वैकल्पिक बीजगणित: Difference between revisions

Revision as of 14:30, 7 July 2023

अमूर्त बीजगणित में, एक वैकल्पिक बीजगणित एक बीजगणित हैजिसमें गुणन को साहचर्य नहीं, केवल वैकल्पिक होना आवश्यक है। अर्थात,

$x(xy)=(xx)y$
$(yx)x=y(xx)$

बीजगणित में सभी x और y के लिए होना चाहिए।

प्रत्येक साहचर्य बीजगणित स्पष्ट रूप से वैकल्पिक है, लेकिन ऑक्टोनियन जैसे कुछ पूर्णतः गैर-साहचर्य बीजगणित भी वैकल्पिक हैं।

सहयोगी

वैकल्पिक बीजगणित का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि वे ऐसे बीजगणित हैं जिनके लिए सहयोगी वैकल्पिक है। सहयोगी द्वारा दिया गया एक त्रिरेखीय मानचित्र है

[x,y,z]=(xy)z-x(yz)

.

परिभाषा के अनुसार, एक बहुरेखीय मानचित्र वैकल्पिक होता है जब उसके दो तर्क समान होने पर वह लुप्त हो जाता है। बीजगणित के लिए बाएँ और दाएँ वैकल्पिक सर्वसमिकाएँ समतुल्य हैं^[1]

[x,x,y]=0

[y,x,x]=0.

ये दोनों सर्वसमिका मिलकर यही दर्शाती हैं

[x,y,x]=[x,x,x]+[x,y,x]-[x,x+y,x+y]=[x,x+y,-y]=[x,x,-y]-[x,y,y]=0

कि सभी $x$ और $y$ के लिए है। यह नम्य सर्वसमिका के समतुल्य है^[2]

(xy)x=x(yx).

वैकल्पिक बीजगणित का सहयोगी प्रत्यावर्ती होता है। इसके विपरीत, कोई भी बीजगणित जिसका सहयोगी प्रत्यावर्ती है, स्पष्ट रूप से वैकल्पिक है। समरूपता द्वारा, कोई भी बीजगणित जो इनमें से किन्हीं दो को संतुष्ट करता है:

बाईं वैकल्पिक सर्वसमिका: $x(xy)=(xx)y$
दाहिनी वैकल्पिक सर्वसमिका: $(yx)x=y(xx)$
नम्य सर्वसमिका: $(xy)x=x(yx).$

इसलिए तीनों वैकल्पिक सर्वसमिकाों को संतुष्ट करता है।

एक प्रत्यावर्ती सहयोगी हमेशा पूरी तरह से विषम-सममित होता है। अर्थात,

[x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]=\operatorname {sgn}(\sigma )[x_{1},x_{2},x_{3}]

किसी भी क्रमपरिवर्तन के लिए $\sigma$ है। यह विपरीत तब तक उपयोजित रहता है जब तक आधार क्षेत्र (गणित) की विशेषता (बीजगणित) 2 नहीं होती है।

उदाहरण

प्रत्येक साहचर्य बीजगणित वैकल्पिक है।
ऑक्टोनियन एक गैर-सहयोगी वैकल्पिक बीजगणित बनाते हैं, वास्तविक संख्याओं पर आयाम 8 का एक मानक विभाजन बीजगणित हैं।^[3]
अधिक सामान्यतः, कोई भी ऑक्टोनियन बीजगणित वैकल्पिक होता है।

गैर-उदाहरण

सेडेनियन और सभी उच्च केली-डिक्सन बीजगणित वैकल्पिकता खो देते हैं।

गुण

आर्टिन प्रमेय में कहा गया है कि वैकल्पिक बीजगणित में किन्हीं दो अवयव द्वारा उत्पन्न उपबीजगणित साहचर्य होता है।^[4] इसके विपरीत, कोई भी बीजगणित जिसके लिए यह सत्य है, स्पष्ट रूप से वैकल्पिक है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि वैकल्पिक बीजगणित में केवल दो चर वाले व्यंजकों को बिना कोष्ठक के स्पष्ट रूप से लिखा जा सकता है। आर्टिन के प्रमेय के एक सामान्यीकरण में कहा गया है कि जब भी तीन अवयव $x,y,z$ सहयोगी होते हैं (अर्थात, $[x,y,z]=0$ ), तो उन अवयव द्वारा उत्पन्न उपबीजगणित सहयोगी होता है।

