सामान्य ऑपरेटर: Difference between revisions

Revision as of 13:43, 7 July 2023

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, एक जटिल हिल्बर्ट स्थान पर एक सामान्य ऑपरेटर एक सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) रैखिक ऑपरेटर है: N : H → H जो इसके साथ कम्यूटेटर है हर्मिटियन सहायक N*, वह है: NN* = N*N^[1]

सामान्य ऑपरेटर महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वर्णक्रमीय प्रमेय उनके लिए मान्य है। सामान्य ऑपरेटरों का वर्ग अच्छी तरह से समझा जाता है। सामान्य ऑपरेटरों के उदाहरण हैं

एकात्मक संचालक: N* = N⁻¹
हर्मिटियन ऑपरेटर (अथार्त, स्व-सहायक ऑपरेटर्स): N* = N
तिरछा-हर्मिटियन ऑपरेटर: N* = −N
सकारात्मक ऑपरेटर: कुछ एम के लिए N = MM* (इसलिए एन स्व-सहायक है)।

एक सामान्य आव्यूह हिल्बर्ट स्पेस 'Cⁿ पर एक सामान्य ऑपरेटर की आव्यूह अभिव्यक्ति है

गुण

सामान्य ऑपरेटरों को वर्णक्रमीय प्रमेय द्वारा चित्रित किया जाता है। हिल्बर्ट स्पेस पर एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर (विशेष रूप से एक परिमित-आयामी रैखिक स्थान पर एक सामान्य ऑपरेटर) इकाई रूप से विकर्ण योग्य है।^[2]

होने देना $T$ एक बाध्य ऑपरेटर बनें। निम्नलिखित समतुल्य हैं.

$T$ यह सामान्य है।
$T^{*}$ यह सामान्य है।
$\|Tx\|=\|T^{*}x\|$ सभी के लिए $x$ (उपयोग $\|Tx\|^{2}=\langle T^{*}Tx,x\rangle =\langle TT^{*}x,x\rangle =\|T^{*}x\|^{2}$ ).
$T$ आवागमन के स्व-संयुक्त और विरोधी स्व-सहायक भाग अर्थात, यदि T को $T=T_{1}+iT_{2}$ के रूप में लिखा जाता है, साथ में $T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}$ और $i\,T_{2}:={\frac {T-T^{*}}{2}},$ तो $T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.$ ^{[note 1]}

यदि $N$ एक सामान्य संचालिका है, तो $N$ और $N^{*}$ एक ही कर्नेल और एक ही श्रेणी है। परिणाम स्वरुप की सीमा $N$ सघन है यदि और केवल यदि $N$ इंजेक्शन है. दूसरे विधि से कहें तो एक सामान्य ऑपरेटर का कर्नेल उसकी सीमा का ऑर्थोगोनल पूरक है। यह इस प्रकार है कि ऑपरेटर का कर्नेल $N^{k}$ के साथ मेल खाता है जो $N$ किसी के लिए $k.$ इस प्रकार एक सामान्य ऑपरेटर का प्रत्येक सामान्यीकृत आइजेनवैल्यू वास्तविक होता है। $\lambda$ एक सामान्य ऑपरेटर का एक आइजेनवैल्यू है जो $N$ यदि और केवल यदि यह जटिल संयुग्म है ${\overline {\lambda }}$ का एक प्रतिरूप है $N^{*}.$ विभिन्न आइजेनवैल्यू के अनुरूप एक सामान्य ऑपरेटर के आइजेनवैक्टर ऑर्थोगोनल होते हैं, और एक सामान्य ऑपरेटर अपने प्रत्येक आइजेनस्थान के ऑर्थोगोनल पूरक को स्थिर करता है।^[3] इसका तात्पर्य सामान्य वर्णक्रमीय प्रमेय से है: परिमित-आयामी स्थान पर प्रत्येक सामान्य ऑपरेटर एक एकात्मक ऑपरेटर द्वारा विकर्णीय होता है। प्रक्षेपण-मूल्य माप के संदर्भ में व्यक्त वर्णक्रमीय प्रमेय का एक अनंत-आयामी संस्करण भी है। एक सामान्य ऑपरेटर का अवशिष्ट स्पेक्ट्रम खाली होता है।^[3]

आवागमन करने वाले सामान्य ऑपरेटरों का उत्पाद फिर से सामान्य है; यह गैर-तुच्छ है, किंतु सीधे फुगलेडे के प्रमेय से अनुसरण करता है, जो बताता है (पुतनम द्वारा सामान्यीकृत रूप में):

यदि

N_{1}

और

N_{2}

सामान्य ऑपरेटर हैं और यदि

A

एक परिबद्ध रैखिक संचालिका है जैसे कि

N_{1}A=AN_{2},

तब

N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}

.

