प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन: Difference between revisions

Revision as of 14:05, 6 July 2023

गणित में, अभाज्य-गिनती फलन किसी वास्तविक संख्या x से कम या उसके समान अभाज्य संख्याओं की संख्या की गणना करने वाला फलन (गणित) है।^[1]^[2] इसे π(x) (संख्या π से असंबंधित) द्वारा दर्शाया जाता है।

के मूल्य

π

(n) पहले 60 धनात्मक पूर्णांकों के लिए

विकास दर

संख्या सिद्धांत में बहुत रुचि प्राइम-काउंटिंग फलन का एसिम्प्टोटिक विश्लेषण है।^[3]^[4] इसका अनुमान 18वीं शताब्दी के अंत में कार्ल फ्रेडरिक गॉस और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे द्वारा लगाया गया था।

{\frac {x}{\log(x)}}

जहां लॉग प्राकृतिक लघुगणक है, इस अर्थ में

\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log(x)}}=1.

यह कथन अभाज्य संख्या प्रमेय है। समतुल्य कथन है

\lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1

जहां ली लघुगणकीय अभिन्न फलन है। अभाज्य संख्या प्रमेय को पहली बार 1896 में जैक्स हैडामर्ड और चार्ल्स जीन डे ला वेली-पौसिन द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया गया था, 1859 में बर्नहार्ड रीमैन द्वारा प्रारंभ किए गए रीमैन ज़ेटा फलन के गुणों का उपयोग करके। अभाज्य संख्या प्रमेय के प्रमाण नहीं ज़ेटा फलन या जटिल विश्लेषण का उपयोग 1948 के आसपास एटले सेलबर्ग और पॉल एर्डोस (अधिकांश भाग स्वतंत्र रूप से) द्वारा किया गया था।^[5]

अधिक स्पष्ट अनुमान

1899 में, चार्ल्स जीन डे ला वेली पॉसिन|डे ला वेली पॉसिन ने सिद्ध किया गया कि ^[6]

\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty

कुछ सकारात्मक स्थिरांक के लिए a. यहाँ,

O (...)

बड़ा

O

अंकन है।

$\pi (x)\!$ का अधिक स्पष्ट अनुमान! अब ज्ञात हो गए हैं. उदाहरण के लिए, 2002 में केविन फोर्ड ने यह सिद्ध किया था^[7]

\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-0.2098(\log x)^{\frac {3}{5}}(\log \log x)^{-{\frac {1}{5}}}\right)\right).

मॉसिंगहॉफ और ट्रुडजियन ने

\pi (x)

और

\operatorname {li} (x)

: के बीच अंतर के लिए एक स्पष्ट ऊपरी सीमा सिद्ध की है।^[8]

{\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2593{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.315}}}\right)

के लिए

x\geq 229

.

$x$ के मानों के लिए जो अनुचित रूप से बड़े नहीं हैं, $\operatorname {li} (x)$ $\pi (x)$ से बड़ा है। चूँकि , $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ को अनंत बार संकेत बदलने के लिए जाना जाता है। इस पर चर्चा के लिए स्केव्स का नंबर देखें।

स्पष्ट रूप

$x>1$ के लिए मान लीजिए कि $\pi _{0}(x)=\pi (x)-1/2$ जब $x$ एक अभाज्य संख्या है, और अन्यथा $\pi _{0}(x)=\pi (x)$ बर्नहार्ड रीमैन ने अपने काम ऑन द नंबर ऑफ़ प्राइम्स लेस दैन अ गिवेन मैग्निट्यूड में सिद्ध किया कि $\pi _{0}(x)$ समान है^[9]

\pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho }),

कहाँ

\operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n}),

μ (n)

मोबियस फलन है,

li(x)

लॉगरिदमिक इंटीग्रल फलन है, ρ रीमैन ज़ेटा फलन के प्रत्येक शून्य को अनुक्रमित करता है, और

li(x ρ/n)

का मूल्यांकन ब्रांच कट के साथ नहीं किया जाता है, चूँकि इसे

Ei(.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}ρ/n log x)

के रूप में माना जाता है x) जहां

Ei(x)

घातांकीय समाकलन है। यदि तुच्छ शून्य एकत्र किए जाते हैं और योग केवल रीमैन ज़ेटा फलन के गैर-तुच्छ शून्य ρ पर लिया जाता है, तो

\pi _{0}(x)

का अनुमान लगाया जा सकता है^[10]

\pi _{0}(x)\approx \operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\log {x}}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\log {x}}}.

रीमैन परिकल्पना से पता चलता है कि ऐसा प्रत्येक गैर-तुच्छ शून्य

Re(s) = 1 / 2

के अनुदिश होता है

$π$ (x), x / log x, और li(x) की तालिका

तालिका दर्शाती है कि ये तीनों कैसे कार्य करते हैं $π$ (x), x / log x और li(x) की तुलना 10 की घात पर करें। यह भी देखें,^[3]^[11] ^[12]

x	$π$ (x)	$π$ (x) − x / log x	li(x) − $π$ (x)	x / $π$ (x)	x / log x % Error
10	4	0	2	2.500	-8.57%
10²	25	3	5	4.000	13.14%
10³	168	23	10	5.952	13.83%
10⁴	1,229	143	17	8.137	11.66%
10⁵	9,592	906	38	10.425	9.45%
10⁶	78,498	6,116	130	12.739	7.79%
10⁷	664,579	44,158	339	15.047	6.64%
10⁸	5,761,455	332,774	754	17.357	5.78%
10⁹	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667	5.10%
10¹⁰	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975	4.56%
10¹¹	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283	4.13%
10¹²	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590	3.77%
10¹³	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896	3.47%
10¹⁴	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202	3.21%
10¹⁵	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507	2.99%
10¹⁶	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812	2.79%
10¹⁷	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,928	7,956,589	38.116	2.63%
10¹⁸	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420	2.48%
10¹⁹	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,961	99,877,775	42.725	2.34%
10²⁰	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,702	222,744,644	45.028	2.22%
10²¹	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332	2.11%
10²²	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636	2.02%
10²³	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939	1.93%
10²⁴	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243	1.84%
10²⁵	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546	1.77%
10²⁶	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58.850	1.70%
10²⁷	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	61.153	1.64%
10²⁸	157,589,269,275,973,410,412,739,598	2,484,097,167,669,186,251,622,127	1,427,745,660,374	63.456	1.58%
10²⁹	1,520,698,109,714,272,166,094,258,063	23,130,930,737,541,725,917,951,446	4,551,193,622,464	65.759	1.52%

प्राइम-काउंटिंग फलन का अनुपात दिखाने वाला ग्राफ़

π

(x) इसके दो सन्निकटनों, x/log x और Li(x)। जैसे-जैसे x बढ़ता है (ध्यान दें कि x अक्ष लघुगणकीय है), दोनों अनुपात 1 की ओर बढ़ते हैं। x/log x का अनुपात ऊपर से बहुत धीरे-धीरे परिवर्तित होता है, जबकि Li(x) का अनुपात नीचे से अधिक तेज़ी से परिवर्तित होता है।

पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में, $π$ (x) कॉलम अनुक्रम है OEIS: A006880, $π$ (x) − x/log x अनुक्रम है OEIS: A057835, और li(x) − $π$ (x) अनुक्रम है OEIS: A057752.

$π$ (10²⁴) के मान की गणना मूल रूप से जे. ब्यूथे, जे. फ्रांके, ए. जोस्ट और टी. क्लेनजंग ने रीमैन परिकल्पना को मानते हुए की थी।^[13] इसे बाद में डी. जे. प्लैट द्वारा एक गणना में बिना नियम सत्यापित किया गया। $π$ (10²⁵) का मान जे. ब्यूथे, जे. फ्रांके, ए. जोस्ट, और टी. क्लेनजंग के कारण है।^[14] $π$ (10²⁶) के मान की गणना डी.बी. स्टेपल द्वारा की गई थी।^[15] इस तालिका में अन्य सभी पूर्व प्रविष्टियों को भी उस कार्य के भाग के रूप में सत्यापित किया गया था।

10²⁷ का मान की घोषणा 2015 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी।^[16]

10²⁸ का मान की घोषणा 2020 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी।^[17]

10²⁹ का मान की घोषणा 2022 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी।^[18]

मूल्यांकन के लिए एल्गोरिदम $π$ (x)

$\pi (x)$ को खोजने का एक आसान विधि यदि $x$ बहुत बड़ा नहीं है, तो एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करके $x$ से कम या उसके समान अभाज्य प्राप्त करें और फिर उन्हें गिनना है.

$\pi (x)$ को खोजने का एक अधिक विस्तृत विधि लीजेंड्रे (समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करके) के कारण है: दिया गया $x$ , यदि $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ हैं, तो $x$ से कम या उसके समान पूर्णांकों की संख्या जो किसी भी $p_{i}$ से विभाज्य नहीं है

\lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots

जहां $\lfloor {x}\rfloor$ फ्लोर फलन को दर्शाता है)। इसलिए यह संख्या समान है

\pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1

जब संख्याएँ $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ , $x$ के वर्गमूल से कम या उसके समान की अभाज्य संख्याएँ हों।

मीसेल-लेहमर एल्गोरिदम

1870 और 1885 के बीच प्रकाशित लेखों की एक श्रृंखला में, अर्न्स्ट मीसेल ने मूल्यांकन करने का एक व्यावहारिक संयोजनात्मक विधि बताया (और उपयोग किया) $\ \pi (x)\ :$ मान लीजिए कि $\ p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}\$ , $\ n\$ पहले $\Phi (m,n)$ अभाज्य हैं और निरूपित करते हैं $\Phi (m,n)$ से प्राकृतिक संख्याओं की संख्या $\ m\$ से अधिक नहीं है जो किसी भी $\ p_{i}\$ के लिए किसी भी $\ i\leq n\ .$ से विभाज्य नहीं हैं

\Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{n}}},n-1\right).

एक प्राकृत संख्या दी गई है $\ m\ ,$ यदि $\ n=\pi \left({\sqrt[{3}]{m}}\right)\$ और यदि $\ \mu =\pi \left({\sqrt {m}}\right)-n\ ,$ है तो

\pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum _{k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p_{n+k}}}\right)\ .

