आदेशित ज्यामिति: Difference between revisions

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'''क्रमबद्ध''' [[ज्यामिति]], ज्यामिति का रूप माना जाता है जिसमें मध्यवर्तीता (या मध्य ) की अवधारणा होती है, जिससे , [[प्रक्षेप्य ज्यामिति]] की तरह, माप की मूल धारणा को छोड़ दिया जाता है। क्रमबद्ध ज्यामिति मौलिक ज्यामिति होती है जोकी एफ़िन ज्यामिति, [[यूक्लिडियन ज्यामिति]], निरपेक्ष ज्यामिति और [[अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति]] (जिससे प्रक्षेप्य ज्यामिति के लिए नहीं) के लिए सामान्य रूपरेखा बनाती है।
'''क्रमबद्ध''' [[ज्यामिति]], ज्यामिति का रूप माना जाता है जिसमें मध्यवर्तीता (या मध्य ) की अवधारणा होती है, जिससे , [[प्रक्षेप्य ज्यामिति]] की तरह, माप की मूल धारणा को छोड़ दिया जाता है। क्रमबद्ध ज्यामिति मौलिक ज्यामिति होती है जोकी एफ़िन ज्यामिति, [[यूक्लिडियन ज्यामिति]], निरपेक्ष ज्यामिति और [[अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति]] (जिससे प्रक्षेप्य ज्यामिति के लिए नहीं) के लिए सामान्य रूपरेखा बनाती है।  


==इतिहास==
==इतिहास ==
इस प्रकार से [[मोरिट्ज़ पास्च]] ने प्रथम समय जब 1882 में माप के संदर्भ के बिना ज्यामिति को परिभाषित किया गया था। और उनके सिद्धांतों में ग्यूसेप पीनो (1889), [[डेविड हिल्बर्ट]] (1899) और [[ओसवाल्ड वेब्लेन]] (1904) द्वारा सुधार किया गया था।<ref name=Coxeter69>{{cite book | last=Coxeter | first=H.S.M. | author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | title=ज्यामिति का परिचय| url=https://archive.org/details/introductiontoge0002coxe | url-access=registration | edition=2nd | publisher=[[John Wiley and Sons]] | year=1969 | isbn=0-471-18283-4 | zbl=0181.48101 }}</ref>{{rp|176}} [[यूक्लिड]] ने तत्वों की परिभाषा 4 में पास्च के दृष्टिकोण का अनुमान लगाया है की सीधी रेखा वह रेखा है जो अपने आप पर बिंदुओं के साथ समान रूप से स्थित होती है।<ref>{{cite book | last=Heath | first=Thomas | author-link=Thomas Little Heath | pages=[https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl/page/165 165] | title=यूक्लिड के तत्वों की तेरह पुस्तकें (खंड 1)| location=New York | publisher=[[Dover Publications]] | year=1956 | orig-year=1925 | isbn=0-486-60088-2 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl/page/165 }}</ref>
इस प्रकार से [[मोरिट्ज़ पास्च]] ने प्रथम समय जब 1882 में माप के संदर्भ के बिना ज्यामिति को परिभाषित किया गया था। और उनके सिद्धांतों में ग्यूसेप पीनो (1889), [[डेविड हिल्बर्ट]] (1899) और [[ओसवाल्ड वेब्लेन]] (1904) द्वारा सुधार किया गया था।<ref name=Coxeter69>{{cite book | last=Coxeter | first=H.S.M. | author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | title=ज्यामिति का परिचय| url=https://archive.org/details/introductiontoge0002coxe | url-access=registration | edition=2nd | publisher=[[John Wiley and Sons]] | year=1969 | isbn=0-471-18283-4 | zbl=0181.48101 }}</ref>{{rp|176}} [[यूक्लिड]] ने तत्वों की परिभाषा 4 में पास्च के दृष्टिकोण का अनुमान लगाया है की सीधी रेखा वह रेखा है जो अपने आप पर बिंदुओं के साथ समान रूप से स्थित होती है।<ref>{{cite book | last=Heath | first=Thomas | author-link=Thomas Little Heath | pages=[https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl/page/165 165] | title=यूक्लिड के तत्वों की तेरह पुस्तकें (खंड 1)| location=New York | publisher=[[Dover Publications]] | year=1956 | orig-year=1925 | isbn=0-486-60088-2 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl/page/165 }}</ref>  
==प्राचीन अवधारणाएँ==
==प्राचीन अवधारणाएँ ==
इस प्रकार से क्रमबद्ध ज्यामिति में एकमात्र [[आदिम धारणा|प्राचीन धारणा]]एँ [[बिंदु (ज्यामिति)]] A, B, C, ... और मध्यवर्तीता का त्रिक संबंध [''ABC''] हैं जिन्हें "B , A और ''C''" के मध्य है" के रूप में पढ़ा जा सकता है।
इस प्रकार से क्रमबद्ध ज्यामिति में एकमात्र [[आदिम धारणा|प्राचीन धारणा]]एँ [[बिंदु (ज्यामिति)]] A, B, C, ... और मध्यवर्तीता का त्रिक संबंध [''ABC''] हैं जिन्हें "B , A और ''C''" के मध्य है" के रूप में पढ़ा जा सकता है।  


