ऊर्जा के स्तर को कम करना: Difference between revisions

Latest revision as of 09:31, 12 July 2023

क्वांटम यांत्रिकी में, ऊर्जा स्तर अपकर्ष होता है यदि यह क्वांटम प्रणाली के दो या दो से अधिक विभिन्न मापनीय की अवस्थाओं से अनुकूल होती है। इसके विपरीत, क्वांटम यांत्रिक प्रणाली की दो या दो से अधिक विभिन्न अवस्थाओं को विकृत कहा जाता है, यदि वे माप पर ऊर्जा का समान मान देते हैं। विशेष ऊर्जा स्तर के अनुरूप विभिन्न अवस्थाओं की संख्या को स्तर की अपकर्षकी श्रेणी के रूप में जाना जाता है। इसे गणितीय रूप से हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के माध्यम से ही ऊर्जा प्रेरक मान के साथ से अधिक रैखिक रूप से स्वतंत्र रैखिक स्वतंत्रता वाले प्रणाली के लिए दर्शाया गया है।।^[1]^: 48 जब यह स्थिति होती है, तो अकेले ऊर्जा यह बताने के लिए पर्याप्त नहीं होती है, कि प्रणाली किस अवस्था में है, और जब अंतर वांछित होता है, तो स्पष्ट स्थिति को चिह्नित करने के लिए अन्य क्वांटम संख्याओं की आवश्यकता होती है। मौलिक यांत्रिकी में इसे ही ऊर्जा के अनुरूप विभिन्न संभावित प्रक्षेपवक्रों के संदर्भ में समझा जा सकता है।

अपकर्ष क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी में आधारभूत भूमिका निभाता है। के लिए $N$ -कण प्रणाली तीन आयामों में, एकल ऊर्जा स्तर अनेक भिन्न-भिन्न आवेश कार्यों या ऊर्जा अवस्थाओं के अनुरूप हो सकता है। समान स्तर पर इन अपकर्ष अवस्थाओं में सभी के भरित होने की समान संभावना है। ऐसे अवस्थाओंं की संख्या विशेष ऊर्जा स्तर की अपकर्षबताती है।

एक क्वांटम प्रणाली में अपकर्ष अवस्थाएँ

अंक शास्त्र

क्वांटम यांत्रिक प्रणाली की संभावित अवस्थाओं को गणितीय रूप से भिन्न जटिल हिल्बर्ट अन्तराल में अमूर्त संवाहक के रूप में माना जा सकता है, चूँकि अवलोकनों को उन पर कार्य करने वाले रैखिक संचालको हर्मिटियन के माध्यम से दर्शाया जा सकता है। उपयुक्त आधार क्रिया का चयन करके, इन संवाहको के घटकों और उस आधार पर संचालको के आव्युह तत्वों का निर्धारण किया जा सकता है। यदि $A$ एक $N \times N$ आव्युह $X$ अ-शून्य संवाहक है, और $λ$ अदिश है, जैसे कि $AX=\lambda X$ तो अदिश λ को $A$ का प्रेरक मान कहा जाता है, और संवाहक $X$ को $λ$ . के अनुरूप प्रेरक संवाहक कहा जाता है। शून्य संवाहक किसी दिए गए प्रेरक मान $λ$ . के अनुरूप सभी प्रेरक संवाहक का समुच्चय $C n$ का एक उप-स्थान बनाता है, जिसे $λ$ . का प्रेरक अन्तराल कहा जाता है। प्रेरक मान $λ$ . जो दो या दो से अधिक भिन्न-भिन्न रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रेरक संवाहक से अनुकूल होता है, उसे अपकर्ष कहा जाता है, अर्थात, $AX_{1}=\lambda X_{1}$ और $AX_{2}=\lambda X_{2}$ जिस स्थान पर $X_{1}$ और $X_{2}$ रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रेरक संवाहक हैं। उस प्रेरक मान के अनुरूप प्रेरक अन्तराल के आयाम को उसकी अपकर्ष की श्रेणी के रूप में जाना जाता है, जो सीमित या अनंत हो सकता है। प्रेरक मान को अ-अपकर्ष कहा जाता है यदि उसका प्रेरक अन्तराल एक-आयामी है।

क्वांटम यांत्रिकी में भौतिक अवलोकनीय का प्रतिनिधित्व करने वाले आव्यूहों के प्रेरक मान इन अवलोकनीय के मापने योग्य मान देते हैं, चूँकि इन प्रेरक मान के अनुरूप प्रेरक अवस्था संभावित स्थिति देते हैं, परिणाम स्वरुप प्रणाली को माप पर प्राप्त जा सकता है। क्वांटम प्रणाली की ऊर्जा के मापने योग्य मान हैमिल्टनियन संचालको के प्रेरक मान के माध्यम से दिए जाते हैं, चूँकि इसके प्रेरक अवस्था प्रणाली की संभावित ऊर्जा स्थिति देते हैं। ऊर्जा के मान को अपकर्ष कहा जाता है, यदि इससे जुड़े कम से कम दो रैखिक रूप से स्वतंत्र ऊर्जा अवस्थाएँ उपस्थित हों। इसके अतरिक्त, दो या दो से अधिक अपकर्ष प्रेरक अवस्था का कोई भी रैखिक संयोजन भी हैमिल्टनियन संचालको का प्रेरक अवस्था है, जो समान ऊर्जा प्रेरक मान के अनुरूप है। यह इस तथ्य से स्पष्ट रूप से पता चलता है कि ऊर्जा मान प्रेरक मान $λ$ का प्रेरक अन्तराल उपस्थान है (हैमिल्टनियन ऋणात्मक $λ$ गुणन समरूपता का कर्नेल (रैखिक बीजगणित)) है, इसलिए इसे रैखिक संयोजनों के साथ संवृत कर दिया गया है।

Proof of the above theorem.^[2]^{: p. 52}

If ${\hat {H}}$ represents the Hamiltonian operator and $|\psi _{1}\rangle$ and $|\psi _{2}\rangle$ are two eigenstates corresponding to the same eigenvalue $E$ , then

{\hat {H}}|\psi _{1}\rangle =E|\psi _{1}\rangle

{\hat {H}}|\psi _{2}\rangle =E|\psi _{2}\rangle

Let $|\psi \rangle =c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle$ , where $c_{1}$ and $c_{2}$ are complex(in general) constants, be any linear combination of $|\psi _{1}\rangle$ and $|\psi _{2}\rangle$ . Then,

{\begin{aligned}{\hat {H}}|\psi \rangle &={\hat {H}}(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle )\\&=c_{1}{\hat {H}}|\psi _{1}\rangle +c_{2}{\hat {H}}|\psi _{2}\rangle \\&=E(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle )\\&=E|\psi \rangle \end{aligned}}

which shows that

|\psi \rangle

is an eigenstate of

{\hat {H}}

with the same eigenvalue

E

.

ऊर्जा के मापन पर अपकर्ष का प्रभाव

अपकर्ष की अनुपस्थिति में, यदि क्वांटम प्रणाली की ऊर्जा का मापीय मान निर्धारित किया जाता है, तो प्रणाली की इसी स्थिति को ज्ञात माना जाता है, क्योंकि मात्र प्रेरक अवस्था प्रत्येक ऊर्जा प्रेरक मान से अनुकूल होती है। चूंकि, यदि हैमिल्टनियन ${\hat {H}}$ में डिग्री g_n का अपकर्ष प्ररेक मान $E_{n}$ है, तो इससे जुड़े प्ररेक अवस्था आयाम g_n का संवाहक उप-स्थान बनाते हैं। ऐसे स्थितियों में अनेक अंतिम अवस्थाएँ संभवतः ही परिणाम $E_{n}$ से सम्मिलित हो सकती हैं, जिनमें से सभी g_n प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण प्रेरक संवाहक $|E_{n,i}\rangle$ के रैखिक संयोजन हैं।

चूंकि, यदि हैमिल्टनियन ${\hat {H}}$ में स्तर g_n का अपकर्ष प्ररेक मान $E_{n}$ है, तो इससे जुड़े प्ररेक अवस्था आयाम g_n का संवाहक उप-स्थान बनाते हैं। ऐसे स्थितियों में अनेक अंतिम अवस्थाएँ संभवतः ही परिणाम $E_{n}$ से सम्मिलित हो सकती हैं, जिनमें से सभी g_n प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण प्रेरक संवाहक $|E_{n,i}\rangle$ के रैखिक संयोजन हैं।

इस स्थितियों में, संभावना है कि अवस्था $|\psi \rangle$ में प्रणाली के लिए मापा गया ऊर्जा मान $E_{n}$ उत्पन्न करेगा, इस आधार पर प्रत्येक अवस्था में प्रणाली को अन्वेषण की संभावनाओं के योग के माध्यम से दिया गया है, अर्थात

P(E_{n})=\sum _{i=1}^{g_{n}}|\langle E_{n,i}|\psi \rangle |^{2}

विभिन्न आयामों में अपकर्ष

यह खंड विभिन्न आयामों में अध्ययन किए गए क्वांटम प्रणाली में अपक्षयी ऊर्जा स्तरों के अस्तित्व को चित्रित करने का अभिप्राय रखता है। और द्वि-आयामी प्रणालियों का अध्ययन अधिक जटिल प्रणालियों की वैचारिक समझ में सहायता करता है

आयाम में अपकर्ष

अनेक स्थितियों में, एक-आयामी प्रणालियों के अध्ययन में विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के परिणाम अधिक सरलता से प्राप्त किए जा सकते हैं। आवेश क्रिया $|\psi \rangle$ वाले क्वांटम कण के लिए एक-आयामी क्षमता $V(x)$ में विचरण करते हुए अवधि -स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi

चूँकि यह सामान्य अवकल समीकरण है, किसी दी गई ऊर्जा $E$ के लिए दो स्वतंत्र प्रेरक क्रिया होती हैं, जिससे अपकर्ष की श्रेणी कभी भी दो से अधिक न हो। यह सिद्ध किया जा सकता है कि आयाम में सामान्यीकृत आवेश कार्य के लिए कोई अपकर्ष बाध्य अवस्थाएँ नहीं हैं। खंड अनुसार के निरंतर क्षमता पर पर्याप्त स्थिति $V$ और ऊर्जा $E$ पर पर्याप्त परिस्थिति $M\neq 0$ के साथ दो वास्तविक संख्या $M,x_{0}$ का अस्तित्व है, जैसे कि $M,x_{0}$ हमारे पास $V(x)-E\geq M^{2}$ है।

उपरोक्त प्रमेय का प्रमाण.

Considering a one-dimensional quantum system in a potential

V(x)

with degenerate states

|\psi _{1}\rangle

and

|\psi _{2}\rangle

corresponding to the same energy प्रेरक मान

E

, writing the time-independent Schrödinger equation for the system:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}+V\psi _{1}=E\psi _{1}

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}+V\psi _{2}=E\psi _{2}

Multiplying the first equation by $\psi _{2}$ and the second by $\psi _{1}$ and subtracting one from the other, we get:

\psi _{1}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{2}-\psi _{2}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{1}=0

Integrating both sides

\psi _{1}{\frac {d\psi _{2}}{dx}}-\psi _{2}{\frac {d\psi _{1}}{dx}}={\mbox{constant}}

In case of well-defined and normalizable wave functions, the above constant vanishes, provided both the wave functions vanish at at least one point, and we find: $\psi _{1}(x)=c\psi _{2}(x)$ where $c$ is, in general, a complex constant. For bound state eigenfunctions (which tend to zero as $x\rightarrow \infty$ ), and assuming $V$ and $E$ satisfy the condition given above, it can be shown^[3] that also the first derivative of the wave function approaches zero in the limit $x\to \infty$ , so that the above constant is zero and we have no degeneracy.

द्वि-आयामी क्वांटम प्रणाली में अपकर्ष

पदार्थ की तीनों अवस्थाओं में द्वि-आयामी क्वांटम प्रणालियाँ उपस्थित हैं, और त्रि-आयामी पदार्थ में देखी जाने संबंधी अधिकांश विविधताएँ दो आयामों में बनाया जा सकता हैं। वास्तविक द्विविमीय पदार्थ ठोसों की सतह पर परमाणुक परतों से बने होते हैं। प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त द्वि-आयामी इलेक्ट्रॉन प्रणालियों के कुछ उदाहरणों में मोसफेट, हीलियम, नियोन, आर्गन, क्सीनन आदि के द्वि-आयामी उत्तम लैटिस और तरल हीलियम की सतह सम्मिलित हैं। वर्ग में कण और द्वि-आयामी लयबद्ध दोलक के स्थितियों में अपकर्ष ऊर्जा स्तरों की उपस्थिति का अध्ययन किया जाता है, जो अनेक वास्तविक विश्व प्रणालियों के लिए उपयोगी गणितीय अनुरूप के रूप में कार्य करता है।

आयताकार तल में कण

अभेद्य भित्ति के तल में आयाम $L_{x}$ और $L_{y}$ के तल में मुक्त कण पर विचार करें। आवेश क्रिया $|\psi \rangle$ के साथ इस प्रणाली के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{{\partial y}^{2}}}\right)=E\psi

अनुमत ऊर्जा मान हैं

E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{L_{y}^{2}}}\right)

सामान्यीकृत आवेश क्रिया है

\psi _{n_{x},n_{y}}(x,y)={\frac {2}{\sqrt {L_{x}L_{y}}}}\sin \left({\frac {n_{x}\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {n_{y}\pi y}{L_{y}}}\right)

जिस स्थान पर $n_{x},n_{y}=1,2,3...$ तो, क्वांटम संख्या $n_{x}$ और $n_{y}$ ऊर्जा प्रेरक मान का वर्णन करने के लिए आवश्यक हैं और प्रणाली की सबसे कम ऊर्जा के माध्यम से दी गई है

E_{1,1}=\pi ^{2}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {1}{L_{x}^{2}}}+{\frac {1}{L_{y}^{2}}}\right)

दो लंबाई के कुछ अनुरूप अनुपात के लिए $L_{x}$ और $L_{y}$ अवस्था के कुछ जोड़े अपकर्ष हैं। यदि $L_{x}/L_{y}=p/q$ जिस स्थान पर p और q पूर्णांक हैं, तो अवस्था $(n_{x},n_{y})$ और $(pn_{y}/q,qn_{x}/p)$ में समान ऊर्जा होती है और इसलिए वे एक-दूसरे के लिए अपक्षयी होती हैं।

एक वर्गकार वर्ग में कण

इस स्थितियों में, वर्ग के आयाम $L_{x}=L_{y}=L$ और ऊर्जा प्रेरक मान के माध्यम से दिया जाता है

E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})

चूंकि $n_{x}$ और $n_{y}$ को ऊर्जा में परिवर्तन किए रहित आपस में प्रवर्तित किया जा सकता है, $n_{x}$ और $n_{y}$ भिन्न होने पर प्रत्येक ऊर्जा स्तर में कम से कम दो की अपक्षयीता होती है। अपकर्ष अवस्थाएँ तब भी प्राप्त होती हैं, जब विभिन्न ऊर्जा स्तरों के अनुरूप क्वांटम संख्याओं के वर्गों का योग समान होता है। उदाहरण के लिए, तीन अवस्था (n_x = 7, n_y = 1), (n_x = 1, n_y = 7) और (n_x = n_y = 5) सभी मे $E=50{\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}$ है, और अपकर्ष समुच्चय का गठन करते है।

एक वर्गाकार वर्ग में कण के लिए विभिन्न ऊर्जा स्तरों की अपक्षयीता की श्रेणी:

$n_{x}$	$n_{y}$	$E\left({\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\right)$	अपकर्ष
1	1	2	1
2 1	1 2	5 5	2
2	2	8	1
3 1	1 3	10 10	2
3 2	2 3	13 13	2
4 1	1 4	17 17	2
3	3	18	1
...	...	...	...
7 5 1	1 5 7	50 50 50	3
...	...	...	...
8 7 4 1	1 4 7 8	65 65 65 65	4
...	...	...	...
9 7 6 2	2 6 7 9	85 85 85 85	4
...	...	...	...
11 10 5 2	2 5 10 11	125 125 125 125	4
...	...	...	...
14 10 2	2 10 14	200 200 200	3
...	...	...	...
17 13 7	7 13 17	338 338 338	3

एक घन वर्ग में कण

इस स्थितियों में, वर्ग के आयाम $L_{x}=L_{y}=L_{z}=L$ और ऊर्जा प्रेरक मान तीन क्वांटम संख्याओं पर निर्भर करते हैं।

E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2})

चूँकि ऊर्जा को परिवर्तन रहित $n_{x}$ , $n_{y}$ और $n_{z}$ परवर्तित किया जा सकती है, प्रत्येक ऊर्जा स्तर में कम से कम तीन की अपकर्ष होती है, जब तीन क्वांटम संख्याएँ सभी समान नहीं होती हैं।

== अपकर्ष== के स्थितियों में अद्वितीय प्रकार आधार निष्कर्ष

यदि दो संचालक (भौतिकी) ${\hat {A}}$ और ${\hat {B}}$ आवागमन करते हैं, अर्थात $[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0$ तो प्रत्येक प्रेरक संवाहक के लिए ${\hat {A}}$ , ${\hat {B}}|\psi \rangle$ में से $|\psi \rangle$ भी समान प्रेरक मान के साथ ${\hat {A}}$ का प्रेरक संवाहक है। चूंकि, यदि यह प्रेरक मान, मान लें कि $\lambda$ अपकर्ष है, तो यह कहा जा सकता है कि ${\hat {B}}|\psi \rangle$ एवं ${\hat {A}}$ के प्रेरक अन्तराल $E_{\lambda }$ से संबंधित है, जिसे ${\hat {B}}$ की अनुयोजन के साथ वैश्विक रूप से अपरिवर्तनीय कहा जाता है।

दो कम्यूटिंग अवलोकनीय A और B के लिए, दो संचालको के लिए प्रेरक संवाहक के साथ अवस्था अन्तराल के सामान्य आधार का निर्माण कर सकते हैं। चूंकि  $\lambda$  एवं  ${\hat {A}}$  का अपकर्ष प्रेरक मान है, तो यह  ${\hat {A}}$  का प्रेरक अन्तराल है जो  ${\hat {B}}$  की अनुयोजन के साथ अपरिवर्तनीय है, इसलिए  ${\hat {A}}$  के प्रेरक मान में  ${\hat {B}}$  का प्रतिनिधित्व (अंक शास्त्र) विकर्ण नहीं है, किन्तु खंड विकर्ण आव्युह है, अर्थात  ${\hat {A}}$  के पतित प्रेरक संवाहक हैं सामान्यतः,  ${\hat {B}}$  के प्रेरक संवाहक नहीं है।