एक सामान्य ऑपरेटर का ऑपरेटर मानदंड उसके संख्यात्मक त्रिज्या और वर्णक्रमीय त्रिज्या के समान होता है।

एक सामान्य ऑपरेटर अपने अलुथगे परिवर्तन के साथ मेल खाता है।

परिमित-आयामी स्थिति में गुण

यदि एक परिमित-आयामी वास्तविक या जटिल हिल्बर्ट स्थान (आंतरिक उत्पाद स्थान) H पर एक सामान्य ऑपरेटर T एक उप-स्थान V, को स्थिर करता है, तो यह इसके ऑर्थोगोनल पूरक V^⊥ को भी स्थिर करता है। (यह कथन उस स्थिति में तुच्छ है जहां T स्व-सहायक है।)

सबूत। मान लीजिए P_V, V पर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है। तब V^⊥ पर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण 1_H−P_V. है। तथ्य यह है कि T, V को स्थिर करता है, इसे (1_H−P_V)TP_V = 0, or TP_V = P_VTP_V.के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। लक्ष्य यह दिखाना है कि P_VT(1_H−P_V) = 0

मान लीजिए X = P_VT(1_H−P_V). चूँकि (A, B) ↦ tr(AB*) H के एंडोमोर्फिज्म के स्थान पर एक आंतरिक उत्पाद है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि tr(XX*) = 0. सबसे पहले हम ध्यान दें कि

{\begin{aligned}XX^{*}&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})^{2}T^{*}P_{V}\\&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}\\&=P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}.\end{aligned}}

अब ट्रेस (रैखिक बीजगणित) और ऑर्थोगोनल अनुमानों के गुणों का उपयोग करते हुए हमारे पास है:

{\begin{aligned}\operatorname {tr} (XX^{*})&=\operatorname {tr} \left(P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}\right)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*}P_{V})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (TP_{V}T^{*})&&{\text{using the hypothesis that }}T{\text{ stabilizes }}V\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}T^{*}T)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}(TT^{*}-T^{*}T))\\&=0.\end{aligned}}

अनंत आयामी हिल्बर्ट स्थानों में कॉम्पैक्ट सामान्य ऑपरेटरों के लिए भी यही तर्क प्रयुक्त होता है, जहां कोई हिल्बर्ट-श्मिट आंतरिक उत्पाद का उपयोग करता है, जिसे tr(AB*) द्वारा परिभाषित किया गया है, जिसकी उपयुक्त व्याख्या की गई है।^[4] चूँकि, बंधे हुए सामान्य ऑपरेटरों के लिए, एक स्थिर उप-स्थान के लिए ऑर्थोगोनल पूरक स्थिर नहीं हो सकता है।^[5] इसका तात्पर्य यह है कि हिल्बर्ट स्पेस को सामान्य रूप से सामान्य ऑपरेटर के आइजनवेक्टर द्वारा विस्तारित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $\ell ^{2}$ पर कार्य करने वाले द्विपक्षीय बदलाव (या दो-तरफा बदलाव) पर विचार करें, जो सामान्य है, किंतु इसका कोई स्वदेशी मान नहीं है।

हार्डी स्पेस पर अभिनय करने वाले शिफ्ट के अपरिवर्तनीय उप-स्थानों को बर्लिंग के प्रमेय द्वारा चित्रित किया गया है।

बीजगणित के सामान्य तत्व

सामान्य ऑपरेटरों की धारणा एक अनैच्छिक बीजगणित के लिए सामान्यीकरण करती है:

एक अव्यवस्थित बीजगणित का एक तत्व x सामान्य कहा जाता है यदि xx* = x*x

स्वसंयुक्त एवं एकात्मक तत्व सामान्य हैं।

सबसे महत्वपूर्ण मामला तब होता है जब ऐसा बीजगणित C*-बीजगणित होता है।

असंबद्ध सामान्य ऑपरेटर

सामान्य ऑपरेटरों की परिभाषा स्वाभाविक रूप से अनबाउंड ऑपरेटरों के कुछ वर्ग के लिए सामान्यीकृत होती है। स्पष्ट रूप से, एक संवर्त ऑपरेटर एन को सामान्य कहा जाता है यदि

N^{*}N=NN^{*}.

यहां, सहायक N* के अस्तित्व के लिए आवश्यक है कि N का डोमेन सघन हो, और समानता में यह प्रमाण सम्मिलित है कि N*N का डोमेन NN* के डोमेन के समान है, जो सामान्य रूप से जरूरी नहीं है।

समान रूप से सामान्य ऑपरेटर बिल्कुल वही होते हैं जिनके लिए^[6]

\|Nx\|=\|N^{*}x\|\qquad

साथ

{\mathcal {D}}(N)={\mathcal {D}}(N^{*}).