आर्टिन के प्रमेय का एक परिणाम यह है कि वैकल्पिक बीजगणित शक्ति-सहयोगी हैं, अर्थात, एक अवयव द्वारा उत्पन्न उपबीजगणित साहचर्य है।^[5] इसके विपरीत की आवश्यकता नहीं है: सेडेनियन शक्ति-सहयोगी हैं लेकिन वैकल्पिक नहीं हैं।

मौफ़ांग सर्वसमिकाएं

$a(x(ay))=(axa)y$
$((xa)y)a=x(aya)$
$(ax)(ya)=a(xy)a$

किसी भी वैकल्पिक बीजगणित में उपयोजित होती हैं।^[2]

एकात्मक वैकल्पिक बीजगणित में, गुणात्मक व्युत्क्रम जब भी उपस्तिथ होते हैं तो अद्वितीय होते हैं। इसके अलावा, किसी भी प्रतिलोम अवयव $x$ और सभी $y$ के लिए

y=x^{-1}(xy).

यह कहने के समान है कि ऐसे सभी $x$ और $y$ के लिए सहयोगी $[x^{-1},x,y]$ लुप्त हो जाता हैं।

अगर $x$ और $y$ व्युत्क्रमणीय हैं तो $xy$ भी व्युत्क्रम के साथ व्युत्क्रमणीय $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ हैं। सभी प्रतिलोम अवयव का समुच्चय गुणन के अंतर्गत बंद हो जाता है और एक मौफैंग लूप बनाता है। एक वैकल्पिक रिंग या बीजगणित में इकाइयों का लूप एक सहयोगी रिंग या बीजगणित में इकाइयों के समूह के अनुरूप है।

क्लेनफेल्ड के प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी सरल गैर-सहयोगी वैकल्पिक रिंग अपने केंद्र (रिंग सिद्धांत) पर एक सामान्यीकृत ऑक्टोनियन बीजगणित है।^[6] वैकल्पिक रिंग का संरचना सिद्धांत ज़ेव्लाकोव, स्लिन्को, शेस्ताकोव और शिरशोव की पुस्तक रिंग्स दैट आर नियरली एसोसिएटिव में प्रस्तुत किया गया है।^[7]

अनुप्रयोग

किसी भी वैकल्पिक विभाजन रिंग पर प्रक्षेप्य तल एक मौफैंग तल है।

वैकल्पिक बीजगणित और रचना बीजगणित का घनिष्ठ संबंध गाइ रूस द्वारा 2008 में दिया गया था:^[8] वह (पृष्ठ 162) बीजगणित A के लिए इकाई अवयव e और एक प्रति-स्वसमाकृतिकता $a\mapsto a^{*}$ के साथ संबंध दिखाता है जैसे कि a + a* और aa*, A में सभी a के लिए e द्वारा रैखिक विस्तार रेखा पर हैं। संकेतन n(a) = aa* का प्रयोग करें। फिर यदि n, A के क्षेत्र में एक गैर-एकवचन मानचित्रण है, और A वैकल्पिक है, तो (A,n) एक रचना बीजगणित है।

यह भी देखें

एक क्षेत्र पर बीजगणित
माल्टसेव बीजगणित
ज़ोर्न रिंग

संदर्भ

↑ Schafer (1995) p. 27
↑ ^2.0 ^2.1 Schafer (1995) p. 28
↑ Conway, John Horton; Smith, Derek A. (2003). On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry. A. K. Peters. ISBN 1-56881-134-9. Zbl 1098.17001.
↑ Schafer (1995) p. 29
↑ Schafer (1995) p. 30
↑ Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov, Shirshov. (1982) p. 151
↑ Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov, Shirshov (1982)
↑ Guy Roos (2008) "Exceptional symmetric domains", §1: Cayley algebras, in Symmetries in Complex Analysis by Bruce Gilligan & Guy Roos, volume 468 of Contemporary Mathematics, American Mathematical Society