आवागमन संबंधी अवलोकनों का पूरा समुच्चय का चयन

यदि दिया गया अवलोकन योग्य A अपकर्ष नहीं है, तो इसके प्रेरक संवाहक के माध्यम से गठित अद्वितीय आधार उपस्थित है। दूसरी ओर, यदि ${\hat {A}}$ या अनेक प्रेरक मान अपकर्ष हैं, आधार संवाहक को चिह्नित करने के लिए प्रेरक मान निर्दिष्ट करना पर्याप्त नहीं है। यदि, अवलोकन योग्य ${\hat {B}}$ को चयनित करके जो ${\hat {A}}$ के साथ गति करता है, ${\hat {A}}$ और ${\hat {B}}$ के लिए साधारण प्रेरक संवाहको का प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण आधार बनाना संभव है, जो कि प्रेरक मान {a,b} के प्रत्येक संभावित युग्मित के लिए अद्वितीय है, तो ${\hat {A}}$ और ${\hat {B}}$ हैं कहा जाता है, कि यह आवागमन संबंधी अवलोकनों का पूरा समुच्चय परिपक्व करता है। चूंकि, यदि प्रेरक संवाहकों का अनूठा समुच्चय अभी भी निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है, तो प्रेरक मान के युग्मित में से कम से कम के लिए, तीसरा अवलोकन योग्य ${\hat {C}}$ जो ${\hat {A}}$ और ${\hat {B}}$ दोनों के साथ आवागमन करता है, इस प्रकार प्राप्त जा सकता है, कि तीनों आवागमन संबंधी अवलोकनों का पूरा समुच्चय बनाते हैं।

यह इस प्रकार है कि सामान्य ऊर्जा मान के साथ क्वांटम प्रणाली के हैमिल्टनियन के प्रेरक क्रिया को कुछ अतिरिक्त जानकारी देकर सामान्य किया जाना चाहिए, जो हैमिल्टनियन के साथ चलने वाले संचालको को चयनित करके किया जा सकता है। इन अतिरिक्त सामान्यों को अद्वितीय ऊर्जा प्रेरक क्रिया के नामकरण की आवश्यकता होती है, और सामान्यतः प्रणाली की गति के स्थिरांक से संबंधित होते हैं।

अपकर्ष ऊर्जा प्रेरक अवस्था और समानता संचालिका

समानता संचालको को r को −r में परिवर्तन के $|r\rangle$ प्रतिनिधित्व में इसकी क्रिया के माध्यम से परिभाषित किया गया है, अर्थात

\langle r|P|\psi \rangle =\psi (-r)

P के प्रेरक मान को $\pm 1$ तक सीमित दर्शाया जा सकता है, जो कि अनंत-आयामी अवस्था अन्तराल में अपकर्ष प्रेरक मान हैं। P के प्रेरक मान +1 वाले प्रेरक संवाहक को सम कहा जाता है, जबकि प्रेरक मान -1 वाले को विषम कहा जाता है।

अब, सम संचालिका ${\hat {A}}$ है जो संतुष्ट करती है,

{\tilde {A}}=P{\hat {A}}P

[P,{\hat {A}}]=0

चूँकि विषम संचालको ${\hat {B}}$ है जो संतुष्ट करता है

P{\hat {B}}+{\hat {B}}P=0

चूँकि संवेग संचालक ${\hat {p}}^{2}$ का वर्ग सम है, यदि संभावित V(r) सम है, तो हैमिल्टनियन ${\hat {H}}$ को सम संचालक कहा जाता है। उस स्थिति में, यदि इसके प्रत्येक प्रेरक मान अपकर्ष हैं, तो प्रत्येक प्रेरक संवाहक आवश्यक रूप से P का प्रेरक क्षेत्र है, और इसलिए सम और विषम राज्यों के मध्य ${\hat {H}}$ के प्रेरक क्षेत्र को देखना संभव है। चूंकि, यदि किसी ऊर्जा प्रेरक क्षेत्र में कोई निश्चित समानता (भौतिकी) नहीं है, तो यह प्रमाणित किया जा सकता है कि संबंधित प्रेरक मान पतित है, और $P|\psi \rangle$ एवं $|\psi \rangle$ के समान प्रेरक मान के साथ ${\hat {H}}$ का प्रेरक संवाहक है।

अपकर्ष और समरूपता

क्वांटम-यांत्रिक प्रणाली में अपक्षय की भौतिक उत्पत्ति प्राय: प्रणाली में कुछ समरूपता की उपस्थिति होती है। क्वांटम प्रणाली की समरूपता का अध्ययन, कुछ स्थितियों में हमें श्रोडिंगर समीकरण को हल करे बिना ऊर्जा के स्तर और अपक्षयीता को अन्वेषण में सक्षम बनाता है, जिससे प्रयास कम हो जाता है।

गणितीय रूप से, समरूपता के साथ अपकर्ष के संबंध को इस प्रकार स्पष्ट किया जा सकता है। एकात्मक संचालक $S$ से संबंधित समरूपता संक्रिया पर विचार करें। इस तरह के संचालन के साथ, नया हैमिल्टनियन संचालक $S$ के माध्यम से उत्पन्न समानता परिवर्तन के माध्यम से मूल है। मिल्टनियन से संबंधित है, जैसे कि $H'=SHS^{-1}=SHS^{\dagger }$ चूंकि $S$ एकात्मक है। यदि परिवर्तन संचालन $S$ के साथ हैमिल्टनियन अपरिवर्तित रहता है तो हमारे पास है

SHS^{\dagger }=H

SHS^{-1}=H

SH=HS

[S,H]=0

अब यदि $|\alpha \rangle$ ऊर्जा अवस्था है,

H|\alpha \rangle =E|\alpha \rangle

जिस स्थान पर E संगत ऊर्जा प्रेरक मान है।

HS|\alpha \rangle =SH|\alpha \rangle =SE|\alpha \rangle =ES|\alpha \rangle

जिसका अर्थ है कि $S|\alpha \rangle$ भी समान प्रेरक मान $E$ के साथ ऊर्जा प्रेरक अवस्था है। यदि दोनों अवस्था $|\alpha \rangle$ और $S|\alpha \rangle$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (अर्थात् भौतिक रूप से भिन्न), इसलिए वे अपकर्ष हैं।

ऐसे स्थितियों में जहां $S$ को सतत पैरामीटर $\epsilon$ की विशेषता है, प्रपत्र $S(\epsilon )|\alpha \rangle$ की सभी अवस्थाओं में समान ऊर्जा प्रेरक मान होती है।

हैमिल्टनियन का समरूपता समूह

क्वांटम प्रणाली के हैमिल्टनियन के साथ आवागमन करने वाले सभी संचालको के समुच्चय को हैमिल्टन के समरूपता समूह बनाने के लिए कहा जाता है। इस समूह के जनक (समूहों) के क्रमविनिमेयक समूह के बीजगणित का निर्धारण करते हैं। समरूपता समूह का n-आयामी प्रतिनिधित्व समरूपता संचालको की गुणन तालिका को संरक्षित करता है। विशेष समरूपता समूह के साथ हैमिल्टनियन की संभावित अपकर्ष समूह के अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन के आयामों के माध्यम से दिए गए हैं। n-गुणन अपकर्ष प्रेरकमान के अनुरूप प्रेरक फलन हैमिल्टनियन के समरूपता समूह के n-आयामी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के लिए आधार बनाते हैं।

अपकर्ष के प्रकार

एक क्वांटम प्रणाली में अपकर्ष स्वभाव में व्यवस्थित या आकस्मिक हो सकती है।

व्यवस्थित या आवश्यक अपकर्ष

इसे ज्यामितीय या सामान्य अपकर्ष भी कहाँ जाता है, और विचाराधीन प्रणाली में किसी प्रकार की समरूपता की उपस्थिति के कारण उत्पन्न होता है, अर्थात निश्चित संचालन के साथ हैमिल्टनियन की अपरिवर्तनीयता है, जिस प्रकार से कि पूर्व वर्णित है। सामान्य अपकर्ष से प्राप्त प्रतिनिधित्व अप्रासंगिक है, और संबंधित प्रेरक क्रिया इस प्रतिनिधित्व के लिए आधार बनाते हैं।

आकस्मिक अपकर्ष

यह प्रणाली की कुछ विशेष विशेषताओं या विचाराधीन क्षमता के कार्यात्मक रूप से उत्पन्न होने संबंधी अपकर्ष का प्रकार है, और संभवतः प्रणाली में लुप्त हुई गतिशील समरूपता से संबंधित है।^[4] इसका परिणाम संरक्षित परिमाण में भी होता है, जिन्हें स्पष्ट करना प्राय: सरल नहीं होता है। असतत ऊर्जा वर्णक्रम में आकस्मिक समरूपता इन अतिरिक्त अपकर्ष की ओर ले जाती है। आकस्मिक अपकर्ष इस तथ्य के कारण हो सकता है, कि हैमिल्टनियन का समूह पूर्ण नहीं है। ये अपकर्ष मौलिक भौतिकी में बाध्य कक्षीय के अस्तित्व से जुड़े हैं।

उदाहरण: कूलॉम और अनुरूप दोलक सामर्थ्यः

केंद्रीय $1/ r$ क्षमता में कण के लिए, लाप्लास-रनगे-लेन्ज़ संवाहक संरक्षित मात्रा है, जो आकस्मिक अपकर्ष के परिणामस्वरूप होती है, इसके अतरिक्त आवर्तनशील अपरिवर्तनीयता के कारण कोणीय गति का संरक्षण भी होता है।

शंकु की शीर्ष पर केन्द्रित $1/ r$ और $r 2$ सामर्थ्यः के प्रभाव में शंकु पर विचरण कर ने वाले कण के लिए, आकस्मिक समरूपता के अनुरूप संरक्षित परिमाण घटक के अतिरिक्त, रनगे-लेनज़ संवाहक के समतुल्य के दो घटक होंगी। कोणीय संवेग संवाहक की यह परिमाण दोनों संभावनाओं के लिए एसयू(2) समरूपता उत्पन्न करती हैं।

उदाहरण: स्थिर चुंबकीय क्षेत्र में कण

स्थिर चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में गतिमान कण, वृत्ताकार कक्षीय पर साइक्लोट्रॉन गति से निकल रहा है, आकस्मिक समरूपता का और महत्वपूर्ण उदाहरण है। इस स्थितियों में समरूपता गुणक लैंडौ स्तर हैं, जो अनंततः रूप से अपकर्ष हैं।

उदाहरण

हाइड्रोजन परमाणु

परमाणु भौतिकी में, हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की बाध्य अवस्थाएँ हमें अपकर्ष के उपयोगी उदाहरण दिखाती हैं। इस स्थितियों में, हैमिल्टनियन कुल कोणीय गति संचालको ${\hat {L^{2}}}$ के साथ आवागमन करता है , इसका घटक z-दिशा के साथ ${\hat {L_{z}}}$ , कुल चक्र (भौतिकी) कोणीय गति ${\hat {S^{2}}}$ और इसका z-घटक ${\hat {S_{z}}}$ है। इन संचालको के अनुरूप क्वांटम संख्याएं क्रमशः $l$ , $m_{l}$ , $s$ हैं (सदैव इलेक्ट्रॉन के लिए 1/2) और $m_{s}$ क्रमानुसार है।

हाइड्रोजन परमाणु में ऊर्जा का स्तर मात्र मुख्य क्वांटम संख्या $n$ पर निर्भर करता है। दिए गए n के लिए $l=0,\ldots ,n-1$ के अनुरूप सभी अवस्थाओं में समान ऊर्जा होती है, और वे अपकर्ष होते हैं। इसी प्रकार $n$ और $l$ के दिए गए मानों के लिए $m_{l}=-l,\ldots ,l$ के साथ $(2l+1)$ स्थितियाँ अपकर्ष हैं। ऊर्जा स्तर E_n की अपकर्ष की श्रेणी इसलिए : $\sum _{l\mathop {=} 0}^{n-1}(2l+1)=n^{2}$ है जो चक्र अपकर्ष को सम्मिलित करने पर युग्मित हो जाती है।^[1]

$m_{l}$ के संबंध में अपकर्ष आवश्यक अपकर्ष है, जो किसी भी केंद्रीय क्षमता के लिए उपस्थित है, और अनुकूल स्थानिक दिशा की अनुपस्थिति से उत्पन्न होता है। $l$ के संबंध में अपकर्ष को प्राय आकस्मिक अपकर्ष के रूप में वर्णित किया जाता है, किन्तु इसे श्रोडिंगर समीकरण की विशेष समरूपता के संदर्भ में समझाया जा सकता है जो मात्र हाइड्रोजन परमाणु के लिए मान्य है, जिसमें संभावित ऊर्जा कूलम्ब के नियम के माध्यम से दी गई है।।^[1]^{: p. 267f}

समदैशिक त्रि-आयामी अनुरूप दोलक

यह द्रव्यमान m का चक्र रहित कण है, जो त्रि-आयामी अन्तराल में विचरण कर रहा है, यह केंद्रीय बल के अधीन है। जिसका पूर्ण मान बल के केंद्र से कण की दूरी के समानुपाती होता है।

F=-kr

इसे समदैशिक कहा जाता है, क्योंकि इस पर कार्य करने वाला $V(r)$ आवर्तनशील रूप से अपरिवर्तनीय है, अर्थात $V(r)=1/2\left(m\omega ^{2}r^{2}\right)$ जिस स्थान पर $\omega$ , ${\textstyle {\sqrt {k/m}}}$ . के माध्यम से दी गई कोणीय आवृत्ति है।

चूँकि ऐसे कण का अवस्था स्थान व्यक्तिगत एक-आयामी आवेश कार्यों से जुड़े अवस्था स्थानों का प्रदिश उत्पाद है, इस तरह की प्रणाली के लिए अवधि -स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण के माध्यम से दिया जाता है-

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}{m\omega ^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\psi }=E\psi

तो, ऊर्जा प्रेरक मान $E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=(n_{x}+n_{y}+n_{z}+3/2)\hbar \omega$ हैं

या, $E_{n}=(n+3/2)\hbar \omega$

जिस स्थान पर n अ-ऋणात्मक पूर्णांक है। इसलिए ऊर्जा का स्तर अपकर्ष हो गया है, और अपकर्ष की श्रेणीविभिन्न समुच्चयों की संख्या $\{n_{x},n_{y},n_{z}\}$ के समरूप है जो संतोषजनक है

n_{x}+n_{y}+n_{z}=n

$n$ अवस्था की अपकर्ष को $n_{x}$ , $n_{y}$ और $n_{z}$ में $n$ क्वांटा के वितरण पर विचार करके प्राप्त जा सकता है। $n_{x}$ में 0 होने से $n_{y}$ और $n_{z}$ में वितरण की $n+1$ संभावनाएँ प्राप्त होती हैं। 1 में $n_{x}$ क्वांटा होने से $n_{y}$ और $n_{z}$ इत्यादि में $n$ संभावनाएं प्राप्त होती हैं। इससे $n-n_{x}+1$ का सामान्य परिणाम प्राप्त होता है और सभी $n$ का योग $n$ वीं अवस्था की अपकर्ष की ओर ले जाता है-

\sum _{n_{x}=0}^{n}(n-n_{x}+1)={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}

जिस प्रकार से कि दर्शाया गया है, मात्र सतह अवस्था जिस स्थान पर $n=0$ अ-अपकर्ष है (अथार्त $1$ की अपक्षयीता है )।

अपकर्ष का निवारक

यदि किसी बाह्य अस्तव्यस्तता सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) से अंतर्निहित समरूपता विघटित हो जाती है, तो क्वांटम यांत्रिक प्रणाली में विकृति को दूर किया जा सकता है।। यह अपकर्ष ऊर्जा स्तरों में विभाजन का कारण बनता है। यह अनिवार्य रूप से मूल अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन को विकृत प्रणाली के निम्न-आयामी ऐसे अभ्यावेदन में विभाजित करना है।

गणितीय रूप से, छोटी अस्तव्यस्तता क्षमता के आवेदन के कारण विभाजन की गणना अवधि -स्वतंत्र अपकर्ष अस्तव्यस्तता सिद्धांत का उपयोग करके की जा सकती है। यह सन्निकटन योजना है, जिसे अप्रभावित प्रणाली के लिए हैमिल्टनियन H₀ के समाधान को देखते हुए, प्रयुक्त अस्तव्यस्तता के साथ क्वांटम प्रणाली के हैमिल्टनियन H के लिए प्रेरक मान समीकरण का समाधान अन्वेषण के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है। इसमें अस्तव्यस्तता सिद्धांत में हैमिल्टनियन H के प्रेरक मान और प्रेरक केट का विस्तार करना सम्मिलित है। किसी दिए गए ऊर्जा प्रेरक मान के साथ पतित प्रेरक क्षेत्र संवाहक उप-स्थान बनाते हैं, किन्तु इस स्थान के प्रेरक क्षेत्र का प्रत्येक आधार अस्तव्यस्तता सिद्धांत के लिए उपयुक्ता प्रारंभिक बिंदु नहीं है, क्योंकि सामान्यतः उनके पास अस्तव्यस्तता सिद्धांत का कोई भी प्रेरक क्षेत्र नहीं होगा। चयन का सही आधार वह है जो अपकर्ष उप-स्थान के अन्दर अस्तव्यस्तता हैमिल्टनियन को विकर्ण करता है।

प्रथम-क्रम पतित विक्षोभ सिद्धांत के माध्यम से अध:पतन को उन्नति।

Consider an unperturbed Hamiltonian

{\hat {H_{0}}}

and perturbation

{\hat {V}}

, so that the perturbed Hamiltonian

{\hat {H}}={\hat {H_{0}}}+{\hat {V}}

The perturbed eigenstate, for no degeneracy, is given by-

|\psi _{0}\rangle =|n_{0}\rangle +\sum _{k\neq 0}V_{k0}/(E_{0}-E_{k})|n_{k}\rangle

The perturbed energy eigenket as well as higher order energy shifts diverge when $E_{0}=E_{k}$ , i.e., in the presence of degeneracy in energy levels. Assuming ${\hat {H_{0}}}$ possesses N degenerate प्रेरक क्षेत्र $|m\rangle$ with the same energy प्रेरक मान E, and also in general some non-degenerate प्रेरक क्षेत्र. A perturbed प्रेरक अवस्था $|\psi _{j}\rangle$ can be written as a linear expansion in the unperturbed degenerate प्रेरक क्षेत्र as-

|\psi _{j}\rangle =\sum _{i}|m_{i}\rangle \langle m_{i}|\psi _{j}\rangle =\sum _{i}c_{ji}|m_{i}\rangle

[{\hat {H_{0}}}+{\hat {V}}]\psi _{j}\rangle =[{\hat {H_{0}}}+{\hat {V}}]\sum _{i}c_{ji}|m_{i}\rangle =E_{j}\sum _{i}c_{ji}|m_{i}\rangle

where $E_{j}$ refer to the perturbed energy प्रेरक मान s. Since $E$ is a degenerate प्रेरक मान of ${\hat {H_{0}}}$ ,

\sum _{i}c_{ji}{\hat {V}}|m_{i}\rangle =(E_{j}-E)\sum _{i}c_{ji}|m_{i}\rangle =\Delta E_{j}\sum _{i}c_{ji}|m_{i}\rangle

Premultiplying by another unperturbed degenerate eigenket $\langle m_{k}|$ gives-

\sum _{i}c_{ji}[\langle m_{k}|{\hat {V}}|m_{i}\rangle -\delta _{ik}(E_{j}-E)]=0

This is an प्रेरक मान problem, and writing $V_{ik}=\langle m_{i}|{\hat {V}}|m_{k}\rangle$ , we have-

{\begin{vmatrix}V_{11}-\Delta E_{j}&V_{12}&\dots &V_{1N}\\V_{21}&V_{22}-\Delta E_{j}&\dots &V_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\V_{N1}&V_{N2}&\dots &V_{NN}-\Delta E_{j}\end{vmatrix}}.\,

The N प्रेरक मान s obtained by solving this equation give the shifts in the degenerate energy level due to the applied perturbation, while the प्रेरक संवाहक s give the perturbed states in the unperturbed degenerate basis $|m\rangle$ . To choose the good प्रेरक क्षेत्र from the beginning, it is useful to find an operator ${\hat {V}}$ which commutes with the original Hamiltonian ${\hat {H_{0}}}$ and has simultaneous प्रेरक क्षेत्र with it.