इस दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, मीसेल ने $\ \pi (x)\ ,$ के लिए $\ x\$ की गणना 5×10⁵, 10⁶, 10⁷, और 10⁸ के समान्य की।

1959 में, डेरिक हेनरी लेहमर ने मीसेल की पद्धति का विस्तार और सरलीकरण किया। परिभाषित करें, वास्तविक $\ m\$ के लिए और प्राकृतिक संख्याओं $\ n\$ और $\ k\ ,$ के लिए $\ P_{k}(m,n)\$ बिल्कुल k अभाज्य कारकों के साथ m से अधिक नहीं होने वाली संख्याओं की संख्या, सभी $\ p_{n}\ .$ से अधिक इसके अतिरिक्त सेट करें $\ P_{0}(m,n)=1\ .$ फिर

\ \Phi (m,n)=\sum _{k=0}^{+\infty }P_{k}(m,n)\

जहां योग में वास्तव में केवल सीमित रूप से कई गैर-शून्य पद होते हैं। होने देना $\ y\$ पूर्णांक को इस प्रकार निरूपित करें $\ {\sqrt[{3}]{m\ }}\leq y\leq {\sqrt {m\ }}\ ,$ और सेट करें $\ n=\pi (y)\ .$ तब $\ P_{1}(m,n)=\pi (m)-n\$ और $\ P_{k}(m,n)=0\$ जब $\ k\geq 3\ .$ इसलिए,

\ \pi (m)=\Phi (m,n)+n-1-P_{2}(m,n)\

की गणना $\ P_{2}(m,n)\$ इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है:

P_{2}(m,n)=\sum _{y<p\leq {\sqrt {m\ }}}\left(\pi \left({\frac {m}{p}}\right)-\pi (p)+1\right)\ ,

जहां योग अभाज्य संख्याओं से अधिक है।

दूसरी ओर, की गणना $\ \Phi (m,n)\$ निम्नलिखित नियमों का उपयोग करके किया जा सकता है:

$\ \Phi (m,0)=\lfloor m\rfloor \$
$\ \Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{b}}},b-1\right)\$

इस पद्धति में और सुधार लैगरियास, मिलर, ओडलीज़को, डेलेग्लिज़ और रिवाट द्वारा किए गए।^[19]

अपनी विधि और आईबीएम 701 का उपयोग करके, लेहमर $\ \pi \left(10^{9}\right)\$ के सही मान की गणना करने में सक्षम था और $\pi \left(10^{10}\right)$ के सही मान से चूक गया 1 से है ^[20].इस पद्धति में और सुधार लैगरियास, मिलर, ओडलीज़को, डेलेग्लिज़ और रिवाट द्वारा किए गए।^[19]

अन्य अभाज्य-गणना कार्य

अन्य प्राइम-काउंटिंग कार्य का भी उपयोग किया जाता है क्योंकि उनके साथ काम करना अधिक सुविधाजनक होता है।

रीमैन का प्राइम-पॉवर गिनती फ़ंक्शन

रीमैन के प्राइम-पावर काउंटिंग फलन को सामान्यतः $\ \Pi _{0}(x)\$ $\ J_{0}(x)\ .$ के रूप में दर्शाया जाता है, इसमें प्राइम पावर $\ {\tfrac {1}{\ n\ }}\$ पर $\ p^{n}\ ,$ की छलांग होती है और यह $\ \pi (x)\ .$ के असंततता पर दोनों पक्षों के बीच आधे रास्ते का मान लेता है, अतिरिक्त विवरण का उपयोग किया जाता है क्योंकि तब फलन को व्युत्क्रम मेलिन परिवर्तन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

औपचारिक रूप से, हम परिभाषित कर सकते हैं $\ \Pi _{0}(x)\$ द्वारा

\ \Pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}~+~\sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}\right)\

जहां चर $p$ प्रत्येक योग में निर्दिष्ट सीमाओं के अंदर सभी अभाज्य संख्याओं पर सीमा होती है।

हम भी लिख सकते हैं

\ \Pi _{0}(x)=\sum _{n=2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}-{\frac {\Lambda (x)}{2\log x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}{\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}\

जहाँ $\ \Lambda (n)\$ मैंगोल्ड्ट फलन द्वारा है और

\pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ \pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )\ }{2}}\ .

मोबियस व्युत्क्रम सूत्र तब देता है

\pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ \mu (n)\ }{n}}\ \Pi _{0}{\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}\ ,

जहाँ $\ \mu (n)\$ मोबियस फलन है।

रीमैन ज़ेटा फलन के लघुगणक और वॉन मैंगोल्ड फलन के बीच संबंध को जानना $\Lambda$ , और हमारे पास उपस्थित पेरोन सूत्र का उपयोग कर रहे हैं

\ \log \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }\Pi _{0}(x)x^{-s-1}\ \mathrm {d} x\

चेबीशेव का कार्य

चेबीशेव कार्य $log(p)$ द्वारा अभाज्य संख्याओं या अभाज्य शक्तियों $p n$ का वजन करता है:

\ \theta (x)=\sum _{p\leq x}\log p\

\ \psi (x)\ =\ \sum _{p^{n}\leq x}\log p\ =\ \sum _{n=1}^{\infty }\theta {\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}\ =\ \sum _{n\leq x}\Lambda (n)\ .

के लिए $x\geq 2$ ,

\ \vartheta (x)=\pi (x)\ \log x\ -\ \int _{2}^{x}{\frac {\ \pi (t)\ }{t}}\ \mathrm {d} t\

और

\ \pi (x)={\frac {\vartheta (x)}{\ \log x\ }}+\int _{2}^{x}{\frac {\vartheta (t)}{\ t\ \log ^{2}(t)\ }}\ \mathrm {d} t\ .

^[21]

अभाज्य-गणना कार्यों के लिए सूत्र

अभाज्य-गणना कार्यों के सूत्र दो प्रकार के होते हैं: अंकगणितीय सूत्र और विश्लेषणात्मक सूत्र। अभाज्य-गणना के लिए विश्लेषणात्मक सूत्र सबसे पहले अभाज्य संख्या प्रमेय को सिद्ध करने के लिए उपयोग किए गए थे। वे रीमैन और हंस कार्ल फ्रेडरिक वॉन मैंगोल्ड्ट के काम से उपजे हैं, और सामान्यतः स्पष्ट सूत्र (एल-फ़ंक्शन) के रूप में जाने जाते हैं।^[22]

हमारे पास ψ के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति है:

\psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log 2\pi -{\frac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right),

कहाँ

\psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.

यहां ρ क्रिटिकल स्ट्रिप में रीमैन ज़ेटा फलन के शून्य हैं, जहां ρ का वास्तविक भाग शून्य और के बीच है। सूत्र से अधिक x के मानों के लिए मान्य है, जो रुचि का क्षेत्र है। जड़ों पर योग सनियम रूप से अभिसरण है, और इसे काल्पनिक भाग के पूर्ण मूल्य में वृद्धि के क्रम में लिया जाना चाहिए। ध्यान दें कि तुच्छ जड़ों पर समान योग सूत्र में अंतिम उपप्रकार देता है।

के लिए $\Pi _{0}(x)$ हमारे पास अधिक जटिल सूत्र है

\Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}.

ज़ेटा फलन के पहले 200 गैर-तुच्छ शून्य का उपयोग करते हुए रीमैन का स्पष्ट सूत्र

पुनः, सूत्र x > 1 के लिए मान्य है, जबकि ρ उनके निरपेक्ष मान के अनुसार क्रमित ज़ेटा फलन के गैर-तुच्छ शून्य हैं। अभिन्न तुच्छ शून्यों पर श्रृंखला के समान है:

\int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}\left(\sum _{m}t^{-2m}\right)\,\mathrm {d} t=\sum _{m}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\,\mathrm {d} t\,\,{\overset {(u=t^{-2m})}{=}}-\sum _{m}\operatorname {li} (x^{-2m})

पहला पद li(x) सामान्य लघुगणकीय अभिन्न फलन है; दूसरे पद में अभिव्यक्ति li(x^ρ) को Ei(ρ log x) के रूप में माना जाना चाहिए, जहां Ei सकारात्मक वास्तविकताओं के साथ शाखा कट के साथ नकारात्मक वास्तविकताओं से जटिल विमान तक घातीय अभिन्न फलन की विश्लेषणात्मक निरंतरता है।

इस प्रकार, मोबियस व्युत्क्रम सूत्र हमें देता है^[10]

\pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-\sum _{m}\operatorname {R} (x^{-2m})

x > 1 के लिए मान्य, जहाँ

\operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\log x)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}

रीमैन का आर-फलन है^[23] और $μ (n)$ मोबियस फलन है। इसके लिए बाद वाली श्रृंखला को ग्राम श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।^[24]^[25] क्योंकि सभी $x>0$ के लिए $\log(x)<x$ , यह श्रृंखला $e^{x}$ की श्रृंखला की तुलना में सभी सकारात्मक x के लिए अभिसरण करती है। गैर-तुच्छ शून्य योगदान पर योग की ग्राम श्रृंखला में लघुगणक का मूल्यांकन $\log x^{\rho }$ के रूप में नहीं किंतु $\rho \log x$ के रूप में किया जाना चाहिए।

फ़ोकमर बोर्नमैन ने परीक्षण किया^[26] जब यह अनुमान लगाया गया कि रीमैन ज़ेटा फलन के सभी शून्य सरल हैं, ^{[note 1]} कि

\operatorname {R} (e^{-2\pi t})={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta (2k+1)}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\rho }{\frac {t^{-\rho }}{\rho \cos(\pi \rho /2)\zeta '(\rho )}}

जहाँ $\rho$ रीमैन ज़ेटा फलन और $t>0$ के गैर-तुच्छ शून्य पर चलता है।

सूत्र में गैर-तुच्छ जीटा शून्य से अधिक का योग $\pi _{0}(x)$ के उतार-चढ़ाव का वर्णन करता है $\pi _{0}(x),$ जबकि शेष पद अभाज्य-गणना कार्य का सुचारू भाग देते हैं,^[27] तो कोई भी उपयोग कर सकता है

\operatorname {R} (x)-\sum _{m=1}^{\infty }\operatorname {R} (x^{-2m})

x > 1 के लिए $\pi (x)$ के एक अच्छे अनुमानक के रूप में। वास्तव में, चूंकि दूसरा पद 0 के पास $x\to \infty$ के रूप में पहुंचता है, जबकि "ध्वनि" भाग का आयाम अनुमानित रूप से ${\sqrt {x}}/\log x,$ $\pi (x)$ केवल $\operatorname {R} (x)$ द्वारा ही उतना ही अच्छा है, और अभाज्य संख्याओं के वितरण में उतार-चढ़ाव को फलन के साथ स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है

{\bigl (}\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x){\bigr )}{\frac {\log x}{\sqrt {x}}}.

असमानताएं

यहां $π$ (x) कुछ उपयोगी असमानताएं दी गई हैं

{\frac {x}{\log x}}<\pi (x)<1.25506{\frac {x}{\log x}}

x ≥ 17 के लिए.

