वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट

गणित में, वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट यह निर्धारित करने के लिए एक परीक्षण है कि फलन की एक अनंत श्रृंखला समान रूप से और पूर्ण रूप से अभिसरण करती है या नहीं। यह उन श्रृंखलाओं पर लागू होता है जिनके पद वास्तविक संख्या या जटिल संख्या मानों के साथ परिबद्धता फलन होते हैं, और वास्तविक या जटिल संख्याओं की श्रृंखला के अभिसरण को निर्धारित करने के लिए प्रत्यक्ष तुलनात्मक परीक्षण के अनुरूप होते है। इसका नाम जर्मन गणितज्ञ कार्ल वीयरस्ट्रैस (1815-1897) के नाम पर रखा गया है।

कथन

वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट। मान लीजिए कि ( (f_n) सेट A पर परिभाषित वास्तविक या जटिल-मूल्यवान फलनों का अनुक्रम होता है, फलनों का एक क्रम है, और यह कि शर्तों को पूरा करने वाली गैर-नकारात्मक संख्याओं (M_n) का एक क्रम होता है

• $|f_{n}(x)|\leq M_{n}$ सभी के लिए $n\geq 1$ और सभी $x\in A$, और
• $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ अभिसरित करता है

फिर शृंखला

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$

A पर पूर्णतः तथा समान रूप से अभिसरित होता है।

परिणाम का उपयोग अधिकांशतः समान सीमा प्रमेय के संयोजन में किया जाता है। वे कहते हैं कि यदि, उपरोक्त शर्तों के अतिरिक्त सेट A एक सांस्थितिक समष्टि है और फलन f_n A पर निरंतर होती हैं, तो श्रृंखला एक निरंतर फलन में परिवर्तित हो जाती है।

प्रमाण

कार्यों के अनुक्रम पर विचार करें

$S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x).$ श्रृंखला के बाद से $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ अभिसरण और M_n ≥ 0 हरएक के लिए n, फिर कॉची मानदंड से,

$\forall \varepsilon >0:\exists N:\forall m>n>N:\sum _{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .$ चुने हुए के लिए N,

$\forall x\in A:\forall m>n>N$

$\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{m}f_{k}(x)\right|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=n+1}^{m}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .$

(असमानता (1) त्रिभुज असमानता से आती है।)

क्रम S_n(x) इस प्रकार आर या सी में एक कॉची अनुक्रम है, और वास्तविक संख्याओं की पूर्णता से, यह कुछ संख्या में परिवर्तित हो जाता है S(x) जो x पर निर्भर करता है। n > N के लिए हम लिख सकते हैं

$\left|S(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\lim _{m\to \infty }S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\lim _{m\to \infty }\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|\leq \varepsilon .$

चूँकि N, x पर निर्भर नहीं करता है, इसका मतलब है कि अनुक्रम {{math|S_n}आंशिक योगों का } समान रूप से फलन एस में परिवर्तित होता है। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, श्रृंखला $\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)$ समान रूप से अभिसरित होता है।

अनुरूप रूप से, कोई भी इसे साबित कर सकता है $\sum _{k=1}^{\infty }|f_{k}(x)|$ समान रूप से अभिसरित होता है।

सामान्यीकरण

वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट का एक अधिक सामान्य संस्करण यह मानता है कि फ़ंक्शंस का सामान्य कोडोमेन (f_n) एक बानाच स्थान है, इस मामले में यह आधार है

$|f_{n}(x)|\leq M_{n}$

द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है

$\|f_{n}(x)\|\leq M_{n}$,

कहाँ $\|\cdot \|$ बानाच स्थान पर नॉर्म (गणित) है। बानाच स्थान पर इस परीक्षण के उपयोग के उदाहरण के लिए, फ़्रेचेट व्युत्पन्न लेख देखें।

यह भी देखें

• समान अभिसरण#घातांकीय फलन|वीयरस्ट्रैस एम-परीक्षण का उदाहरण

संदर्भ

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Rudin, Walter (May 1986). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054234-1.
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math.
• Whittaker, E.T.; Watson, G.N. (1927). A Course in Modern Analysis (Fourth ed.). Cambridge University Press. p. 49.