क्षोभ के माध्यम से अपक्षय को दूर करने के भौतिक उदाहरण

भौतिक स्थितियों के कुछ महत्वपूर्ण उदाहरण जिस स्थान पर क्वांटम प्रणाली के अपक्षयी ऊर्जा स्तर बाहरी अस्तव्यस्तता के अनुप्रयोग के माध्यम से विभाजित किया जाता हैं, नीचे दिए गए हैं।

दो-स्तरीय प्रणालियों में समरूपता का विघटितना

एक दो-स्तरीय प्रणाली अनिवार्य रूप से भौतिक प्रणाली को संदर्भित करती है जिसमें दो अवस्था होते हैं, जिनकी ऊर्जा साथ होती है और प्रणाली के अन्य अवस्था से अत्यंत भिन्न होती है। ऐसी प्रणाली के लिए सभी गणनाएं अवस्था अन्तराल के द्वि-आयामी उप-स्थल सांस्थिति पर की जाती हैं।

यदि किसी भौतिक प्रणाली की आधार स्थिति दो गुना अपकर्ष है, तो दो संबंधित अवस्था के मध्य कोई भी युग्मन प्रणाली की आधार स्थिति की ऊर्जा को कम करता है, और इसे और अधिक स्थिर बनाता है।

यदि $E_{1}$ और $E_{2}$ प्रणाली के ऊर्जा स्तर हैं, जैसे कि $E_{1}=E_{2}=E$ , और अस्तव्यस्तता $W$ को द्वि-आयामी उप-स्थान में निम्नलिखित 2×2 आव्युह के रूप में दर्शाया गया है

\mathbf {W} ={\begin{bmatrix}0&W_{12}\\W_{12}^{*}&0\end{bmatrix}}.

तब विक्षुब्ध ऊर्जाएं हैं

E_{+}=E+|W_{12}|

E_{-}=E-|W_{12}|

दो-अवस्था प्रणालियों के उदाहरण जिनमें प्रणाली की अंतर्निहित संपत्ति के कारण आंतरिक संपर्क के परिणामस्वरूप हैमिल्टनियन में विवृत विकर्ण परिस्थितियों की उपस्थिति से ऊर्जा अवस्थाओं में अपक्षयीता विघटित जाती है:

बेंजीन, निकटतम कार्बन परमाणुओं के मध्य तीन दोहरे संबंध के दो संभावित स्वभावों के साथ है।
अमोनिया अणु, जिस स्थान पर नाइट्रोजन परमाणु तीन हाइड्रोजन परमाणुओं के माध्यम से परिभाषित सतह के पूर्व या नीचे हो सकता है।
H⁺
₂ अणु, जिसमें इलेक्ट्रॉन को दो नाभिकों में से किसी के आसपास स्थानबद्ध किया जा सकता है।

उत्तम-संरचना विभाजन

आपेक्षिकीय गति और चक्र -कक्षीय युग्मन के कारण हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के मध्य कूलम्ब अन्योन्यक्रिया में संशोधन के परिणामस्वरूप एकल प्रमुख क्वांटम संख्या n के अनुरूप lके विभिन्न मानो के लिए ऊर्जा स्तरों में अपकर्षको को विघटित कर दिया जाता है।

आपेक्षिक संशोधन के कारण अस्तव्यस्तता हैमिल्टन के माध्यम से दिया गया है

H_{r}=-p^{4}/8m^{3}c^{2}

जिस स्थान पर $p$ संवेग संचालक है और $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है। $|nlm\rangle$ आधार में प्रथम-क्रम सापेक्षतावादी ऊर्जा संशोधन के माध्यम से दिया गया है

E_{r}=(-1/8m^{3}c^{2})\langle nlm|p^{4}|nlm\rangle

अब $p^{4}=4m^{2}(H^{0}+e^{2}/r)^{2}$

{\begin{aligned}E_{r}&=(-1/2mc^{2})[E_{n}^{2}+2E_{n}e^{2}\langle 1/r\rangle +e^{4}\langle 1/r^{2}\rangle ]\\&=(-1/2)mc^{2}\alpha ^{4}[-3/(4n^{4})+1/{n^{3}(l+1/2)}]\end{aligned}}

जिस स्थान पर $\alpha$ न्यायपूर्ण संरचना स्थिरांक है।

चक्र -कक्षीय पारस्परिक प्रभाव, प्रोटॉन के साथ सापेक्ष गति के कारण इसके के माध्यम से अनुभव किए गए चुंबकीय क्षेत्र के साथ इलेक्ट्रॉन के आंतरिक चुंबकीय क्षण के मध्य की बातचीत को संदर्भित करता है। पारस्परिक प्रभाव हैमिल्टनियन है

H_{so}=-(e/mc){{\vec {m}}\cdot {\vec {L}}/r^{3}}=[(e^{2}/(m^{2}c^{2}r^{3})){\vec {S}}\cdot {\vec {L}}]

जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

H_{so}=(e^{2}/(4m^{2}c^{2}r^{3}))[{\vec {J}}^{2}-{\vec {L}}^{2}-{\vec {S}}^{2}]

$|j,m,l,1/2\rangle$ आधार में प्रथम क्रम ऊर्जा संशोधन जहां अस्तव्यस्तता हैमिल्टनियन विकर्ण है, के माध्यम से दिया गया है

E_{so}=(\hbar ^{2}e^{2})/(4m^{2}c^{2})[j(j+1)-l(l+1)-3/4]/((a_{0})^{3}n^{3}(l(l+1/2)(l+1))]

जिस स्थान पर $a_{0}$ बोह्र त्रिज्या है। कुल उत्तम संरचना ऊर्जा परिवर्तन के माध्यम से दिया गया है

E_{fs}=-(mc^{2}\alpha ^{4}/(2n^{3}))[1/(j+1/2)-3/4n]

$j=l\pm 1/2$ के लिए

ज़ीमन प्रभाव

बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखे जाने पर परमाणु के चुंबकीय क्षण ${\vec {m}}$ की प्रयुक्त क्षेत्र के साथ परस्पर क्रिया के कारण परमाणु के ऊर्जा स्तर के विभाजन को ज़ीमन प्रभाव के रूप में जाना जाता है।

हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के क्रमशः कक्षीय और चक्र कोणीय संवेग ${\vec {L}}$ और ${\vec {S}}$ को ध्यान में रखते हुए अस्तव्यस्तता हैमिल्टनियन के माध्यम से दी गई है

{\hat {V}}=-({\vec {m_{l}}}+{\vec {m_{s}}})\cdot {\vec {B}}

जिस स्थान पर $m_{l}=-e{\vec {L}}/2m$ और $m_{s}=-e{\vec {S}}/m$ . इस प्रकार है

{\hat {V}}=e({\vec {L}}+2{\vec {S}})\cdot {\vec {B}}/2m

अब, अशक्त क्षेत्र ज़ीमन प्रभाव के स्थितियों में, जब आंतरिक क्षेत्र की तुलना में प्रयुक्त क्षेत्र अशक्त होता है, तो चक्र -परिक्रमा युग्मन प्रभावी होता है और ${\vec {L}}$ और ${\vec {S}}$ भिन्न से संरक्षित नहीं हैं। उपयुक्त क्वांटम संख्याएँ n, l, j और m हैं_j, और इस आधार पर, प्रथम क्रम ऊर्जा संशोधन के माध्यम से दर्शाया जा सकता है

E_{z}=-\mu _{B}g_{j}Bm_{j}

, जिस स्थान पर

$\mu _{B}={e\hbar }/2m$ बोह्र मैग्नेटो को बोह्र मैग्नेटन कहा जाता है। इस प्रकार $m_{j}$ के मूल्य के आधार पर प्रत्येक अपकर्ष ऊर्जा स्तर अनेक स्तरों में विभाजित हो जाता है।

बाह्य चुंबकीय क्षेत्र के माध्यम से अपकर्ष को उन्नति

शक्तिशाली -क्षेत्र ज़ीमैन प्रभाव के स्थितियों में जब प्रयुक्त क्षेत्र इतना शक्तिशाली होता है, कि कक्षीय और चक्र कोणीय गति भिन्न हो जाती है तो उपयुक्त क्वांटम संख्याएं अब n, l, m_l और m_s होती हैं। इस स्थान पर L_zऔर S_z संरक्षित हैं, इसलिए अस्तव्यस्तता हैमिल्टन के माध्यम से दी गई है-

{\hat {V}}=eB(L_{z}+2S_{z})/2m

यह मानते हुए कि चुंबकीय क्षेत्र z-दिशा के अनुदिश है। इसलिए,

{\hat {V}}=eB(m_{l}+2m_{s})/2m

m_l के प्रत्येक मान के लिए m_s $\pm 1/2$ के दो संभावित मान हैं।

नितांत प्रभाव

किसी बाह्य विद्युत क्षेत्र के अधीन होने पर किसी परमाणु या अणु के ऊर्जा स्तरों का विभाजन नितांत प्रभाव के रूप में जाना जाता है।

हाइड्रोजन परमाणु के लिए विक्षोभ हैमिल्टनियन है

{\hat {H}}_{s}=-|e|Ez

यदि विद्युत क्षेत्र को z-दिशा के साथ चयन किया जाता है।

प्रयुक्त क्षेत्र के कारण ऊर्जा संशोधन $|nlm\rangle$ आधार में ${\hat {H}}_{s}$ के अपेक्षा मान के माध्यम से दिए गए हैं। चयन नियमों के माध्यम से यह दर्शाया जा सकता है कि $\langle nlm_{l}|z|n_{1}l_{1}m_{l1}\rangle \neq 0$ जिस प्रकार से $l=l_{1}\pm 1$ और $m_{l}=m_{l1}$ मे है।

प्रथम क्रम में चयन नियमों का पालन करने वाले कुछ अवस्था के लिए ही अपकर्ष को निकासी करा जाता है। अपकर्ष अवस्थाओं के लिए ऊर्जा स्तरों में प्रथम क्रम का विभाज $\Delta E_{2,1,m_{l}}=\pm |e|(\hbar ^{2})/(m_{e}e^{2})E$ के माध्यम से दिए गए n = 2 के अनुरूप $|2,0,0\rangle$ और $|2,1,0\rangle$ दोनों स्थितियाँ हैं।

यह भी देखें

अवस्थाओं का घनत्व

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Merzbacher, Eugen (1998). क्वांटम यांत्रिकी (3rd ed.). New York: John Wiley. ISBN 0471887021.{{cite book}}: CS1 maint: uses authors parameter (link)
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↑ Messiah, Albert (1967). क्वांटम यांत्रिकी (3rd ed.). Amsterdam, NLD: North-Holland. pp. 98–106. ISBN 0471887021.{{cite book}}: CS1 maint: uses authors parameter (link)
↑ McIntosh, Harold V. (1959). "क्लासिकल और क्वांटम यांत्रिकी में आकस्मिक गिरावट पर" (PDF). American Journal of Physics. American Association of Physics Teachers (AAPT). 27 (9): 620–625. Bibcode:1959AmJPh..27..620M. doi:10.1119/1.1934944. ISSN 0002-9505.

अग्रिम पठन

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Shankar, Ramamurti (2013). Principles of Quantum Mechanics. Springer. ISBN 9781461576754.{{cite book}}: CS1 maint: uses authors parameter (link)^{[full citation needed]}
Larson, Ron; Falvo, David C. (30 March 2009). Elementary Linear Algebra, Enhanced Edition. Cengage Learning. pp. 8–. ISBN 978-1-305-17240-1.
Hobson; Riley (27 August 2004). Mathematical Methods For Physics And Engineering (Clpe) 2Ed. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-61296-8.
Hemmer (2005). Kvantemekanikk: P.C. Hemmer. Tapir akademisk forlag. Tillegg 3: supplement to sections 3.1, 3.3, and 3.5. ISBN 978-82-519-2028-5.
Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology
Al-Hashimi, Munir (2008). Accidental Symmetry in Quantum Physics.

[Merzbacher98-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Merzbacher, Eugen (1998). क्वांटम यांत्रिकी (3rd ed.). New York: John Wiley. ISBN 0471887021.{{cite book}}: CS1 maint: uses authors parameter (link)

[Levine-2] Levine, Ira N. (1991). Quantum Chemistry (4th ed.). Prentice Hall. p. 52. ISBN 0-205-12770-3.{{cite book}}: CS1 maint: uses authors parameter (link)

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[4] McIntosh, Harold V. (1959). "क्लासिकल और क्वांटम यांत्रिकी में आकस्मिक गिरावट पर" (PDF). American Journal of Physics. American Association of Physics Teachers (AAPT). 27 (9): 620–625. Bibcode:1959AmJPh..27..620M. doi:10.1119/1.1934944. ISSN 0002-9505.

[1]

[2]

[3]

[4]

v t e Quantum mechanics
Background	Introduction History Timeline Classical mechanics Old quantum theory Glossary
Fundamentals	Born rule Bra–ket notation Complementarity Density matrix Energy level Ground state Excited state Degenerate levels Zero-point energy Entanglement Hamiltonian Interference Decoherence Measurement Nonlocality Quantum state Superposition Tunnelling Scattering theory Symmetry in quantum mechanics Uncertainty Wave function Collapse Wave–particle duality
Formulations	Formulations Heisenberg Interaction Matrix mechanics Schrödinger Path integral formulation Phase space
Equations	Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
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ऊर्जा के स्तर को कम करना: Difference between revisions

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Latest revision as of 09:31, 12 July 2023