Schafer, Richard D. (1995). An Introduction to Nonassociative Algebras. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601.
Zhevlakov, K.A.; Slin'ko, A.M.; Shestakov, I.P.; Shirshov, A.I. (1982) [1978]. Rings That Are Nearly Associative. Academic Press. ISBN 0-12-779850-1. MR 0518614. Zbl 0487.17001.

बाहरी संबंध

Zhevlakov, K.A. (2001) [1994], "Alternative Rings and Algebras", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[Sch27-1] Schafer (1995) p. 27

[Sch28-2] 2.0 ^2.1 Schafer (1995) p. 28

[3] Conway, John Horton; Smith, Derek A. (2003). On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry. A. K. Peters. ISBN 1-56881-134-9. Zbl 1098.17001.

[Sch29-4] Schafer (1995) p. 29

[Sch30-5] Schafer (1995) p. 30

[ZSSS151-6] Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov, Shirshov. (1982) p. 151

[ZSSS-7] Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov, Shirshov (1982)

[8] Guy Roos (2008) "Exceptional symmetric domains", §1: Cayley algebras, in Symmetries in Complex Analysis by Bruce Gilligan & Guy Roos, volume 468 of Contemporary Mathematics, American Mathematical Society

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-[[अमूर्त बीजगणित]] में, एक वैकल्पिक बीजगणित एक क्षेत्र पर एक बीजगणित है जिसमें गुणन को सहयोगी नहीं, केवल [[वैकल्पिकता]] की आवश्यकता होती है। यानि कि होना ही चाहिए
+[[अमूर्त बीजगणित]] में, एक '''वैकल्पिक बीजगणित''' एक बीजगणित हैजिसमें गुणन को साहचर्य नहीं, केवल वैकल्पिक होना आवश्यक है। अर्थात,
 *<math>x(xy) = (xx)y</math>
 *<math>(yx)x = y(xx)</math>
-बीजगणित में सभी x और y के लिए।
+बीजगणित में सभी ''x'' और ''y'' के लिए होना चाहिए।
-प्रत्येक [[साहचर्य बीजगणित]] स्पष्ट रूप से वैकल्पिक है, लेकिन [[ऑक्टोनियन]] जैसे कुछ पूर्णतः [[गैर-सहयोगी बीजगणित]] भी वैकल्पिक हैं।
+प्रत्येक [[साहचर्य बीजगणित]] स्पष्ट रूप से वैकल्पिक है, लेकिन [[ऑक्टोनियन]] जैसे कुछ पूर्णतः [[गैर-साहचर्य बीजगणित]] भी वैकल्पिक हैं।
-==[[सहयोगी]]==
+==सहयोगी ==
-वैकल्पिक बीजगणित का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि वे ऐसे बीजगणित हैं जिनके लिए सहयोगी [[वैकल्पिक रूप]] है। सहयोगी द्वारा दिया गया एक [[त्रिरेखीय मानचित्र]] है
+वैकल्पिक बीजगणित का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि वे ऐसे बीजगणित हैं जिनके लिए सहयोगी [[वैकल्पिक रूप|वैकल्पिक]] है। सहयोगी द्वारा दिया गया एक [[त्रिरेखीय मानचित्र]] है
 :<math>[x,y,z] = (xy)z - x(yz)</math>.
-परिभाषा के अनुसार, एक [[बहुरेखीय मानचित्र]] तब वैकल्पिक होता है जब उसके दो तर्क बराबर होते हैं तो वह गायब हो जाता है। बीजगणित के लिए बाएँ और दाएँ वैकल्पिक सर्वसमिकाएँ समतुल्य हैं<ref name=Sch27>Schafer (1995) p. 27</ref>