वर्णक्रमीय प्रमेय अभी भी असीमित (सामान्य) ऑपरेटरों के लिए प्रयुक्त है। प्रूफ़ बाउंडेड (सामान्य) ऑपरेटरों में कमी करके काम करते हैं।^[7]^[8]

सामान्यीकरण

सामान्य ऑपरेटरों के सिद्धांत की सफलता ने क्रमपरिवर्तन की आवश्यकता को अशक्त करके सामान्यीकरण के कई प्रयासों को जन्म दिया गया। ऑपरेटरों की श्रेणियाँ जिनमें सामान्य ऑपरेटर सम्मिलित हैं (सम्मिलित करने के क्रम में)

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Linear algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., p. 312, MR 0276251
↑ Hoffman & Kunze (1971), p. 317.
↑ ^3.0 ^3.1 Naylor, Arch W.; Sell George R. (1982). इंजीनियरिंग और विज्ञान में रैखिक ऑपरेटर सिद्धांत. New York: Springer. ISBN 978-0-387-95001-3. Archived from the original on 2021-06-26. Retrieved 2021-06-26.
↑ Andô, Tsuyoshi (1963). "एक कॉम्पैक्ट सामान्य ऑपरेटर के अपरिवर्तनीय उप-स्थान पर ध्यान दें". Archiv der Mathematik. 14: 337–340. doi:10.1007/BF01234964. S2CID 124945750.
↑ Garrett, Paul (2005). "हिल्बर्ट स्थानों पर ऑपरेटर" (PDF). Archived (PDF) from the original on 2011-09-18. Retrieved 2011-07-01.
↑ Weidmann, Lineare Operatoren in Hilberträumen, Chapter 4, Section 3
↑ Alexander Frei, Spectral Measures, Mathematics Stack Exchange, Existence Archived 2021-06-26 at the Wayback Machine, Uniqueness Archived 2021-06-26 at the Wayback Machine
↑ John B. Conway, A Course in Functional Analysis, Second Edition, Chapter X, Section §4

[3] In contrast, for the important class of Creation and annihilation operators of, e.g., quantum field theory, they don't commute

[1] Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Linear algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., p. 312, MR 0276251

[FOOTNOTEHoffmanKunze1971317-2] Hoffman & Kunze (1971), p. 317.

[Naylor-4] 3.0 ^3.1 Naylor, Arch W.; Sell George R. (1982). इंजीनियरिंग और विज्ञान में रैखिक ऑपरेटर सिद्धांत. New York: Springer. ISBN 978-0-387-95001-3. Archived from the original on 2021-06-26. Retrieved 2021-06-26.

[5] Andô, Tsuyoshi (1963). "एक कॉम्पैक्ट सामान्य ऑपरेटर के अपरिवर्तनीय उप-स्थान पर ध्यान दें". Archiv der Mathematik. 14: 337–340. doi:10.1007/BF01234964. S2CID 124945750.

[Garrett-6] Garrett, Paul (2005). "हिल्बर्ट स्थानों पर ऑपरेटर" (PDF). Archived (PDF) from the original on 2011-09-18. Retrieved 2011-07-01.

[7] Weidmann, Lineare Operatoren in Hilberträumen, Chapter 4, Section 3

[Frei-8] Alexander Frei, Spectral Measures, Mathematics Stack Exchange, Existence Archived 2021-06-26 at the Wayback Machine, Uniqueness Archived 2021-06-26 at the Wayback Machine

[Conway-9] John B. Conway, A Course in Functional Analysis, Second Edition, Chapter X, Section §4