Contents

अंक शास्त्र

ऊर्जा के मापन पर अपकर्ष का प्रभाव

विभिन्न आयामों में अपकर्ष

आयाम में अपकर्ष

द्वि-आयामी क्वांटम प्रणाली में अपकर्ष

आयताकार तल में कण

एक वर्गकार वर्ग में कण

एक घन वर्ग में कण

आवागमन संबंधी अवलोकनों का पूरा समुच्चय का चयन

अपकर्ष ऊर्जा प्रेरक अवस्था और समानता संचालिका

अपकर्ष और समरूपता

अपकर्ष के प्रकार

व्यवस्थित या आवश्यक अपकर्ष

आकस्मिक अपकर्ष

उदाहरण: कूलॉम और अनुरूप दोलक सामर्थ्यः

उदाहरण: स्थिर चुंबकीय क्षेत्र में कण

उदाहरण

हाइड्रोजन परमाणु

समदैशिक त्रि-आयामी अनुरूप दोलक

अपकर्ष का निवारक

क्षोभ के माध्यम से अपक्षय को दूर करने के भौतिक उदाहरण

दो-स्तरीय प्रणालियों में समरूपता का विघटितना

उत्तम-संरचना विभाजन

ज़ीमन प्रभाव

नितांत प्रभाव

यह भी देखें

संदर्भ

अग्रिम पठन

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Energy level of a quantum system that corresponds to two or more different measurable states}}
 {{Redirect|क्वांटम अध:पतन|पदार्थ की अवस्था|पतित पदार्थ|अन्य उपयोग|अधःपतन (बहुविकल्पी){{!}} अधःपतन}}
-[[क्वांटम यांत्रिकी]] में, एक [[ऊर्जा स्तर]] पतित होता है यदि यह एक [[क्वांटम प्रणाली]] के दो या दो से अधिक भिन्न-भिन्न औसत दर्जे की अवस्थाओं से अनुकूल होती है।इसके विपरीत, क्वांटम यांत्रिक प्रणाली की दो या दो से अधिक विभिन्न अवस्थाओं को विकृत कहा जाता है यदि वे माप पर ऊर्जा का समान मूल्य देते हैं। एक विशेष ऊर्जा स्तर के अनुरूप विभिन्न अवस्थाओं की संख्या को स्तर की पतन की श्रेणी के रूप में जाना जाता है। इसे गणितीय रूप से  [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] के माध्यम से एक ही ऊर्जा  [[eigenvalue|प्रेरक मान]]  के साथ एक से अधिक रैखिक रूप से स्वतंत्र [[रैखिक स्वतंत्रता]]  वाले सिस्टम के लिए दिखाया  गया है।।<ref name=Merzbacher98>{{cite book | authors = Merzbacher, Eugen | date = 1998 | title = क्वांटम यांत्रिकी| edition = 3rd | location  = New York | publisher = John Wiley | isbn = 0471887021 }}</ref>{{rp|p=48}} जब यह स्थिति होती है, तो अकेले ऊर्जा यह बताने के लिए पर्याप्त नहीं होती है कि सिस्टम किस अवस्था में है, और जब अंतर वांछित होता है, तो सटीक स्थिति को चिह्नित करने के लिए अन्य क्वांटम संख्याओं की आवश्यकता होती है। [[शास्त्रीय यांत्रिकी]] में इसे एक ही ऊर्जा के अनुरूप विभिन्न संभावित प्रक्षेपवक्रों के संदर्भ में समझा जा सकता है।
+[[क्वांटम यांत्रिकी]] में, [[ऊर्जा स्तर]] अपकर्ष होता है यदि यह [[क्वांटम प्रणाली]] के दो या दो से अधिक विभिन्न मापनीय की अवस्थाओं से अनुकूल होती है। इसके विपरीत, क्वांटम यांत्रिक प्रणाली की दो या दो से अधिक विभिन्न अवस्थाओं को विकृत कहा जाता है, यदि वे माप पर ऊर्जा का समान मान देते हैं। विशेष ऊर्जा स्तर के अनुरूप विभिन्न अवस्थाओं की संख्या को स्तर की अपकर्षकी श्रेणी के रूप में जाना जाता है। इसे गणितीय रूप से [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] के माध्यम से ही ऊर्जा [[eigenvalue|प्रेरक मान]] के साथ से अधिक रैखिक रूप से स्वतंत्र [[रैखिक स्वतंत्रता]] वाले प्रणाली के लिए दर्शाया गया है।।<ref name=Merzbacher98>{{cite book | authors = Merzbacher, Eugen | date = 1998 | title = क्वांटम यांत्रिकी| edition = 3rd | location  = New York | publisher = John Wiley | isbn = 0471887021 }}</ref>{{rp|p=48}} जब यह स्थिति होती है, तो अकेले ऊर्जा यह बताने के लिए पर्याप्त नहीं होती है, कि प्रणाली किस अवस्था में है, और जब अंतर वांछित होता है, तो स्पष्ट स्थिति को चिह्नित करने के लिए अन्य क्वांटम संख्याओं की आवश्यकता होती है। [[शास्त्रीय यांत्रिकी|मौलिक यांत्रिकी]] में इसे ही ऊर्जा के अनुरूप विभिन्न संभावित प्रक्षेपवक्रों के संदर्भ में समझा जा सकता है।
-पतन [[क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में एक आधारभूत भूमिका निभाता है। एक के लिए {{mvar|N}}-कण प्रणाली तीन आयामों में, एक एकल ऊर्जा स्तर अनेक  भिन्न-भिन्न तरंग कार्यों या ऊर्जा अवस्थाओं के अनुरूप हो सकता है। समान स्तर पर इन पतित अवस्थाओं में सभी के  भरित होने की समान संभावना है। ऐसे राज्यों की संख्या एक विशेष ऊर्जा स्तर की पतन बताती है।
+अपकर्ष [[क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में आधारभूत भूमिका निभाता है। के लिए {{mvar|N}}-कण प्रणाली तीन आयामों में, एकल ऊर्जा स्तर अनेक भिन्न-भिन्न आवेश कार्यों या ऊर्जा अवस्थाओं के अनुरूप हो सकता है। समान स्तर पर इन अपकर्ष अवस्थाओं में सभी के भरित होने की समान संभावना है। ऐसे अवस्थाओंं की संख्या विशेष ऊर्जा स्तर की अपकर्षबताती है।
-[[File:Degenerate energy levels.svg|upright=1.5|thumb|एक क्वांटम प्रणाली में पतित अवस्थाएँ]]
+[[File:Degenerate energy levels.svg|upright=1.5|thumb|एक क्वांटम प्रणाली में अपकर्ष अवस्थाएँ]]
 == अंक शास्त्र ==
-क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम की संभावित अवस्थाओं को गणितीय रूप से एक अलग जटिल [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट]] अन्तराल में अमूर्त वैक्टर के रूप में माना जा सकता है, चूँकि अवलोकनों को उन पर कार्य करने वाले  [[रैखिक ऑपरेटर|रैखिक संचालको]]  [[हर्मिटियन ऑपरेटर|हर्मिटियन]] के माध्यम से  दिखाया जा सकता है। एक उपयुक्त आधार फलन का चयन करके, इन संवाहको  के घटकों और उस आधार पर संचालको के मैट्रिक्स तत्वों का निर्धारण किया जा सकता है। यदि  {{mvar|A}} एक  {{math|''N'' × ''N''}}  मैट्रिक्स  {{mvar|X}}  एक अ-शून्य संवाहक  है, और  {{mvar|λ}} एक अदिश है, जैसे कि  <math>AX = \lambda X</math> तो अदिश  λ को  {{mvar|A}} का प्रेरक मान  कहा जाता है और संवाहक   {{mvar|X}}  को  {{mvar|λ}}. के अनुरूप प्रेरक संवाहक  कहा जाता है। शून्य संवाहक , किसी दिए गए प्रेरक मान   {{mvar|λ}}. के अनुरूप सभी प्रेरक संवाहक s का सेट  {{math|'''C'''<sup>''n''</sup>}} का एक उप-स्थान बनाता है जिसे  {{mvar|λ}}. का प्रेरक अन्तराल  कहा जाता है। एक प्रेरक मान   {{mvar|λ}}. जो दो या दो से अधिक भिन्न-भिन्न रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रेरक संवाहक s से अनुकूल  होता है, उसे पतित कहा जाता है, अर्थात,  <math>A X_1 = \lambda X_1</math> और  <math> A X_2 = \lambda X_2</math> जहां  <math> X_1 </math> और  <math> X_2 </math> रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रेरक संवाहक हैं। उस प्रेरक मान  के अनुरूप प्रेरक अन्तराल  के आयाम को उसकी पतन की श्रेणी के रूप में जाना जाता है, जो सीमित या अनंत हो सकता है। एक प्रेरक मान  को अ-पतित कहा जाता है यदि उसका प्रेरक अन्तराल  एक-आयामी है।
+क्वांटम यांत्रिक प्रणाली की संभावित अवस्थाओं को गणितीय रूप से भिन्न जटिल [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट]] अन्तराल में अमूर्त संवाहक के रूप में माना जा सकता है, चूँकि अवलोकनों को उन पर कार्य करने वाले [[रैखिक ऑपरेटर|रैखिक संचालको]] [[हर्मिटियन ऑपरेटर|हर्मिटियन]] के माध्यम से दर्शाया जा सकता है। उपयुक्त आधार क्रिया का चयन करके, इन संवाहको के घटकों और उस आधार पर संचालको के आव्युह तत्वों का निर्धारण किया जा सकता है। यदि {{mvar|A}} एक {{math|''N'' × ''N''}} आव्युह {{mvar|X}} अ-शून्य संवाहक है, और {{mvar|λ}} अदिश है, जैसे कि <math>AX = \lambda X</math> तो अदिश λ को {{mvar|A}} का प्रेरक मान कहा जाता है, और संवाहक {{mvar|X}} को {{mvar|λ}}. के अनुरूप प्रेरक संवाहक कहा जाता है। शून्य संवाहक किसी दिए गए प्रेरक मान {{mvar|λ}}. के अनुरूप सभी प्रेरक संवाहक का समुच्चय {{math|'''C'''<sup>''n''</sup>}} का एक उप-स्थान बनाता है, जिसे {{mvar|λ}}. का प्रेरक अन्तराल कहा जाता है। प्रेरक मान {{mvar|λ}}. जो दो या दो से अधिक भिन्न-भिन्न रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रेरक संवाहक से अनुकूल होता है, उसे अपकर्ष कहा जाता है, अर्थात, <math>A X_1 = \lambda X_1</math> और <math> A X_2 = \lambda X_2</math> जिस स्थान पर <math> X_1 </math> और <math> X_2 </math> रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रेरक संवाहक हैं। उस प्रेरक मान के अनुरूप प्रेरक अन्तराल के आयाम को उसकी अपकर्ष की श्रेणी के रूप में जाना जाता है, जो सीमित या अनंत हो सकता है। प्रेरक मान को अ-अपकर्ष कहा जाता है यदि उसका प्रेरक अन्तराल एक-आयामी है।
-क्वांटम यांत्रिकी में भौतिक  अवलोकनीय का प्रतिनिधित्व करने वाले आव्यूहों के प्रेरक मान इन  अवलोकनीय के मापने योग्य मान देते हैं, चूँकि इन प्रेरक मान के अनुरूप प्रेरक अवस्था संभावित स्थिति देते हैं जिसमें सिस्टम को माप पर पाया जा सकता है। एक क्वांटम प्रणाली की ऊर्जा के मापने योग्य मूल्य हैमिल्टनियन संचालको  के प्रेरक मान  के माध्यम से  दिए जाते हैं, चूँकि इसके प्रेरक अवस्था सिस्टम की संभावित ऊर्जा स्थिति देते हैं। ऊर्जा के एक मूल्य को पतित कहा जाता है यदि इससे जुड़े कम से कम दो रैखिक रूप से स्वतंत्र ऊर्जा अवस्थाएँ मौजूद हों। इसके अलावा, दो या दो से अधिक पतित प्रेरक अवस्था का कोई भी [[रैखिक संयोजन]] भी हैमिल्टनियन संचालको  का एक प्रेरक अवस्था है जो समान ऊर्जा प्रेरक मान  के अनुरूप है। यह इस तथ्य से स्पष्ट रूप से पता चलता है कि ऊर्जा मान प्रेरक मान   {{mvar|λ}} का  प्रेरक अन्तराल एक उपस्थान है (हैमिल्टनियन ऋणात्मक  {{mvar|λ}}  गुणा समरूपता का कर्नेल (रैखिक बीजगणित)) है, इसलिए इसे रैखिक संयोजनों के तहत संवृत कर दिया गया है।
+क्वांटम यांत्रिकी में भौतिक अवलोकनीय का प्रतिनिधित्व करने वाले आव्यूहों के प्रेरक मान इन अवलोकनीय के मापने योग्य मान देते हैं, चूँकि इन प्रेरक मान के अनुरूप प्रेरक अवस्था संभावित स्थिति देते हैं, परिणाम स्वरुप प्रणाली को माप पर प्राप्त जा सकता है। क्वांटम प्रणाली की ऊर्जा के मापने योग्य मान हैमिल्टनियन संचालको के प्रेरक मान के माध्यम से दिए जाते हैं, चूँकि इसके प्रेरक अवस्था प्रणाली की संभावित ऊर्जा स्थिति देते हैं। ऊर्जा के मान को अपकर्ष कहा जाता है, यदि इससे जुड़े कम से कम दो रैखिक रूप से स्वतंत्र ऊर्जा अवस्थाएँ उपस्थित हों। इसके अतरिक्त, दो या दो से अधिक अपकर्ष प्रेरक अवस्था का कोई भी [[रैखिक संयोजन]] भी हैमिल्टनियन संचालको का प्रेरक अवस्था है, जो समान ऊर्जा प्रेरक मान के अनुरूप है। यह इस तथ्य से स्पष्ट रूप से पता चलता है कि ऊर्जा मान प्रेरक मान {{mvar|λ}} का प्रेरक अन्तराल उपस्थान है (हैमिल्टनियन ऋणात्मक {{mvar|λ}} गुणन समरूपता का कर्नेल (रैखिक बीजगणित)) है, इसलिए इसे रैखिक संयोजनों के साथ संवृत कर दिया गया है।
 {{math proof|title=Proof of the above theorem.<ref name=Levine>{{cite book | authors = Levine, Ira N. | date = 1991 | title = Quantum Chemistry | page = 52 | edition = 4th | publisher = Prentice Hall | isbn = 0-205-12770-3}}</ref>{{rp|p. 52}}
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 ==ऊर्जा के मापन पर अपकर्ष का प्रभाव==
-पतन की अनुपस्थिति में, यदि एक क्वांटम प्रणाली की ऊर्जा का मापा मूल्य निर्धारित किया जाता है, तो प्रणाली की इसी स्थिति को ज्ञात माना जाता है, क्योंकि केवल एक प्रेरक अवस्था प्रत्येक ऊर्जा प्रेरकमान  से अनुकूल होती है। हालाँकि, यदि हैमिल्टन <math>\hat{H}</math> एक पतित ईगेनवैल्यू है <math>E_n</math> श्रेणी जी<sub>n</sub>, इससे जुड़े प्रेरक अवस्था [[आयाम]] जी के एक [[वेक्टर उप-स्थान|संवाहक  उप-स्थान]] बनाते हैं<sub>n</sub>. ऐसी स्थिति में, अनेक  अंतिम अवस्थाएँ संभवतः एक ही परिणाम से जुड़ी हो सकती हैं <math>E_n</math>, जो सभी जी के रैखिक संयोजन हैं<sub>n</sub> [[ऑर्थोनॉर्मल]] प्रेरकसंवाहक  <math>|E_{n,i}\rangle</math>.
+अपकर्ष की अनुपस्थिति में, यदि क्वांटम प्रणाली की ऊर्जा का मापीय मान निर्धारित किया जाता है, तो प्रणाली की इसी स्थिति को ज्ञात माना जाता है, क्योंकि मात्र प्रेरक अवस्था प्रत्येक ऊर्जा प्रेरक मान से अनुकूल होती है। चूंकि, यदि हैमिल्टनियन <math>\hat{H}</math> में डिग्री g<sub>n</sub> का अपकर्ष प्ररेक मान <math>E_n</math> है, तो इससे जुड़े प्ररेक अवस्था [[आयाम]] g<sub>n</sub> का [[वेक्टर उप-स्थान|संवाहक उप-स्थान]] बनाते हैं। ऐसे स्थितियों में अनेक अंतिम अवस्थाएँ संभवतः ही परिणाम <math>E_n</math> से सम्मिलित हो सकती हैं, जिनमें से सभी g<sub>n</sub> [[ऑर्थोनॉर्मल|प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण]] प्रेरक संवाहक <math>|E_{n,i}\rangle</math> के रैखिक संयोजन हैं।
-इस मामले में, संभावना है कि राज्य में एक प्रणाली के लिए ऊर्जा मूल्य मापा जाता है <math>|\psi\rangle</math> मूल्य प्राप्त होगा
+चूंकि, यदि हैमिल्टनियन <math>\hat{H}</math> में स्तर g<sub>n</sub> का अपकर्ष प्ररेक मान <math>E_n</math> है, तो इससे जुड़े प्ररेक अवस्था [[आयाम]] g<sub>n</sub> का [[वेक्टर उप-स्थान|संवाहक उप-स्थान]] बनाते हैं। ऐसे स्थितियों में अनेक अंतिम अवस्थाएँ संभवतः ही परिणाम <math>E_n</math> से सम्मिलित हो सकती हैं, जिनमें से सभी g<sub>n</sub> [[ऑर्थोनॉर्मल|प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण]] प्रेरक संवाहक <math>|E_{n,i}\rangle</math> के रैखिक संयोजन हैं।
-<math>E_n</math> इस आधार पर प्रत्येक राज्य में प्रणाली को खोजने की संभावनाओं के योग के माध्यम से  दिया जाता है, अर्थात
+इस स्थितियों में, संभावना है कि अवस्था <math>|\psi\rangle</math> में प्रणाली के लिए मापा गया ऊर्जा मान <math>E_n</math> उत्पन्न करेगा, इस आधार पर प्रत्येक अवस्था में प्रणाली को अन्वेषण की संभावनाओं के योग के माध्यम से दिया गया है, अर्थात
 :<math>P(E_n)=\sum_{i=1}^{g_n}|\langle E_{n,i}|\psi\rangle|^2</math>
-== विभिन्न आयामों में विकृति ==
+== विभिन्न आयामों में अपकर्ष ==
-यह खंड विभिन्न आयामों में अध्ययन किए गए क्वांटम सिस्टम में अपक्षयी ऊर्जा स्तरों के अस्तित्व को चित्रित करने का इरादा रखता है। एक और द्वि-आयामी प्रणालियों का अध्ययन अधिक जटिल प्रणालियों की वैचारिक समझ में सहायता करता है।
+यह खंड विभिन्न आयामों में अध्ययन किए गए क्वांटम प्रणाली में अपक्षयी ऊर्जा स्तरों के अस्तित्व को चित्रित करने का अभिप्राय रखता है। और द्वि-आयामी प्रणालियों का अध्ययन अधिक जटिल प्रणालियों की वैचारिक समझ में सहायता करता है
-=== एक आयाम में अध: पतन ===
+=== आयाम में अपकर्ष ===
-अनेक  मामलों में, एक-आयामी प्रणालियों के अध्ययन में [[विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति]] के परिणाम अधिक आसानी से प्राप्त किए जा सकते हैं। एक तरंग समारोह के साथ एक क्वांटम कण के लिए <math>|\psi\rangle</math> एक आयामी क्षमता में आगे बढ़ रहा है <math>V(x)</math>, समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है
+अनेक स्थितियों में, एक-आयामी प्रणालियों के अध्ययन में [[विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति]] के परिणाम अधिक सरलता से प्राप्त किए जा सकते हैं। आवेश क्रिया <math>|\psi\rangle</math> वाले क्वांटम कण के लिए एक-आयामी क्षमता <math>V(x)</math> में विचरण करते हुए अवधि -स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 :<math> -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V\psi =E\psi</math>
-चूँकि यह एक सामान्य अवकल समीकरण है, किसी दी गई ऊर्जा के लिए दो स्वतंत्र आइगेन फलन होते हैं <math>E</math> अधिक से अधिक, ताकि पतन की श्रेणी कभी भी दो से अधिक न हो। यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक आयाम में, [[सामान्यीकृत तरंग समारोह]] के लिए कोई पतित बाध्य अवस्थाएँ नहीं हैं। टुकड़ेवार निरंतर क्षमता पर एक पर्याप्त स्थिति <math>V</math> और ऊर्जा <math>E</math> दो वास्तविक संख्याओं का अस्तित्व है <math>M,x_0</math> साथ <math>M \neq 0</math> ऐसा है कि <math>\forall x > x_0</math> अपने पास <math>V(x) - E \geq M^2</math>.<ref name="messiah1967">{{cite book | authors = Messiah, Albert | date = 1967 | title = क्वांटम यांत्रिकी| pages = 98–106 | edition = 3rd | location  = Amsterdam, NLD | publisher = North-Holland | isbn = 0471887021 }}</ref> विशेष रूप से, <math>V</math> इस कसौटी पर नीचे है।
+चूँकि यह सामान्य अवकल समीकरण है, किसी दी गई ऊर्जा <math>E</math> के लिए दो स्वतंत्र प्रेरक क्रिया होती हैं, जिससे अपकर्ष की श्रेणी कभी भी दो से अधिक न हो। यह सिद्ध किया जा सकता है कि आयाम में [[सामान्यीकृत तरंग समारोह|सामान्यीकृत आवेश कार्य]] के लिए कोई अपकर्ष बाध्य अवस्थाएँ नहीं हैं। खंड अनुसार के निरंतर क्षमता पर पर्याप्त स्थिति <math>V</math> और ऊर्जा <math>E</math> पर पर्याप्त परिस्थिति <math>M \neq 0</math> के साथ दो वास्तविक संख्या <math>M,x_0</math> का अस्तित्व है, जैसे कि <math>M,x_0</math> हमारे पास <math>V(x) - E \geq M^2</math> है।
 :{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
-!Proof of the above theorem.
+!उपरोक्त प्रमेय का प्रमाण.
 |-
-|Considering a one-dimensional quantum system in a potential <math>V(x)</math> with degenerate states <math>|\psi_1\rangle</math> and <math>|\psi_2\rangle</math> corresponding to the same energy प्रेरक मान  <math>E</math>, writing the time-independent Schrödinger equation for the system:
+|Considering a one-dimensional quantum system in a potential <math>V(x)</math> with degenerate states <math>|\psi_1\rangle</math> and <math>|\psi_2\rangle</math> corresponding to the same energy प्रेरक मान <math>E</math>, writing the time-independent Schrödinger equation for the system:
 :<math> -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_1}{dx^2} + V\psi_1 =E\psi_1</math>
 :<math> -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_2}{dx^2} + V\psi_2 =E\psi_2</math>
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 In case of well-defined and normalizable wave functions, the above constant vanishes, provided both the wave functions vanish at at least one point, and we find:
 <math>\psi_1(x)=c\psi_2(x)</math>
-where <math>c</math> is, in general, a complex constant. For bound state [[eigenfunctions]] (which tend to zero as <math>x \rightarrow \infty</math>), and assuming <math>V</math> and <math>E</math> satisfy the condition given above, it can be shown<ref name="messiah1967" /> that also the first derivative of the wave function approaches zero in the limit <math>x\to\infty</math>, so that the above constant is zero and we have no degeneracy.