बायीं असमानता x ≥ 17 के लिए है और दाहिनी असमानता x > 1 के लिए है। स्थिरांक 1.25506 है ${\textstyle {\frac {30\log 113}{113}}}$ 5 दशमलव स्थानों तक, जैसे ${\textstyle {\frac {\pi (x)\log x}{x}}}$ इसका अधिकतम मान x = 113 पर है।^[28]

पियरे डुसार्ड ने 2010 में सिद्ध किया:

{\frac {x}{\log x-1}}<\pi (x)

के लिए

x\geq 5393

, और

\pi (x)<{\frac {x}{\log x-1.1}}

के लिए

x\geq 60184

.^[29]

यहां nवें अभाज्य, p_n पृष्ठ के लिए कुछ असमानताएं दी गई हैं ऊपरी सीमा रोसेर (1941) के कारण है,^[30] निचली सीमा डुसार्ट (1999) के कारण है:^[31]

$n(\log(n\log n)-1)<p_{n}<n{\log(n\log n)}$ n ≥ 6 के लिए.है।

बायीं असमानता n ≥ 2 के लिए है और दाहिनी असमानता n ≥ 6 के लिए है।

nवें अभाज्य संख्या के लिए अनुमान है

p_{n}=n(\log(n\log n)-1)+{\frac {n(\log \log n-2)}{\log n}}+O\left({\frac {n(\log \log n)^{2}}{(\log n)^{2}}}\right).

रामानुजन^[32] ने असमानता को सिद्ध किया

\pi (x)^{2}<{\frac {ex}{\log x}}\pi \left({\frac {x}{e}}\right)

$x$ के सभी पर्याप्त बड़े मूल्यों के लिए धारण करता है

डुसार्ट ने सिद्ध किया (प्रस्ताव 6.6) कि $n\geq 688383$ के लिए।^[29]

p_{n}\leq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}\right),

और (प्रस्ताव 6.7) कि, के लिए

n\geq 3

,

p_{n}\geq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2.1}{\log n}}\right).

अभी वर्तमान ही में, डुसार्ट^[33]

सिद्ध कर दिया है (प्रमेय 5.1) कि, के लिए $x>1$ ,

\pi (x)\leq {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}+{\frac {7.59}{\log ^{3}x}}\right)

,

और वह, के लिए $x\geq 88789$ ,

\pi (x)>{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}\right).

रीमैन परिकल्पना

रीमैन परिकल्पना का तात्पर्य $\pi (x)$ के अनुमान में त्रुटि पर बहुत सख्त बंधन से है, और इसलिए अभाज्य संख्याओं का अधिक नियमित वितरण है,

\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).

विशेष रूप से,^[34]

|\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {\sqrt {x}}{8\pi }}\,\log {x},\qquad {\text{for all }}x\geq 2657.

यह भी देखें

फ़ोइया स्थिरांक
बर्ट्रेंड का अभिधारणा
ओपरमैन का अनुमान
रामानुजन प्राइम

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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[mathworld_pcf-2] Weisstein, Eric W. "Prime Counting Function". MathWorld.

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[34] Dusart, Pierre (January 2018). "अभाज्य संख्याओं पर कुछ कार्यों का स्पष्ट अनुमान". Ramanujan Journal. 45 (1): 225–234. doi:10.1007/s11139-016-9839-4. S2CID 125120533.

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[27] Montgomery showed that (assuming the Riemann hypothesis) at least 2/3 of all zeros are simple.

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Contents

विकास दर

अधिक स्पष्ट अनुमान

स्पष्ट रूप

$π$ (x), x / log x, और li(x) की तालिका

मूल्यांकन के लिए एल्गोरिदम $π$ (x)