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 {{Short description|(on a complex Hilbert space) continuous linear operator}}
-गणित में, विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में, एक जटिल [[ हिल्बर्ट स्थान |हिल्बर्ट स्थान]] पर एक सामान्य ऑपरेटर ''एच'' एक सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) [[रैखिक ऑपरेटर]] ''एन'' है: ''एच'' → ''एच'' जो इसके साथ [[कम्यूटेटर]] है [[हर्मिटियन सहायक]] ''एन*'', वह है: ''एनएन*'' = ''एन*एन''।<ref>{{citation
+गणित में, विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में, एक जटिल [[ हिल्बर्ट स्थान |हिल्बर्ट स्थान]] पर एक सामान्य ऑपरेटर एक सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) [[रैखिक ऑपरेटर]] है: ''N'' : ''H'' → ''H'' जो इसके साथ [[कम्यूटेटर]] है [[हर्मिटियन सहायक]] ''N*'', वह है: ''NN*'' = ''N*N''<ref>{{citation
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 सामान्य ऑपरेटर महत्वपूर्ण हैं क्योंकि [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] उनके लिए मान्य है। सामान्य ऑपरेटरों का वर्ग अच्छी तरह से समझा जाता है। सामान्य ऑपरेटरों के उदाहरण हैं
-* एकात्मक संचालक: एन* = एन<sup>−1</sup>
+* एकात्मक संचालक:  ''N*'' = ''N<sup>−1</sup>''
-* [[हर्मिटियन ऑपरेटर]]्स (यानी, स्व-सहायक ऑपरेटर्स): एन* = एन
+* [[हर्मिटियन ऑपरेटर]] (अथार्त, स्व-सहायक ऑपरेटर्स): ''N*'' = ''N''
-* [[तिरछा-Hermitian]] ऑपरेटर: एन* = −एन
+* [[तिरछा-Hermitian|तिरछा-हर्मिटियन]] ऑपरेटर: ''N*'' = −''N''
-* सकारात्मक ऑपरेटर: कुछ एम के लिए एन = एमएम* (इसलिए एन स्व-सहायक है)।
+* सकारात्मक ऑपरेटर: कुछ एम के लिए ''N'' = ''MM*'' (इसलिए एन स्व-सहायक है)।
-एक [[सामान्य मैट्रिक्स]] हिल्बर्ट स्पेस 'सी' पर एक सामान्य ऑपरेटर की मैट्रिक्स अभिव्यक्ति है<sup>n</sup>.
+एक [[सामान्य मैट्रिक्स|सामान्य आव्यूह]]  हिल्बर्ट स्पेस ''''C'''<sup>''n''</sup> पर एक सामान्य ऑपरेटर की आव्यूह अभिव्यक्ति है
 ==गुण==
-सामान्य ऑपरेटरों को वर्णक्रमीय प्रमेय द्वारा चित्रित किया जाता है। हिल्बर्ट स्पेस पर एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर (विशेष रूप से, एक परिमित-आयामी रैखिक स्थान पर एक सामान्य ऑपरेटर) इकाई रूप से विकर्ण योग्य है।{{sfnp|Hoffman|Kunze|1971|page=317}}
+सामान्य ऑपरेटरों को वर्णक्रमीय प्रमेय द्वारा चित्रित किया जाता है। हिल्बर्ट स्पेस पर एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर (विशेष रूप से एक परिमित-आयामी रैखिक स्थान पर एक सामान्य ऑपरेटर) इकाई रूप से विकर्ण योग्य है।{{sfnp|Hoffman|Kunze|1971|page=317}}
 होने देना <math>T</math> एक बाध्य ऑपरेटर बनें। निम्नलिखित समतुल्य हैं.
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 * <math>T^*</math> यह सामान्य है।
 * <math>\|T x\| = \|T^* x\|</math> सभी के लिए <math>x</math> (उपयोग <math>\|Tx\|^2 = \langle T^* Tx, x \rangle = \langle T T^*x, x \rangle = \|T^*x\|^2</math>).
-* स्व-संयुक्त और विरोधी-स्व-सहायक भाग <math>T</math> आना-जाना। अर्थात यदि <math>T</math> के रूप में लिखा गया है <math>T = T_1 + i T_2</math> साथ <math>T_1 := \frac{T+T^*}{2}</math> और <math>i\,T_2 := \frac{T-T^*}{2},</math> तब <math>T_1 T_2 = T_2 T_1.</math><ref group=note>In contrast, for the important class of [[Creation and annihilation operators]] of, e.g., [[quantum field theory]], they don't commute</ref>
+*<math>T</math> आवागमन के स्व-संयुक्त और विरोधी स्व-सहायक भाग अर्थात, यदि T को <math>T = T_1 + i T_2</math> के रूप में लिखा जाता है, साथ में <math>T_1 := \frac{T+T^*}{2}</math>और <math>i\,T_2 := \frac{T-T^*}{2},</math> तो <math>T_1 T_2 = T_2 T_1.</math><ref group="note">In contrast, for the important class of [[Creation and annihilation operators]] of, e.g., [[quantum field theory]], they don't commute</ref>
