सामान्य ऑपरेटर

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, एक जटिल हिल्बर्ट स्थान पर एक सामान्य ऑपरेटर एक सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) रैखिक ऑपरेटर है: N : H → H जो इसके साथ कम्यूटेटर है हर्मिटियन सहायक N*, वह है: NN* = N*N

सामान्य ऑपरेटर महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वर्णक्रमीय प्रमेय उनके लिए मान्य है। सामान्य ऑपरेटरों का वर्ग अच्छी तरह से समझा जाता है। सामान्य ऑपरेटरों के उदाहरण हैं

• एकात्मक संचालक: N* = N⁻¹
• हर्मिटियन ऑपरेटर (अथार्त, स्व-सहायक ऑपरेटर्स): N* = N
• तिरछा-हर्मिटियन ऑपरेटर: N* = −N
• सकारात्मक ऑपरेटर: कुछ एम के लिए N = MM* (इसलिए एन स्व-सहायक है)।

एक सामान्य आव्यूह हिल्बर्ट स्पेस 'Cⁿ पर एक सामान्य ऑपरेटर की आव्यूह अभिव्यक्ति है

गुण

सामान्य ऑपरेटरों को वर्णक्रमीय प्रमेय द्वारा चित्रित किया जाता है। हिल्बर्ट स्पेस पर एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर (विशेष रूप से एक परिमित-आयामी रैखिक स्थान पर एक सामान्य ऑपरेटर) इकाई रूप से विकर्ण योग्य है।

होने देना $T$ एक बाध्य ऑपरेटर बनें। निम्नलिखित समतुल्य हैं.

• $T$ यह सामान्य है।
• $T^{*}$ यह सामान्य है।
• $\|Tx\|=\|T^{*}x\|$ सभी के लिए $x$ (उपयोग $\|Tx\|^{2}=\langle T^{*}Tx,x\rangle =\langle TT^{*}x,x\rangle =\|T^{*}x\|^{2}$).
• $T$ आवागमन के स्व-संयुक्त और विरोधी स्व-सहायक भाग अर्थात, यदि T को $T=T_{1}+iT_{2}$ के रूप में लिखा जाता है, साथ में $T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}$और $i\,T_{2}:={\frac {T-T^{*}}{2}},$ तो $T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.$

यदि $N$ एक सामान्य संचालिका है, तो $N$ और $N^{*}$ एक ही कर्नेल और एक ही श्रेणी है। परिणाम स्वरुप की सीमा $N$ सघन है यदि और केवल यदि $N$ इंजेक्शन है. दूसरे विधि से कहें तो एक सामान्य ऑपरेटर का कर्नेल उसकी सीमा का ऑर्थोगोनल पूरक है। यह इस प्रकार है कि ऑपरेटर का कर्नेल $N^{k}$ के साथ मेल खाता है जो $N$ किसी के लिए $k.$ इस प्रकार एक सामान्य ऑपरेटर का प्रत्येक सामान्यीकृत आइजेनवैल्यू वास्तविक होता है। $\lambda$ एक सामान्य ऑपरेटर का एक आइजेनवैल्यू है जो $N$ यदि और केवल यदि यह जटिल संयुग्म है ${\overline {\lambda }}$ का एक प्रतिरूप है $N^{*}.$ विभिन्न आइजेनवैल्यू ​​​​के अनुरूप एक सामान्य ऑपरेटर के आइजेनवैक्टर ऑर्थोगोनल होते हैं, और एक सामान्य ऑपरेटर अपने प्रत्येक आइजेनस्थान के ऑर्थोगोनल पूरक को स्थिर करता है। इसका तात्पर्य सामान्य वर्णक्रमीय प्रमेय से है: परिमित-आयामी स्थान पर प्रत्येक सामान्य ऑपरेटर एक एकात्मक ऑपरेटर द्वारा विकर्णीय होता है। प्रक्षेपण-मूल्य माप के संदर्भ में व्यक्त वर्णक्रमीय प्रमेय का एक अनंत-आयामी संस्करण भी है। एक सामान्य ऑपरेटर का अवशिष्ट स्पेक्ट्रम खाली होता है।

आवागमन करने वाले सामान्य ऑपरेटरों का उत्पाद फिर से सामान्य है; यह गैर-तुच्छ है, किंतु सीधे फुगलेडे के प्रमेय से अनुसरण करता है, जो बताता है (पुतनम द्वारा सामान्यीकृत रूप में):

यदि $N_{1}$ और $N_{2}$ सामान्य ऑपरेटर हैं और यदि $A$ एक परिबद्ध रैखिक संचालिका है जैसे कि $N_{1}A=AN_{2},$ तब $N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}$.