मीसेल-लेहमर एल्गोरिदम

अन्य अभाज्य-गणना कार्य

रीमैन का प्राइम-पॉवर गिनती फ़ंक्शन

चेबीशेव का कार्य

अभाज्य-गणना कार्यों के लिए सूत्र

असमानताएं

रीमैन परिकल्पना

यह भी देखें

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Function representing the number of primes less than or equal to a given number}}
-{{Redirect|Π(x)|the variant of the gamma function|Gamma function#Pi function}}
+{{Redirect|Π(x)|गामा फ़ंक्शन का प्रकार|गामा फ़ंक्शन#पाई फ़ंक्शन}}
-गणित में, अभाज्य-गिनती फ़ंक्शन किसी [[वास्तविक संख्या]] ''x'' से कम या उसके बराबर [[अभाज्य संख्या]]ओं की संख्या की गणना करने वाला [[फ़ंक्शन (गणित)]] है।<ref name="Bach">{{cite book |first=Eric |last=Bach |author2=Shallit, Jeffrey |year=1996 |title=एल्गोरिथम संख्या सिद्धांत|publisher=MIT Press |isbn=0-262-02405-5 |pages=volume 1 page 234 section 8.8 |no-pp=true}}</ref><ref name="mathworld_pcf">{{MathWorld |title=Prime Counting Function |urlname=PrimeCountingFunction}}</ref> द्वारा दर्शाया जाता है {{pi}}(x) (pi|संख्या से असंबंधित {{pi}}).
+गणित में, अभाज्य-गिनती फलन किसी [[वास्तविक संख्या]] ''x'' से कम या उसके समान [[अभाज्य संख्या]]ओं की संख्या की गणना करने वाला [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] है।<ref name="Bach">{{cite book |first=Eric |last=Bach |author2=Shallit, Jeffrey |year=1996 |title=एल्गोरिथम संख्या सिद्धांत|publisher=MIT Press |isbn=0-262-02405-5 |pages=volume 1 page 234 section 8.8 |no-pp=true}}</ref><ref name="mathworld_pcf">{{MathWorld |title=Prime Counting Function |urlname=PrimeCountingFunction}}</ref> इसे π(x) (संख्या π से असंबंधित) द्वारा दर्शाया जाता है।
 [[Image:PrimePi.svg|thumb|right|400px|के मूल्य {{pi}}(n) पहले 60 धनात्मक पूर्णांकों के लिए]]
 ==विकास दर==
-{{main|Prime number theorem}}
+{{main|अभाज्य संख्या प्रमेय}}
-[[संख्या सिद्धांत]] में बहुत रुचि प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन का एसिम्प्टोटिक विश्लेषण है।<ref name="Caldwell">{{cite web | publisher=Chris K. Caldwell | title=How many primes are there? | url=http://primes.utm.edu/howmany.shtml | access-date=2008-12-02 | archive-date=2012-10-15 | archive-url=https://web.archive.org/web/20121015002415/http://primes.utm.edu/howmany.shtml | url-status=dead }}</ref><ref name="Dickson">{{cite book |author-link=L. E. Dickson| first=Leonard Eugene | last=Dickson | year=2005 | title=History of the Theory of Numbers, Vol. I: Divisibility and Primality | publisher=Dover Publications | isbn=0-486-44232-2}}</ref> इसका [[अनुमान]] 18वीं शताब्दी के अंत में [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] और [[एड्रियन मैरी लीजेंड्रे]] द्वारा लगाया गया था।
+[[संख्या सिद्धांत]] में बहुत रुचि प्राइम-काउंटिंग फलन का एसिम्प्टोटिक विश्लेषण है।<ref name="Caldwell">{{cite web | publisher=Chris K. Caldwell | title=How many primes are there? | url=http://primes.utm.edu/howmany.shtml | access-date=2008-12-02 | archive-date=2012-10-15 | archive-url=https://web.archive.org/web/20121015002415/http://primes.utm.edu/howmany.shtml | url-status=dead }}</ref><ref name="Dickson">{{cite book |author-link=L. E. Dickson| first=Leonard Eugene | last=Dickson | year=2005 | title=History of the Theory of Numbers, Vol. I: Divisibility and Primality | publisher=Dover Publications | isbn=0-486-44232-2}}</ref> इसका [[अनुमान]] 18वीं शताब्दी के अंत में [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] और [[एड्रियन मैरी लीजेंड्रे]] द्वारा लगाया गया था।
 <math display=block> \frac x {\log(x)} </math>
 जहां लॉग [[प्राकृतिक]] लघुगणक है, इस अर्थ में
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 <math display=block>\lim_{x\rightarrow\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1</math>
-जहां ली [[लघुगणकीय अभिन्न]] फलन है। अभाज्य संख्या प्रमेय को पहली बार 1896 में [[जैक्स हैडामर्ड]] और चार्ल्स जीन डे ला वेली-पौसिन द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया गया था, 1859 में [[बर्नहार्ड रीमैन]] द्वारा शुरू किए गए [[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन]] के गुणों का उपयोग करके। अभाज्य संख्या प्रमेय के प्रमाण नहीं ज़ेटा फ़ंक्शन या [[जटिल विश्लेषण]] का उपयोग 1948 के आसपास [[एटले सेलबर्ग]] और पॉल एर्डोस (अधिकांश भाग स्वतंत्र रूप से) द्वारा किया गया था।<ref name="Ireland">{{cite book | first=Kenneth | last=Ireland |author2=Rosen, Michael | year=1998 | title=आधुनिक संख्या सिद्धांत का एक शास्त्रीय परिचय| edition=Second | publisher=Springer | isbn=0-387-97329-X }}</ref>
+जहां ली [[लघुगणकीय अभिन्न]] फलन है। अभाज्य संख्या प्रमेय को पहली बार 1896 में [[जैक्स हैडामर्ड]] और चार्ल्स जीन डे ला वेली-पौसिन द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया गया था, 1859 में [[बर्नहार्ड रीमैन]] द्वारा प्रारंभ किए गए [[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन ज़ेटा]] फलन के गुणों का उपयोग करके। अभाज्य संख्या प्रमेय के प्रमाण नहीं ज़ेटा फलन या [[जटिल विश्लेषण]] का उपयोग 1948 के आसपास [[एटले सेलबर्ग]] और पॉल एर्डोस (अधिकांश भाग स्वतंत्र रूप से) द्वारा किया गया था।<ref name="Ireland">{{cite book | first=Kenneth | last=Ireland |author2=Rosen, Michael | year=1998 | title=आधुनिक संख्या सिद्धांत का एक शास्त्रीय परिचय| edition=Second | publisher=Springer | isbn=0-387-97329-X }}</ref>
+===अधिक स्पष्ट अनुमान===
+में, चार्ल्स जीन डे ला वेली पॉसिन|डे ला वेली पॉसिन ने सिद्ध किया गया कि <ref>See also Theorem 23 of {{cite book |author = A. E. Ingham |author-link = Albert Ingham |title = The Distribution of Prime Numbers |date=2000 |publisher = Cambridge University Press |isbn=0-521-39789-8}}</ref>
-===अधिक सटीक अनुमान===
-में, चार्ल्स जीन डे ला वेली पॉसिन|डे ला वेली पॉसिन ने साबित किया कि
-<ref>See also Theorem 23 of {{cite book |author = A. E. Ingham |author-link = Albert Ingham |title = The Distribution of Prime Numbers |date=2000 |publisher = Cambridge University Press |isbn=0-521-39789-8}}</ref>
 <math display=block>\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x e^{-a\sqrt{\log x}}\right) \quad\text{as } x \to \infty</math>
-कुछ सकारात्मक स्थिरांक के लिए {{mvar|a}}. यहाँ, {{math|''O''(...)}} बड़ा O अंकन है|बड़ा {{mvar|O}} संकेतन.
+कुछ सकारात्मक स्थिरांक के लिए a. यहाँ, {{math|''O''(...)}} बड़ा {{mvar|O}}अंकन है।
-का अधिक सटीक अनुमान <math>\pi(x)\!</math> अब ज्ञात हो गए हैं. उदाहरण के लिए, 2002 में, [[केविन फोर्ड (गणितज्ञ)]] ने यह साबित किया<ref name="Ford">{{cite journal |author = Kevin Ford |title=रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के लिए विनोग्रादोव का इंटीग्रल और बाउंड्स|journal=Proc. London Math. Soc. |date=November 2002 |volume=85 |issue=3 |pages=565–633 |url=https://faculty.math.illinois.edu/~ford/wwwpapers/zetabd.pdf |doi=10.1112/S0024611502013655 |arxiv=1910.08209 |s2cid=121144007 }}</ref>
+<math>\pi(x)\!</math> का अधिक स्पष्ट अनुमान! अब ज्ञात हो गए हैं. उदाहरण के लिए, 2002 में केविन फोर्ड ने यह सिद्ध किया था<ref name="Ford">{{cite journal |author = Kevin Ford |title=रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के लिए विनोग्रादोव का इंटीग्रल और बाउंड्स|journal=Proc. London Math. Soc. |date=November 2002 |volume=85 |issue=3 |pages=565–633 |url=https://faculty.math.illinois.edu/~ford/wwwpapers/zetabd.pdf |doi=10.1112/S0024611502013655 |arxiv=1910.08209 |s2cid=121144007 }}</ref>
 <math display=block>\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x \exp \left( -0.2098(\log x)^\frac35 (\log \log x)^{-\frac 1 5} \right) \right).</math>
-मॉसिंगहॉफ और ट्रुडजियन ने साबित किया<ref>{{cite journal | first1 = Michael J. | last1 = Mossinghoff  | first2 = Timothy S. | last2 = Trudgian | title = रीमैन ज़ेटा-फ़ंक्शन के लिए गैर-नकारात्मक त्रिकोणमितीय बहुपद और एक शून्य-मुक्त क्षेत्र| journal = J. Number Theory | volume = 157 | year = 2015 | pages = 329–349 | arxiv = 1410.3926 | doi = 10.1016/J.JNT.2015.05.010| s2cid = 117968965 }}</ref> के बीच अंतर के लिए स्पष्ट ऊपरी सीमा <math>\pi(x)</math> और <math>\operatorname{li}(x)</math>:
+मॉसिंगहॉफ और ट्रुडजियन ने  <math>\pi(x)</math> और <math>\operatorname{li}(x)</math>: के बीच अंतर के लिए एक स्पष्ट ऊपरी सीमा सिद्ध की है।<ref>{{cite journal | first1 = Michael J. | last1 = Mossinghoff  | first2 = Timothy S. | last2 = Trudgian | title = रीमैन ज़ेटा-फ़ंक्शन के लिए गैर-नकारात्मक त्रिकोणमितीय बहुपद और एक शून्य-मुक्त क्षेत्र| journal = J. Number Theory | volume = 157 | year = 2015 | pages = 329–349 | arxiv = 1410.3926 | doi = 10.1016/J.JNT.2015.05.010| s2cid = 117968965 }}</ref>
 <math display=block>\big| \pi(x) - \operatorname{li}(x) \big| \le 0.2593 \frac{x}{(\log x)^{3/4}} \exp \left( -\sqrt{ \frac{\log x}{6.315} } \right)</math>
 के लिए <math>x \ge 229</math>.
-के मूल्यों के लिए <math>x</math> जो अनुचित रूप से बड़े नहीं हैं, <math>\operatorname{li}(x)</math> से बड़ा है <math>\pi(x)</math>. हालाँकि, <math> \pi(x) - \operatorname{li}(x)</math> यह अनंत बार संकेत बदलने के लिए जाना जाता है। इसकी चर्चा के लिए स्केव्स का नंबर देखें।
+<math>x</math> के मानों के लिए जो अनुचित रूप से बड़े नहीं हैं, <math>\operatorname{li}(x)</math> <math>\pi(x)</math> से बड़ा है। चूँकि ,<math> \pi(x) - \operatorname{li}(x)</math> को अनंत बार संकेत बदलने के लिए जाना जाता है। इस पर चर्चा के लिए स्केव्स का नंबर देखें।