==परिभाषाएँ==
==परिभाषाएँ ==


खंड AB, बिंदुओं P का समुच्चय इस प्रकार है कि [APB]।
खंड AB, बिंदुओं P का समुच्चय इस प्रकार है कि [APB]।  


अंतराल AB खंड AB और इसके अंतिम बिंदु A और B हैं
अंतराल AB खंड AB और इसके अंतिम बिंदु A और B हैं  


किरण ''A''/''B'' ("Aसे B से दूर किरण" के रूप में पढ़ा जाता है) बिंदु ''P'' का सेट है जैसे कि [''PAB'']।
किरण ''A''/''B'' ("Aसे B से दूर किरण" के रूप में पढ़ा जाता है) बिंदु ''P'' का सेट है जैसे कि [''PAB'']।  


रेखा AB अंतराल AB और दो किरणें A/B और B/A है। रेखा AB पर बिंदु संरेख कहलाते हैं।
रेखा AB अंतराल AB और दो किरणें A/B और B/A है। रेखा AB पर बिंदु संरेख कहलाते हैं।  


एक कोण में एक बिंदु O (शीर्ष) और O (भुजाओं) से निकलने वाली दो असंरेख किरणें होती हैं।
एक कोण में एक बिंदु O (शीर्ष) और O (भुजाओं) से निकलने वाली दो असंरेख किरणें होती हैं।  


एक त्रिभुज तीन असंरेख बिंदुओं (जिन्हें शीर्ष कहा जाता है) और उनके तीन खंडों AB, ''BC'' और ''CA'' द्वारा दिया जाता है।
एक त्रिभुज तीन असंरेख बिंदुओं (जिन्हें शीर्ष कहा जाता है) और उनके तीन खंडों AB, ''BC'' और ''CA'' द्वारा दिया जाता है।  


यदि तीन बिंदु A, B, और C असंरेख हैं, तो एक समतल ABC त्रिभुज ABC की एक या दो भुजाओं के बिंदुओं के जोड़े के साथ संरेख वाले सभी बिंदुओं का समूह है।
यदि तीन बिंदु A, B, और C असंरेख हैं, तो एक समतल ABC त्रिभुज ABC की एक या दो भुजाओं के बिंदुओं के जोड़े के साथ संरेख वाले सभी बिंदुओं का समूह है।  


यदि चार बिंदु ''A'', ''B'', ''C'', और ''D'' गैर-समतलीय हैं, तो एक स्थान (3-स्थान) ''ABCD'' [[ चतुर्पाश्वीय |चतुर्पाश्वीय]] के चार चेहरों (तलीय क्षेत्रों) में से किसी एक से चुने गए बिंदुओं के जोड़े के साथ संरेख वाले सभी बिंदुओं का सेट है। ''ABCD''।
यदि चार बिंदु ''A'', ''B'', ''C'', और ''D'' गैर-समतलीय हैं, तो एक स्थान (3-स्थान) ''ABCD'' [[ चतुर्पाश्वीय |चतुर्पाश्वीय]] के चार चेहरों (तलीय क्षेत्रों) में से किसी एक से चुने गए बिंदुओं के जोड़े के साथ संरेख वाले सभी बिंदुओं का सेट है। ''ABCD''।  