+परिभाषा के अनुसार, एक [[बहुरेखीय मानचित्र]] वैकल्पिक होता है जब उसके दो तर्क समान होने पर वह लुप्त हो जाता है। बीजगणित के लिए बाएँ और दाएँ वैकल्पिक सर्वसमिकाएँ समतुल्य हैं<ref name=Sch27>Schafer (1995) p. 27</ref>
 :<math>[x,x,y] = 0</math>
 :<math>[y,x,x] = 0.</math>
-ये दोनों पहचानें मिलकर यही दर्शाती हैं
+ये दोनों सर्वसमिका मिलकर यही दर्शाती हैं
 :<math>[x,y,x] = [x, x, x] + [x, y, x] - [x, x+y, x+y] = [x, x+y, -y] = [x, x, -y] - [x, y, y] = 0</math>
-सभी के लिए <math>x</math> और <math>y</math>. यह [[लचीली पहचान]] के समतुल्य है<ref name=Sch28>Schafer (1995) p. 28</ref>
+कि सभी <math>x</math> और <math>y</math> के लिए है। यह [[लचीली पहचान|नम्य सर्वसमिका]] के समतुल्य है<ref name=Sch28>Schafer (1995) p. 28</ref>
 :<math>(xy)x = x(yx).</math>
-इसलिए वैकल्पिक बीजगणित का सहयोगी प्रत्यावर्ती होता है। व्युत्क्रम (तर्क), कोई भी बीजगणित जिसका सहयोगी प्रत्यावर्ती है, स्पष्ट रूप से वैकल्पिक है। समरूपता द्वारा, कोई भी बीजगणित जो इनमें से किन्हीं दो को संतुष्ट करता है:
+वैकल्पिक बीजगणित का सहयोगी प्रत्यावर्ती होता है। इसके विपरीत, कोई भी बीजगणित जिसका सहयोगी प्रत्यावर्ती है, स्पष्ट रूप से वैकल्पिक है। समरूपता द्वारा, कोई भी बीजगणित जो इनमें से किन्हीं दो को संतुष्ट करता है:
-*वैकल्पिक पहचान छोड़ें: <math>x(xy) = (xx)y</math>
+*बाईं वैकल्पिक सर्वसमिका: <math>x(xy) = (xx)y</math>
-*सही वैकल्पिक पहचान: <math>(yx)x = y(xx)</math>
+*दाहिनी वैकल्पिक सर्वसमिका: <math>(yx)x = y(xx)</math>
-*लचीली पहचान: <math>(xy)x = x(yx).</math>
+*नम्य सर्वसमिका: <math>(xy)x = x(yx).</math>
-वैकल्पिक है और इसलिए तीनों पहचानों को संतुष्ट करता है।
+इसलिए तीनों वैकल्पिक सर्वसमिकाों को संतुष्ट करता है।
-एक प्रत्यावर्ती सहयोगी हमेशा पूरी तरह से विषम-सममित होता है। वह है,
+एक प्रत्यावर्ती सहयोगी हमेशा पूरी तरह से विषम-सममित होता है। अर्थात,
 :<math>[x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)}] = \sgn(\sigma)[x_1,x_2,x_3]</math>
-किसी भी क्रम[[परिवर्तन]] के लिए <math>\sigma</math>. यह विपरीत तब तक लागू रहता है जब तक आधार क्षेत्र (गणित) की [[विशेषता (बीजगणित)]] 2 न हो।
+किसी भी [[परिवर्तन|क्रमपरिवर्तन]] के लिए <math>\sigma</math> है। यह विपरीत तब तक उपयोजित रहता है जब तक आधार क्षेत्र (गणित) की [[विशेषता (बीजगणित)]] 2 नहीं होती है।
 ==उदाहरण==
 * प्रत्येक साहचर्य बीजगणित वैकल्पिक है।
-* ऑक्टोनियन एक गैर-सहयोगी वैकल्पिक बीजगणित बनाते हैं, [[वास्तविक संख्या]]ओं पर आयाम 8 का एक मानक विभाजन बीजगणित।<ref>{{cite book | author-link=John Horton Conway | last1=Conway | first1=John Horton | last2=Smith | first2=Derek A. | year=2003 | title=On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry | publisher=A. K. Peters | isbn=1-56881-134-9 | zbl=1098.17001 }}</ref>
