मेरियोलॉजी: Difference between revisions

{{Distinguish|मेरियोलॉजी}}[[गणितीय तर्क]], [[दर्शन]] और संबंधित क्षेत्रों में, मात्रिकी ({{etymology|ग्रीक|μέρος|भाग}} (मूल: {{lang|grc|μερε-}}, मात्र-, 'भाग') और प्रत्यय-विज्ञान, 'अध्ययन, चर्चा, विज्ञान') भागों और उनसे बनने वाले संपूर्ण का अध्ययन है। जबकि समुच्चय सिद्धांत [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] और उसके [[तत्व (गणित)|अवयव (गणित)]] के बीच सदस्यता संबंध पर स्थापित किया गया है, मेरियोलॉजी इकाइयों के बीच [[मेरोनॉमी]] संबंध पर बल देती है, जो समुच्चय-सैद्धांतिक दृष्टिकोण से- समुच्चय के बीच [[समावेशन (सेट सिद्धांत)|समावेशन (समुच्चय सिद्धांत)]] की अवधारणा के निकट है।

[[औपचारिक ऑन्टोलॉजी|औपचारिक तात्विकी]] में [[विधेय तर्क]] के अनुप्रयोगों के रूप में मेरियोलॉजी की विभिन्न विधियों से खोज की गई है, जिनमें से प्रत्येक में मेरियोलॉजी महत्वपूर्ण भाग है। इनमें से प्रत्येक क्षेत्र मेरियोलॉजी की अपनी [[स्वयंसिद्ध परिभाषा]] प्रदान करती है। इस प्रकार से ऐसी स्वयंसिद्ध प्रणाली का सामान्य अवयव स्वयंसिद्धीकरण यह धारणा है, जिसे समावेशन के साथ साझा किया जाता है, कि आंशिक-संपूर्ण संबंध अपने ब्रह्मांड को आंशिक रूप से व्यवस्थित करता है, जिसका अर्थ है कि सब कुछ स्वयं का भाग है (प्रतिवर्ती संबंध), जो कि संपूर्ण के भाग का भाग है स्वयं उस संपूर्ण ([[सकर्मक संबंध]]) का भाग है, और दो अलग-अलग संस्थाएं एक-दूसरे ([[एंटीसिमेट्रिक संबंध|प्रतिसममिति संबंध]]) का भाग नहीं हो सकती हैं, इस प्रकार [[पोसेट|क्रमित समुच्चय]] बनता है। इस स्वयंसिद्धीकरण का प्रकार इस बात से मना करता है कि सकर्मकता को स्वीकार करते समय कोई भी वस्तु कभी भी स्वयं का भाग (अप्रतिक्रियाशीलता) होती है, जिससे प्रतिसममिति स्वचालित रूप से अनुसरण करती है।

इस प्रकार से [[सामान्य सिस्टम सिद्धांत|सामान्य पद्धति सिद्धांत]] में, 'मेरियोलॉजी' पद्धति के अपघटन और भागों, संपूर्णताओं और सीमाओं पर औपचारिक कार्य को संदर्भित करता है (उदाहरण के लिए, मिहाजलो डी. मेसारोविक (1970), [[गेब्रियल क्रोन]] (1963), या मौरिस जेसल (बौडेन देखें (1989, 1998))) आदि। गेब्रियल क्रोन के नेटवर्क टियरिंग का श्रेणीबद्ध संस्करण कीथ बोडेन (1991) द्वारा प्रकाशित किया गया था, जो [[गंक (मेरियोलॉजी)]] पर डेविड लुईस के विचारों को दर्शाता है। ऐसे विचार सैद्धांतिक [[कंप्यूटर विज्ञान]] और [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में दिखाई देते हैं, प्रायः शीफ सिद्धांत, [[टोपोस]] के संयोजन में, या [[श्रेणी सिद्धांत]] आदि। कंप्यूटर विज्ञान में विशिष्टताओं पर [[स्टीव विकर्स (कंप्यूटर वैज्ञानिक)]], भौतिक प्रणालियों पर [[जोसेफ गोगुएन]] और लिंक सिद्धांत और [[क्वांटम यांत्रिकी]] पर टॉम एटर (1996, 1998) का कार्य भी देखें।