+===स्पष्ट रूप===
-===सटीक रूप===
-के लिए <math>x>1</math> होने देना <math>\pi_0 (x)=\pi(x)-1/2</math> कब <math>x</math> अभाज्य संख्या है, और <math>\pi_0 (x)=\pi(x)</math> अन्यथा। बर्नहार्ड रीमैन ने अपने काम [[किसी दिए गए परिमाण से कम अभाज्य संख्याओं पर]] में यह साबित किया <math>\pi_0(x)</math> के बराबर है<ref>{{Cite web|url=http://ism.uqam.ca/~ism/pdf/Hutama-scientific%20report.pdf|title=सेज में तर्कसंगत और गाऊसी अभाज्य के लिए रीमैन के स्पष्ट सूत्र का कार्यान्वयन|last=Hutama|first=Daniel|date=2017|website=Institut des sciences mathématiques}}</ref>
+<math>x>1</math> के लिए मान लीजिए कि <math>\pi_0 (x)=\pi(x)-1/2</math> जब <math>x</math> एक अभाज्य संख्या है, और अन्यथा <math>\pi_0 (x)=\pi(x)</math> बर्नहार्ड रीमैन ने अपने काम ऑन द नंबर ऑफ़ प्राइम्स लेस दैन अ गिवेन मैग्निट्यूड में सिद्ध किया कि <math>\pi_0(x)</math>समान है<ref>{{Cite web|url=http://ism.uqam.ca/~ism/pdf/Hutama-scientific%20report.pdf|title=सेज में तर्कसंगत और गाऊसी अभाज्य के लिए रीमैन के स्पष्ट सूत्र का कार्यान्वयन|last=Hutama|first=Daniel|date=2017|website=Institut des sciences mathématiques}}</ref>
-<math display=block>\pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho),</math>
+<math display="block">\pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho),</math>
 कहाँ
 <math display=block>\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n}),</math>
-{{math|''μ''(''n'')}} मोबियस फ़ंक्शन है, {{math|li(''x'')}} [[लॉगरिदमिक इंटीग्रल फ़ंक्शन]] है, ρ रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के प्रत्येक शून्य को अनुक्रमित करता है, और {{math|li(''x<sup>ρ/n</sup>'')}} का मूल्यांकन शाखा कटौती के साथ नहीं किया जाता बल्कि इसके रूप में माना जाता है {{math|Ei({{sfrac|''ρ''|''n''}} log ''x'')}} कहाँ {{math|Ei(''x'')}}घातांकीय अभिन्न अंग है. यदि तुच्छ शून्य एकत्र किए जाते हैं और योग केवल रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्य ρ पर लिया जाता है, तो <math>\pi_0(x)</math> द्वारा अनुमानित किया जा सकता है<ref name="RieselGohl">{{Cite journal | author1-link=Hans Riesel | last1=Riesel | first1=Hans | last2=Göhl | first2=Gunnar | title=रीमैन के अभाज्य संख्या सूत्र से संबंधित कुछ गणनाएँ| doi=10.2307/2004630 | mr=0277489  | year=1970 | journal=[[Mathematics of Computation]] | issn=0025-5718 | volume=24 | issue=112 | pages=969–983 | jstor=2004630 | publisher=American Mathematical Society |url=https://www.ams.org/journals/mcom/1970-24-112/S0025-5718-1970-0277489-3/S0025-5718-1970-0277489-3.pdf }}</ref>
+{{math|''μ''(''n'')}} मोबियस फलन है, {{math|li(''x'')}} लॉगरिदमिक इंटीग्रल फलन है, ρ रीमैन ज़ेटा फलन के प्रत्येक शून्य को अनुक्रमित करता है, और {{math|li(''x<sup>ρ/n</sup>'')}} का मूल्यांकन ब्रांच कट के साथ नहीं किया जाता है, चूँकि इसे {{math|Ei({{sfrac|''ρ''|''n''}} log ''x'')}} के रूप में माना जाता है x) जहां {{math|Ei(''x'')}} घातांकीय समाकलन है। यदि तुच्छ शून्य एकत्र किए जाते हैं और योग केवल रीमैन ज़ेटा फलन के गैर-तुच्छ शून्य ρ पर लिया जाता है, तो <math>\pi_0(x)</math> का अनुमान लगाया जा सकता है<ref name="RieselGohl">{{Cite journal | author1-link=Hans Riesel | last1=Riesel | first1=Hans | last2=Göhl | first2=Gunnar | title=रीमैन के अभाज्य संख्या सूत्र से संबंधित कुछ गणनाएँ| doi=10.2307/2004630 | mr=0277489  | year=1970 | journal=[[Mathematics of Computation]] | issn=0025-5718 | volume=24 | issue=112 | pages=969–983 | jstor=2004630 | publisher=American Mathematical Society |url=https://www.ams.org/journals/mcom/1970-24-112/S0025-5718-1970-0277489-3/S0025-5718-1970-0277489-3.pdf }}</ref>
 <math display=block>\pi_0(x) \approx \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho) - \frac{1}{\log{x}} + \frac{1}{\pi} \arctan{\frac{\pi}{\log{x}}} .</math>
-[[रीमैन परिकल्पना]] से पता चलता है कि ऐसा प्रत्येक गैर-तुच्छ शून्य साथ रहता है {{math|1=Re(''s'') = {{sfrac|1|2}}}}.
+रीमैन परिकल्पना से पता चलता है कि ऐसा प्रत्येक गैर-तुच्छ शून्य {{math|1=Re(''s'') = {{sfrac|1|2}}}} के अनुदिश होता है
-==की तालिका {{pi}}(x), x / log x, और li(x)==
+=={{pi}}(x), x / log x, और li(x) की तालिका==
-तालिका दर्शाती है कि ये तीनों कैसे कार्य करते हैं {{pi}}(x), x / log x और li(x) की तुलना 10 की घात पर करें। यह भी देखें,<ref name="Caldwell" /><ref name="Silva">{{cite web |title=Tables of values of pi(x) and of pi2(x) |url=http://www.ieeta.pt/~tos/primes.html |publisher=Tomás Oliveira e Silva |access-date=2008-09-14}}</ref> और<ref name="Gourdon">{{cite web |title=pi(x) के मानों की एक तालिका|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/pixtable.html |publisher=Xavier Gourdon, Pascal Sebah, Patrick Demichel |access-date=2008-09-14}}</ref>
+तालिका दर्शाती है कि ये तीनों कैसे कार्य करते हैं {{pi}}(x), x / log x और li(x) की तुलना 10 की घात पर करें। यह भी देखें,<ref name="Caldwell" /><ref name="Silva">{{cite web |title=Tables of values of pi(x) and of pi2(x) |url=http://www.ieeta.pt/~tos/primes.html |publisher=Tomás Oliveira e Silva |access-date=2008-09-14}}</ref> <ref name="Gourdon">{{cite web |title=pi(x) के मानों की एक तालिका|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/pixtable.html |publisher=Xavier Gourdon, Pascal Sebah, Patrick Demichel |access-date=2008-09-14}}</ref>
 :{| class="wikitable" style="text-align: right"
 ! ''x''
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 |1.52%
 |}
-[[File:Prime number theorem ratio convergence.svg|thumb|300px|प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन का अनुपात दिखाने वाला ग्राफ़ {{pi}}(x) इसके दो सन्निकटनों, x/log x और Li(x)। जैसे-जैसे x बढ़ता है (ध्यान दें कि x अक्ष लघुगणकीय है), दोनों अनुपात 1 की ओर बढ़ते हैं। x/log x का अनुपात ऊपर से बहुत धीरे-धीरे परिवर्तित होता है, जबकि Li(x) का अनुपात नीचे से अधिक तेज़ी से परिवर्तित होता है।]]पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में, {{pi}}(x) कॉलम अनुक्रम है {{OEIS2C|id=A006880}}, {{nowrap| {{pi}}(''x'') − ''x''/log ''x''}} अनुक्रम है {{OEIS2C|id=A057835}}, और {{nowrap|li(''x'') − {{pi}}(''x'')}} अनुक्रम है {{OEIS2C|id=A057752}}.
+[[File:Prime number theorem ratio convergence.svg|thumb|300px|प्राइम-काउंटिंग फलन का अनुपात दिखाने वाला ग्राफ़ {{pi}}(x) इसके दो सन्निकटनों, x/log x और Li(x)। जैसे-जैसे x बढ़ता है (ध्यान दें कि x अक्ष लघुगणकीय है), दोनों अनुपात 1 की ओर बढ़ते हैं। x/log x का अनुपात ऊपर से बहुत धीरे-धीरे परिवर्तित होता है, जबकि Li(x) का अनुपात नीचे से अधिक तेज़ी से परिवर्तित होता है।]]पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में, {{pi}}(x) कॉलम अनुक्रम है {{OEIS2C|id=A006880}}, {{nowrap| {{pi}}(''x'') − ''x''/log ''x''}} अनुक्रम है {{OEIS2C|id=A057835}}, और {{nowrap|li(''x'') − {{pi}}(''x'')}} अनुक्रम है {{OEIS2C|id=A057752}}.
-के लिए मूल्य {{pi}}(10<sup>24</sup>) की गणना मूल रूप से जे. ब्यूथे, जेन्स फ्रांके|जे द्वारा की गई थी। फ्रांके, ए. जोस्ट, और टी. क्लेनजंग रीमैन परिकल्पना को मानते हुए।<ref name="Franke">{{cite web |title=Conditional Calculation of pi(10<sup>24</sup>) |url=http://primes.utm.edu/notes/pi(10%5E24).html |publisher=Chris K. Caldwell |access-date=2010-08-03}}</ref>
+{{pi}}(10<sup>24</sup>) के मान की गणना मूल रूप से जे. ब्यूथे, जे. फ्रांके, ए. जोस्ट और टी. क्लेनजंग ने रीमैन परिकल्पना को मानते हुए की थी।<ref name="Franke">{{cite web |title=Conditional Calculation of pi(10<sup>24</sup>) |url=http://primes.utm.edu/notes/pi(10%5E24).html |publisher=Chris K. Caldwell |access-date=2010-08-03}}</ref> इसे बाद में डी. जे. प्लैट द्वारा एक गणना में बिना नियम सत्यापित किया गया।  {{pi}}(10<sup>25</sup>) का मान जे. ब्यूथे, जे. फ्रांके, ए. जोस्ट, और टी. क्लेनजंग के कारण है।<ref name="Buethe">{{cite web |title=How Many Primes Are There? |url=http://www.math.uni-bonn.de/people/jbuethe/topics/AnalyticPiX.html |publisher=J. Buethe |access-date=2015-09-01}}</ref> {{pi}}(10<sup>26</sup>)  के मान की गणना डी.बी. स्टेपल द्वारा की गई थी।<ref name="Staple">{{cite thesis |title=pi(x) की गणना के लिए कॉम्बिनेटोरियल एल्गोरिदम|date=19 August 2015 |url=http://dalspace.library.dal.ca/handle/10222/60524 |publisher=Dalhousie University |access-date=2015-09-01|type=Thesis |last1=Staple |first1=Douglas }}</ref> इस तालिका में अन्य सभी पूर्व प्रविष्टियों को भी उस कार्य के भाग के रूप में सत्यापित किया गया था।
-इसे बाद में डी. जे. प्लैट द्वारा गणना में बिना शर्त सत्यापित किया गया।<ref name="PlattARXIV2012">{{cite arXiv |title=Computing {{pi}}(''x'') Analytically) |eprint=1203.5712|last1= Platt|first1=David J.|class=math.NT|year=2012}}</ref>
-के लिए मूल्य {{pi}}(10<sup>25</sup>) जे. ब्यूथे, जेन्स फ्रांके|जे के कारण है। फ्रांके, ए. जोस्ट, और टी. क्लेनजंग।<ref name="Buethe">{{cite web |title=How Many Primes Are There? |url=http://www.math.uni-bonn.de/people/jbuethe/topics/AnalyticPiX.html |publisher=J. Buethe |access-date=2015-09-01}}</ref> के लिए मूल्य {{pi}}(10<sup>26</sup>) की गणना डी. बी. स्टेपल द्वारा की गई थी।<ref name="Staple">{{cite thesis |title=pi(x) की गणना के लिए कॉम्बिनेटोरियल एल्गोरिदम|date=19 August 2015 |url=http://dalspace.library.dal.ca/handle/10222/60524 |publisher=Dalhousie University |access-date=2015-09-01|type=Thesis |last1=Staple |first1=Douglas }}</ref> इस तालिका में अन्य सभी पूर्व प्रविष्टियों को भी उस कार्य के भाग के रूप में सत्यापित किया गया था।