==क्रमित ज्यामिति के अभिगृहीत==
==क्रमित ज्यामिति के अभिगृहीत ==
# कम से कम दो बिंदु उपस्तिथ होते हैं.
# कम से कम दो बिंदु उपस्तिथ होते हैं.  
# यदि Aऔर B अलग-अलग बिंदु हैं, तो C उपस्तिथ है जैसे कि [ABC ]।
# यदि Aऔर B अलग-अलग बिंदु हैं, तो C उपस्तिथ है जैसे कि [ABC ]।  
# यदि [ABC ], तो A और C अलग-अलग हैं (''A'' ≠ ''C'')।
# यदि [ABC ], तो A और C अलग-अलग हैं (''A'' ≠ ''C'')।  
# यदि [ABC ], तो [''CBA''] जिससे नहीं [''CAB'']।
# यदि [ABC ], तो [''CBA''] जिससे नहीं [''CAB'']।  
# यदि C और D रेखा AB पर अलग-अलग बिंदु हैं, तो A रेखा CD पर है।
# यदि C और D रेखा AB पर अलग-अलग बिंदु हैं, तो A रेखा CD पर है।  
# यदि AB एक रेखा है, तो एक बिंदु C है जो रेखा AB पर नहीं है।
# यदि AB एक रेखा है, तो एक बिंदु C है जो रेखा AB पर नहीं है।  
# ([[पास्च का अभिगृहीत]]) यदि ABC त्रिभुज है और [BCD] और [CEA] है, तो रेखा DE पर बिंदु F उपस्तिथ है जिसके लिए [AFB] है।
# ([[पास्च का अभिगृहीत]]) यदि ABC त्रिभुज है और [BCD] और [CEA] है, तो रेखा DE पर बिंदु F उपस्तिथ है जिसके लिए [AFB] है।  
# आयामीता का सिद्धांत:
# आयामीता का सिद्धांत:  
## समतलीय क्रमित ज्यामिति के लिए, सभी बिंदु एक ही तल में हैं। या
## समतलीय क्रमित ज्यामिति के लिए, सभी बिंदु एक ही तल में हैं। या  
## यदि ABC समतल है, तो समतल ABC में बिंदु D उपस्तिथ नहीं है।
## यदि ABC समतल है, तो समतल ABC में बिंदु D उपस्तिथ नहीं है।  
# सभी बिंदु ही तल, स्थान आदि में हैं (यह उस आयाम पर निर्भर करता है जिसके अन्दर कोई काम करना चाहता है)।
# सभी बिंदु ही तल, स्थान आदि में हैं (यह उस आयाम पर निर्भर करता है जिसके अन्दर कोई काम करना चाहता है)।  
# (डेडेकाइंड का अभिगृहीत) रेखा पर सभी बिंदुओं के प्रत्येक विभाजन को दो गैर-रिक्त सेटों में इस प्रकार विभाजित करने के लिए कि दोनों में से कोई भी बिंदु दूसरे के दो बिंदुओं के मध्य स्थित न हो, यह सेट का बिंदु होता है जोकी और दूसरे सेट का हर बिंदु उस सेट के हर दूसरे बिंदु के मध्य स्थित होता है ।
# (डेडेकाइंड का अभिगृहीत) रेखा पर सभी बिंदुओं के प्रत्येक विभाजन को दो गैर-रिक्त सेटों में इस प्रकार विभाजित करने के लिए कि दोनों में से कोई भी बिंदु दूसरे के दो बिंदुओं के मध्य स्थित न हो, यह सेट का बिंदु होता है जोकी और दूसरे सेट का हर बिंदु उस सेट के हर दूसरे बिंदु के मध्य स्थित होता है ।  


इस प्रकार से यह अभिगृहीत हिल्बर्ट के अभिगृहीत से निकटता से संबंधित हैं। और ऑर्डर हिल्बर्ट के ऑर्डर के सिद्धांत क्रमित ज्यामिति के स्वयंसिद्धीकरण के व्यापक सर्वेक्षण के लिए विक्टर (2011) देखें गए थे ।<ref>{{cite journal | last = Pambuccian | first = Victor | doi = 10.1016/j.exmath.2010.09.004 | journal = Expositiones Mathematicae | pages = 24–66 | title = The axiomatics of ordered geometry: I. Ordered incidence spaces | volume = 29 | year = 2011| doi-access = free }}</ref>
इस प्रकार से यह अभिगृहीत हिल्बर्ट के अभिगृहीत से निकटता से संबंधित हैं। और ऑर्डर हिल्बर्ट के ऑर्डर के सिद्धांत क्रमित ज्यामिति के स्वयंसिद्धीकरण के व्यापक सर्वेक्षण के लिए विक्टर (2011) देखें गए थे ।<ref>{{cite journal | last = Pambuccian | first = Victor | doi = 10.1016/j.exmath.2010.09.004 | journal = Expositiones Mathematicae | pages = 24–66 | title = The axiomatics of ordered geometry: I. Ordered incidence spaces | volume = 29 | year = 2011| doi-access = free }}</ref>  
==परिणाम==
==परिणाम ==