स्टैनिस्लाव लेस्निविस्की ने 1927 में ग्रीक शब्द μέρος (मेरोस, भाग) से मेरियोलॉजी गढ़ी, जो कि आंशिक-संपूर्ण के औपचारिक सिद्धांत को संदर्भित करता है, जिसे उन्होंने 1916 और 1931 के बीच प्रकाशित उच्च तकनीकी लेखों की श्रृंखला में तैयार किया था, और लेस्निविस्की (1992) में अनुवादित किया गया था। इस प्रकार से लेस्निविस्की के छात्र [[अल्फ्रेड टार्स्की]] ने वुडगर (1937) के अपने परिशिष्ट ई और टार्स्की (1984) के रूप में अनुवादित लेख में लेस्निविस्की की औपचारिकता को बहुत सरल बना दिया था। लेस्निविस्की के अन्य छात्रों (और छात्रों के छात्रों) ने 20वीं शताब्दी के समय इस पोलिश मेरियोलॉजी को विस्तृत किया। पोलिश मेरियोलॉजी पर साहित्य के ठीक चयन के लिए, श्रीज़ेडनिकी और रिकी (1984) देखें। पोलिश मेरियोलॉजी के सर्वेक्षण के लिए, सिमंस (1987) देखें। यद्यपि, 1980 या उसके बाद से, पोलिश मेरियोलॉजी पर शोध लगभग पूर्ण रूप से ऐतिहासिक प्रकृति का रहा है।

ए.एन. व्हाइटहेड ने [[ज्यामिति]] पर [[गणितीय सिद्धांत]] के चौथे खंड की योजना बनाई, परन्तु इसे कभी नहीं लिखा था। इस प्रकार से [[बर्ट्रेंड रसेल]] के साथ उनके 1914 के पत्राचार से ज्ञात होता है कि ज्यामिति के प्रति उनके इच्छित दृष्टिकोण को, दूरदर्शिता के लाभ के साथ, संक्षेप में मेरियोलॉजिकल के रूप में देखा जा सकता है। यह कार्य व्हाइटहेड (1916) और व्हाइटहेड के मेरियोलॉजिकल पद्धति (1919, 1920) में समाप्त हुआ था।

1930 में, हेनरी एस. लियोनार्ड ने हार्वर्ड पीएच.डी. पूर्ण की थी। दर्शनशास्त्र में शोध प्रबंध, भाग-संपूर्ण संबंध का औपचारिक सिद्धांत स्थापित करना। यह [[नेल्सन गुडमैन]] और लियोनार्ड (1940) के व्यक्तियों की गणना में विकसित हुआ। गुडमैन ने गुडमैन (1951) के तीन संस्करणों में इस गणना को संशोधित और विस्तृत किया। व्यक्तियों की गणना 1970 के पश्चात तर्कशास्त्रियों, तात्विकीविद् और कंप्यूटर वैज्ञानिकों के बीच मेरियोलॉजी के पुनरुद्धार के लिए प्रारंभिक बिंदु है, पुनरुद्धार जिसका सिमंस (1987), कासाती और वर्ज़ी (1999), और कॉटनॉयर और वर्ज़ी (2021) में ठीक रूप से सर्वेक्षण किया गया है।

इस प्रकार से प्रतिवर्ती: मेरियोलॉजिकल पद्धति को परिभाषित करने में मूलभूत विकल्प यह है कि क्या वस्तुओं को स्वयं का भाग माना जाए। [[अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत]] में समान प्रश्न उठता है: क्या किसी समुच्चय को स्वयं का उपसमुच्चय माना जाना चाहिए। दोनों स्थितियों में, हाँ रसेल के विरोधाभास के अनुरूप विरोधाभासों को जन्म देता है: मान लीजिए कि वस्तु O है, जैसे कि प्रत्येक वस्तु जो स्वयं का उचित भाग नहीं है, वह O का उचित भाग है। क्या O स्वयं का उचित भाग है? नहीं, क्योंकि कोई भी वस्तु स्वयं का उचित भाग नहीं है; और हाँ, क्योंकि यह O के उचित भाग के रूप में सम्मिलित करने के लिए निर्दिष्ट आवश्यकता को पूर्ण करता है। समुच्चय सिद्धांत में, समुच्चय को प्रायः स्वयं का ''अनुचित'' उपसमुच्चय कहा जाता है। ऐसे विरोधाभासों को देखते हुए, मेरोलॉजी को स्वयंसिद्ध सूत्रीकरण की आवश्यकता होती है।