+<sup>27</sup> का मान की घोषणा 2015 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी।<ref>{{cite web|website=Mersenne Forum|first=Kim |last=Walisch|title=New confirmed pi(10^27) prime counting function record|date=September 6, 2015|url=http://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=20473}}</ref>
+<sup>28</sup>  का मान  की घोषणा 2020 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी।<ref>{{cite web |last=Baugh |first=David |date=Oct 26, 2020 |title=New confirmed pi(10^28) prime counting function record |url=https://oeis.org/A006880 |website=OEIS}}</ref>
+<sup>29</sup> का मान की घोषणा 2022 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी।<ref>{{cite web |last=Baugh |first=David |date=Feb 28, 2022 |title=New confirmed pi(10^29) prime counting function record |url=https://oeis.org/A006880 |website=OEIS}}</ref>
-का मान<sup>27</sup>की घोषणा 2015 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी।<ref>{{cite web|website=Mersenne Forum|first=Kim |last=Walisch|title=New confirmed pi(10^27) prime counting function record|date=September 6, 2015|url=http://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=20473}}</ref>
-का मान<sup>28</sup>की घोषणा 2020 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी।<ref>{{cite web |last=Baugh |first=David |date=Oct 26, 2020 |title=New confirmed pi(10^28) prime counting function record |url=https://oeis.org/A006880 |website=OEIS}}</ref>
-का मान<sup>29</sup>की घोषणा 2022 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी।<ref>{{cite web |last=Baugh |first=David |date=Feb 28, 2022 |title=New confirmed pi(10^29) prime counting function record |url=https://oeis.org/A006880 |website=OEIS}}</ref>
 == मूल्यांकन के लिए एल्गोरिदम {{pi}}(x) ==
-खोजने का सरल तरीका <math>\pi(x)</math>, अगर <math>x</math> बहुत बड़ा नहीं है, इससे कम या उसके बराबर अभाज्य प्राप्त करने के लिए [[एराटोस्थनीज़ की छलनी]] का उपयोग करना है <math>x</math> और फिर उन्हें गिनना है.
+<math>\pi(x)</math> को खोजने का एक आसान विधि यदि <math>x</math> बहुत बड़ा नहीं है, तो एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करके <math>x</math> से कम या उसके समान अभाज्य प्राप्त करें और फिर उन्हें गिनना है.
-खोजने का अधिक विस्तृत तरीका <math>\pi(x)</math> एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे (समावेश-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करके) के कारण है: दिया गया <math>x</math>, अगर <math>p_1,p_2,\ldots,p_n</math> अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ हैं, तो पूर्णांकों की संख्या इससे कम या उसके बराबर है <math>x</math> जो संख्या से विभाज्य हैं <math>p_i</math> है
+<math>\pi(x)</math> को खोजने का एक अधिक विस्तृत विधि लीजेंड्रे (समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करके) के कारण है: दिया गया <math>x</math>, यदि <math>p_1,p_2,\ldots,p_n</math> अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ हैं, तो <math>x</math> से कम या उसके समान पूर्णांकों की संख्या जो किसी भी <math>p_i</math> से विभाज्य नहीं है
 :<math>\lfloor x\rfloor - \sum_{i}\left\lfloor\frac{x}{p_i}\right\rfloor + \sum_{i<j} \left\lfloor\frac{x}{p_ip_j}\right\rfloor - \sum_{i<j<k}\left\lfloor\frac{x}{p_ip_jp_k}\right\rfloor + \cdots</math>
-(कहाँ <math>\lfloor{x}\rfloor</math> [[फर्श समारोह]] को दर्शाता है)। इसलिए यह संख्या बराबर है
+जहां <math>\lfloor{x}\rfloor</math> फ्लोर फलन को दर्शाता है)। इसलिए यह संख्या समान है
 :<math>\pi(x)-\pi\left(\sqrt{x}\right)+1</math>
-जब संख्याएँ <math>p_1, p_2,\ldots,p_n</math> अभाज्य संख्याएँ वर्गमूल से छोटी या उसके बराबर होती हैं <math>x</math>.
+जब संख्याएँ <math>p_1, p_2,\ldots,p_n</math>,  <math>x</math> के वर्गमूल से कम या उसके समान की अभाज्य संख्याएँ हों।
 === मीसेल-लेहमर एल्गोरिदम ===
-{{main|Meissel–Lehmer algorithm}}
+{{main|मीसेल-लेहमर एल्गोरिदम}}
-और 1885 के बीच प्रकाशित लेखों की श्रृंखला में, [[अर्न्स्ट मीसेल]] ने मूल्यांकन के व्यावहारिक संयोजन तरीके का वर्णन किया (और उपयोग किया) <math>\ \pi(x)\ :</math> होने देना <math>\ p_1, p_2, \ldots, p_n\ </math> पहले रहो <math>\ n\ </math> अभाज्य और द्वारा निरूपित करें <math>\Phi(m,n)</math> प्राकृतिक संख्याओं की संख्या से अधिक नहीं <math>\ m\ </math> जो किसी से भी विभाज्य नहीं हैं <math>\ p_i\ </math> किसी के लिए <math>\ i \leq n\ .</math> तब
+और 1885 के बीच प्रकाशित लेखों की एक श्रृंखला में, अर्न्स्ट मीसेल ने मूल्यांकन करने का एक व्यावहारिक संयोजनात्मक विधि बताया (और उपयोग किया) <math>\ \pi(x)\ :</math> मान लीजिए कि <math>\ p_1, p_2, \ldots, p_n\ </math>,<math>\ n\ </math>पहले <math>\Phi(m,n)</math> अभाज्य हैं और निरूपित करते हैं <math>\Phi(m,n)</math> से प्राकृतिक संख्याओं की संख्या <math>\ m\ </math> से अधिक नहीं है जो किसी भी <math>\ p_i\ </math> के लिए किसी भी <math>\ i \leq n\ .</math> से विभाज्य नहीं हैं
 : <math>\Phi(m,n)=\Phi(m,n-1)-\Phi\left(\frac m {p_n},n-1\right).</math>
-एक प्राकृतिक संख्या दी गई है <math>\ m\ ,</math> अगर <math>\ n = \pi\left(\sqrt[3]{m}\right)\ </math> और अगर <math>\ \mu = \pi\left(\sqrt{m}\right) - n\ ,</math> तब
+एक प्राकृत संख्या दी गई है <math>\ m\ ,</math>यदि <math>\ n = \pi\left(\sqrt[3]{m}\right)\ </math> और यदि<math>\ \mu = \pi\left(\sqrt{m}\right) - n\ ,</math> है तो
 :<math>\pi(m) = \Phi(m,n)+n(\mu+1)+\frac{\mu^2-\mu} 2 - 1 - \sum_{k=1}^\mu\pi\left(\frac m {p_{n+k}}\right)\ .</math>
-इस दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, मीसेल ने गणना की <math>\ \pi(x)\ ,</math> के लिए <math>\ x\ </math> 5× के बराबर{{10^|5}}, {{10^|6}}, {{10^|7}}, और {{10^|8}}.
-में, [[डेरिक हेनरी लेहमर]] ने मीसेल की पद्धति का विस्तार और सरलीकरण किया। वास्तव में परिभाषित करें <math>\ m\ </math> और प्राकृतिक संख्याओं के लिए <math>\ n\ </math> और <math>\ k\ ,</math> <math>\ P_k(m,n)\ </math> क्योंकि संख्याओं की संख्या से अधिक नहीं है {{mvar|m}}बिलकुल के साथ {{mvar|k}} अभाज्य गुणनखंड, सभी इससे बड़े <math>\ p_n\ .</math> इसके अलावा, सेट करें <math>\ P_0(m,n) = 1\ .</math> तब
+इस दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, मीसेल ने <math>\ \pi(x)\ ,</math> के लिए <math>\ x\ </math> की गणना  5×{{10^|5}}, {{10^|6}}, {{10^|7}}, और {{10^|8}} के समान्य की।
+में, डेरिक हेनरी लेहमर ने मीसेल की पद्धति का विस्तार और सरलीकरण किया। परिभाषित करें, वास्तविक <math>\ m\ </math> के लिए और प्राकृतिक संख्याओं <math>\ n\ </math>और <math>\ k\ ,</math> के लिए <math>\ P_k(m,n)\ </math> बिल्कुल k अभाज्य कारकों के साथ m से अधिक नहीं होने वाली संख्याओं की संख्या, सभी <math>\ p_n\ .</math>से अधिक इसके अतिरिक्त सेट करें <math>\ P_0(m,n) = 1\ .</math> फिर
 :<math>\ \Phi(m,n) = \sum_{k=0}^{+\infty} P_k(m,n)\ </math>
-जहां योग में वास्तव में केवल सीमित रूप से कई गैर-शून्य पद होते हैं। होने देना <math>\ y\ </math> पूर्णांक को इस प्रकार निरूपित करें <math>\ \sqrt[3]{m\ } \le y \le \sqrt{m\ }\ ,</math> और सेट करें <math>\ n = \pi(y)\ .</math> तब <math>\ P_1(m,n) = \pi(m) - n\ </math> और <math>\ P_k(m,n) = 0\ </math> कब <math>\ k \geq 3\ .</math> इसलिए,
+जहां योग में वास्तव में केवल सीमित रूप से कई गैर-शून्य पद होते हैं। होने देना <math>\ y\ </math> पूर्णांक को इस प्रकार निरूपित करें <math>\ \sqrt[3]{m\ } \le y \le \sqrt{m\ }\ ,</math> और सेट करें <math>\ n = \pi(y)\ .</math> तब <math>\ P_1(m,n) = \pi(m) - n\ </math> और <math>\ P_k(m,n) = 0\ </math> जब <math>\ k \geq 3\ .</math> इसलिए,
 :<math>\ \pi(m) = \Phi(m,n) + n - 1 - P_2(m,n)\ </math>
@@ Line 305: / Line 311: @@
 #<math>\ \Phi(m,0) = \lfloor m\rfloor\ </math>
 #<math>\ \Phi(m,b) = \Phi(m,b-1) - \Phi\left(\frac m{p_b},b-1\right)\ </math>
-अपनी पद्धति और [[आईबीएम 701]] का उपयोग करके, लेहमर सही मूल्य की गणना करने में सक्षम था <math>\ \pi\left(10^{9}\right)\ </math> और का सही मान चूक गया <math>\pi\left(10^{10}\right)</math> 1 द्वारा.<ref name="lehmer">{{cite journal |last=Lehmer |first=Derrick Henry |date=1 April 1958 |title=दी गई सीमा से कम अभाज्य संख्याओं की सटीक संख्या पर|journal=Illinois J. Math. |volume=3 |issue=3 |pages=381–388 |url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ijm/1255455259 |access-date=1 February 2017 }}</ref>
 इस पद्धति में और सुधार लैगरियास, मिलर, ओडलीज़को, डेलेग्लिज़ और रिवाट द्वारा किए गए।<ref name="pix_comp">{{cite journal |author1 = Deléglise, Marc |author2 = Rivat, Joel |date=January 1996 |title=कंप्यूटिंग {{गणित|&pi;(''x'')}}: The Meissel, Lehmer, Lagarias, Miller, Odlyzko method  |journal=Mathematics of Computation |volume=65 |issue=213 |pages=235–245 |doi = 10.1090/S0025-5718-96-00674-6 |doi-access=free |url=https://www.ams.org/mcom/1996-65-213/S0025-5718-96-00674-6/S0025-5718-96-00674-6.pdf }}</ref>
+अपनी विधि और आईबीएम 701 का उपयोग करके, लेहमर <math>\ \pi\left(10^{9}\right)\ </math>के सही मान की गणना करने में सक्षम था और <math>\pi\left(10^{10}\right)</math> के सही मान से चूक गया 1 से है <ref name="lehmer">{{cite journal |last=Lehmer |first=Derrick Henry |date=1 April 1958 |title=दी गई सीमा से कम अभाज्य संख्याओं की सटीक संख्या पर|journal=Illinois J. Math. |volume=3 |issue=3 |pages=381–388 |url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ijm/1255455259 |access-date=1 February 2017 }}</ref>.इस पद्धति में और सुधार लैगरियास, मिलर, ओडलीज़को, डेलेग्लिज़ और रिवाट द्वारा किए गए।<ref name="pix_comp" />