===सिल्वेस्टर की संरेख बिंदुओं की समस्या===
===सिल्वेस्टर की संरेख बिंदुओं की समस्या ===
अतः सिल्वेस्टर-गैलाई प्रमेय को क्रमबद्ध ज्यामिति के अन्दर सिद्ध किया जा सकता है।<ref>{{cite journal | last = Pambuccian | first = Victor | journal = Notre Dame Journal of Formal Logic | pages = 245–260 | title = A Reverse Analysis of the Sylvester–Gallai Theorem | volume = 50 | year = 2009 | issue = 3 | zbl=1202.03023 | doi=10.1215/00294527-2009-010| doi-access = free }}</ref><ref name=Coxeter69/>{{rp|181,2}}
अतः सिल्वेस्टर-गैलाई प्रमेय को क्रमबद्ध ज्यामिति के अन्दर सिद्ध किया जा सकता है।<ref>{{cite journal | last = Pambuccian | first = Victor | journal = Notre Dame Journal of Formal Logic | pages = 245–260 | title = A Reverse Analysis of the Sylvester–Gallai Theorem | volume = 50 | year = 2009 | issue = 3 | zbl=1202.03023 | doi=10.1215/00294527-2009-010| doi-access = free }}</ref><ref name=Coxeter69/>{{rp|181,2}}  


===समानांतरता===
===समानांतरता ===
किन्तु [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]], जानोस बोल्याई और [[निकोलाई लोबचेव्स्की]] ने [[समानांतर अभिधारणा]] की धारणा विकसित की जिसे क्रमबद्ध ज्यामिति में व्यक्त किया जा सकता है।<ref name=Coxeter69/>{{rp|189,90}}
किन्तु [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]], जानोस बोल्याई और [[निकोलाई लोबचेव्स्की]] ने [[समानांतर अभिधारणा]] की धारणा विकसित की जिसे क्रमबद्ध ज्यामिति में व्यक्त किया जा सकता है।<ref name=Coxeter69/>{{rp|189,90}}  


प्रमेय (समानांतरता का अस्तित्व): एक बिंदु ''A'' और एक रेखा r को देखते हुए, ''A'' से होकर नहीं, समतल ''Ar'' में ''A'' से बिल्कुल दो सीमित किरणें उपस्तिथ हैं जो ''r'' से नहीं मिलती हैं। तो ''A'' से होकर एक समानांतर रेखा है जो ''r'' से नहीं मिलती है।
प्रमेय (समानांतरता का अस्तित्व): एक बिंदु ''A'' और एक रेखा r को देखते हुए, ''A'' से होकर नहीं, समतल ''Ar'' में ''A'' से बिल्कुल दो सीमित किरणें उपस्तिथ हैं जो ''r'' से नहीं मिलती हैं। तो ''A'' से होकर एक समानांतर रेखा है जो ''r'' से नहीं मिलती है।  


समांतरता का [[सकर्मक संबंध]] क्रमबद्ध ज्यामिति में सिद्ध नहीं किया जा सकता है।<ref>{{cite book | last=Busemann | first=Herbert | pages=139 | title=जियोडेसिक्स की ज्यामिति| location=New York | publisher=[[Academic Press]] | year=1955 | zbl=0112.37002 | series=Pure and Applied Mathematics | volume=6 | isbn=0-12-148350-9 }}</ref> इसलिए, समानता की "क्रमबद्ध" अवधारणा रेखाओं पर तुल्यता संबंध नहीं बनाती है।
समांतरता का [[सकर्मक संबंध]] क्रमबद्ध ज्यामिति में सिद्ध नहीं किया जा सकता है।<ref>{{cite book | last=Busemann | first=Herbert | pages=139 | title=जियोडेसिक्स की ज्यामिति| location=New York | publisher=[[Academic Press]] | year=1955 | zbl=0112.37002 | series=Pure and Applied Mathematics | volume=6 | isbn=0-12-148350-9 }}</ref> इसलिए, समानता की "क्रमबद्ध" अवधारणा रेखाओं पर तुल्यता संबंध नहीं बनाती है।  