निम्न दिया गया उपचार, शब्दावली और पदानुक्रमित संगठन कासाती और वर्ज़ी (1999: अध्याय 3) का स्पष्टता से अनुसरण करता है। कुछ मिथ्या धारणा को दूर करने वाले नवीनतम उपचार के लिए, होव्डा (2008) देखें। छोटे अक्षर वस्तुओं पर चर को दर्शाते हैं। प्रत्येक प्रतीकात्मक स्वयंसिद्ध या परिभाषा के पश्चात कासाती और वर्ज़ी में संबंधित सूत्र की संख्या बोल्ड में लिखी गई है।

एक मेरियोलॉजिकल प्रणाली के लिए कम से कम आदिम बाइनरी संबंध (युग्मकीय विधेय (तर्क)) की आवश्यकता होती है। ऐसे संबंध के लिए सबसे पारंपरिक विकल्प भाग हुड (जिसे समावेशन भी कहा जाता है) है, ''x'' ''y'' का ''भाग'' है, जिसे ''Pxy'' लिखा जाता है। लगभग सभी प्रणालियों को ब्रह्मांड को आंशिक रूप से व्यवस्थित करने की आवश्यकता होती है। निम्नलिखित परिभाषित संबंध, नीचे दिए गए स्वयंसिद्धों के लिए आवश्यक हैं, अकेले भाग हुड से तुरंत अनुसरण करते हैं:

*एक तत्काल परिभाषित [[विधेय (तर्क)]] है x ''y'' का उचित भाग है, जिसे ''PPxy'' लिखा गया है, जो मानता है (अर्थात, संतुष्ट है, सत्य निकलता है) यदि ''Pxy'' सत्य है और ' '''Pyx''<nowiki/>' असत्य है। भाग हुड (जो आंशिक क्रम है) की तुलना में, उचित भाग निश्चित आंशिक क्रम है।

प्रणालियाँ इस बात में भिन्न होती हैं कि वे किन संबंधों को आदिम और परिभाषित मानते हैं। उदाहरण के लिए, विस्तारित मेरियोलॉजीज़ (नीचे परिभाषित) में, भाग हुड को अतिव्यापत से निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:

अभिगृहीत हैं:

:<math>(Pxy \land  Pyx) \rightarrow x = y.</math> P .2

:<math>(Pxy \land Pyz) \rightarrow Pxz.</math> P 3

:<math>PPxy \rightarrow \exists z[Pzy \land \lnot Ozx].</math> P 4

:<math>\lnot Pyx \rightarrow \exists z[Pzy \land \lnot Ozx].</math> P 5

:<math>\lnot Pxy \rightarrow \exists z[Pzx \land \lnot Ozy \land \lnot \exists v [PPvz]].</math> P.5'

:<math>Uxy \rightarrow \exists z \forall v [Ovz \leftrightarrow (Ovx \lor Ovy)].</math> P 6

:<math>Oxy \rightarrow \exists z \forall v [Pvz \leftrightarrow (Pvx \land Pvy)].</math> P 7

:<math>\exists x [\phi(x)] \to \exists z \forall y [Oyz \leftrightarrow \exists x[\phi (x) \land Oyx]].</math> P 8

