ऊपर और नीचे वैकल्पिक हैं।

यदि समुच्चयों को स्वीकार किया जाता है, तो M8 किसी भी गैर-रिक्त समुच्चय के सभी सदस्यों के संलयन के अस्तित्व पर बल देता है। कोई भी मेरियोलॉजिकल प्रणाली जिसमें M8 निर्धारण को ''सामान्य'' कहा जाता है, और इसके नाम में जी भी सम्मिलित है। किसी भी सामान्य मापविज्ञान में, M6 और M7 सिद्ध करने योग्य हैं। विस्तृत मेरियोलॉजी में M8 जोड़ने पर ''सामान्य विस्तृत मेरियोलॉजी'', संक्षिप्त रूप में जीईएम प्राप्त होता है; इसके अतिरिक्त, विस्तारशीलता संलयन को अद्वितीय बनाती है। इसके विपरीत, यद्यपि, यदि M8 द्वारा अनुरोध किए गए संलयन को अद्वितीय माना जाता है, ताकि M8' M8 का स्थान ले, तो - जैसा कि टार्स्की (1929) ने दिखाया था - M3 और M8' जीईएम को स्वयंसिद्ध करने के लिए पर्याप्त हैं, जो उल्लेखनीय बहुमूल्य परिणाम है। सिमंस (1987: 38-41) कई जीईएम प्रमेयों को सूचीबद्ध करता है।

समुच्चय सिद्धांत में उपसमुच्चय की धारणा पूर्ण रूप से मेरोलॉजी में उपभाग की धारणा के समान नहीं है। स्टैनिस्लाव लेस्निविस्की ने समुच्चय सिद्धांत को नाममात्रवाद से संबंधित होने के रूप में निरस्त कर दिया, परन्तु उसके समान नहीं था।<ref>{{Cite SEP |url-id=nominalism-metaphysics |title=तत्वमीमांसा में नाममात्रवाद|edition=Summer 2019 |last=Rodriguez-Pereyra |first=Gonzalo |date=1 April 2015}}</ref> लंबे समय तक, लगभग सभी दार्शनिकों और गणितज्ञों ने मात्रिकी से परिवर्जन किया, इसे समुच्चय सिद्धांत की अस्वीकृति के समान माना। गुडमैन भी नाममात्रवादी थे, और उनके साथी नाममात्रवादी रिचर्ड मिल्टन मार्टिन ने 1941 से प्रारंभ होकर, अपनी पूर्ण वृत्ति में व्यक्तियों की गणना के संस्करण का उपयोग किया था।

समुच्चय सिद्धांत का उपयोग किए बिना गणित खोजने के प्रयासों के सर्वेक्षण के लिए, बर्गेस और रोसेन (1997) देखें।

[[डेविड लुईस (दार्शनिक)]] (1991) अनौपचारिक रूप से दिखाते हुए आगे बढ़े कि मात्रिक विज्ञान, कुछ सत्तामूलक रूप से मान्यताओं और [[बहुवचन परिमाणीकरण]] और एकल (गणित) के विषय में कुछ उपन्यास तर्क से संवर्धित, एक ऐसी प्रणाली उत्पन्न करता है जिसमें एक दिया गया व्यक्ति किसी अन्य व्यक्ति के भाग और उपसमूह दोनों हो सकते है। परिणामी प्रणालियों में विभिन्न प्रकार के समुच्चय सिद्धांत की व्याख्या की जा सकती है। उदाहरण के लिए, [[ZFC|जेडएफसी]] के सिद्धांतों को कुछ अतिरिक्त मात्रिक मान्यताओं के आधार पर सिद्ध किया जा सकता है।

हसरल ने कभी यह अनुरोध नहीं किया कि गणित को समुच्चय सिद्धांत के अतिरिक्त आंशिक-संपूर्ण पर आधारित किया जा सकता है या होना चाहिए। लेस्निविस्की ने विचार पूर्वक [[गणित की नींव]] के रूप में सिद्धांत को स्थापित करने के विकल्प के रूप में अपनी मात्रिकी निकाली, परन्तु विवरण पर कार्य नहीं किया। गुडमैन और डब्ल्यू.वी.ओ. क्वीन (1947) ने व्यक्तियों की गणना का उपयोग करके [[प्राकृतिक संख्या]]एं और [[वास्तविक संख्या]]एं विकसित करने का प्रयास किया, परन्तु अधिकांशतः असफल रहे; क्विन ने अपने चयनित तर्क लेख में उस लेख को दोबारा नहीं मुद्रित किया था। अपने जीवन के अंतिम दशक में प्रकाशित पुस्तकों के अध्यायों की श्रृंखला में, रिचर्ड मिल्टन मार्टिन ने वह कार्य करने का संकल्प किया जिसे गुडमैन और क्वीन ने 30 वर्ष पूर्व छोड़ दिया था। मात्रविज्ञान में गणित को आधार बनाने के प्रयासों के साथ आवर्ती समस्या यह है कि क्रमबद्ध जोड़ी की समुच्चय-सैद्धांतिक परिभाषाओं से संयम करते हुए [[संबंध (गणित)]] के सिद्धांत का निर्माण कैसे किया जाए। मार्टिन ने तर्क दिया कि एबरले (1970) के संबंधपरक व्यक्तियों के सिद्धांत ने इस समस्या का हल किया।

बंट (1985), प्राकृतिक भाषा के शब्दार्थ का अध्ययन, दिखाता है कि मात्रिक विज्ञान द्रव्यमान-गणना भेद और [[व्याकरणिक पहलू|व्याकरणिक गुण]] जैसी घटनाओं को समझने में कैसे सहायता कर सकता है। परन्तु निकोलस (2008) का तर्क है कि उस उद्देश्य के लिए बहुवचन परिमाणीकरण नामक अलग तार्किक संरचना का उपयोग किया जाना चाहिए। इसके अतिरिक्त, [[प्राकृतिक भाषा]] प्रायः अस्पष्ट विधियों से कार्य करती है (साइमन्स 1987 इस पर विस्तार से चर्चा करता है)। इसलिए, यह स्पष्ट नहीं है कि कैसे, यदि कोई हो, तो कुछ प्राकृतिक भाषा अभिव्यक्तियों को मात्रिक विधेय में अनुवादित किया जा सकता है। ऐसी कठिनाइयों से बचने के लिए मात्र विज्ञान की व्याख्या को गणित और [[प्राकृतिक विज्ञान]] तक सीमित करने की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए, कासाती और वर्ज़ी (1999), मात्रिकी के क्षेत्र को [[भौतिक वस्तु|भौतिक वस्तुओं]] तक सीमित करते हैं।

तत्वमीमान्सा में भागों और पूर्ण से संबंधित कई आकुल करने वाले प्रश्न हैं। प्रश्न संविधान और निरति को संबोधित करता है, दूसरा रचना के विषय में पूछता है।

मूर्ति और मिट्टी का ढेर: साधारणतया, मूर्तिकार मिट्टी के ढेर से मूर्ति बनाने का निर्णय लेता है। समय 1 पर मूर्तिकार के निकट मिट्टी का ढेर होता है। समय t2 पर कई जोड़-तोड़ के पश्चात मूर्ति है। पूछा गया प्रश्न यह है कि क्या मिट्टी का ढेर और मूर्ति (संख्यात्मक रूप से) समान हैं? यदि ऐसा है, तो कैसे और क्यों?<ref>{{Cite journal|last=Rea|first=Michael|year=1995|title=भौतिक संविधान की समस्या|journal=The Philosophical Review|volume=104|issue=4|pages=525–552|doi=10.2307/2185816|jstor=2185816}}</ref>