एक सामान्य ऑपरेटर का ऑपरेटर मानदंड उसके संख्यात्मक त्रिज्या और वर्णक्रमीय त्रिज्या के समान होता है।

एक सामान्य ऑपरेटर अपने अलुथगे परिवर्तन के साथ मेल खाता है।

परिमित-आयामी स्थिति में गुण

यदि एक परिमित-आयामी वास्तविक या जटिल हिल्बर्ट स्थान (आंतरिक उत्पाद स्थान) H पर एक सामान्य ऑपरेटर T एक उप-स्थान V, को स्थिर करता है, तो यह इसके ऑर्थोगोनल पूरक V^⊥ को भी स्थिर करता है। (यह कथन उस स्थिति में तुच्छ है जहां T स्व-सहायक है।)

सबूत। मान लीजिए P_V, V पर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है। तब V^⊥ पर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण 1_H−P_V. है। तथ्य यह है कि T, V को स्थिर करता है, इसे (1_H−P_V)TP_V = 0, or TP_V = P_VTP_V.के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। लक्ष्य यह दिखाना है कि P_VT(1_H−P_V) = 0

मान लीजिए X = P_VT(1_H−P_V). चूँकि (A, B) ↦ tr(AB*) H के एंडोमोर्फिज्म के स्थान पर एक आंतरिक उत्पाद है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि tr(XX*) = 0. सबसे पहले हम ध्यान दें कि

${\begin{aligned}XX^{*}&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})^{2}T^{*}P_{V}\\&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}\\&=P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}.\end{aligned}}$

अब ट्रेस (रैखिक बीजगणित) और ऑर्थोगोनल अनुमानों के गुणों का उपयोग करते हुए हमारे पास है:

${\begin{aligned}\operatorname {tr} (XX^{*})&=\operatorname {tr} \left(P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}\right)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*}P_{V})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (TP_{V}T^{*})&&{\text{using the hypothesis that }}T{\text{ stabilizes }}V\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}T^{*}T)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}(TT^{*}-T^{*}T))\\&=0.\end{aligned}}$

अनंत आयामी हिल्बर्ट स्थानों में कॉम्पैक्ट सामान्य ऑपरेटरों के लिए भी यही तर्क प्रयुक्त होता है, जहां कोई हिल्बर्ट-श्मिट आंतरिक उत्पाद का उपयोग करता है, जिसे tr(AB*) द्वारा परिभाषित किया गया है, जिसकी उपयुक्त व्याख्या की गई है। चूँकि, बंधे हुए सामान्य ऑपरेटरों के लिए, एक स्थिर उप-स्थान के लिए ऑर्थोगोनल पूरक स्थिर नहीं हो सकता है। इसका तात्पर्य यह है कि हिल्बर्ट स्पेस को सामान्य रूप से सामान्य ऑपरेटर के आइजनवेक्टर द्वारा विस्तारित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $\ell ^{2}$ पर कार्य करने वाले द्विपक्षीय बदलाव (या दो-तरफा बदलाव) पर विचार करें, जो सामान्य है, किंतु इसका कोई स्वदेशी मान नहीं है।

हार्डी स्पेस पर अभिनय करने वाले शिफ्ट के अपरिवर्तनीय उप-स्थानों को बर्लिंग के प्रमेय द्वारा चित्रित किया गया है।

बीजगणित के सामान्य तत्व

सामान्य ऑपरेटरों की धारणा एक अनैच्छिक बीजगणित के लिए सामान्यीकरण करती है:

एक अव्यवस्थित बीजगणित का एक तत्व x सामान्य कहा जाता है यदि xx* = x*x

स्वसंयुक्त एवं एकात्मक तत्व सामान्य हैं।

सबसे महत्वपूर्ण मामला तब होता है जब ऐसा बीजगणित C*-बीजगणित होता है।

असंबद्ध सामान्य ऑपरेटर

सामान्य ऑपरेटरों की परिभाषा स्वाभाविक रूप से अनबाउंड ऑपरेटरों के कुछ वर्ग के लिए सामान्यीकृत होती है। स्पष्ट रूप से, एक संवर्त ऑपरेटर एन को सामान्य कहा जाता है यदि

$N^{*}N=NN^{*}.$

यहां, सहायक N* के अस्तित्व के लिए आवश्यक है कि N का डोमेन सघन हो, और समानता में यह प्रमाण सम्मिलित है कि N*N का डोमेन NN* के डोमेन के समान है, जो सामान्य रूप से जरूरी नहीं है।

समान रूप से सामान्य ऑपरेटर बिल्कुल वही होते हैं जिनके लिए

$\|Nx\|=\|N^{*}x\|\qquad$ साथ

${\mathcal {D}}(N)={\mathcal {D}}(N^{*}).$

वर्णक्रमीय प्रमेय अभी भी असीमित (सामान्य) ऑपरेटरों के लिए प्रयुक्त है। प्रूफ़ बाउंडेड (सामान्य) ऑपरेटरों में कमी करके काम करते हैं।

सामान्यीकरण

सामान्य ऑपरेटरों के सिद्धांत की सफलता ने क्रमपरिवर्तन की आवश्यकता को अशक्त करके सामान्यीकरण के कई प्रयासों को जन्म दिया गया। ऑपरेटरों की श्रेणियाँ जिनमें सामान्य ऑपरेटर सम्मिलित हैं (सम्मिलित करने के क्रम में)

• हाइपोनॉर्मल ऑपरेटर
• नॉर्मलॉयड
• अपसामान्य संचालिका
• अर्धसामान्य ऑपरेटर
• असामान्य ऑपरेटर

यह भी देखें

• सतत रैखिक ऑपरेटर
• संकुचन (ऑपरेटर सिद्धांत)