+where <math>c</math> is, in general, a complex constant. For bound state [[eigenfunctions]] (which tend to zero as <math>x \rightarrow \infty</math>), and assuming <math>V</math> and <math>E</math> satisfy the condition given above, it can be shown<ref name="messiah1967">{{cite book | authors = Messiah, Albert | date = 1967 | title = क्वांटम यांत्रिकी| pages = 98–106 | edition = 3rd | location  = Amsterdam, NLD | publisher = North-Holland | isbn = 0471887021 }}</ref> that also the first derivative of the wave function approaches zero in the limit <math>x\to\infty</math>, so that the above constant is zero and we have no degeneracy.
 |}
+=== द्वि-आयामी क्वांटम प्रणाली में अपकर्ष ===
-=== द्वि-आयामी क्वांटम सिस्टम में अध: पतन ===
+पदार्थ की तीनों अवस्थाओं में द्वि-आयामी क्वांटम प्रणालियाँ उपस्थित हैं, और त्रि-आयामी पदार्थ में देखी जाने संबंधी अधिकांश विविधताएँ दो आयामों में बनाया जा सकता हैं। वास्तविक द्विविमीय पदार्थ ठोसों की सतह पर परमाणुक परतों से बने होते हैं। प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त द्वि-आयामी इलेक्ट्रॉन प्रणालियों के कुछ उदाहरणों में [[MOSFET|मोसफेट]], [[हीलियम]], [[नियोन]], [[आर्गन]], [[क्सीनन]] आदि के द्वि-आयामी [[superlattices|उत्तम लैटिस]] और [[तरल हीलियम]] की सतह सम्मिलित हैं। वर्ग में कण और द्वि-आयामी [[लयबद्ध दोलक]] के स्थितियों में अपकर्ष ऊर्जा स्तरों की उपस्थिति का अध्ययन किया जाता है, जो अनेक वास्तविक विश्व प्रणालियों के लिए उपयोगी [[गणितीय मॉडल|गणितीय अनुरूप]] के रूप में कार्य करता है।
-पदार्थ की तीनों अवस्थाओं में द्वि-आयामी क्वांटम प्रणालियाँ मौजूद हैं और त्रि-आयामी पदार्थ में देखी जाने वाली अधिकांश विविधताएँ दो आयामों में बनाई जा सकती हैं। वास्तविक द्विविमीय पदार्थ ठोसों की सतह पर एकपरमाणुक परतों से बने होते हैं। प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त द्वि-आयामी इलेक्ट्रॉन प्रणालियों के कुछ उदाहरणों में [[MOSFET]], [[हीलियम]], [[नियोन]], [[आर्गन]], [[क्सीनन]] आदि के द्वि-आयामी [[superlattices]] और [[तरल हीलियम]] की सतह शामिल हैं।
+===आयताकार तल में कण ===
-एक बॉक्स में कण और द्वि-आयामी [[लयबद्ध दोलक]] के मामलों में पतित ऊर्जा स्तरों की उपस्थिति का अध्ययन किया जाता है, जो अनेक  वास्तविक विश्व प्रणालियों के लिए उपयोगी [[गणितीय मॉडल]] के रूप में कार्य करता है।
-===आयताकार तल में कण===
+अभेद्य भित्ति के तल में आयाम <math>L_x</math> और <math>L_y</math> के तल में मुक्त कण पर विचार करें। आवेश क्रिया <math>|\psi\rangle</math> के साथ इस प्रणाली के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
-आयामों के विमान में एक मुक्त कण पर विचार करें <math>L_x</math> और <math>L_y</math> अभेद्य दीवारों के एक विमान में। वेव फंक्शन के साथ इस प्रणाली के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण <math>|\psi\rangle</math> रूप में लिखा जा सकता है
 :<math> -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2 \psi}{{\partial x}^2} +\frac{\partial^2 \psi}{{\partial y}^2}\right) =E\psi</math>
-अनुमत ऊर्जा मूल्य हैं
+अनुमत ऊर्जा मान हैं
 :<math>E_{n_x,n_y}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2m}\left(\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}\right)</math>
-सामान्यीकृत तरंग समारोह है
+सामान्यीकृत आवेश क्रिया है
 :<math>\psi_{n_x,n_y}(x,y)=\frac 2{\sqrt{L_xL_y}} \sin\left(\frac{n_x\pi x}{L_x}\right)\sin\left(\frac{n_y\pi y}{L_y}\right)</math>
-कहाँ <math>n_x,n_y=1,2,3...</math>
+जिस स्थान पर <math>n_x,n_y=1,2,3...</math>तो, क्वांटम संख्या <math>n_x</math> और <math>n_y</math> ऊर्जा प्रेरक मान का वर्णन करने के लिए आवश्यक हैं और प्रणाली की सबसे कम ऊर्जा के माध्यम से दी गई है
-तो, क्वांटम संख्या <math>n_x</math> और <math>n_y</math> ऊर्जा प्रेरक मान s का वर्णन करने के लिए आवश्यक हैं और सिस्टम की सबसे कम ऊर्जा के माध्यम से  दी गई है
 :<math>E_{1,1}=\pi^2\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac 1{L_x^2}+\frac 1{L_y^2}\right)</math>
-दो लंबाई के कुछ अनुरूप अनुपात के लिए <math>L_x</math> और <math>L_y</math>राज्यों के कुछ जोड़े पतित हैं।
+दो लंबाई के कुछ अनुरूप अनुपात के लिए <math>L_x</math> और <math>L_y</math> अवस्था के कुछ जोड़े अपकर्ष हैं। यदि <math>L_x/L_y=p/q</math> जिस स्थान पर p और q पूर्णांक हैं, तो अवस्था <math>(n_x, n_y)</math> और <math>(pn_y/q, qn_x/p)</math> में समान ऊर्जा होती है और इसलिए वे एक-दूसरे के लिए अपक्षयी होती हैं।
-यदि  <math>L_x/L_y=p/q</math>, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, अवस्थाएँ <math>(n_x, n_y)</math> और <math>(pn_y/q, qn_x/p)</math> एक ही ऊर्जा है और इसलिए एक दूसरे के लिए पतित हैं।
-=== एक वर्ग बॉक्स में कण ===
+=== एक वर्गकार वर्ग में कण ===
-इस मामले में, बॉक्स के आयाम <math>L_x = L_y = L</math> और ऊर्जा प्रेरक मान s के माध्यम से  दिया जाता है
+इस स्थितियों में, वर्ग के आयाम <math>L_x = L_y = L</math> और ऊर्जा प्रेरक मान के माध्यम से दिया जाता है
 :<math>E_{n_x,n_y}=\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}(n_x^2+n_y^2)</math>
-तब से <math>n_x</math> और <math>n_y</math> ऊर्जा को बदले बिना अदला-बदली की जा सकती है, प्रत्येक ऊर्जा स्तर में कम से कम दो की गिरावट होती है <math>n_x</math> और <math>n_y</math> कुछ अलग हैं। पतित अवस्थाएँ तब भी प्राप्त होती हैं जब विभिन्न ऊर्जा स्तरों के अनुरूप क्वांटम संख्याओं के वर्गों का योग समान होता है। उदाहरण के लिए, तीन राज्य (एन<sub>x</sub> = 7, एन<sub>y</sub> = 1), (एन<sub>x</sub> = 1, एन<sub>y</sub> = 7) और (एन<sub>x</sub> = एन<sub>y</sub> = 5) सभी के पास है <math>E=50 \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}</math> और एक पतित सेट का गठन करें।
+चूंकि <math>n_x</math> और <math>n_y</math> को ऊर्जा में परिवर्तन किए रहित आपस में प्रवर्तित किया जा सकता है, <math>n_x</math> और <math>n_y</math> भिन्न होने पर प्रत्येक ऊर्जा स्तर में कम से कम दो की अपक्षयीता होती है। अपकर्ष अवस्थाएँ तब भी प्राप्त होती हैं, जब विभिन्न ऊर्जा स्तरों के अनुरूप क्वांटम संख्याओं के वर्गों का योग समान होता है। उदाहरण के लिए, तीन अवस्था (n<sub>x</sub> = 7, n<sub>y</sub> = 1), (n<sub>x</sub> = 1, n<sub>y</sub> = 7) और (n<sub>x</sub> = n<sub>y</sub> = 5) सभी मे <math>E=50 \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}</math> है, और अपकर्ष समुच्चय का गठन करते है।
-एक वर्ग बॉक्स में एक कण के लिए विभिन्न ऊर्जा स्तरों की गिरावट की श्रेणी:
+एक वर्गाकार वर्ग में कण के लिए विभिन्न ऊर्जा स्तरों की अपक्षयीता की श्रेणी:
 {| class="wikitable"
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 ! <math>n_y</math>
 ! <math>E \left( \frac {\hbar^2 \pi^2} {2mL^2} \right)</math>
-! Degeneracy
+! अपकर्ष
 |-
 | 1
@@ Line 195: / Line 192: @@
-=== एक घन बॉक्स में कण ===
+=== एक घन वर्ग में कण ===
-इस मामले में, बॉक्स के आयाम <math>L_x = L_y =L_z= L</math> और ऊर्जा प्रेरक मान s तीन क्वांटम संख्याओं पर निर्भर करते हैं।
+इस स्थितियों में, वर्ग के आयाम <math>L_x = L_y =L_z= L</math> और ऊर्जा प्रेरक मान तीन क्वांटम संख्याओं पर निर्भर करते हैं।
 :<math>E_{n_x,n_y,n_z}=\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}(n_x^2+n_y^2+n_z^2)</math>
-तब से <math>n_x</math>, <math>n_y</math> और <math>n_z</math> ऊर्जा को बदले बिना अदला-बदली की जा सकती है, प्रत्येक ऊर्जा स्तर में कम से कम तीन की विकृति होती है जब तीन क्वांटम संख्याएँ सभी समान नहीं होती हैं।
+चूँकि ऊर्जा को परिवर्तन रहित <math>n_x</math>, <math>n_y</math> और <math>n_z</math> परवर्तित किया जा सकती है, प्रत्येक ऊर्जा स्तर में कम से कम तीन की अपकर्ष होती है, जब तीन क्वांटम संख्याएँ सभी समान नहीं होती हैं।
-== पतन == के मामले में एक अद्वितीय eigenbasis ढूँढना
+'''== अपकर्ष== के स्थितियों में अद्वितीय प्रकार आधार निष्कर्ष'''
-यदि दो संकारक (भौतिकी) s <math>\hat{A}</math> और <math>\hat{B}</math> आवागमन, अर्थात्  <math>[\hat{A},\hat{B}]=0</math>, फिर प्रत्येक प्रेरक संवाहक  के लिए <math>|\psi\rangle</math> का <math>\hat{A}</math>, <math>\hat{B}|\psi\rang</math> का आइजनसंवाहक  भी है <math>\hat{A}</math> समान आइगेनवैल्यू के साथ। हालांकि, यदि  यह आइगेनवैल्यू कहते हैं <math>\lambda</math>पतित है, ऐसा कहा जा सकता है <math>\hat{B}|\psi\rangle</math> आइगेनअन्तराल  के अंतर्गत आता है <math>E_\lambda</math> का <math>\hat{A}</math>, जिसे की कार्रवाई के तहत विश्व स्तर पर अपरिवर्तनीय कहा जाता है <math>\hat{B}</math>.
+यदि दो संचालक (भौतिकी) <math>\hat{A}</math> और <math>\hat{B}</math> आवागमन करते हैं, अर्थात <math>[\hat{A},\hat{B}]=0</math> तो प्रत्येक प्रेरक संवाहक के लिए <math>\hat{A}</math>, <math>\hat{B}|\psi\rang</math> में से <math>|\psi\rangle</math> भी समान प्रेरक मान के साथ <math>\hat{A}</math> का प्रेरक संवाहक है। चूंकि, यदि यह प्रेरक मान, मान लें कि <math>\lambda</math> अपकर्ष है, तो यह कहा जा सकता है कि <math>\hat{B}|\psi\rangle</math> एवं <math>\hat{A}</math> के प्रेरक अन्तराल <math>E_\lambda</math> से संबंधित है, जिसे <math>\hat{B}</math> की अनुयोजन के साथ वैश्विक रूप से अपरिवर्तनीय कहा जाता है।
+ दो कम्यूटिंग अवलोकनीय ''A'' और B के लिए, दो संचालको के लिए प्रेरक संवाहक के साथ अवस्था अन्तराल के सामान्य आधार का निर्माण कर सकते हैं। चूंकि <math>\lambda</math> एवं <math>\hat{A}</math> का अपकर्ष प्रेरक मान है, तो यह <math>\hat{A}</math> का प्रेरक अन्तराल है जो <math>\hat{B}</math> की अनुयोजन के साथ अपरिवर्तनीय है, इसलिए <math>\hat{A}</math> के प्रेरक मान में <math>\hat{B}</math> का [[प्रतिनिधित्व (गणित)|प्रतिनिधित्व (अंक शास्त्र)]] विकर्ण नहीं है, किन्तु [[ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स|खंड विकर्ण आव्युह]] है, अर्थात <math>\hat{A}</math> के पतित प्रेरक संवाहक हैं सामान्यतः, <math>\hat{B}</math> के प्रेरक संवाहक नहीं है।
-दो कम्यूटिंग ऑब्जर्वेबल ए और बी के लिए, दो संचालको ों के लिए प्रेरकसंवाहक ों के साथ राज्य अन्तराल के एक सामान्य आधार का निर्माण कर सकते हैं। हालाँकि, <math>\lambda</math> का पतित ईगेनवैल्यू है <math>\hat{A}</math>, तो यह का एक प्रेरकसबअन्तराल  है
+=== आवागमन संबंधी अवलोकनों का पूरा समुच्चय का चयन ===
- <math>\hat{A}</math> की कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय है <math>\hat{B}</math>, इसलिए का [[प्रतिनिधित्व (गणित)|प्रतिनिधित्व (अंक शास्त्र)]]। <math>\hat{B}</math> के प्रेरकबेसिस में <math>\hat{A}</math> एक विकर्ण नहीं है, लेकिन एक [[ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स]] है, यानी पतित प्रेरकसंवाहक  <math>\hat{A}</math> सामान्य तौर पर, के प्रेरकसंवाहक  नहीं हैं <math>\hat{B}</math>. हालांकि, के हर पतित आइजन सबअन्तराल  में चुनना हमेशा संभव होता है <math>\hat{A}</math>, प्रेरकसंवाहक ों का एक सामान्य आधार <math>\hat{A}</math> और <math>\hat{B}</math>.
-=== आने-जाने वाली  अवलोकनीय का एक पूरा सेट चुनना ===
+यदि दिया गया अवलोकन योग्य A अपकर्ष नहीं है, तो इसके प्रेरक संवाहक के माध्यम से गठित अद्वितीय आधार उपस्थित है। दूसरी ओर, यदि <math>\hat{A}</math> या अनेक प्रेरक मान अपकर्ष हैं, आधार संवाहक को चिह्नित करने के लिए प्रेरक मान निर्दिष्ट करना पर्याप्त नहीं है। यदि, अवलोकन योग्य <math>\hat{B}</math> को चयनित करके जो <math>\hat{A}</math> के साथ गति करता है, <math>\hat{A}</math> और <math>\hat{B}</math> के लिए साधारण प्रेरक संवाहको का प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण आधार बनाना संभव है, जो कि प्रेरक मान {a,b} के प्रत्येक संभावित युग्मित के लिए अद्वितीय है, तो <math>\hat{A}</math> और <math>\hat{B}</math> हैं कहा जाता है, कि यह आवागमन संबंधी अवलोकनों का पूरा समुच्चय परिपक्व करता है। चूंकि, यदि प्रेरक संवाहकों का अनूठा समुच्चय अभी भी निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है, तो प्रेरक मान के युग्मित में से कम से कम के लिए, तीसरा अवलोकन योग्य <math>\hat{C}</math> जो <math>\hat{A}</math> और <math>\hat{B}</math> दोनों के साथ आवागमन करता है, इस प्रकार प्राप्त जा सकता है, कि तीनों आवागमन संबंधी अवलोकनों का पूरा समुच्चय बनाते हैं।
-यदि एक दिया गया अवलोकन योग्य ए अ-पतित है, तो इसके प्रेरकसंवाहक ों के माध्यम से  गठित एक अद्वितीय आधार मौजूद है। दूसरी ओर, यदि एक या अनेक  प्रेरक मान s <math>\hat{A}</math> पतित हैं, एक आधार संवाहक  को चिह्नित करने के लिए एक प्रेरकमान  निर्दिष्ट करना पर्याप्त नहीं है। यदि, एक अवलोकन योग्य चुनकर <math>\hat{B}</math>, जो साथ आवागमन करता है <math>\hat{A}</math>, प्रेरकसंवाहक ों के लिए सामान्य रूप से एक ऑर्थोनॉर्मल आधार का निर्माण करना संभव है <math>\hat{A}</math> और <math>\hat{B}</math>, जो अद्वितीय है, प्रत्येक संभव प्रेरक मान s \u200b\u200bजोड़े {ए, बी} के लिए, फिर <math>\hat{A}</math> और <math>\hat{B}</math> कहा जाता है कि वे आने-जाने वाले अवलोकनों का एक पूरा सेट बनाते हैं। हालांकि, यदि  प्रेरकसंवाहक ों का एक अनूठा सेट अभी भी निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है, तो कम से कम एक आइगेनवैल्यू के जोड़े के लिए, एक तीसरा अवलोकनीय <math>\hat{C}</math>, जो दोनों के साथ आवागमन करता है <math>\hat{A}</math> और <math>\hat{B}</math> ऐसे पाया जा सकता है कि तीनों आने-जाने वाले अवलोकनों का एक पूरा सेट बनाते हैं।
+यह इस प्रकार है कि सामान्य ऊर्जा मान के साथ क्वांटम प्रणाली के हैमिल्टनियन के प्रेरक क्रिया को कुछ अतिरिक्त जानकारी देकर सामान्य किया जाना चाहिए, जो हैमिल्टनियन के साथ चलने वाले संचालको को चयनित करके किया जा सकता है। इन अतिरिक्त सामान्यों को अद्वितीय ऊर्जा प्रेरक क्रिया के नामकरण की आवश्यकता होती है, और सामान्यतः प्रणाली की गति के स्थिरांक से संबंधित होते हैं।
-यह इस प्रकार है कि एक सामान्य ऊर्जा मूल्य के साथ एक क्वांटम प्रणाली के हैमिल्टनियन के प्रेरकफंक्शन को कुछ अतिरिक्त जानकारी देकर लेबल किया जाना चाहिए, जो हैमिल्टनियन के साथ चलने वाले संचालको  को चुनकर किया जा सकता है। इन अतिरिक्त लेबलों को एक अद्वितीय ऊर्जा प्रेरकफंक्शन के नामकरण की आवश्यकता होती है और आमतौर पर सिस्टम की गति के स्थिरांक से संबंधित होते हैं।
+=== अपकर्ष ऊर्जा प्रेरक अवस्था और समानता संचालिका ===
-=== पतित ऊर्जा प्रेरक अवस्था और समता संचालिका ===
+समानता संचालको को r को −r में परिवर्तन के <math>|r\rangle</math> प्रतिनिधित्व में इसकी क्रिया के माध्यम से परिभाषित किया गया है, अर्थात
-समता संचालको  को इसकी क्रिया के माध्यम से  परिभाषित किया गया है <math>|r\rangle</math> r को −r में बदलने का प्रतिनिधित्व, यानी
 :<math>\langle r|P|\psi\rangle=\psi(-r)</math>
-P के प्रेरक मान s को सीमित दिखाया जा सकता है <math>\pm1</math>, जो दोनों एक अनंत-आयामी राज्य अन्तराल में पतित प्रेरक मान s हैं। प्रेरक मान  +1 के साथ P का एक प्रेरक संवाहक  सम कहा जाता है, चूँकि प्रेरक मान  −1 के साथ विषम कहा जाता है।
+P के प्रेरक मान को <math>\pm1</math> तक सीमित दर्शाया जा सकता है, जो कि अनंत-आयामी अवस्था अन्तराल में अपकर्ष प्रेरक मान हैं। P के प्रेरक मान +1 वाले प्रेरक संवाहक को सम कहा जाता है, जबकि प्रेरक मान -1 वाले को विषम कहा जाता है।
-अब, एक सम संचालिका <math>\hat{A}</math> एक है जो संतुष्ट करता है,
+अब, सम संचालिका <math>\hat{A}</math> है जो संतुष्ट करती है,
 :<math>\tilde{A}=P \hat{A} P</math>
 :<math>[P,\hat{A}]=0</math>
-चूँकि एक विषम संचालको  <math>\hat{B}</math> एक है जो संतुष्ट करता है
+चूँकि विषम संचालको <math>\hat{B}</math> है जो संतुष्ट करता है
 :<math>P \hat{B}+\hat{B} P=0</math>
-गति संचालको  के वर्ग के बाद से <math>\hat{p}^2</math> सम है, यदि विभव V(r) सम है, हैमिल्टनियन <math>\hat{H}</math> एक सम संचालिका कहा जाता है। उस स्थिति में, यदि इसके प्रत्येक प्रेरक मान s अ-पतित हैं, तो प्रत्येक प्रेरक संवाहक  आवश्यक रूप से P का एक प्रेरक अवस्थाहै, और इसलिए यह संभव है कि eigenstates की तलाश की जाए <math>\hat{H}</math> सम और विषम राज्यों के बीच। हालांकि, यदि ऊर्जा प्रेरक अवस्था में से किसी एक की कोई निश्चित [[समता (भौतिकी)]] नहीं है, तो यह दावा किया जा सकता है कि संबंधित आइगेनवैल्यू पतित है, और <math>P|\psi\rangle</math> का आइजनसंवाहक  है <math>\hat{H}</math> के रूप में एक ही प्रेरक मान  के साथ <math>|\psi\rangle</math>.
+चूँकि संवेग संचालक <math>\hat{p}^2</math> का वर्ग सम है, यदि संभावित V(r) सम है, तो हैमिल्टनियन <math>\hat{H}</math> को सम संचालक कहा जाता है। उस स्थिति में, यदि इसके प्रत्येक प्रेरक मान अपकर्ष हैं, तो प्रत्येक प्रेरक संवाहक आवश्यक रूप से P का प्रेरक क्षेत्र है, और इसलिए सम और विषम राज्यों के मध्य <math>\hat{H}</math> के प्रेरक क्षेत्र को देखना संभव है। चूंकि, यदि किसी ऊर्जा प्रेरक क्षेत्र में कोई निश्चित [[समता (भौतिकी)|समानता (भौतिकी)]] नहीं है, तो यह प्रमाणित किया जा सकता है कि संबंधित प्रेरक मान पतित है, और <math>P|\psi\rangle</math> एवं <math>|\psi\rangle</math> के समान प्रेरक मान के साथ <math>\hat{H}</math> का प्रेरक संवाहक है।
-== पतन और [[समरूपता]] ==
+== अपकर्ष और [[समरूपता]] ==
-क्वांटम-मैकेनिकल सिस्टम में अपक्षय की भौतिक उत्पत्ति अक्सर सिस्टम में कुछ समरूपता की उपस्थिति होती है। क्वांटम प्रणाली की समरूपता का अध्ययन, कुछ मामलों में, हमें श्रोडिंगर समीकरण को हल किए बिना ऊर्जा के स्तर और गिरावट को खोजने में सक्षम बनाता है, जिससे प्रयास कम हो जाता है।
+क्वांटम-यांत्रिक प्रणाली में अपक्षय की भौतिक उत्पत्ति प्राय: प्रणाली में कुछ समरूपता की उपस्थिति होती है। क्वांटम प्रणाली की समरूपता का अध्ययन, कुछ स्थितियों में हमें श्रोडिंगर समीकरण को हल करे बिना ऊर्जा के स्तर और अपक्षयीता को अन्वेषण में सक्षम बनाता है, जिससे प्रयास कम हो जाता है।
-गणितीय रूप से, समरूपता के साथ पतन के संबंध को इस प्रकार स्पष्ट किया जा सकता है। एकात्मक संकारक से संबंधित सममिति संक्रिया पर विचार करें {{mvar|S}}. इस तरह के एक ऑपरेशन के तहत, संचालको  के माध्यम से  उत्पन्न [[मैट्रिक्स समानता]] के माध्यम से  नया हैमिल्टनियन मूल हैमिल्टनियन से संबंधित है {{mvar|S}}, ऐसा है कि <math>H'=SHS^{-1}=SHS^\dagger</math>, तब से {{mvar|S}} एकात्मक है। यदि हैमिल्टनियन परिवर्तन ऑपरेशन के तहत अपरिवर्तित रहता है {{mvar|S}}, अपने पास
+गणितीय रूप से, समरूपता के साथ अपकर्ष के संबंध को इस प्रकार स्पष्ट किया जा सकता है। एकात्मक संचालक {{mvar|S}} से संबंधित समरूपता संक्रिया पर विचार करें। इस तरह के संचालन के साथ, नया हैमिल्टनियन संचालक {{mvar|S}} के माध्यम से उत्पन्न समानता परिवर्तन के माध्यम से मूल है। मिल्टनियन से संबंधित है, जैसे कि <math>H'=SHS^{-1}=SHS^\dagger</math> चूंकि {{mvar|S}} एकात्मक है। यदि परिवर्तन संचालन {{mvar|S}} के साथ हैमिल्टनियन अपरिवर्तित रहता है तो हमारे पास है