+* ऑक्टोनियन एक गैर-सहयोगी वैकल्पिक बीजगणित बनाते हैं, [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] पर आयाम 8 का एक मानक विभाजन बीजगणित हैं।<ref>{{cite book | author-link=John Horton Conway | last1=Conway | first1=John Horton | last2=Smith | first2=Derek A. | year=2003 | title=On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry | publisher=A. K. Peters | isbn=1-56881-134-9 | zbl=1098.17001 }}</ref>
-* अधिक सामान्यतः, कोई भी [[ऑक्टोनियन बीजगणित]] वैकल्पिक है।
+* अधिक सामान्यतः, कोई भी [[ऑक्टोनियन बीजगणित]] वैकल्पिक होता है।
 ===गैर-उदाहरण===
-* [[ sedenion ]] और सभी उच्चतर केली-डिक्सन बीजगणित वैकल्पिकता खो देते हैं।
+* [[ sedenion |सेडेनियन]] और सभी उच्च केली-डिक्सन बीजगणित वैकल्पिकता खो देते हैं।
 ==गुण==
-{{Redirect|Artin's theorem|Artin's theorem on primitive elements|Primitive element theorem}}
+{{Redirect|आर्टिन का प्रमेय|पूर्वग अवयव पर आर्टिन का प्रमेय|पूर्वग अवयव प्रमेय}}
-आर्टिन के प्रमेय में कहा गया है कि वैकल्पिक बीजगणित में किन्हीं दो तत्वों द्वारा उत्पन्न [[उपबीजगणित]] साहचर्य बीजगणित है।<ref name=Sch29>Schafer (1995) p. 29</ref> इसके विपरीत, कोई भी बीजगणित जिसके लिए यह सत्य है, स्पष्ट रूप से वैकल्पिक है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि वैकल्पिक बीजगणित में केवल दो चर वाले व्यंजकों को बिना कोष्ठक के स्पष्ट रूप से लिखा जा सकता है। आर्टिन के प्रमेय का एक सामान्यीकरण बताता है कि जब भी तीन तत्व होते हैं <math>x,y,z</math> एक वैकल्पिक बीजगणित सहयोगी में (यानी, <math>[x,y,z] = 0</math>), उन तत्वों द्वारा उत्पन्न उपबीजगणित साहचर्य है।
-आर्टिन के प्रमेय का एक [[परिणाम]] यह है कि वैकल्पिक बीजगणित [[शक्ति-सहयोगी]] हैं, अर्थात, एक तत्व द्वारा उत्पन्न उपबीजगणित साहचर्य है।<ref name=Sch30>Schafer (1995) p. 30</ref> इसके विपरीत की आवश्यकता नहीं है: सेडेनियन शक्ति-सहयोगी हैं लेकिन वैकल्पिक नहीं हैं।
+'''आर्टिन प्रमेय''' में कहा गया है कि वैकल्पिक बीजगणित में किन्हीं दो अवयव द्वारा उत्पन्न [[उपबीजगणित]] साहचर्य होता है।<ref name=Sch29>Schafer (1995) p. 29</ref> इसके विपरीत, कोई भी बीजगणित जिसके लिए यह सत्य है, स्पष्ट रूप से वैकल्पिक है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि वैकल्पिक बीजगणित में केवल दो चर वाले व्यंजकों को बिना कोष्ठक के स्पष्ट रूप से लिखा जा सकता है। आर्टिन के प्रमेय के एक सामान्यीकरण में कहा गया है कि जब भी तीन अवयव <math>x,y,z</math> सहयोगी होते हैं (अर्थात, <math>[x,y,z] = 0</math>), तो उन अवयव द्वारा उत्पन्न उपबीजगणित सहयोगी होता है।
-मौफ़ांग की पहचान
+आर्टिन के प्रमेय का एक [[परिणाम]] यह है कि वैकल्पिक बीजगणित [[शक्ति-सहयोगी]] हैं, अर्थात, एक अवयव द्वारा उत्पन्न उपबीजगणित साहचर्य है।<ref name=Sch30>Schafer (1995) p. 30</ref> इसके विपरीत की आवश्यकता नहीं है: सेडेनियन शक्ति-सहयोगी हैं लेकिन वैकल्पिक नहीं हैं।