==यह भी देखें==
==यह भी देखें ==
* [[घटना ज्यामिति]]
* [[घटना ज्यामिति]]
* यूक्लिडियन ज्यामिति
* यूक्लिडियन ज्यामिति  
** हिल्बर्ट के अभिगृहीत
** हिल्बर्ट के अभिगृहीत  
** टार्स्की के अभिगृहीत
** टार्स्की के अभिगृहीत  
* एफ़िन ज्योमेट्री
* एफ़िन ज्योमेट्री  
* पूर्ण ज्यामिति
* पूर्ण ज्यामिति  
* [[गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति]]
* [[गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति]]  
* [[एर्लांगेन कार्यक्रम]]
* [[एर्लांगेन कार्यक्रम]]  
*[[चक्रीय क्रम]]
*[[चक्रीय क्रम]]  
*विच्छेद संबंध
*विच्छेद संबंध  


==संदर्भ==
==संदर्भ ==
{{Reflist}}
{{Reflist}}
[[Category: ज्यामिति के क्षेत्र]] [[Category: आदेश सिद्धांत]]


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[[Category:Created On 30/06/2023]]
[[Category:Created On 30/06/2023]]
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Latest revision as of 17:43, 10 July 2023

क्रमबद्ध ज्यामिति, ज्यामिति का रूप माना जाता है जिसमें मध्यवर्तीता (या मध्य ) की अवधारणा होती है, जिससे , प्रक्षेप्य ज्यामिति की तरह, माप की मूल धारणा को छोड़ दिया जाता है। क्रमबद्ध ज्यामिति मौलिक ज्यामिति होती है जोकी एफ़िन ज्यामिति, यूक्लिडियन ज्यामिति, निरपेक्ष ज्यामिति और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति (जिससे प्रक्षेप्य ज्यामिति के लिए नहीं) के लिए सामान्य रूपरेखा बनाती है।

इतिहास

इस प्रकार से मोरिट्ज़ पास्च ने प्रथम समय जब 1882 में माप के संदर्भ के बिना ज्यामिति को परिभाषित किया गया था। और उनके सिद्धांतों में ग्यूसेप पीनो (1889), डेविड हिल्बर्ट (1899) और ओसवाल्ड वेब्लेन (1904) द्वारा सुधार किया गया था।[1]: 176  यूक्लिड ने तत्वों की परिभाषा 4 में पास्च के दृष्टिकोण का अनुमान लगाया है की सीधी रेखा वह रेखा है जो अपने आप पर बिंदुओं के साथ समान रूप से स्थित होती है।[2]

प्राचीन अवधारणाएँ

इस प्रकार से क्रमबद्ध ज्यामिति में एकमात्र प्राचीन धारणाएँ बिंदु (ज्यामिति) A, B, C, ... और मध्यवर्तीता का त्रिक संबंध [ABC] हैं जिन्हें "B , A और C" के मध्य है" के रूप में पढ़ा जा सकता है।

परिभाषाएँ

खंड AB, बिंदुओं P का समुच्चय इस प्रकार है कि [APB]।

अंतराल AB खंड AB और इसके अंतिम बिंदु A और B हैं

किरण A/B ("Aसे B से दूर किरण" के रूप में पढ़ा जाता है) बिंदु P का सेट है जैसे कि [PAB]।

रेखा AB अंतराल AB और दो किरणें A/B और B/A है। रेखा AB पर बिंदु संरेख कहलाते हैं।

एक कोण में एक बिंदु O (शीर्ष) और O (भुजाओं) से निकलने वाली दो असंरेख किरणें होती हैं।

एक त्रिभुज तीन असंरेख बिंदुओं (जिन्हें शीर्ष कहा जाता है) और उनके तीन खंडों AB, BC और CA द्वारा दिया जाता है।

यदि तीन बिंदु A, B, और C असंरेख हैं, तो एक समतल ABC त्रिभुज ABC की एक या दो भुजाओं के बिंदुओं के जोड़े के साथ संरेख वाले सभी बिंदुओं का समूह है।

यदि चार बिंदु A, B, C, और D गैर-समतलीय हैं, तो एक स्थान (3-स्थान) ABCD चतुर्पाश्वीय के चार चेहरों (तलीय क्षेत्रों) में से किसी एक से चुने गए बिंदुओं के जोड़े के साथ संरेख वाले सभी बिंदुओं का सेट है। ABCD।