 :<math>SHS^\dagger=H</math>
 :<math>SHS^{-1}=H</math>
 :<math>SH=HS</math>
 :<math>[S,H]=0</math>
-अब यदि  <math>|\alpha\rangle </math> एक ऊर्जा स्वदेशी है,
+अब यदि <math>|\alpha\rangle </math> ऊर्जा अवस्था है,
 :<math>H|\alpha\rangle=E|\alpha\rangle</math>
-जहाँ E संगत ऊर्जा प्रेरक मान  है।
+जिस स्थान पर E संगत ऊर्जा प्रेरक मान है।
 :<math>HS|\alpha\rangle=SH|\alpha\rangle=SE|\alpha\rangle=ES|\alpha\rangle</math>
-जिसका अर्थ है कि <math>S|\alpha\rangle</math> एक ही प्रेरकमान  के साथ एक एनर्जी प्रेरक अवस्था भी है {{mvar|E}}. यदि दोनों राज्य <math>|\alpha\rangle</math> और <math>S|\alpha\rangle</math> रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (यानी शारीरिक रूप से अलग), इसलिए वे पतित हैं।
+जिसका अर्थ है कि <math>S|\alpha\rangle</math>भी समान प्रेरक मान {{mvar|E}} के साथ ऊर्जा प्रेरक अवस्था है। यदि दोनों अवस्था <math>|\alpha\rangle</math> और <math>S|\alpha\rangle</math> रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (अर्थात् भौतिक रूप से भिन्न), इसलिए वे अपकर्ष हैं।
-जिन मामलों में {{mvar|S}} एक सतत [[पैरामीटर]] के माध्यम से  विशेषता है <math>\epsilon</math>, प्रपत्र के सभी राज्यों <math>S(\epsilon)|\alpha\rangle</math> एक ही ऊर्जा प्रेरक मान  है।
+ऐसे स्थितियों में जहां {{mvar|S}} को सतत [[पैरामीटर]] <math>\epsilon</math> की विशेषता है, प्रपत्र <math>S(\epsilon)|\alpha\rangle</math> की सभी अवस्थाओं में समान ऊर्जा प्रेरक मान होती है।
-=== हैमिल्टनियन === का सममिति समूह
+'''<u>हैमिल्टनियन का समरूपता समूह</u>'''
-क्वांटम सिस्टम के हैमिल्टनियन के साथ यात्रा करने वाले सभी संचालको ों के सेट को हैमिल्टन के [[समरूपता समूह]] बनाने के लिए कहा जाता है। इस समूह के जनरेटर (समूहों) के [[commutators]] समूह के [[बीजगणित]] का निर्धारण करते हैं। समरूपता समूह का एक एन-आयामी प्रतिनिधित्व समरूपता संचालको ों की गुणा तालिका को संरक्षित करता है। एक विशेष समरूपता समूह के साथ हैमिल्टनियन की संभावित अध:पतन समूह के अलघुकरणीय अभ्यावेदन के आयामों के माध्यम से  दिए गए हैं। एन-गुना पतित प्रेरकमान  के अनुरूप प्रेरकफंक्शन हैमिल्टनियन के समरूपता समूह के एन-डायमेंशनल इर्रेड्यूबल प्रतिनिधित्व के लिए एक आधार बनाते हैं।
+क्वांटम प्रणाली के हैमिल्टनियन के साथ आवागमन करने वाले सभी संचालको के समुच्चय को हैमिल्टन के [[समरूपता समूह]] बनाने के लिए कहा जाता है। इस समूह के जनक (समूहों) के [[commutators|क्रमविनिमेयक]] समूह के [[बीजगणित]] का निर्धारण करते हैं। समरूपता समूह का n-आयामी प्रतिनिधित्व समरूपता संचालको की गुणन तालिका को संरक्षित करता है। विशेष समरूपता समूह के साथ हैमिल्टनियन की संभावित अपकर्ष समूह के अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन के आयामों के माध्यम से दिए गए हैं। n-गुणन अपकर्ष प्रेरकमान के अनुरूप प्रेरक फलन हैमिल्टनियन के समरूपता समूह के n-आयामी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के लिए आधार बनाते हैं।
-== अधोगति के प्रकार ==
+== अपकर्ष के प्रकार ==
-एक क्वांटम प्रणाली में विकृति प्रकृति में व्यवस्थित या आकस्मिक हो सकती है।
+एक क्वांटम प्रणाली में अपकर्ष स्वभाव में व्यवस्थित या आकस्मिक हो सकती है।
-=== व्यवस्थित या आवश्यक अध: पतन ===
+=== व्यवस्थित या आवश्यक अपकर्ष ===
-इसे एक ज्यामितीय या सामान्य पतन भी कहा जाता है और विचाराधीन प्रणाली में किसी प्रकार की समरूपता की उपस्थिति के कारण उत्पन्न होता है, अर्थात एक निश्चित ऑपरेशन के तहत हैमिल्टन का आक्रमण, जैसा कि ऊपर वर्णित है। एक सामान्य पतन से प्राप्त प्रतिनिधित्व अप्रासंगिक है और संबंधित प्रेरकफंक्शन इस प्रतिनिधित्व के लिए एक आधार बनाते हैं।
+इसे ज्यामितीय या सामान्य अपकर्ष भी कहाँ जाता है, और विचाराधीन प्रणाली में किसी प्रकार की समरूपता की उपस्थिति के कारण उत्पन्न होता है, अर्थात निश्चित संचालन के साथ हैमिल्टनियन की अपरिवर्तनीयता है, जिस प्रकार से कि पूर्व वर्णित है। सामान्य अपकर्ष से प्राप्त प्रतिनिधित्व अप्रासंगिक है, और संबंधित प्रेरक क्रिया इस प्रतिनिधित्व के लिए आधार बनाते हैं।
-=== आकस्मिक अध: पतन ===
+=== आकस्मिक अपकर्ष ===
-यह प्रणाली की कुछ विशेष विशेषताओं या विचाराधीन क्षमता के कार्यात्मक रूप से उत्पन्न होने वाली विकृति का एक प्रकार है, और संभवतः प्रणाली में एक छिपी हुई गतिशील समरूपता से संबंधित है।<ref>{{cite journal | last=McIntosh | first=Harold V. |author-link=Harold V. McIntosh| title=क्लासिकल और क्वांटम यांत्रिकी में आकस्मिक गिरावट पर| journal=American Journal of Physics | publisher=American Association of Physics Teachers (AAPT) | volume=27 | issue=9 | year=1959 | issn=0002-9505 | doi=10.1119/1.1934944 | pages=620–625| bibcode=1959AmJPh..27..620M |url=http://www.physics.smu.edu/scalise/P6335fa19/notes/AccidentalDegeneracy.pdf}}</ref> इसका परिणाम संरक्षित मात्राओं में भी होता है, जिन्हें समरूपताना अक्सर आसान नहीं होता है। असतत ऊर्जा स्पेक्ट्रम में आकस्मिक समरूपता इन अतिरिक्त पतन की ओर ले जाती है। एक आकस्मिक पतन इस तथ्य के कारण हो सकता है कि हैमिल्टनियन का समूह पूर्ण नहीं है। ये पतन शास्त्रीय भौतिकी में बाध्य कक्षाओं के अस्तित्व से जुड़े हैं।
+यह प्रणाली की कुछ विशेष विशेषताओं या विचाराधीन क्षमता के कार्यात्मक रूप से उत्पन्न होने संबंधी अपकर्ष का प्रकार है, और संभवतः प्रणाली में लुप्त हुई गतिशील समरूपता से संबंधित है।<ref>{{cite journal | last=McIntosh | first=Harold V. |author-link=Harold V. McIntosh| title=क्लासिकल और क्वांटम यांत्रिकी में आकस्मिक गिरावट पर| journal=American Journal of Physics | publisher=American Association of Physics Teachers (AAPT) | volume=27 | issue=9 | year=1959 | issn=0002-9505 | doi=10.1119/1.1934944 | pages=620–625| bibcode=1959AmJPh..27..620M |url=http://www.physics.smu.edu/scalise/P6335fa19/notes/AccidentalDegeneracy.pdf}}</ref> इसका परिणाम संरक्षित परिमाण में भी होता है, जिन्हें स्पष्ट करना प्राय: सरल नहीं होता है। असतत ऊर्जा वर्णक्रम में आकस्मिक समरूपता इन अतिरिक्त अपकर्ष की ओर ले जाती है। आकस्मिक अपकर्ष इस तथ्य के कारण हो सकता है, कि हैमिल्टनियन का समूह पूर्ण नहीं है। ये अपकर्ष मौलिक भौतिकी में बाध्य कक्षीय के अस्तित्व से जुड़े हैं।
-====उदाहरण: कूलम्ब और हार्मोनिक ऑसिलेटर पोटेंशिअल====
+====उदाहरण: कूलॉम और अनुरूप दोलक सामर्थ्यः====
-एक केंद्रीय में एक कण के लिए {{math|1/''r''}} संभावित, लाप्लास-रनगे-लेन्ज़ संवाहक  एक संरक्षित मात्रा है जो घूर्णी आक्रमण के कारण कोणीय गति के संरक्षण के अलावा एक आकस्मिक पतन से उत्पन्न होती है।
+केंद्रीय {{math|1/''r''}} क्षमता में कण के लिए, लाप्लास-रनगे-लेन्ज़ संवाहक संरक्षित मात्रा है, जो आकस्मिक अपकर्ष के परिणामस्वरूप होती है, इसके अतरिक्त आवर्तनशील अपरिवर्तनीयता के कारण कोणीय गति का संरक्षण भी होता है।
-के प्रभाव में एक शंकु पर गतिमान कण के लिए {{math|1/''r''}} और {{math|''r''<sup>2</sup>}} संभावित, शंकु की नोक पर केंद्रित, आकस्मिक समरूपता के अनुरूप संरक्षित मात्रा कोणीय गति संवाहक  के एक घटक के अलावा रनगे-लेनज़ संवाहक  के बराबर के दो घटक होंगे। ये मात्राएँ दोनों विभवों के लिए [[SU(2)]] समरूपता उत्पन्न करती हैं।
+शंकु की शीर्ष पर केन्द्रित {{math|1/''r''}} और {{math|''r''<sup>2</sup>}} सामर्थ्यः के प्रभाव में शंकु पर विचरण कर ने वाले कण के लिए, आकस्मिक समरूपता के अनुरूप संरक्षित परिमाण घटक के अतिरिक्त, रनगे-लेनज़ संवाहक के समतुल्य के दो घटक होंगी। कोणीय संवेग संवाहक की यह परिमाण दोनों संभावनाओं के लिए [[SU(2)|एसयू(2)]] समरूपता उत्पन्न करती हैं।
-==== उदाहरण: एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र में कण ====
+==== उदाहरण: स्थिर चुंबकीय क्षेत्र में कण ====
-एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में गतिमान एक कण, एक वृत्ताकार कक्षा पर [[साइक्लोट्रॉन]] गति से गुजर रहा है, आकस्मिक समरूपता का एक और महत्वपूर्ण उदाहरण है। इस मामले में समरूपता [[गुणक]] लांडौ स्तर हैं जो असीम रूप से पतित हैं।
+स्थिर चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में गतिमान कण, वृत्ताकार कक्षीय पर [[साइक्लोट्रॉन]] गति से निकल रहा है, आकस्मिक समरूपता का और महत्वपूर्ण उदाहरण है। इस स्थितियों में समरूपता [[गुणक]] [[गुणक|लैंडौ]] [[गुणक|स्तर]] हैं, जो अनंततः रूप से अपकर्ष हैं।
 == उदाहरण ==
 === हाइड्रोजन परमाणु ===
-{{Main|Hydrogen atom|l1=Hydrogen Atom}}
+{{Main|हाइड्रोजन परमाणु|l1=हाइड्रोजन परमाणु}}
-[[परमाणु भौतिकी]] में, एक [[हाइड्रोजन परमाणु]] में एक इलेक्ट्रॉन की बाध्य अवस्थाएँ हमें पतन के उपयोगी उदाहरण दिखाती हैं। इस मामले में, हैमिल्टनियन कुल [[कोणीय गति ऑपरेटर|कोणीय गति संचालको]]  के साथ यात्रा करता है <math>\hat{L^2}</math>, z-दिशा के साथ इसका घटक, <math>\hat{L_z}</math>, कुल [[स्पिन (भौतिकी)]] <math>\hat{S^2}</math> और इसका z-घटक <math>\hat{S_z}</math>. इन संचालको ों के अनुरूप क्वांटम संख्याएं हैं <math>l</math>, <math>m_l</math>, <math>s</math> (हमेशा एक इलेक्ट्रॉन के लिए 1/2) और <math>m_s</math> क्रमश।
+[[परमाणु भौतिकी]] में, [[हाइड्रोजन परमाणु]] में इलेक्ट्रॉन की बाध्य अवस्थाएँ हमें अपकर्ष के उपयोगी उदाहरण दिखाती हैं। इस स्थितियों में, हैमिल्टनियन कुल [[कोणीय गति ऑपरेटर|कोणीय गति संचालको]] <math>\hat{L^2}</math> के साथ आवागमन करता है , इसका घटक z-दिशा के साथ <math>\hat{L_z}</math>, कुल [[स्पिन (भौतिकी)|चक्र (भौतिकी)]] कोणीय गति <math>\hat{S^2}</math> और इसका z-घटक <math>\hat{S_z}</math> है। इन संचालको के अनुरूप क्वांटम संख्याएं क्रमशः <math>l</math>, <math>m_l</math>, <math>s</math> हैं (सदैव इलेक्ट्रॉन के लिए 1/2) और <math>m_s</math> क्रमानुसार है।
-हाइड्रोजन परमाणु में ऊर्जा का स्तर केवल [[मुख्य क्वांटम संख्या]] पर निर्भर करता है {{mvar|n}}. किसी प्रदत्त के लिए {{mvar|n}}, सभी राज्यों के अनुरूप <math>l=0, \ldots, n-1</math> समान ऊर्जा रखते हैं और पतित होते हैं। इसी प्रकार के दिए गए मानों के लिए {{mvar|n}} और {{mvar|l}}, द <math>(2l+1)</math>, के साथ बताता है <math>m_l = -l, \ldots, l</math> पतित हैं। ऊर्जा स्तर ई की पतन की श्रेणी<sub>n</sub> इसलिए :<math>\sum_{l \mathop =0}^{n-1}(2l+1) = n^2</math>, जो दुगुनी हो जाती है यदि स्पिन पतन शामिल हो।<ref name=Merzbacher98/>{{rp|p. 267f}}
+हाइड्रोजन परमाणु में ऊर्जा का स्तर मात्र [[मुख्य क्वांटम संख्या]] {{mvar|n}} पर निर्भर करता है। दिए गए n के लिए <math>l=0, \ldots, n-1</math> के अनुरूप सभी अवस्थाओं में समान ऊर्जा होती है, और वे अपकर्ष होते हैं। इसी प्रकार {{mvar|n}} और {{mvar|l}} के दिए गए मानों के लिए <math>m_l = -l, \ldots, l</math> के साथ <math>(2l+1)</math> स्थितियाँ अपकर्ष हैं। ऊर्जा स्तर E<sub>n</sub> की अपकर्ष की श्रेणी इसलिए  :<math>\sum_{l \mathop =0}^{n-1}(2l+1) = n^2</math> है जो चक्र अपकर्ष को सम्मिलित करने पर युग्मित हो जाती है।<ref name=Merzbacher98/>
-के संबंध में पतन <math>m_l</math> एक आवश्यक पतन है जो किसी भी [[केंद्रीय क्षमता]] के लिए मौजूद है, और एक पसंदीदा स्थानिक दिशा के अभाव से उत्पन्न होता है। के संबंध में पतन <math>l</math> अक्सर एक आकस्मिक अपक्षय के रूप में वर्णित किया जाता है, लेकिन इसे श्रोडिंगर समीकरण की विशेष समरूपता के संदर्भ में समझाया जा सकता है जो केवल हाइड्रोजन परमाणु के लिए मान्य होते हैं जिसमें कूलम्ब के नियम के माध्यम से  संभावित ऊर्जा दी जाती है।<ref name=Merzbacher98/>{{rp|p. 267f}}
+<math>m_l</math> के संबंध में अपकर्ष आवश्यक अपकर्ष है, जो किसी भी [[केंद्रीय क्षमता]] के लिए उपस्थित है, और अनुकूल स्थानिक दिशा की अनुपस्थिति से उत्पन्न होता है। {{mvar|l}} के संबंध में अपकर्ष को प्राय आकस्मिक अपकर्ष के रूप में वर्णित किया जाता है, किन्तु इसे श्रोडिंगर समीकरण की विशेष समरूपता के संदर्भ में समझाया जा सकता है जो मात्र हाइड्रोजन परमाणु के लिए मान्य है, जिसमें संभावित ऊर्जा कूलम्ब के नियम के माध्यम से दी गई है।।<ref name=Merzbacher98/>{{rp|p. 267f}}
-=== आइसोट्रोपिक त्रि-आयामी हार्मोनिक ऑसीलेटर ===
+=== समदैशिक त्रि-आयामी अनुरूप दोलक ===
-यह द्रव्यमान एम का एक स्पिन रहित [[कण]] है जो त्रि-आयामी अन्तराल में घूम रहा है, [[केंद्रीय बल]] के अधीन जिसका पूर्ण मूल्य बल के केंद्र से कण की दूरी के समानुपाती होता है।
+यह द्रव्यमान m का चक्र रहित [[कण]] है, जो त्रि-आयामी अन्तराल में विचरण कर रहा है, यह [[केंद्रीय बल]] के अधीन है। जिसका पूर्ण मान बल के केंद्र से कण की दूरी के समानुपाती होता है।
 :<math>F=-kr</math>
-इसे क्षमता के बाद से आइसोट्रोपिक कहा जाता है <math>V(r)</math> इस पर कार्य करना घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय है, अर्थात:<math>V(r) = 1/2 \left(m\omega^2r^2\right)</math>
+इसे समदैशिक कहा जाता है, क्योंकि इस पर कार्य करने वाला <math>V(r)</math> आवर्तनशील रूप से अपरिवर्तनीय है, अर्थात <math>V(r) = 1/2 \left(m\omega^2r^2\right)</math> जिस स्थान पर <math>\omega</math>, <math display="inline">\sqrt{k/m}</math>. के माध्यम से दी गई [[कोणीय आवृत्ति]] है।
-कहाँ <math>\omega</math> के माध्यम से  दी गई [[कोणीय आवृत्ति]] है <math display="inline">\sqrt{k/m}</math>.
-चूंकि इस तरह के एक कण का राज्य स्थान भिन्न-भिन्न एक-आयामी तरंग कार्यों से जुड़े राज्य अन्तराल का टेन्सर उत्पाद है, इस तरह की प्रणाली के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण के माध्यम से  दिया जाता है-
+चूँकि ऐसे कण का अवस्था स्थान व्यक्तिगत एक-आयामी आवेश कार्यों से जुड़े अवस्था स्थानों का प्रदिश उत्पाद है, इस तरह की प्रणाली के लिए अवधि -स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण के माध्यम से दिया जाता है-
 :<math>-\frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}\right) +\frac{1}{2}{m\omega^2(x^2+y^2+z^2)\psi}=E\psi</math>
-तो, ऊर्जा प्रेरक मान s हैं <math>E_{n_x,n_y,n_z}=(n_x+n_y+n_z+3/2) \hbar\omega</math>
+तो, ऊर्जा प्रेरक मान <math>E_{n_x,n_y,n_z}=(n_x+n_y+n_z+3/2) \hbar\omega</math> हैं
 या, <math>E_n=(n+3/2)\hbar\omega</math>
-जहाँ n एक अ-ऋणात्मक पूर्णांक है।
-तो, ऊर्जा के स्तर पतित हैं और पतन की श्रेणी विभिन्न सेटों की संख्या के बराबर है <math>\{n_x, n_y, n_z\}</math> संतुष्टि देने वाला
+जिस स्थान पर n अ-ऋणात्मक पूर्णांक है। इसलिए ऊर्जा का स्तर अपकर्ष हो गया है, और अपकर्ष की श्रेणीविभिन्न समुच्चयों की संख्या <math>\{n_x, n_y, n_z\}</math> के समरूप है जो संतोषजनक है
 :<math>n_x+n_y+n_z=n</math>
-की अधोगति <math>n</math>-वें राज्य के वितरण पर विचार करके पाया जा सकता है <math>n</math> क्वांटा पार <math>n_x</math>, <math>n_y</math> और <math>n_z</math>. 0 में होना <math>n_x</math> देता है <math>n + 1</math> भर में वितरण की संभावनाएं <math>n_y</math> और <math>n_z</math>. 1 क्वांटा होना <math>n_x</math> देता है <math>n</math> संभावनाएं भर <math>n_y</math> और <math>n_z</math> और इसी तरह। यह के सामान्य परिणाम की ओर जाता है <math>n - n_x + 1</math> और कुल मिलाकर <math>n</math> की अधोगति की ओर ले जाता है <math>n</math>-वें राज्य,
+<math>n</math> अवस्था की अपकर्ष को <math>n_x</math>, <math>n_y</math> और <math>n_z</math> में <math>n</math> क्वांटा के वितरण पर विचार करके प्राप्त जा सकता है। <math>n_x</math> में 0 होने से <math>n_y</math> और <math>n_z</math> में वितरण की <math>n + 1</math> संभावनाएँ प्राप्त होती हैं। 1 में <math>n_x</math> क्वांटा होने से <math>n_y</math> और <math>n_z</math> इत्यादि में <math>n</math> संभावनाएं प्राप्त होती हैं। इससे <math>n - n_x + 1</math> का सामान्य परिणाम प्राप्त होता है और सभी <math>n</math> का योग <math>n</math>वीं अवस्था की अपकर्ष की ओर ले जाता है-
 :<math>\sum_{n_x=0}^n (n-n_x+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}</math>
-जैसा कि दिखाया गया है, केवल जमीनी राज्य जहां <math>n = 0</math> अ-पतित है (यानी, की गिरावट है <math>1</math>).
+जिस प्रकार से कि दर्शाया गया है, मात्र सतह अवस्था जिस स्थान पर <math>n = 0</math> अ-अपकर्ष है (अथार्त <math>1</math> की अपक्षयीता है )।
-== पतन दूर करना ==
+== अपकर्ष का निवारक ==
-एक क्वांटम यांत्रिक प्रणाली में गिरावट को हटाया जा सकता है यदि अंतर्निहित समरूपता बाहरी [[गड़बड़ी सिद्धांत]] (क्वांटम यांत्रिकी) के माध्यम से  तोड़ा जाता है। यह पतित ऊर्जा स्तरों में विभाजन का कारण बनता है। यह अनिवार्य रूप से मूल अलघुकरणीय अभ्यावेदन का एक विखंडन है जो विकृत प्रणाली के निम्न-आयामी ऐसे निरूपणों में होता है।
+यदि किसी बाह्य [[गड़बड़ी सिद्धांत|अस्तव्यस्तता]] [[गड़बड़ी सिद्धांत|सिद्धांत]] (क्वांटम यांत्रिकी) से अंतर्निहित समरूपता विघटित हो जाती है, तो क्वांटम यांत्रिक प्रणाली में विकृति को दूर किया जा सकता है।। यह अपकर्ष ऊर्जा स्तरों में विभाजन का कारण बनता है। यह अनिवार्य रूप से मूल अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन को विकृत प्रणाली के निम्न-आयामी ऐसे अभ्यावेदन में विभाजित करना है।
-गणितीय रूप से, एक छोटी गड़बड़ी क्षमता के आवेदन के कारण विभाजन की गणना समय-स्वतंत्र पतित गड़बड़ी सिद्धांत का उपयोग करके की जा सकती है। यह एक सन्निकटन योजना है जिसे हेमिल्टनियन एच के लिए समाधान दिए जाने पर, एक अनुप्रयुक्त गड़बड़ी के साथ एक क्वांटम प्रणाली के हैमिल्टनियन एच के लिए प्रेरकमान  समीकरण के समाधान को खोजने के लिए लागू किया जा सकता है।<sub>0</sub> असंतुलित प्रणाली के लिए। इसमें गड़बड़ी श्रृंखला में हैमिल्टनियन एच के प्रेरक मान s और eigenkets का विस्तार करना शामिल है।
+गणितीय रूप से, छोटी अस्तव्यस्तता क्षमता के आवेदन के कारण विभाजन की गणना अवधि -स्वतंत्र अपकर्ष अस्तव्यस्तता सिद्धांत का उपयोग करके की जा सकती है। यह सन्निकटन योजना है, जिसे अप्रभावित प्रणाली के लिए हैमिल्टनियन H<sub>0</sub> के समाधान को देखते हुए, प्रयुक्त अस्तव्यस्तता के साथ क्वांटम प्रणाली के हैमिल्टनियन H के लिए प्रेरक मान समीकरण का समाधान अन्वेषण के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है। इसमें अस्तव्यस्तता सिद्धांत में हैमिल्टनियन H के प्रेरक मान और प्रेरक केट का विस्तार करना सम्मिलित है। किसी दिए गए ऊर्जा प्रेरक मान के साथ पतित प्रेरक क्षेत्र संवाहक उप-स्थान बनाते हैं, किन्तु इस स्थान के प्रेरक क्षेत्र का प्रत्येक आधार अस्तव्यस्तता सिद्धांत के लिए उपयुक्ता प्रारंभिक बिंदु नहीं है, क्योंकि सामान्यतः उनके पास अस्तव्यस्तता सिद्धांत का कोई भी प्रेरक क्षेत्र नहीं होगा। चयन का सही आधार वह है जो अपकर्ष उप-स्थान के अन्दर अस्तव्यस्तता हैमिल्टनियन को विकर्ण करता है।