इस प्रकार से सिमंस (1987), कैसाती और वर्ज़ी (1999) और होव्दा (2008) कई मेरियोलॉजिकल प्रणालियों का वर्णन करते हैं जिनके स्वयंसिद्ध उपरोक्त सूची से लिए गए हैं। हम कासाती और वर्ज़ी के बोल्डफेस नामकरण को अपनाते हैं। इस प्रकार की सबसे प्रसिद्ध प्रणाली वह है जिसे शास्त्रीय विस्तारक मेरियोलॉजी कहा जाता है, जिसे इसके पश्चात संक्षिप्त रूप में 'सीईएम' कहा जाएगा (अन्य संक्षिप्त रूपों को नीचे समझाया गया है)। 'सीईएम' में, 'P.1' से 'P.8' तक को स्वयंसिद्ध या प्रमेय के रूप में रखा जाता है। M9, ऊपर और नीचे वैकल्पिक हैं।

नीचे दी गई तालिका में पद्धति समावेशन (समुच्चय सिद्धांत) द्वारा आंशिक क्रम में हैं, इस अर्थ में कि, यदि पद्धति ए की सभी प्रमेय भी पद्धति बी की प्रमेय हैं, परन्तु बातचीत [[तार्किक सत्य]] नहीं है, तो बी में ए सम्मिलित है। परिणामी [[हस्से आरेख]] कासाती और वर्ज़ी (1999:48) में चित्र 3.2 के समान है।

यह अनुरोध करने की दो समान विधियाँ हैं कि ब्रह्मांड आंशिक क्रम है: या तो M 1-M 3 मान लें, या कि उचित भाग हुड सकर्मक संबंध और [[असममित संबंध]] है, इसलिए निश्चित आंशिक क्रम है। पद्धति M में या तो स्वयंसिद्धीकरण का परिणाम होता है। M 2 भाग हुड का उपयोग करके गठित संवृत पाशों को निरस्त कर देता है, ताकि भाग संबंध ठीक रूप से स्थापित हो। यदि नियमितता के सिद्धांत को मान लिया जाए तो समुच्चय ठीक रूप से स्थापित होते हैं। साहित्य में भाग हुड की परिवर्तनशीलता पर कभी-कभी दार्शनिक और सामान्य ज्ञान की आपत्तियां सम्मिलित होती हैं।

M4 और M5 पूरकता पर बल देने की दो विधियाँ हैं, समुच्चय [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरक (समुच्चय सिद्धांत)]] एशन का मेरियोलॉजिकल एनालॉग, M5 निश्चित है क्योंकि M4 M5 से व्युत्पन्न है। M और M4 ''न्यूनतम'' मेरियोलॉजी, MM उत्पन्न करते हैं। उचित भाग के संदर्भ में पुनर्निर्मित, एमएम सिमंस (1987) की चयनित न्यूनतम प्रणाली है।

किसी भी प्रणाली में जिसमें M5 या M5' माना जाता है या प्राप्त किया जा सकता है, तो यह सिद्ध किया जा सकता है कि समान उचित भागों वाली दो वस्तुएं समान हैं। इस गुण को ''विस्तारकता'' के रूप में जाना जाता है, समुच्चय सिद्धांत से ऋण लिया गया शब्द, जिसके लिए [[विस्तारशीलता]] का सिद्धांत परिभाषित स्वयंसिद्ध है। मेरियोलॉजिकल प्रणालियां जिनमें विस्तारात्मकता बनाए रखता है, उन्हें ''विस्तृत'' कहा जाता है, तथ्य जो उनके प्रतीकात्मक नामों में अक्षर ई को सम्मिलित करके दर्शाया गया है।

M6 का अनुरोध है कि किन्हीं दो निम्नव्यापतिंग वस्तुओं का अद्वितीय योग होता है; M7 का अनुरोध है कि किन्हीं दो अतिव्यापी वस्तुओं का अद्वितीय उत्पाद होता है। यदि ब्रह्माण्ड परिमित है या यदि ''शीर्ष'' मान लिया गया है, तो ब्रह्माण्ड ''योग'' के अंतर्गत संवृत है। ''उत्पाद'' के सार्वभौमिक अगम और ''डब्ल्यू'' के सापेक्ष पूरकता के लिए ''निम्न भाग'' की आवश्यकता होती है। ''डब्ल्यू'' और ''एन'', स्पष्ट रूप से, सार्वभौमिक समुच्चय और [[खाली सेट|रिक्त समुच्चय]] के मेरियोलॉजिकल एनालॉग हैं, और ''योग'' और ''उत्पाद'', इसी प्रकार, समुच्चय-सैद्धांतिक संघ (समुच्चय सिद्धांत) और प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) के एनालॉग हैं। यदि M6 और M7 या तो कल्पित हैं या व्युत्पन्न हैं, तो परिणाम अगम के साथ मात्रविज्ञान है।