 ==अन्य अभाज्य-गणना कार्य==
-अन्य प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शंस का भी उपयोग किया जाता है क्योंकि उनके साथ काम करना अधिक सुविधाजनक होता है।
+अन्य प्राइम-काउंटिंग कार्य का भी उपयोग किया जाता है क्योंकि उनके साथ काम करना अधिक सुविधाजनक होता है।
 ===रीमैन का प्राइम-पॉवर गिनती फ़ंक्शन===
-रीमैन के प्राइम-पॉवर काउंटिंग फ़ंक्शन को आमतौर पर इस रूप में दर्शाया जाता है <math>\ \Pi_0(x)\ </math> या <math>\ J_0(x)\ .</math> की छलांग है <math>\ \tfrac{1}{\ n\ }\ </math> प्रमुख शक्तियों पर <math>\ p^n\ ,</math> और यह दोनों पक्षों के बीच के अंतर पर आधा मान लेता है <math>\ \pi(x)\ .</math> उस अतिरिक्त विवरण का उपयोग किया जाता है क्योंकि फ़ंक्शन को व्युत्क्रम [[मध्य परिवर्तन]] द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।
+रीमैन के प्राइम-पावर काउंटिंग फलन को सामान्यतः <math>\ \Pi_0(x)\ </math> <math>\ J_0(x)\ .</math>के रूप में दर्शाया जाता है, इसमें प्राइम पावर <math>\ \tfrac{1}{\ n\ }\ </math> पर <math>\ p^n\ ,</math> की छलांग होती है और यह <math>\ \pi(x)\ .</math> के असंततता पर दोनों पक्षों के बीच आधे रास्ते का मान लेता है, अतिरिक्त विवरण का उपयोग किया जाता है क्योंकि तब फलन को व्युत्क्रम मेलिन परिवर्तन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।
 औपचारिक रूप से, हम परिभाषित कर सकते हैं <math>\ \Pi_0(x)\ </math> द्वारा
 :<math>\ \Pi_0(x) = \frac{1}{2} \left( \sum_{p^n < x} \frac{1}{n} ~ + ~ \sum_{p^n \le x} \frac{1}{n} \right)\ </math>
-जहां चर {{mvar|p}} प्रत्येक योग में निर्दिष्ट सीमाओं के भीतर सभी अभाज्य संख्याओं पर सीमा होती है।
+जहां चर {{mvar|p}} प्रत्येक योग में निर्दिष्ट सीमाओं के अंदर  सभी अभाज्य संख्याओं पर सीमा होती है।
 हम भी लिख सकते हैं
 :<math>\ \Pi_0(x) = \sum_{n=2}^x \frac{\Lambda(n)}{\log n} - \frac{\Lambda(x)}{2\log x} = \sum_{n=1}^\infty \frac 1 n \pi_0\bigl(x^{1/n}\bigr)\ </math>
-कहाँ <math>\ \Lambda(n)\ </math> [[मैंगोल्ड्ट फ़ंक्शन द्वारा]] है और
+जहाँ <math>\ \Lambda(n)\ </math> [[मैंगोल्ड्ट फ़ंक्शन द्वारा|मैंगोल्ड्ट फलन द्वारा]] है और
 ::::::::::::::::::::<math>\pi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\ \pi(x-\varepsilon) + \pi(x+\varepsilon)\ }{2}\ .</math>
 मोबियस व्युत्क्रम सूत्र तब देता है
 :<math>\pi_0(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\ \mu(n)\ }{n}\ \Pi_0\bigl(x^{1/n}\bigr)\ ,</math>
-कहाँ <math>\ \mu(n)\ </math> मोबियस फ़ंक्शन है।
+जहाँ <math>\ \mu(n)\ </math> मोबियस फलन है।
-रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के लघुगणक और वॉन मैंगोल्ड फ़ंक्शन के बीच संबंध को जानना <math>\Lambda</math>, और हमारे पास मौजूद [[पेरोन सूत्र]] का उपयोग कर रहे हैं
+रीमैन ज़ेटा फलन के लघुगणक और वॉन मैंगोल्ड फलन के बीच संबंध को जानना <math>\Lambda</math>, और हमारे पास उपस्थित [[पेरोन सूत्र]] का उपयोग कर रहे हैं
 :<math>\ \log \zeta(s) = s \int_0^\infty \Pi_0(x) x^{-s-1}\ \mathrm{d}x\ </math>
 === चेबीशेव का कार्य ===
-[[चेबीशेव समारोह]] अभाज्य संख्याओं या अभाज्य शक्तियों को महत्व देता है {{mvar| p{{sup|n}} }} द्वारा {{math|log(''p'')}}:
+चेबीशेव कार्य  {{math|log(''p'')}}द्वारा अभाज्य संख्याओं या अभाज्य शक्तियों {{mvar| p{{sup|n}} }} का वजन करता है:
 :<math>\ \theta(x) = \sum_{p\le x} \log p\ </math>
@@ Line 347: / Line 356: @@
 ==अभाज्य-गणना कार्यों के लिए सूत्र==
-अभाज्य-गणना कार्यों के सूत्र दो प्रकार के होते हैं: अंकगणितीय सूत्र और विश्लेषणात्मक सूत्र। अभाज्य-गणना के लिए विश्लेषणात्मक सूत्र सबसे पहले अभाज्य संख्या प्रमेय को सिद्ध करने के लिए उपयोग किए गए थे। वे रीमैन और [[हंस कार्ल फ्रेडरिक वॉन मैंगोल्ड्ट]] के काम से उपजे हैं, और आम तौर पर [[स्पष्ट सूत्र (एल-फ़ंक्शन)]] के रूप में जाने जाते हैं।<ref name="Titchmarsh">{{cite book |first=E.C. |last=Titchmarsh |year=1960 |title=The Theory of Functions, 2nd ed. |publisher=Oxford University Press}}</ref>
+अभाज्य-गणना कार्यों के सूत्र दो प्रकार के होते हैं: अंकगणितीय सूत्र और विश्लेषणात्मक सूत्र। अभाज्य-गणना के लिए विश्लेषणात्मक सूत्र सबसे पहले अभाज्य संख्या प्रमेय को सिद्ध करने के लिए उपयोग किए गए थे। वे रीमैन और [[हंस कार्ल फ्रेडरिक वॉन मैंगोल्ड्ट]] के काम से उपजे हैं, और सामान्यतः [[स्पष्ट सूत्र (एल-फ़ंक्शन)]] के रूप में जाने जाते हैं।<ref name="Titchmarsh">{{cite book |first=E.C. |last=Titchmarsh |year=1960 |title=The Theory of Functions, 2nd ed. |publisher=Oxford University Press}}</ref>
 हमारे पास ψ के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति है:
@@ Line 354: / Line 364: @@
 : <math>\psi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\psi(x - \varepsilon) + \psi(x + \varepsilon)}{2}.</math>
-यहां ρ क्रिटिकल स्ट्रिप में रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य हैं, जहां ρ का वास्तविक भाग शून्य और के बीच है। सूत्र से अधिक x के मानों के लिए मान्य है, जो रुचि का क्षेत्र है। जड़ों पर योग सशर्त रूप से अभिसरण है, और इसे काल्पनिक भाग के पूर्ण मूल्य में वृद्धि के क्रम में लिया जाना चाहिए। ध्यान दें कि तुच्छ जड़ों पर समान योग सूत्र में अंतिम उपप्रकार देता है।
+यहां ρ क्रिटिकल स्ट्रिप में रीमैन ज़ेटा फलन के शून्य हैं, जहां ρ का वास्तविक भाग शून्य और के बीच है। सूत्र से अधिक x के मानों के लिए मान्य है, जो रुचि का क्षेत्र है। जड़ों पर योग सनियम रूप से अभिसरण है, और इसे काल्पनिक भाग के पूर्ण मूल्य में वृद्धि के क्रम में लिया जाना चाहिए। ध्यान दें कि तुच्छ जड़ों पर समान योग सूत्र में अंतिम उपप्रकार देता है।
 के लिए <math>\Pi_0(x)</math> हमारे पास अधिक जटिल सूत्र है
@@ Line 360: / Line 370: @@
 :<math>\Pi_0(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_{\rho} \operatorname{li}(x^\rho) - \log 2 + \int_x^\infty \frac{dt}{t \left(t^2 - 1\right) \log t}.</math>
-[[File:Riemann Explicit Formula.gif|thumb|ज़ेटा फ़ंक्शन के पहले 200 गैर-तुच्छ शून्य का उपयोग करते हुए रीमैन का स्पष्ट सूत्र]]पुनः, सूत्र x > 1 के लिए मान्य है, जबकि ρ उनके निरपेक्ष मान के अनुसार क्रमित ज़ेटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्य हैं। अभिन्न तुच्छ शून्यों पर श्रृंखला के बराबर है:
+[[File:Riemann Explicit Formula.gif|thumb|ज़ेटा फलन के पहले 200 गैर-तुच्छ शून्य का उपयोग करते हुए रीमैन का स्पष्ट सूत्र]]पुनः, सूत्र x > 1 के लिए मान्य है, जबकि ρ उनके निरपेक्ष मान के अनुसार क्रमित ज़ेटा फलन के गैर-तुच्छ शून्य हैं। अभिन्न तुच्छ शून्यों पर श्रृंखला के समान है:
 :<math>\int_x^\infty \frac{\mathrm dt}{t \left(t^2 - 1\right) \log t}=\int_x^\infty \frac{1}{t\log t}
@@ Line 366: / Line 376: @@
 \,\mathrm dt \,\,\overset{(u=t^{-2m})}{=}-\sum_{m} \operatorname{li}(x^{-2m})
 </math>
-पहला पद li(x) सामान्य लघुगणकीय अभिन्न फलन है; अभिव्यक्ति li(x<sup>दूसरे पद में ρ</sup>) को ईआई (ρ लॉग एक्स) के रूप में माना जाना चाहिए, जहां ईआई सकारात्मक वास्तविकताओं के साथ शाखा कटौती के साथ नकारात्मक वास्तविक से जटिल विमान तक घातीय अभिन्न कार्य की [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] है।
+पहला पद li(''x'') सामान्य लघुगणकीय अभिन्न फलन है; दूसरे पद में अभिव्यक्ति  li(''x<sup>ρ</sup>'')  को Ei(''ρ'' log ''x'') के रूप में माना जाना चाहिए, जहां Ei सकारात्मक वास्तविकताओं के साथ शाखा कट के साथ नकारात्मक वास्तविकताओं से जटिल विमान तक घातीय अभिन्न फलन की विश्लेषणात्मक निरंतरता है।
 इस प्रकार, मोबियस व्युत्क्रम सूत्र हमें देता है<ref name="RieselGohl" />
@@ Line 374: / Line 384: @@
 :<math>\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n}) = 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac{(\log x)^k}{k! k \zeta(k+1)}</math>
-रीमैन का आर-फ़ंक्शन है<ref name="mathworld_r">{{MathWorld |title=Riemann Prime Counting Function |urlname=RiemannPrimeCountingFunction}}</ref> और {{math|''μ''(''n'')}} मोबियस फ़ंक्शन है। इसके लिए हँसी श्रृंखला को जोर्जेन पेडर्सन ग्राम श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।<ref name="Riesel94">{{cite book | title=गुणनखंडन के लिए अभाज्य संख्याएँ और कंप्यूटर विधियाँ| edition=2nd | first=Hans | last=Riesel | author-link=Hans Riesel | series=Progress in Mathematics | volume=126 | publisher=Birkhäuser | year=1994 | isbn=0-8176-3743-5 | pages=50–51 }}</ref><ref name="mathworld_gram">{{MathWorld |title=Gram Series |urlname=GramSeries}}</ref> क्योंकि <math>\log(x) < x</math> सभी के लिए <math>x > 0</math>, यह श्रृंखला सभी सकारात्मक x के लिए श्रृंखला की तुलना में अभिसरण करती है <math>e^x</math>. गैर-तुच्छ शून्य योगदान पर योग की ग्राम श्रृंखला में लघुगणक का मूल्यांकन इस प्रकार किया जाना चाहिए <math>\rho\log x
+रीमैन का आर-फलन है<ref name="mathworld_r">{{MathWorld |title=Riemann Prime Counting Function |urlname=RiemannPrimeCountingFunction}}</ref> और {{math|''μ''(''n'')}} मोबियस फलन है। इसके लिए बाद वाली श्रृंखला को ग्राम श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।<ref name="Riesel94">{{cite book | title=गुणनखंडन के लिए अभाज्य संख्याएँ और कंप्यूटर विधियाँ| edition=2nd | first=Hans | last=Riesel | author-link=Hans Riesel | series=Progress in Mathematics | volume=126 | publisher=Birkhäuser | year=1994 | isbn=0-8176-3743-5 | pages=50–51 }}</ref><ref name="mathworld_gram">{{MathWorld |title=Gram Series |urlname=GramSeries}}</ref> क्योंकि सभी <math>x > 0</math> के लिए<math>\log(x) < x</math>, यह श्रृंखला <math>e^x</math> की श्रृंखला की तुलना में सभी सकारात्मक x के लिए अभिसरण करती है। गैर-तुच्छ शून्य योगदान पर योग की ग्राम श्रृंखला में लघुगणक का मूल्यांकन <math>\log x^\rho
-</math> और नहीं <math>\log x^\rho