+मौफ़ांग सर्वसमिकाएं
 *<math>a(x(ay)) = (axa)y</math>
 *<math>((xa)y)a = x(aya)</math>
 *<math>(ax)(ya) = a(xy)a</math>
-किसी भी वैकल्पिक बीजगणित को पकड़ें।<ref name=Sch28/>
+किसी भी वैकल्पिक बीजगणित में उपयोजित होती हैं।<ref name=Sch28/>
-एकात्मक वैकल्पिक बीजगणित में, गुणात्मक व्युत्क्रम तत्व जब भी मौजूद होते हैं तो अद्वितीय होते हैं। इसके अलावा, किसी भी उलटे तत्व के लिए <math>x</math> और सभी <math>y</math> किसी के पास
+एकात्मक वैकल्पिक बीजगणित में, गुणात्मक व्युत्क्रम जब भी उपस्तिथ होते हैं तो अद्वितीय होते हैं। इसके अलावा, किसी भी प्रतिलोम अवयव <math>x</math> और सभी <math>y</math> के लिए
 :<math>y = x^{-1}(xy).</math>
-यह सहयोगी कहने के बराबर है <math>[x^{-1},x,y]</math> ऐसे सभी के लिए गायब हो जाता है <math>x</math> और <math>y</math>.
+यह कहने के समान है कि ऐसे सभी <math>x</math> और <math>y</math> के लिए सहयोगी <math>[x^{-1},x,y]</math> लुप्त हो जाता हैं।
-अगर <math>x</math> और <math>y</math> फिर उलटे हैं <math>xy</math> व्युत्क्रम के साथ व्युत्क्रमणीय भी है <math>(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}</math>. इसलिए सभी उलटे तत्वों का सेट गुणन के तहत बंद हो जाता है और एक [[मौफैंग लूप]] बनाता है। एक वैकल्पिक रिंग या बीजगणित में इकाइयों का यह लूप एक सहयोगी रिंग या बीजगणित में इकाइयों के समूह के अनुरूप है।
-क्लेनफेल्ड के प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी सरल गैर-सहयोगी वैकल्पिक रिंग अपने [[केंद्र (रिंग सिद्धांत)]] पर एक सामान्यीकृत ऑक्टोनियन बीजगणित है।<ref name=ZSSS151>Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov, Shirshov. (1982) p. 151</ref>
-वैकल्पिक छल्लों का संरचना सिद्धांत ज़ेव्लाकोव, स्लिन्को, शेस्ताकोव और शिरशोव की पुस्तक रिंग्स दैट आर नियरली एसोसिएटिव में प्रस्तुत किया गया है।<ref name=ZSSS>Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov, Shirshov (1982)</ref>
+अगर <math>x</math> और <math>y</math> व्युत्क्रमणीय हैं तो <math>xy</math> भी व्युत्क्रम के साथ व्युत्क्रमणीय <math>(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}</math> हैं। सभी प्रतिलोम अवयव का समुच्चय गुणन के अंतर्गत बंद हो जाता है और एक [[मौफैंग लूप]] बनाता है। एक वैकल्पिक रिंग या बीजगणित में ''इकाइयों का लूप'' एक सहयोगी रिंग या बीजगणित में इकाइयों के समूह के अनुरूप है।
+क्लेनफेल्ड के प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी सरल गैर-सहयोगी वैकल्पिक रिंग अपने [[केंद्र (रिंग सिद्धांत)]] पर एक सामान्यीकृत ऑक्टोनियन बीजगणित है।<ref name=ZSSS151>Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov, Shirshov. (1982) p. 151</ref> वैकल्पिक रिंग का संरचना सिद्धांत ज़ेव्लाकोव, स्लिन्को, शेस्ताकोव और शिरशोव की पुस्तक ''रिंग्स दैट आर नियरली एसोसिएटिव'' में प्रस्तुत किया गया है।<ref name=ZSSS>Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov, Shirshov (1982)</ref>