क्रमित ज्यामिति के अभिगृहीत

  1. कम से कम दो बिंदु उपस्तिथ होते हैं.
  2. यदि Aऔर B अलग-अलग बिंदु हैं, तो C उपस्तिथ है जैसे कि [ABC ]।
  3. यदि [ABC ], तो A और C अलग-अलग हैं (A ≠ C)।
  4. यदि [ABC ], तो [CBA] जिससे नहीं [CAB]।
  5. यदि C और D रेखा AB पर अलग-अलग बिंदु हैं, तो A रेखा CD पर है।
  6. यदि AB एक रेखा है, तो एक बिंदु C है जो रेखा AB पर नहीं है।
  7. (पास्च का अभिगृहीत) यदि ABC त्रिभुज है और [BCD] और [CEA] है, तो रेखा DE पर बिंदु F उपस्तिथ है जिसके लिए [AFB] है।
  8. आयामीता का सिद्धांत:
    1. समतलीय क्रमित ज्यामिति के लिए, सभी बिंदु एक ही तल में हैं। या
    2. यदि ABC समतल है, तो समतल ABC में बिंदु D उपस्तिथ नहीं है।
  9. सभी बिंदु ही तल, स्थान आदि में हैं (यह उस आयाम पर निर्भर करता है जिसके अन्दर कोई काम करना चाहता है)।
  10. (डेडेकाइंड का अभिगृहीत) रेखा पर सभी बिंदुओं के प्रत्येक विभाजन को दो गैर-रिक्त सेटों में इस प्रकार विभाजित करने के लिए कि दोनों में से कोई भी बिंदु दूसरे के दो बिंदुओं के मध्य स्थित न हो, यह सेट का बिंदु होता है जोकी और दूसरे सेट का हर बिंदु उस सेट के हर दूसरे बिंदु के मध्य स्थित होता है ।

इस प्रकार से यह अभिगृहीत हिल्बर्ट के अभिगृहीत से निकटता से संबंधित हैं। और ऑर्डर हिल्बर्ट के ऑर्डर के सिद्धांत क्रमित ज्यामिति के स्वयंसिद्धीकरण के व्यापक सर्वेक्षण के लिए विक्टर (2011) देखें गए थे ।[3]

परिणाम

सिल्वेस्टर की संरेख बिंदुओं की समस्या

अतः सिल्वेस्टर-गैलाई प्रमेय को क्रमबद्ध ज्यामिति के अन्दर सिद्ध किया जा सकता है।[4][1]: 181, 2 

समानांतरता

किन्तु कार्ल फ्रेडरिक गॉस, जानोस बोल्याई और निकोलाई लोबचेव्स्की ने समानांतर अभिधारणा की धारणा विकसित की जिसे क्रमबद्ध ज्यामिति में व्यक्त किया जा सकता है।[1]: 189, 90 

प्रमेय (समानांतरता का अस्तित्व): एक बिंदु A और एक रेखा r को देखते हुए, A से होकर नहीं, समतल Ar में A से बिल्कुल दो सीमित किरणें उपस्तिथ हैं जो r से नहीं मिलती हैं। तो A से होकर एक समानांतर रेखा है जो r से नहीं मिलती है।

समांतरता का सकर्मक संबंध क्रमबद्ध ज्यामिति में सिद्ध नहीं किया जा सकता है।[5] इसलिए, समानता की "क्रमबद्ध" अवधारणा रेखाओं पर तुल्यता संबंध नहीं बनाती है।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 Coxeter, H.S.M. (1969). ज्यामिति का परिचय (2nd ed.). John Wiley and Sons. ISBN 0-471-18283-4. Zbl 0181.48101.
  2. ↑ Heath, Thomas (1956) [1925]. यूक्लिड के तत्वों की तेरह पुस्तकें (खंड 1). New York: Dover Publications. pp. 165. ISBN 0-486-60088-2.
  3. ↑ Pambuccian, Victor (2011). "The axiomatics of ordered geometry: I. Ordered incidence spaces". Expositiones Mathematicae. 29: 24–66. doi:10.1016/j.exmath.2010.09.004.
  4. ↑ Pambuccian, Victor (2009). "A Reverse Analysis of the Sylvester–Gallai Theorem". Notre Dame Journal of Formal Logic. 50 (3): 245–260. doi:10.1215/00294527-2009-010. Zbl 1202.03023.
  5. ↑ Busemann, Herbert (1955). जियोडेसिक्स की ज्यामिति. Pure and Applied Mathematics. Vol. 6. New York: Academic Press. p. 139. ISBN 0-12-148350-9. Zbl 0112.37002.
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