+</math> के रूप में नहीं किंतु <math>\rho\log x
-</math>.
+</math> के रूप में किया जाना चाहिए।
-फ़ोकमर बोर्नमैन ने परीक्षण किया,<ref>{{cite web |last=Bornemann | first=Folkmar |title=Solution of a Problem Posed by Jörg Waldvogel |url=http://www-m3.ma.tum.de/bornemann/RiemannRZero.pdf }}</ref> यह अनुमान लगाते समय कि रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के सभी शून्य सरल हैं,<ref group="note">[[Hugh Lowell Montgomery|Montgomery]] showed that (assuming the Riemann hypothesis) at least 2/3 of all zeros are simple.</ref> वह
+फ़ोकमर बोर्नमैन ने परीक्षण किया<ref>{{cite web |last=Bornemann | first=Folkmar |title=Solution of a Problem Posed by Jörg Waldvogel |url=http://www-m3.ma.tum.de/bornemann/RiemannRZero.pdf }}</ref> जब यह अनुमान लगाया गया कि रीमैन ज़ेटा फलन के सभी शून्य सरल हैं, <ref group="note">[[Hugh Lowell Montgomery|Montgomery]] showed that (assuming the Riemann hypothesis) at least 2/3 of all zeros are simple.</ref> कि
 :<math>\operatorname{R}(e^{-2\pi t})=\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta(2k+1)}+\frac12\sum_{\rho}\frac{t^{-\rho}}{\rho\cos(\pi\rho/2)\zeta'(\rho)}</math>
-कहाँ <math>\rho</math> रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्यों पर चलता है और <math>t>0</math>.
+जहाँ <math>\rho</math> रीमैन ज़ेटा फलन और <math>t>0</math> के गैर-तुच्छ शून्य पर चलता है।
-सूत्र में गैर-तुच्छ जीटा शून्य से अधिक का योग <math>\pi_0(x)</math> के उतार-चढ़ाव का वर्णन करता है <math>\pi_0(x),</math> जबकि शेष पद अभाज्य-गणना कार्य का सुचारू हिस्सा देते हैं,<ref name="Watkins">{{cite web |title=जीटा शून्य द्वारा प्राइम वितरण की एन्कोडिंग|url=http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/encoding1.htm |publisher=Matthew Watkins |access-date=2008-09-14}}</ref> तो कोई भी उपयोग कर सकता है
+सूत्र में गैर-तुच्छ जीटा शून्य से अधिक का योग <math>\pi_0(x)</math> के उतार-चढ़ाव का वर्णन करता है <math>\pi_0(x),</math> जबकि शेष पद अभाज्य-गणना कार्य का सुचारू भाग देते हैं,<ref name="Watkins">{{cite web |title=जीटा शून्य द्वारा प्राइम वितरण की एन्कोडिंग|url=http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/encoding1.htm |publisher=Matthew Watkins |access-date=2008-09-14}}</ref> तो कोई भी उपयोग कर सकता है
 :<math>\operatorname{R}(x) - \sum_{m=1}^\infty \operatorname{R}(x^{-2m})</math>
-के अच्छे अनुमानक के रूप में <math>\pi(x)</math> x > 1 के लिए। वास्तव में, चूंकि दूसरा पद 0 के करीब पहुंचता है <math>x\to\infty</math>, जबकि शोर वाले भाग का आयाम अनुमानतः लगभग होता है <math>\sqrt{x}/\log x,</math> आकलन <math>\pi(x)</math> द्वारा <math>\operatorname{R}(x)</math> अकेला उतना ही अच्छा है, और अभाज्य संख्याओं के वितरण में उतार-चढ़ाव को फ़ंक्शन के साथ स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है
+x > 1 के लिए <math>\pi(x)</math>के एक अच्छे अनुमानक के रूप में। वास्तव में, चूंकि दूसरा पद 0 के पास <math>x\to\infty</math> के रूप में पहुंचता है, जबकि "ध्वनि" भाग का आयाम अनुमानित रूप से<math>\sqrt{x}/\log x,</math> <math>\pi(x)</math> केवल <math>\operatorname{R}(x)</math> द्वारा ही उतना ही अच्छा है, और अभाज्य संख्याओं के वितरण में उतार-चढ़ाव को फलन  के साथ स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है
 :<math>\bigl( \pi_0(x) - \operatorname{R}(x)\bigr) \frac{\log x}{\sqrt x}.</math>
@@ Line 391: / Line 401: @@
 ==असमानताएं==
-यहां कुछ उपयोगी असमानताएं दी गई हैं {{pi}}(एक्स)।
+यहां {{pi}}(''x'') कुछ उपयोगी असमानताएं दी गई हैं
 :<math> \frac x {\log x} < \pi(x) < 1.25506 \frac x {\log x} </math>
@@ Line 397: / Line 407: @@
 बायीं असमानता x ≥ 17 के लिए है और दाहिनी असमानता x > 1 के लिए है। स्थिरांक 1.25506 है <math display="inline">\frac{30 \log 113}{113}</math> 5 दशमलव स्थानों तक, जैसे <math display="inline">\frac{\pi(x) \log x}{x}</math> इसका अधिकतम मान x = 113 पर है।<ref>{{Cite journal | author-link = J. Barkley Rosser | last1 = Rosser | first1 = J. Barkley | last2 = Schoenfeld | first2 = Lowell | title = अभाज्य संख्याओं के कुछ कार्यों के लिए अनुमानित सूत्र| journal = Illinois J. Math. | year = 1962 | volume = 6 | pages = 64–94 | doi = 10.1215/ijm/1255631807 | zbl = 0122.05001 | issn = 0019-2082 | url = https://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255631807 | doi-access = free }}</ref>
-[[पियरे डुसार्ड]] ने 2010 में साबित किया:
+[[पियरे डुसार्ड]] ने 2010 में सिद्ध किया:
 :<math> \frac {x} {\log x - 1} < \pi(x)</math> के लिए <math>x \ge 5393</math>, और
-:<math> \pi(x) <  \frac {x} {\log x - 1.1}</math> के लिए <math>x \ge 60184</math>.<ref name = "Dusart2010">{{cite arXiv  |last = Dusart |first = Pierre |author-link = Pierre Dusart |eprint=1002.0442v1 |title = आर.एच. के बिना अभाज्यों पर कुछ कार्यों का अनुमान|class = math.NT |date = 2 Feb 2010 }}</ref>
+:<math> \pi(x) <  \frac {x} {\log x - 1.1}</math> के लिए <math>x \ge 60184</math>.<ref name="Dusart2010">{{cite arXiv  |last = Dusart |first = Pierre |author-link = Pierre Dusart |eprint=1002.0442v1 |title = आर.एच. के बिना अभाज्यों पर कुछ कार्यों का अनुमान|class = math.NT |date = 2 Feb 2010 }}</ref>
-यहां nवें अभाज्य, पृष्ठ के लिए कुछ असमानताएं दी गई हैं<sub>''n''</sub>. ऊपरी सीमा रोसेर (1941) के कारण है,<ref>{{cite journal
+यहां nवें अभाज्य, ''p<sub>n</sub>'' पृष्ठ के लिए कुछ असमानताएं दी गई हैं ऊपरी सीमा रोसेर (1941) के कारण है,<ref>{{cite journal
 | author-link=J. Barkley Rosser
 | last       = Rosser
@@ Line 414: / Line 425: @@
 | pages      = 211–232
 | doi        = 10.2307/2371291
-}}</ref> डुसार्ट के लिए निचला वाला (1999):<ref>{{cite journal
+}}</ref> निचली सीमा डुसार्ट (1999) के कारण है:<ref>{{cite journal
 | author-link=Pierre Dusart
 | last       = Dusart
@@ Line 429: / Line 440: @@
 }}</ref>
-<math> n (\log (n \log n) - 1) < p_n < n {\log (n \log n)} </math> n ≥ 6 के लिए.
+<math> n (\log (n \log n) - 1) < p_n < n {\log (n \log n)} </math> n ≥ 6 के लिए.है।
 बायीं असमानता n ≥ 2 के लिए है और दाहिनी असमानता n ≥ 6 के लिए है।
@@ Line 436: / Line 447: @@
 :<math> p_n = n (\log (n \log n) - 1) + \frac {n (\log \log n - 2)} {\log n} +
 O\left( \frac {n (\log \log n)^2} {(\log n)^2}\right). </math>
-[[श्रीनिवास रामानुजन]]<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=QoMHCAAAQBAJ|title=रामानुजन की नोटबुक, भाग IV|last=Berndt|first=Bruce C.|date=2012-12-06|pages=112–113|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9781461269328|language=en}}</ref> साबित कर दिया कि असमानता
+रामानुजन<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=QoMHCAAAQBAJ|title=रामानुजन की नोटबुक, भाग IV|last=Berndt|first=Bruce C.|date=2012-12-06|pages=112–113|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9781461269328|language=en}}</ref> ने असमानता को सिद्ध किया
 :<math>\pi(x)^2 < \frac{ex}{\log x} \pi\left( \frac{x}{e} \right)</math>
-के सभी पर्याप्त बड़े मूल्यों के लिए धारण करता है <math>x</math>.
+<math>x</math> के सभी पर्याप्त बड़े मूल्यों के लिए धारण करता है
-में <ref name = "Dusart2010" />डुसार्ट ने साबित किया (प्रस्ताव 6.6) कि, के लिए <math>n \ge 688383</math>,
+डुसार्ट ने सिद्ध किया (प्रस्ताव 6.6) कि <math>n \ge 688383</math> के लिए।<ref name="Dusart2010" />
 :<math>p_n \le n \left( \log n + \log \log n - 1 + \frac{\log \log n - 2}{\log n} \right),</math> और (प्रस्ताव 6.7) कि, के लिए <math>n \ge 3</math>,
 :<math>p_n \ge n \left( \log n + \log \log n - 1 + \frac{\log \log n - 2.1}{\log n} \right) .</math>
-अभी हाल ही में, डुसार्ट<ref>{{cite journal |last = Dusart |first = Pierre |author-link = Pierre Dusart |title = अभाज्य संख्याओं पर कुछ कार्यों का स्पष्ट अनुमान|journal = Ramanujan Journal |volume = 45 |issue = 1 |pages=225–234 |date = January 2018 |doi = 10.1007/s11139-016-9839-4|s2cid = 125120533 }}</ref>
+अभी वर्तमान ही में, डुसार्ट<ref>{{cite journal |last = Dusart |first = Pierre |author-link = Pierre Dusart |title = अभाज्य संख्याओं पर कुछ कार्यों का स्पष्ट अनुमान|journal = Ramanujan Journal |volume = 45 |issue = 1 |pages=225–234 |date = January 2018 |doi = 10.1007/s11139-016-9839-4|s2cid = 125120533 }}</ref>
 सिद्ध कर दिया है (प्रमेय 5.1) कि, के लिए <math>x > 1</math>,
 :<math>\pi(x) \le \frac{x}{\log x} \left( 1 + \frac{1}{\log x} + \frac{2}{\log^2 x} + \frac{7.59}{\log^3 x} \right)</math> ,
@@ Line 452: / Line 466: @@
 ==रीमैन परिकल्पना==
-रीमैन परिकल्पना का तात्पर्य अनुमान में त्रुटि पर बहुत सख्त बंधन से है <math>\pi(x)</math>, और इसलिए अभाज्य संख्याओं का अधिक नियमित वितरण,
+रीमैन परिकल्पना का तात्पर्य <math>\pi(x)</math> के अनुमान में त्रुटि पर बहुत सख्त बंधन से है, और इसलिए अभाज्य संख्याओं का अधिक नियमित वितरण है,
 :<math>\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O(\sqrt{x} \log{x}).</math>

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प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन: Difference between revisions

Revision as of 14:05, 6 July 2023

विकास दर

अधिक स्पष्ट अनुमान

स्पष्ट रूप

π(x), x / log x, और li(x) की तालिका

मूल्यांकन के लिए एल्गोरिदम π(x)

मीसेल-लेहमर एल्गोरिदम

अन्य अभाज्य-गणना कार्य

रीमैन का प्राइम-पॉवर गिनती फ़ंक्शन

चेबीशेव का कार्य

अभाज्य-गणना कार्यों के लिए सूत्र

असमानताएं

रीमैन परिकल्पना

यह भी देखें

संदर्भ

टिप्पणियाँ

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