-अगर <math>N</math> तो फिर, यह एक सामान्य ऑपरेटर है <math>N</math> और <math>N^*</math> एक ही कर्नेल और एक ही रेंज है। नतीजतन, की सीमा <math>N</math> सघन है यदि और केवल यदि <math>N</math> इंजेक्शन है. दूसरे तरीके से कहें तो, एक सामान्य ऑपरेटर का कर्नेल उसकी सीमा का ऑर्थोगोनल पूरक है। यह इस प्रकार है कि ऑपरेटर का कर्नेल <math>N^k</math> के साथ मेल खाता है <math>N</math> किसी के लिए <math>k.</math> इस प्रकार एक सामान्य ऑपरेटर का प्रत्येक सामान्यीकृत eigenvalue वास्तविक होता है। <math>\lambda</math> एक सामान्य ऑपरेटर का एक eigenvalue है <math>N</math> यदि और केवल यदि यह जटिल संयुग्म है <math>\overline{\lambda}</math> का एक प्रतिरूप है <math>N^*.</math> विभिन्न eigenvalues के अनुरूप एक सामान्य ऑपरेटर के eigenvectors ऑर्थोगोनल होते हैं, और एक सामान्य ऑपरेटर अपने प्रत्येक eigenspaces के ऑर्थोगोनल पूरक को स्थिर करता है।<ref name=Naylor>{{cite book|author1=Naylor, Arch W.|author2=Sell George R.|title=इंजीनियरिंग और विज्ञान में रैखिक ऑपरेटर सिद्धांत|publisher=Springer|location=New York|year=1982|isbn=978-0-387-95001-3|url=https://books.google.com/books?id=t3SXs4-KrE0C&q=naylor+sell+linear|access-date=2021-06-26|archive-date=2021-06-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20210626022510/https://books.google.com/books?id=t3SXs4-KrE0C&q=naylor+sell+linear|url-status=live}}</ref> इसका तात्पर्य सामान्य वर्णक्रमीय प्रमेय से है: परिमित-आयामी स्थान पर प्रत्येक सामान्य ऑपरेटर एक एकात्मक ऑपरेटर द्वारा विकर्णीय होता है। [[प्रक्षेपण-मूल्य माप]]ों के संदर्भ में व्यक्त वर्णक्रमीय प्रमेय का एक अनंत-आयामी संस्करण भी है। एक सामान्य ऑपरेटर का अवशिष्ट स्पेक्ट्रम खाली होता है।<ref name=Naylor/>
+यदि <math>N</math> एक सामान्य संचालिका है, तो <math>N</math> और <math>N^*</math> एक ही कर्नेल और एक ही श्रेणी है। परिणाम स्वरुप की सीमा <math>N</math> सघन है यदि और केवल यदि <math>N</math> इंजेक्शन है. दूसरे विधि से कहें तो एक सामान्य ऑपरेटर का कर्नेल उसकी सीमा का ऑर्थोगोनल पूरक है। यह इस प्रकार है कि ऑपरेटर का कर्नेल <math>N^k</math> के साथ मेल खाता है जो <math>N</math> किसी के लिए <math>k.</math> इस प्रकार एक सामान्य ऑपरेटर का प्रत्येक सामान्यीकृत आइजेनवैल्यू वास्तविक होता है। <math>\lambda</math> एक सामान्य ऑपरेटर का एक आइजेनवैल्यू है जो <math>N</math> यदि और केवल यदि यह जटिल संयुग्म है <math>\overline{\lambda}</math> का एक प्रतिरूप है <math>N^*.</math> विभिन्न आइजेनवैल्यू के अनुरूप एक सामान्य ऑपरेटर के आइजेनवैक्टर ऑर्थोगोनल होते हैं, और एक सामान्य ऑपरेटर अपने प्रत्येक आइजेनस्थान के ऑर्थोगोनल पूरक को स्थिर करता है।<ref name=Naylor>{{cite book|author1=Naylor, Arch W.|author2=Sell George R.|title=इंजीनियरिंग और विज्ञान में रैखिक ऑपरेटर सिद्धांत|publisher=Springer|location=New York|year=1982|isbn=978-0-387-95001-3|url=https://books.google.com/books?id=t3SXs4-KrE0C&q=naylor+sell+linear|access-date=2021-06-26|archive-date=2021-06-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20210626022510/https://books.google.com/books?id=t3SXs4-KrE0C&q=naylor+sell+linear|url-status=live}}</ref> इसका तात्पर्य सामान्य वर्णक्रमीय प्रमेय से है: परिमित-आयामी स्थान पर प्रत्येक सामान्य ऑपरेटर एक एकात्मक ऑपरेटर द्वारा विकर्णीय होता है। [[प्रक्षेपण-मूल्य माप]] के संदर्भ में व्यक्त वर्णक्रमीय प्रमेय का एक अनंत-आयामी संस्करण भी है। एक सामान्य ऑपरेटर का अवशिष्ट स्पेक्ट्रम खाली होता है।<ref name=Naylor/>