-किसी दिए गए ऊर्जा प्रेरक मान  के साथ degenerate eigenstates एक संवाहक  उप-स्थान बनाते हैं, लेकिन इस स्थान के eigenstates का हर आधार गड़बड़ी सिद्धांत के लिए एक अच्छा प्रारंभिक बिंदु नहीं है, क्योंकि आम तौर पर उनके पास परेशान प्रणाली के कोई eigenstates नहीं होंगे। चुनने का सही आधार वह है जो पतित उप-स्थान के भीतर गड़बड़ी हैमिल्टनियन को विकर्ण करता है।
 :{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
-!Lifting of degeneracy by first-order degenerate perturbation theory.
+!प्रथम-क्रम पतित विक्षोभ सिद्धांत के माध्यम से अध:पतन को उन्नति।
 |-
 |Consider an unperturbed Hamiltonian <math>\hat{H_0}</math> and perturbation <math>\hat{V}</math>, so that the perturbed Hamiltonian
@@ Line 312: / Line 306: @@
 :<math>|\psi_0\rangle=|n_0\rangle+\sum_{k\neq0}V_{k0}/(E_0-E_k)|n_k\rangle</math>
 The perturbed energy eigenket as well as higher order energy shifts diverge when <math>E_0=E_k</math>, i.e., in the presence of degeneracy in energy levels.
-Assuming <math>\hat{H_0}</math> possesses N degenerate eigenstates <math>|m\rangle</math> with the same energy प्रेरक मान  E, and also in general some non-degenerate eigenstates. A perturbed प्रेरक अवस्था<math>|\psi_j\rangle</math> can be written as a linear expansion in the unperturbed degenerate eigenstates as-
+Assuming <math>\hat{H_0}</math> possesses N degenerate प्रेरक क्षेत्र <math>|m\rangle</math> with the same energy प्रेरक मान E, and also in general some non-degenerate प्रेरक क्षेत्र. A perturbed प्रेरक अवस्था<math>|\psi_j\rangle</math> can be written as a linear expansion in the unperturbed degenerate प्रेरक क्षेत्र as-
 :<math> |\psi_j\rangle=\sum_{i}|m_i\rangle\langle m_i|\psi_j\rangle=\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle</math>
 :<math>[\hat{H_0}+\hat{V}]\psi_j\rangle=[\hat{H_0}+\hat{V}]\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle=E_j\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle</math>
 where <math>E_j</math> refer to the perturbed energy प्रेरक मान s.
-Since <math>E</math> is a degenerate प्रेरक मान  of <math>\hat{H_0}</math>,
+Since <math>E</math> is a degenerate प्रेरक मान of <math>\hat{H_0}</math>,
 :<math>\sum_{i}c_{ji}\hat{V}|m_i\rangle=(E_j-E)\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle=\Delta E_j\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle</math>
 Premultiplying by another unperturbed degenerate eigenket <math>\langle m_k|</math> gives-
 :<math>\sum_{i}c_{ji}[\langle m_k|\hat{V}|m_i\rangle-\delta_{ik}(E_j-E)]=0</math>
-This is an प्रेरक मान  problem, and writing <math>V_{ik}=\langle m_i|\hat{V}|m_k\rangle</math>, we have-
+This is an प्रेरक मान problem, and writing <math>V_{ik}=\langle m_i|\hat{V}|m_k\rangle</math>, we have-
 :<math>\begin{vmatrix} V_{11}-\Delta E_j & V_{12} & \dots & V_{1N} \\
 V_{21} & V_{22}-\Delta E_j & \dots & V_{2N} \\
@@ Line 326: / Line 320: @@
 V_{N1} & V_{N2} & \dots & V_{NN}-\Delta E_j \end{vmatrix}.\,</math>
-The N प्रेरक मान s obtained by solving this equation give the shifts in the degenerate energy level due to the applied perturbation, while the प्रेरक संवाहक s give the perturbed states in the unperturbed degenerate basis <math>|m\rangle</math>. To choose the good eigenstates from the beginning, it is useful to find an operator <math>\hat{V}</math> which commutes with the original Hamiltonian <math>\hat{H_0}</math> and has simultaneous eigenstates with it.
+The N प्रेरक मान s obtained by solving this equation give the shifts in the degenerate energy level due to the applied perturbation, while the प्रेरक संवाहक s give the perturbed states in the unperturbed degenerate basis <math>|m\rangle</math>. To choose the good प्रेरक क्षेत्र from the beginning, it is useful to find an operator <math>\hat{V}</math> which commutes with the original Hamiltonian <math>\hat{H_0}</math> and has simultaneous प्रेरक क्षेत्र with it.
 |}
+=== क्षोभ के माध्यम से अपक्षय को दूर करने के भौतिक उदाहरण ===
+भौतिक स्थितियों के कुछ महत्वपूर्ण उदाहरण जिस स्थान पर क्वांटम प्रणाली के अपक्षयी ऊर्जा स्तर बाहरी अस्तव्यस्तता के अनुप्रयोग के माध्यम से विभाजित किया जाता हैं, नीचे दिए गए हैं।
-=== क्षोभ के माध्यम से  अपक्षय को दूर करने के भौतिक उदाहरण ===
+=== दो-स्तरीय प्रणालियों में समरूपता का विघटितना ===
+{{See also|दो क्षेत्र प्रणालियों में पारगमन  से बचाव}}
-भौतिक स्थितियों के कुछ महत्वपूर्ण उदाहरण जहां एक क्वांटम प्रणाली के अपक्षयी ऊर्जा स्तर एक बाहरी गड़बड़ी के अनुप्रयोग के माध्यम से  विभाजित होते हैं, नीचे दिए गए हैं।
+एक दो-स्तरीय प्रणाली अनिवार्य रूप से भौतिक प्रणाली को संदर्भित करती है जिसमें दो अवस्था होते हैं, जिनकी ऊर्जा साथ होती है और प्रणाली के अन्य अवस्था से अत्यंत भिन्न होती है। ऐसी प्रणाली के लिए सभी गणनाएं अवस्था अन्तराल के द्वि-आयामी उप-स्थल सांस्थिति पर की जाती हैं।
-=== दो-स्तरीय प्रणालियों में समरूपता टूटना ===
+यदि किसी भौतिक प्रणाली की आधार स्थिति दो गुना अपकर्ष है, तो दो संबंधित अवस्था के मध्य कोई भी युग्मन प्रणाली की आधार स्थिति की ऊर्जा को कम करता है, और इसे और अधिक स्थिर बनाता है।
-{{See also|Avoided crossing#In two state systems}}
-एक दो-स्तरीय प्रणाली अनिवार्य रूप से एक भौतिक प्रणाली को संदर्भित करती है जिसमें दो राज्य होते हैं जिनकी ऊर्जा एक साथ होती है और सिस्टम के अन्य राज्यों से बहुत अलग होती है। ऐसी प्रणाली के लिए सभी गणनाएं राज्य अन्तराल के द्वि-आयामी उप-स्थल टोपोलॉजी पर की जाती हैं।
+यदि <math>E_1</math> और <math>E_2</math> प्रणाली के ऊर्जा स्तर हैं, जैसे कि <math>E_1=E_2=E</math>, और अस्तव्यस्तता <math>W</math> को द्वि-आयामी उप-स्थान में निम्नलिखित 2×2 आव्युह के रूप में दर्शाया गया है
-यदि किसी भौतिक प्रणाली की जमीनी स्थिति दो गुना पतित है, तो दो संबंधित राज्यों के बीच कोई भी युग्मन प्रणाली की जमीनी स्थिति की ऊर्जा को कम करता है, और इसे और अधिक स्थिर बनाता है।
-यदि  <math>E_1</math> और <math>E_2</math> सिस्टम के ऊर्जा स्तर हैं, जैसे कि <math>E_1=E_2=E</math>, और गड़बड़ी <math>W</math> निम्नलिखित 2×2 मैट्रिक्स के रूप में द्वि-आयामी उप-स्थान में दिखाया  गया है
 :<math>\mathbf{W}=\begin{bmatrix}
@@ Line 351: / Line 343: @@
 :<math>E_{+}=E+|W_{12}|</math>
 :<math>E_{-}=E-|W_{12}|</math>
-दो-राज्य प्रणालियों के उदाहरण जिनमें सिस्टम की अंतर्निहित संपत्ति के कारण आंतरिक संपर्क से हैमिल्टनियन में ऑफ-डायगोनल शर्तों की उपस्थिति से ऊर्जा राज्यों में गिरावट टूट जाती है:
+दो-अवस्था प्रणालियों के उदाहरण जिनमें प्रणाली की अंतर्निहित संपत्ति के कारण आंतरिक संपर्क के परिणामस्वरूप हैमिल्टनियन में विवृत विकर्ण परिस्थितियों की उपस्थिति से ऊर्जा अवस्थाओं में अपक्षयीता विघटित जाती है:
-* [[बेंजीन]], पड़ोसी [[कार्बन]] परमाणुओं के बीच तीन दोहरे बंधनों के दो संभावित स्वभावों के साथ।
+* [[बेंजीन]], निकटतम [[कार्बन]] परमाणुओं के मध्य तीन दोहरे संबंध के दो संभावित स्वभावों के साथ है।
-* [[अमोनिया]] अणु, जहां नाइट्रोजन परमाणु तीन [[हाइड्रोजन]] परमाणुओं के माध्यम से  परिभाषित विमान के ऊपर या नीचे हो सकता है।
+* [[अमोनिया]] अणु, जिस स्थान पर नाइट्रोजन परमाणु तीन [[हाइड्रोजन]] परमाणुओं के माध्यम से परिभाषित सतह के पूर्व या नीचे हो सकता है।
-* {{chem|link=Dihydrogen cation|H|2|+}} अणु, जिसमें इलेक्ट्रॉन को दो नाभिकों में से किसी एक के आसपास स्थानीयकृत किया जा सकता है।
+* {{chem|link=Dihydrogen cation|H|2|+}} अणु, जिसमें इलेक्ट्रॉन को दो नाभिकों में से किसी के आसपास स्थानबद्ध किया जा सकता है।
-=== ललित-संरचना विभाजन ===
+=== उत्तम-संरचना विभाजन ===
-{{main|Fine structure}}
+{{main|उत्तम-संरचना}}
-आपेक्षिकीय गति और स्पिन-कक्षा युग्मन के कारण हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के बीच कूलम्ब अन्योन्यक्रिया में सुधार एक एकल प्रमुख क्वांटम संख्या n के संगत l के विभिन्न मानों के लिए ऊर्जा स्तरों में पतन को तोड़ने में परिणाम देता है।
+आपेक्षिकीय गति और चक्र -कक्षीय युग्मन के कारण हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के मध्य कूलम्ब अन्योन्यक्रिया में संशोधन के परिणामस्वरूप एकल प्रमुख क्वांटम संख्या n के अनुरूप lके विभिन्न मानो के लिए ऊर्जा स्तरों में अपकर्षको को विघटित कर दिया जाता है।
-आपेक्षिक सुधार के कारण गड़बड़ी हैमिल्टन के माध्यम से  दिया गया है
+आपेक्षिक संशोधन के कारण अस्तव्यस्तता हैमिल्टन के माध्यम से दिया गया है
 :<math>H_r=-p^4/8m^3c^2</math>
-कहाँ <math>p</math> संवेग संचालक है और <math>m</math> इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है। में प्रथम-क्रम सापेक्ष ऊर्जा सुधार <math>|nlm\rangle</math> के माध्यम से  आधार दिया गया है
+जिस स्थान पर <math>p</math> संवेग संचालक है और <math>m</math> इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है। <math>|nlm\rangle</math>आधार में प्रथम-क्रम सापेक्षतावादी ऊर्जा संशोधन के माध्यम से दिया गया है
 :<math>E_r=(-1/8m^3c^2)\langle nlm|p^4|nlm \rangle</math>
 अब <math>p^4=4m^2(H^0+e^2/r)^2</math>
@@ Line 371: / Line 363: @@
 &=(-1/2)mc^2\alpha^4[-3/(4n^4)+1/{n^3(l+1/2)}]
 \end{aligned}</math>
-कहाँ <math>\alpha</math> [[ठीक संरचना स्थिर]] है।
+जिस स्थान पर <math>\alpha</math> [[ठीक संरचना स्थिर|न्यायपूर्ण संरचना स्थिरांक]] है।
-स्पिन-ऑर्बिट इंटरेक्शन, प्रोटॉन के साथ सापेक्ष गति के कारण इसके के माध्यम से  अनुभव किए गए चुंबकीय क्षेत्र के साथ इलेक्ट्रॉन के आंतरिक चुंबकीय क्षण के बीच की बातचीत को संदर्भित करता है। इंटरैक्शन हैमिल्टनियन है
+चक्र -कक्षीय पारस्परिक प्रभाव, प्रोटॉन के साथ सापेक्ष गति के कारण इसके के माध्यम से अनुभव किए गए चुंबकीय क्षेत्र के साथ इलेक्ट्रॉन के आंतरिक चुंबकीय क्षण के मध्य की बातचीत को संदर्भित करता है। पारस्परिक प्रभाव हैमिल्टनियन है
 :<math>H_{so}=-(e/mc){\vec{m}\cdot\vec{L}/r^3}=[(e^2/(m^2c^2r^3))\vec{S}\cdot\vec{L}] </math>
 जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है
 :<math>H_{so}=(e^2/(4m^2c^2r^3))[\vec{J}^2-\vec{L}^2-\vec{S}^2]</math>
-में पहला क्रम ऊर्जा सुधार <math>|j,m,l,1/2\rangle</math> आधार जहां हैमिल्टनियन विकर्ण है, के माध्यम से  दिया गया है
+<math>|j,m,l,1/2\rangle</math> आधार में प्रथम क्रम ऊर्जा संशोधन जहां अस्तव्यस्तता हैमिल्टनियन विकर्ण है, के माध्यम से दिया गया है
 :<math>E_{so}=(\hbar^2e^2)/(4m^2c^2)[j(j+1)-l(l+1)-3/4]/((a_0)^3n^3(l(l+1/2)(l+1))]</math>
-कहाँ <math>a_0</math> [[बोह्र त्रिज्या]] है।
+जिस स्थान पर <math>a_0</math> [[बोह्र त्रिज्या]] है। कुल उत्तम संरचना ऊर्जा परिवर्तन के माध्यम से दिया गया है
-टोटल फाइन-स्ट्रक्चर एनर्जी शिफ्ट के माध्यम से  दिया गया है
 :<math>E_{fs}=-(mc^2\alpha^4/(2n^3))[1/(j+1/2)-3/4n]</math>
-के लिए <math>j=l\pm1/2</math>.
+<math>j=l\pm1/2</math> के लिए
-=== ज़ीमान प्रभाव ===
+=== ज़ीमन प्रभाव ===
-{{Main|Zeeman effect}}
+{{Main|ज़ीमन प्रभाव}}
-चुंबकीय क्षण की परस्पर क्रिया के कारण बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखे जाने पर परमाणु के ऊर्जा स्तरों का विभाजन <math>\vec{m}</math> लागू क्षेत्र के साथ परमाणु को Zeeman प्रभाव के रूप में जाना जाता है।
+बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखे जाने पर परमाणु के चुंबकीय क्षण <math>\vec{m}</math> की प्रयुक्त क्षेत्र के साथ परस्पर क्रिया के कारण परमाणु के ऊर्जा स्तर के विभाजन को ज़ीमन प्रभाव के रूप में जाना जाता है।
-कक्षीय और स्पिन कोणीय संवेग को ध्यान में रखते हुए, <math>\vec{L}</math> और <math>\vec{S}</math>, क्रमशः, हाइड्रोजन परमाणु में एक एकल इलेक्ट्रॉन की गड़बड़ी हैमिल्टन के माध्यम से  दी गई है
+हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के क्रमशः कक्षीय और चक्र कोणीय संवेग <math>\vec{L}</math> और <math>\vec{S}</math> को ध्यान में रखते हुए अस्तव्यस्तता हैमिल्टनियन के माध्यम से दी गई है
 :<math>\hat{V}=-(\vec{m_l}+\vec{m_s})\cdot\vec{B}</math>
-कहाँ <math>m_l=-e \vec{L}/2m</math> और <math>m_s=-e \vec{S}/m</math>.
+जिस स्थान पर <math>m_l=-e \vec{L}/2m</math> और <math>m_s=-e \vec{S}/m</math>. इस प्रकार है
-इस प्रकार,
 :<math>\hat{V}=e (\vec{L}+2\vec{S})\cdot\vec{B}/2m</math>
-अब, कमजोर क्षेत्र Zeeman प्रभाव के मामले में, जब आंतरिक क्षेत्र की तुलना में लागू क्षेत्र कमजोर होता है, तो स्पिन-ऑर्बिट युग्मन हावी होता है और <math>\vec{L}</math> और <math>\vec{S}</math> अलग से संरक्षित नहीं हैं। अच्छी क्वांटम संख्याएँ n, l, j और m हैं<sub>j</sub>, और इस आधार पर, पहला आदेश ऊर्जा सुधार के माध्यम से  दिखाया जा सकता है
+अब, अशक्त क्षेत्र ज़ीमन प्रभाव के स्थितियों में, जब आंतरिक क्षेत्र की तुलना में प्रयुक्त क्षेत्र अशक्त होता है, तो चक्र -परिक्रमा युग्मन प्रभावी होता है और <math>\vec{L}</math> और <math>\vec{S}</math> भिन्न से संरक्षित नहीं हैं। उपयुक्त क्वांटम संख्याएँ n, l, j और m हैं<sub>j</sub>, और इस आधार पर, प्रथम क्रम ऊर्जा संशोधन के माध्यम से दर्शाया जा सकता है
-:<math>E_z=-\mu_B g_j B m_j</math>, कहाँ
+:<math>E_z=-\mu_B g_j B m_j</math>, जिस स्थान पर
-<math>\mu_B={e\hbar}/2m</math> [[बोह्र मैग्नेटो]] कहा जाता है। इस प्रकार, के मूल्य पर निर्भर करता है <math>m_j</math>, प्रत्येक पतित ऊर्जा स्तर अनेक  स्तरों में विभाजित हो जाता है।
+<math>\mu_B={e\hbar}/2m</math> [[बोह्र मैग्नेटो]] को बोह्र मैग्नेटन कहा जाता है। इस प्रकार <math>m_j</math> के मूल्य के आधार पर प्रत्येक अपकर्ष ऊर्जा स्तर अनेक स्तरों में विभाजित हो जाता है।
-[[File:Lifting of degeneracy (energy level diagram).png|thumb|right|बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के माध्यम से  पतन को उठाना]]मजबूत-क्षेत्र Zeeman प्रभाव के मामले में, जब लागू क्षेत्र काफी मजबूत होता है, ताकि कक्षीय और स्पिन कोणीय गति कम हो जाए, तो अच्छी क्वांटम संख्याएं अब n, l, m हैं<sub>l</sub>, और एम<sub>s</sub>. इधर, एल<sub>z</sub>और एस<sub>z</sub>संरक्षित हैं, इसलिए गड़बड़ी हैमिल्टन के माध्यम से  दी गई है-
+[[File:Lifting of degeneracy (energy level diagram).png|thumb|right|बाह्य चुंबकीय क्षेत्र के माध्यम से अपकर्ष को उन्नति]]शक्तिशाली -क्षेत्र ज़ीमैन प्रभाव के स्थितियों में जब प्रयुक्त क्षेत्र इतना शक्तिशाली होता है, कि कक्षीय और चक्र कोणीय गति भिन्न हो जाती है तो उपयुक्त क्वांटम संख्याएं अब n, l, m<sub>l</sub> और m<sub>s</sub> होती हैं। इस स्थान पर L<sub>z</sub>और S<sub>z</sub> संरक्षित हैं, इसलिए अस्तव्यस्तता हैमिल्टन के माध्यम से दी गई है-
 :<math>\hat{V}=eB(L_z+2S_z)/2m</math>
-चुंबकीय क्षेत्र को z- दिशा के साथ मानते हुए। इसलिए,
+यह मानते हुए कि चुंबकीय क्षेत्र z-दिशा के अनुदिश है। इसलिए,
 :<math>\hat{V}=eB(m_l+2m_s)/2m</math>
-एम के प्रत्येक मूल्य के लिए<sub>l</sub>, m के दो संभावित मान हैं<sub>s</sub>, <math>\pm1/2</math>.
+m<sub>l</sub> के प्रत्येक मान के लिए m<sub>s</sub> <math>\pm1/2</math> के दो संभावित मान हैं।
-=== निरा प्रभाव ===
+=== नितांत प्रभाव ===
-{{main|Stark effect}}
+{{main|नितांत प्रभाव}}
-किसी बाहरी विद्युत क्षेत्र के अधीन होने पर किसी परमाणु या अणु के ऊर्जा स्तरों का विभाजन स्टार्क प्रभाव के रूप में जाना जाता है।
+किसी बाह्य विद्युत क्षेत्र के अधीन होने पर किसी परमाणु या अणु के ऊर्जा स्तरों का विभाजन नितांत प्रभाव के रूप में जाना जाता है।
-हाइड्रोजन परमाणु के लिए, गड़बड़ी हैमिल्टनियन है
+हाइड्रोजन परमाणु के लिए विक्षोभ हैमिल्टनियन है
 :<math>\hat{H}_{s}=-|e|Ez</math>
-यदि विद्युत क्षेत्र को z-दिशा के साथ चुना जाता है।
+यदि विद्युत क्षेत्र को z-दिशा के साथ चयन किया जाता है।
-लागू क्षेत्र के कारण ऊर्जा सुधार की अपेक्षा मूल्य के माध्यम से  दिए गए हैं <math>\hat{H}_{s}</math> में <math>|nlm\rangle</math> आधार। यह चयन नियमों के माध्यम से  दिखाया जा सकता है कि <math>\langle nlm_l|z|n_1l_1m_{l1}\rangle\ne0</math> कब
+प्रयुक्त क्षेत्र के कारण ऊर्जा संशोधन <math>|nlm\rangle</math> आधार में <math>\hat{H}_{s}</math> के अपेक्षा मान के माध्यम से दिए गए हैं। चयन नियमों के माध्यम से यह दर्शाया जा सकता है कि <math>\langle nlm_l|z|n_1l_1m_{l1}\rangle\ne0</math> जिस प्रकार से <math>l=l_1\pm1</math> और <math>m_l=m_{l1}</math> मे है।
- <math>l=l_1\pm1</math> और <math>m_l=m_{l1}</math>.
-पहले क्रम में चयन नियमों का पालन करने वाले कुछ राज्यों के लिए ही पतन को हटा दिया जाता है। पतित राज्यों के लिए ऊर्जा स्तरों में प्रथम-क्रम विभाजन <math>|2,0,0\rangle</math> और <math>|2,1,0\rangle</math>, दोनों n = 2 के अनुरूप, के माध्यम से  दिया गया है <math>\Delta E_{2,1,m_l}=\pm|e|(\hbar^2)/(m_e e^2)E</math>.
+प्रथम क्रम में चयन नियमों का पालन करने वाले कुछ अवस्था के लिए ही अपकर्ष को निकासी करा जाता है। अपकर्ष अवस्थाओं के लिए ऊर्जा स्तरों में प्रथम क्रम का विभाज <math>\Delta E_{2,1,m_l}=\pm|e|(\hbar^2)/(m_e e^2)E</math> के माध्यम से दिए गए n = 2 के अनुरूप <math>|2,0,0\rangle</math> और <math>|2,1,0\rangle</math> दोनों स्थितियाँ हैं।
 == यह भी देखें ==
-* [[राज्यों का घनत्व]]
+* [[राज्यों का घनत्व|अवस्थाओं का घनत्व]]
 ==संदर्भ==
@@ Line 438: / Line 427: @@
 {{Quantum mechanics topics}}
-[[Category: क्वांटम यांत्रिकी]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All articles with incomplete citations]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Articles with incomplete citations from January 2017]]
+[[Category:Articles with invalid date parameter in template]]
+[[Category:CS1 maint]]
+[[Category:Collapse templates]]
 [[Category:Created On 23/05/2023]]
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ऊर्जा के स्तर को कम करना: Difference between revisions