चूँकि ''योग'' और ''उत्पाद'' बाइनरी संक्रिया हैं, M6 और M7 मात्र सीमित संख्या में वस्तुओं के योग और उत्पाद को स्वीकार करते हैं। ''अप्रतिबंधित संलयन'' अभिगृहीत, M8, अनंत रूप से कई वस्तुओं का योग लेने में सक्षम बनाता है। परिभाषित होने पर ''उत्पाद'' के लिए भी यही बात लागू होती है। इस बिंदु पर, मेरियोलॉजी [[प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत)|प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत)]] का आह्वान करती है, परन्तु समुच्चय सिद्धांत का कोई भी पक्ष सूत्र को मुक्त चर के साथ योजनाबद्ध सूत्र द्वारा समुच्चय के ब्रह्मांड में [[परिमाणीकरण (तर्क)]] चर के साथ प्रतिस्थापित करके समाप्त किया जा सकता है। जब भी किसी वास्तु का नाम जो समुच्चय का अवयव (गणित) होता (यदि यह अस्तित्व में होता) मुक्त चर को प्रतिस्थापित करता है, तो सूत्र सत्य हो जाता है (संतुष्ट हो जाता है)। इसलिए समुच्चय वाले किसी भी स्वयंसिद्ध को एक अक परमाणु उपसूत्रों के साथ स्वयंसिद्ध स्कीमा द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। '''M8''' और '''M8'''' इसी प्रकार के स्कीमा हैं। [[प्रथम-क्रम सिद्धांत]] का वाक्य-विन्यास मात्र असंख्य संख्या में समुच्चयों का वर्णन कर सकता है; इसलिए, इस प्रकार से मात्र संख्यात्मक रूप से कई समुच्चयों को हटाया जा सकता है, परन्तु यह सीमा यहां बताए गए गणित के प्रकार के लिए बाध्यकारी नहीं है।

यदि M8 निर्धारित है, तो ''डब्ल्यू'' अनंत ब्रह्मांडों के लिए स्थित है। इसलिए, ''शीर्ष'' को मात्र तभी मानने की आवश्यकता है जब ब्रह्मांड अनंत है और M8 निर्धारित नहीं है। ''शीर्ष'' (''डब्ल्यू'' का अनुमान लगाना) विवादास्पद नहीं है, परन्तु ''निम्न भाग'' (''एन'' का अनुमान लगाना) विवादास्पद है। लेस्निविस्की ने ''निम्न भाग'' को अस्वीकार कर दिया, और अधिकांश मेरियोलॉजिकल प्रणालियाँ उनके उदाहरण का अनुसरण करती हैं ([[रिचर्ड मिल्टन मार्टिन]] का कार्य अपवाद है)। इसलिए, जबकि ब्रह्मांड योग के तहत संवृत है, अतिव्यापत न होने वाली वस्तुओं का उत्पाद सामान्यतः अपरिभाषित होता है। प्रणाली जिसमें ''डब्ल्यू'' है परन्तु ''N'' नहीं है, वह समरूपी है:

यदि समुच्चयों को स्वीकार किया जाता है, तो M8 किसी भी गैर-रिक्त समुच्चय के सभी सदस्यों के संलयन के अस्तित्व पर बल देता है। कोई भी मेरियोलॉजिकल प्रणाली जिसमें M8 निर्धारण को ''सामान्य'' कहा जाता है, और इसके नाम में जी भी सम्मिलित है। इस प्रकार से किसी भी सामान्य मापविज्ञान में, M6 और M7 सिद्ध करने यो