-आवागमन करने वाले सामान्य ऑपरेटरों का उत्पाद फिर से सामान्य है; यह गैर-तुच्छ है, लेकिन सीधे फुगलेडे के प्रमेय से अनुसरण करता है, जो बताता है (पुतनम द्वारा सामान्यीकृत रूप में):
+आवागमन करने वाले सामान्य ऑपरेटरों का उत्पाद फिर से सामान्य है; यह गैर-तुच्छ है, किंतु सीधे फुगलेडे के प्रमेय से अनुसरण करता है, जो बताता है (पुतनम द्वारा सामान्यीकृत रूप में):
-:अगर <math>N_1</math> और <math>N_2</math> सामान्य ऑपरेटर हैं और यदि <math>A</math> एक परिबद्ध रैखिक संचालिका है जैसे कि <math>N_1 A = A N_2,</math> तब <math>N_1^* A = A N_2^*</math>.
+:यदि <math>N_1</math> और <math>N_2</math> सामान्य ऑपरेटर हैं और यदि <math>A</math> एक परिबद्ध रैखिक संचालिका है जैसे कि <math>N_1 A = A N_2,</math> तब <math>N_1^* A = A N_2^*</math>.
-एक सामान्य ऑपरेटर का ऑपरेटर मानदंड उसके [[संख्यात्मक त्रिज्या]] के बराबर होता है और [[वर्णक्रमीय त्रिज्या]]।
+एक सामान्य ऑपरेटर का ऑपरेटर मानदंड उसके संख्यात्मक त्रिज्या और वर्णक्रमीय त्रिज्या के समान होता है।
 एक सामान्य ऑपरेटर अपने [[अलुथगे परिवर्तन]] के साथ मेल खाता है।
-==परिमित-आयामी मामले में गुण==
+==परिमित-आयामी स्थिति में गुण==
-यदि एक परिमित-आयामी वास्तविक पर एक सामान्य ऑपरेटर टी या जटिल हिल्बर्ट स्पेस (आंतरिक उत्पाद स्थान) एच एक उपस्पेस वी को स्थिर करता है, फिर यह इसके ऑर्थोगोनल पूरक वी को भी स्थिर करता है<sup>⊥</sup>. (यह कथन उस मामले में तुच्छ है जहां टी स्व-सहायक है।)
+यदि एक परिमित-आयामी वास्तविक या जटिल हिल्बर्ट स्थान (आंतरिक उत्पाद स्थान) ''H'' पर एक सामान्य ऑपरेटर ''T'' एक उप-स्थान ''V'', को स्थिर करता है, तो यह इसके ऑर्थोगोनल पूरक  ''V''<sup>⊥</sup> को भी स्थिर करता है। (यह कथन उस स्थिति में तुच्छ है जहां ''T'' स्व-सहायक है।)
-सबूत। चलो पी<sub>V</sub>V पर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण हो। फिर V पर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण<sup>⊥</sup> 1 है<sub>''H''</sub>-पी<sub>V</sub>. तथ्य यह है कि T, V को स्थिर करता है, इसे ('1') के रूप में व्यक्त किया जा सकता है<sub>''H''</sub>-पी<sub>V</sub>)टीपी<sub>V</sub>= 0, या टीपी<sub>V</sub>= पी<sub>V</sub>टी.पी<sub>V</sub>. लक्ष्य यह दिखाना है कि पी<sub>V</sub>टी('1'<sub>''H''</sub>-पी<sub>V</sub>) = 0.
+सबूत। मान लीजिए ''P<sub>V</sub>'', V पर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है। तब  ''V''<sup>⊥</sup> पर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण '''1'''<sub>''H''</sub>−''P<sub>V</sub>''. है। तथ्य यह है कि T, V को स्थिर करता है, इसे ('''1'''<sub>''H''</sub>−''P<sub>V</sub>'')''TP<sub>V</sub>'' = 0, or ''TP<sub>V</sub>'' = ''P<sub>V</sub>TP<sub>V</sub>''.के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। लक्ष्य यह दिखाना है कि ''P<sub>V</sub>T''('''1'''<sub>''H''</sub>−''P<sub>V</sub>'') = 0
+मान लीजिए ''X'' = ''P<sub>V</sub>T''('''1'''<sub>''H''</sub>−''P<sub>V</sub>'').  चूँकि (''A'', ''B'') ↦ tr(''AB*'') H के एंडोमोर्फिज्म के स्थान पर एक आंतरिक उत्पाद है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि tr(XX*) = 0. सबसे पहले हम ध्यान दें कि
-माना X = P<sub>V</sub>टी('1'<sub>''H''</sub>-पी<sub>V</sub>). चूँकि (A, B) ↦ tr(AB*) H के एंडोमोर्फिज्म के स्थान पर एक आंतरिक उत्पाद है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि tr(XX*) = 0. सबसे पहले हम ध्यान दें कि
 :<math>\begin{align}
 XX^* &= P_V T(\boldsymbol{1}_H - P_V)^2 T^* P_V \\
@@ Line 61: / Line 64: @@
 &= 0.
 \end{align}</math>