 ==अनुप्रयोग==
-किसी भी वैकल्पिक विभाजन वलय पर [[प्रक्षेप्य तल]] एक मौफैंग तल है।
+किसी भी वैकल्पिक विभाजन रिंग पर [[प्रक्षेप्य तल]] एक मौफैंग तल है।
-वैकल्पिक बीजगणित और [[रचना बीजगणित]] का घनिष्ठ संबंध गाइ रूस द्वारा 2008 में दिया गया था:<ref>Guy Roos (2008) "Exceptional symmetric domains", §1: Cayley algebras, in ''Symmetries in Complex Analysis'' by Bruce Gilligan & Guy Roos, volume 468 of ''Contemporary Mathematics'', [[American Mathematical Society]]</ref> वह (पृष्ठ 162) बीजगणित ए के लिए इकाई तत्व ई और एक इनवोल्यूशन (गणित) [[स्वप्रतिरोधी]] के साथ संबंध दिखाता है <math>a \mapsto a^*</math> जैसे कि a + a* और aa*, A में सभी a के लिए e द्वारा [[रैखिक विस्तार]] रेखा पर हैं। संकेतन n(a) = aa* का उपयोग करें। फिर यदि n, A के क्षेत्र में एक गैर-एकवचन मानचित्रण है, और A वैकल्पिक है, तो (A,n) एक रचना बीजगणित है।
+वैकल्पिक बीजगणित और [[रचना बीजगणित]] का घनिष्ठ संबंध गाइ रूस द्वारा 2008 में दिया गया था:<ref>Guy Roos (2008) "Exceptional symmetric domains", §1: Cayley algebras, in ''Symmetries in Complex Analysis'' by Bruce Gilligan & Guy Roos, volume 468 of ''Contemporary Mathematics'', [[American Mathematical Society]]</ref> वह (पृष्ठ 162) बीजगणित A के लिए इकाई अवयव e और एक प्रति-स्वसमाकृतिकता <math>a \mapsto a^*</math> के साथ संबंध दिखाता है  जैसे कि a + a* और aa*, A में सभी a के लिए e द्वारा [[रैखिक विस्तार]] रेखा पर हैं। संकेतन n(a) = aa* का प्रयोग करें। फिर यदि n, A के क्षेत्र में एक गैर-एकवचन मानचित्रण है, और A वैकल्पिक है, तो (A,n) एक रचना बीजगणित है।
 == यह भी देखें ==
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 *{{Cite book | first = Richard D. | last = Schafer | author-link = Richard D. Schafer|title = An Introduction to Nonassociative Algebras | publisher = Dover Publications | location = New York | year = 1995 | isbn = 0-486-68813-5 | url = https://archive.org/details/introductiontono0000scha | zbl = 0145.25601 | url-access = registration }}
 * {{cite book | first1=K.A. | last1=Zhevlakov | first2=A.M.|last2= Slin'ko | first3= I.P. | last3= Shestakov |first4 =A.I. | last4= Shirshov |year=1982 | orig-year=1978 | zbl=0487.17001 |mr = 0518614 | title=Rings That Are Nearly Associative | publisher=[[Academic Press]] | isbn=0-12-779850-1 }}
 ==बाहरी संबंध==
 *{{SpringerEOM|id=Alternative_rings_and_algebras|first=K.A.|last= Zhevlakov|title=Alternative Rings and Algebras}}

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