Latest revision as of 09:31, 12 July 2023

अंक शास्त्र

ऊर्जा के मापन पर अपकर्ष का प्रभाव

विभिन्न आयामों में अपकर्ष

आयाम में अपकर्ष

द्वि-आयामी क्वांटम प्रणाली में अपकर्ष

आयताकार तल में कण

एक वर्गकार वर्ग में कण

एक घन वर्ग में कण

आवागमन संबंधी अवलोकनों का पूरा समुच्चय का चयन

अपकर्ष ऊर्जा प्रेरक अवस्था और समानता संचालिका

अपकर्ष और समरूपता

अपकर्ष के प्रकार

व्यवस्थित या आवश्यक अपकर्ष

आकस्मिक अपकर्ष

उदाहरण: कूलॉम और अनुरूप दोलक सामर्थ्यः

उदाहरण: स्थिर चुंबकीय क्षेत्र में कण

उदाहरण

हाइड्रोजन परमाणु

समदैशिक त्रि-आयामी अनुरूप दोलक

अपकर्ष का निवारक

क्षोभ के माध्यम से अपक्षय को दूर करने के भौतिक उदाहरण

दो-स्तरीय प्रणालियों में समरूपता का विघटितना

उत्तम-संरचना विभाजन

ज़ीमन प्रभाव

नितांत प्रभाव

यह भी देखें

संदर्भ

अग्रिम पठन

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