-अनंत आयामी हिल्बर्ट स्थानों में कॉम्पैक्ट सामान्य ऑपरेटरों के लिए भी यही तर्क लागू होता है, जहां कोई [[हिल्बर्ट-श्मिट आंतरिक उत्पाद]] का उपयोग करता है, जिसे tr(AB*) द्वारा परिभाषित किया गया है, जिसकी उपयुक्त व्याख्या की गई है।<ref>{{cite journal|author=Andô, Tsuyoshi|year=1963|title=एक कॉम्पैक्ट सामान्य ऑपरेटर के अपरिवर्तनीय उप-स्थान पर ध्यान दें|journal=Archiv der Mathematik|volume=14|pages=337–340|doi=10.1007/BF01234964|s2cid=124945750}}</ref> हालाँकि, बंधे हुए सामान्य ऑपरेटरों के लिए, एक स्थिर उप-स्थान के लिए ऑर्थोगोनल पूरक स्थिर नहीं हो सकता है।<ref name=Garrett>{{cite web|author=Garrett, Paul|year=2005|title=हिल्बर्ट स्थानों पर ऑपरेटर|url=http://www.math.umn.edu/~garrett/m/fun/Notes/04a_ops_hsp.pdf|access-date=2011-07-01|archive-date=2011-09-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20110918213400/http://www.math.umn.edu/~garrett/m/fun/Notes/04a_ops_hsp.pdf|url-status=live}}</ref> इसका तात्पर्य यह है कि हिल्बर्ट स्पेस को सामान्य रूप से सामान्य ऑपरेटर के आइजनवेक्टर द्वारा विस्तारित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [[द्विपक्षीय बदलाव]] (या दोतरफा बदलाव) पर विचार करें <math>\ell^2</math>, जो सामान्य है, लेकिन इसका कोई स्वदेशी मान नहीं है।
+अनंत आयामी हिल्बर्ट स्थानों में कॉम्पैक्ट सामान्य ऑपरेटरों के लिए भी यही तर्क प्रयुक्त होता है, जहां कोई [[हिल्बर्ट-श्मिट आंतरिक उत्पाद]] का उपयोग करता है, जिसे tr(AB*) द्वारा परिभाषित किया गया है, जिसकी उपयुक्त व्याख्या की गई है।<ref>{{cite journal|author=Andô, Tsuyoshi|year=1963|title=एक कॉम्पैक्ट सामान्य ऑपरेटर के अपरिवर्तनीय उप-स्थान पर ध्यान दें|journal=Archiv der Mathematik|volume=14|pages=337–340|doi=10.1007/BF01234964|s2cid=124945750}}</ref> चूँकि, बंधे हुए सामान्य ऑपरेटरों के लिए, एक स्थिर उप-स्थान के लिए ऑर्थोगोनल पूरक स्थिर नहीं हो सकता है।<ref name=Garrett>{{cite web|author=Garrett, Paul|year=2005|title=हिल्बर्ट स्थानों पर ऑपरेटर|url=http://www.math.umn.edu/~garrett/m/fun/Notes/04a_ops_hsp.pdf|access-date=2011-07-01|archive-date=2011-09-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20110918213400/http://www.math.umn.edu/~garrett/m/fun/Notes/04a_ops_hsp.pdf|url-status=live}}</ref> इसका तात्पर्य यह है कि हिल्बर्ट स्पेस को सामान्य रूप से सामान्य ऑपरेटर के आइजनवेक्टर द्वारा विस्तारित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math>\ell^2</math> पर कार्य करने वाले द्विपक्षीय बदलाव (या दो-तरफा बदलाव) पर विचार करें, जो सामान्य है, किंतु इसका कोई स्वदेशी मान नहीं है।
 हार्डी स्पेस पर अभिनय करने वाले शिफ्ट के अपरिवर्तनीय उप-स्थानों को बर्लिंग के प्रमेय द्वारा चित्रित किया गया है।
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 सामान्य ऑपरेटरों की धारणा एक अनैच्छिक बीजगणित के लिए सामान्यीकरण करती है:
-एक अव्यवस्थित बीजगणित का एक तत्व x सामान्य कहा जाता है यदि xx* = x*x।
+एक अव्यवस्थित बीजगणित का एक तत्व x सामान्य कहा जाता है यदि xx* = x*x
 स्वसंयुक्त एवं एकात्मक तत्व सामान्य हैं।
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 ==असंबद्ध सामान्य ऑपरेटर==
-सामान्य ऑपरेटरों की परिभाषा स्वाभाविक रूप से अनबाउंड ऑपरेटरों के कुछ वर्ग के लिए सामान्यीकृत होती है। स्पष्ट रूप से, एक बंद ऑपरेटर एन को सामान्य कहा जाता है यदि
+सामान्य ऑपरेटरों की परिभाषा स्वाभाविक रूप से अनबाउंड ऑपरेटरों के कुछ वर्ग के लिए सामान्यीकृत होती है। स्पष्ट रूप से, एक संवर्त ऑपरेटर एन को सामान्य कहा जाता है यदि
 :<math>N^*N = NN^*.</math>
-यहां, सहायक N* के अस्तित्व के लिए आवश्यक है कि N का डोमेन सघन हो, और समानता में यह दावा शामिल है कि N*N का डोमेन NN* के डोमेन के बराबर है, जो सामान्य रूप से जरूरी नहीं है।
+यहां, सहायक N* के अस्तित्व के लिए आवश्यक है कि N का डोमेन सघन हो, और समानता में यह प्रमाण सम्मिलित  है कि N*N का डोमेन NN* के डोमेन के समान है, जो सामान्य रूप से जरूरी नहीं है।
 समान रूप से सामान्य ऑपरेटर बिल्कुल वही होते हैं जिनके लिए<ref>Weidmann, Lineare Operatoren in Hilberträumen, Chapter 4, Section 3</ref>
 :<math>\|Nx\|=\|N^*x\|\qquad</math> साथ
 :<math>\mathcal{D}(N)=\mathcal{D}(N^*).</math>
-वर्णक्रमीय प्रमेय अभी भी असीमित (सामान्य) ऑपरेटरों के लिए लागू है। प्रूफ़ बाउंडेड (सामान्य) ऑपरेटरों में कमी करके काम करते हैं।<ref name=Frei>Alexander Frei, Spectral Measures, Mathematics Stack Exchange, [https://math.stackexchange.com/q/1332154 Existence] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210626022512/https://math.stackexchange.com/questions/1332154/spectral-measures-existence |date=2021-06-26 }}, [https://math.stackexchange.com/q/1112508 Uniqueness] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210626022607/https://math.stackexchange.com/questions/1112508/spectral-measures-uniqueness |date=2021-06-26 }}</ref><ref name="Conway">John B. Conway, A Course in Functional Analysis, Second Edition, Chapter X, Section §4</ref>
+वर्णक्रमीय प्रमेय अभी भी असीमित (सामान्य) ऑपरेटरों के लिए प्रयुक्त है। प्रूफ़ बाउंडेड (सामान्य) ऑपरेटरों में कमी करके काम करते हैं।<ref name=Frei>Alexander Frei, Spectral Measures, Mathematics Stack Exchange, [https://math.stackexchange.com/q/1332154 Existence] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210626022512/https://math.stackexchange.com/questions/1332154/spectral-measures-existence |date=2021-06-26 }}, [https://math.stackexchange.com/q/1112508 Uniqueness] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210626022607/https://math.stackexchange.com/questions/1112508/spectral-measures-uniqueness |date=2021-06-26 }}</ref><ref name="Conway">John B. Conway, A Course in Functional Analysis, Second Edition, Chapter X, Section §4</ref>
 ==सामान्यीकरण==
-सामान्य ऑपरेटरों के सिद्धांत की सफलता ने क्रमपरिवर्तन की आवश्यकता को कमजोर करके सामान्यीकरण के कई प्रयासों को जन्म दिया। ऑपरेटरों की श्रेणियाँ जिनमें सामान्य ऑपरेटर शामिल हैं (शामिल करने के क्रम में)
+सामान्य ऑपरेटरों के सिद्धांत की सफलता ने क्रमपरिवर्तन की आवश्यकता को अशक्त करके सामान्यीकरण के कई प्रयासों को जन्म दिया गया। ऑपरेटरों की श्रेणियाँ जिनमें सामान्य ऑपरेटर सम्मिलित हैं (सम्मिलित करने के क्रम में)
 * [[हाइपोनॉर्मल ऑपरेटर]]
 * [[नॉर्मलॉयड]]
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 ==यह भी देखें==
-* {{annotated link|Continuous linear operator}}
+* {{annotated link|सतत रैखिक ऑपरेटर}}
-* {{annotated link|Contraction (operator theory)}}
+* {{annotated link|संकुचन (ऑपरेटर सिद्धांत)}}
 ==टिप्पणियाँ==

v t e Spectral theory and ^*-algebras
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem

v t e Hilbert spaces
Basic concepts	Adjoint Inner product and L-semi-inner product Hilbert space and Prehilbert space Orthogonal complement Orthonormal basis
Main results	Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Riesz representation
Other results	Hilbert projection theorem Parseval's identity Polarization identity (Parallelogram law)
Maps	Compact operator on Hilbert space Densely defined Hermitian form Hilbert–Schmidt Normal Self-adjoint Sesquilinear form Trace class Unitary
Examples	Cⁿ(K) with K compact & n<∞ Segal–Bargmann F

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असंबद्ध सामान्य ऑपरेटर

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