भागों द्वारा योग

गणित में, भागों द्वारा योग अनुक्रमों के उत्पादों के योग को अन्य योगों में बदल देता है, जिससे अधिकांशतः गणना या (विशेष रूप से) कुछ प्रकार के योगों का अनुमान सरल हो जाता है। इस प्रकार इसे एबेल लेम्मा या एबेल ट्रांसफॉर्मेशन भी कहा जाता है, जिसका नाम नील्स हेनरिक एबेल के नाम पर रखा गया है जिन्होंने इसे साल 1826 में प्रस्तुत किया था।

कथन

कल्पना करना $\{f_{k}\}$ और $\{g_{k}\}$ दो क्रम हैं. तब,

$\sum _{k=m}^{n}f_{k}(g_{k+1}-g_{k})=\left(f_{n}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right)-\sum _{k=m+1}^{n}g_{k}(f_{k}-f_{k-1}).$

फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर का उपयोग करना $\Delta$, इसे और अधिक संक्षेप में कहा जा सकता है

$\sum _{k=m}^{n}f_{k}\Delta g_{k}=\left(f_{n}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right)-\sum _{k=m}^{n-1}g_{k+1}\Delta f_{k},$

भागों द्वारा योग, भागों द्वारा एकीकरण के समान है:

$\int f\,dg=fg-\int g\,df,$

या हाबिल के सारांश सूत्र के लिए:

$\sum _{k=m+1}^{n}f(k)(g_{k}-g_{k-1})=\left(f(n)g_{n}-f(m)g_{m}\right)-\int _{m}^{n}g_{\lfloor t\rfloor }f'(t)dt.$

एक वैकल्पिक कथन है

$f_{n}g_{n}-f_{m}g_{m}=\sum _{k=m}^{n-1}f_{k}\Delta g_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}g_{k}\Delta f_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}\Delta f_{k}\Delta g_{k}$

जो द्विघात भिन्नता#सेमीमार्टिंगेल्स के अनुरूप है।

चूँकि अनुप्रयोग लगभग सदैव अनुक्रमों के अभिसरण से निपटते हैं, कथन पूरी तरह से बीजगणितीय है और किसी भी क्षेत्र (गणित) में काम करेगा। यह तब भी काम करेगा जब एक अनुक्रम सदिश समष्टि में हो, और दूसरा अदिश के संबंधित क्षेत्र में हो।

न्यूटन श्रृंखला

सूत्र कभी-कभी इनमें से किसी एक - थोड़े भिन्न - रूप में दिया जाता है

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=f_{0}\sum _{k=0}^{n}g_{k}+\sum _{j=0}^{n-1}(f_{j+1}-f_{j})\sum _{k=j+1}^{n}g_{k}\\&=f_{n}\sum _{k=0}^{n}g_{k}-\sum _{j=0}^{n-1}\left(f_{j+1}-f_{j}\right)\sum _{k=0}^{j}g_{k},\end{aligned}}$

जो एक विशेष स्थितियोंका प्रतिनिधित्व करता है ($M=1$) अधिक सामान्य नियम का

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=\sum _{i=0}^{M-1}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}+\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}G_{j+M}^{(M)}=\\&=\sum _{i=0}^{M-1}\left(-1\right)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}+\left(-1\right)^{M}\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}{\tilde {G}}_{j}^{(M)};\end{aligned}}$

दोनों प्रारंभिक सूत्र के पुनरावृत्त अनुप्रयोग का परिणाम हैं। सहायक मात्राएँ न्यूटन श्रृंखला हैं:

$f_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{M}\left(-1\right)^{M-k}{M \choose k}f_{j+k}$

और

$G_{j}^{(M)}:=\sum _{k=j}^{n}{k-j+M-1 \choose M-1}g_{k},$

${\tilde {G}}_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{j}{j-k+M-1 \choose M-1}g_{k}.$

एक विशेष ($M=n+1$)परिणाम ही पहचान है

$\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}=\sum _{i=0}^{n}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}.$

यहाँ, ${\textstyle {n \choose k}}$ द्विपद गुणांक है.

विधि

दो दिए गए अनुक्रमों के लिए $(a_{n})$ और $(b_{n})$, साथ $n\in \mathbb {N}$, कोई निम्नलिखित श्रृंखला के योग का अध्ययन करना चाहता है:

$$S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}$$

यदि हम परिभाषित करें ${\textstyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k},}$ फिर हर एक के लिए $n>0,$ $b_{n}=B_{n}-B_{n-1}$ और

$$S_{N}=a_{0}b_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}(B_{n}-B_{n-1}),$$

$$S_{N}=a_{0}b_{0}-a_{1}B_{0}+a_{N}B_{N}+\sum _{n=1}^{N-1}B_{n}(a_{n}-a_{n+1}).$$

आखिरकार ${\textstyle S_{N}=a_{N}B_{N}-\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}).}$ इस प्रक्रिया, जिसे एबेल परिवर्तन कहा जाता है, का उपयोग अभिसरण के अनेक मानदंडों को सिद्ध करना करने के लिए किया जा सकता है $S_{N}$.

भागों द्वारा एकीकरण के साथ समानता

भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र है ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx}$.

सीमा शर्तों के अतिरिक्त, हम देखते हैं कि पहले अभिन्न में दो गुणा कार्य सम्मिलित हैं, एक जो अंतिम अभिन्न में एकीकृत है ($g'$ बन जाता है $g$) और एक जो विभेदित है ($f$ बन जाता है $f'$).

एबेल परिवर्तन की प्रक्रिया समान है, क्योंकि दो प्रारंभिक अनुक्रमों में से एक को संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है ($b_{n}$ बन जाता है $B_{n}$) और दूसरा भिन्न है ($a_{n}$ बन जाता है $a_{n+1}-a_{n}$).

अनुप्रयोग

• इसका उपयोग क्रोनकर के लेम्मा को सिद्ध करना करने के लिए किया जाता है, जो बदले में, विचरण बाधाओं के अनुसार बड़ी संख्या के मजबूत कानून के एक संस्करण को सिद्ध करना करने के लिए उपयोग किया जाता है।
• इसका उपयोग वर्ग त्रिकोणीय संख्या को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है | निकोमैचस का प्रमेय कि पहले का योग $n$ घन पहले के योग के वर्ग के सामान्तर होता है $n$ धनात्मक पूर्णांक।
• एबेल के प्रमेय और डिरिचलेट के परीक्षण को सिद्ध करने के लिए भागों द्वारा योग का अधिकांशतः उपयोग किया जाता है।
• हाबिल के परीक्षण को सिद्ध करने के लिए कोई इस तकनीक का उपयोग भी कर सकता है: यदि ${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$ एक अभिसरण श्रृंखला है, और $a_{n}$ फिर, एक बंधा हुआ मोनोटोन अनुक्रम ${\textstyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$ जुटता है.

हाबिल के परीक्षण का प्रमाण. भागों द्वारा योग प्राप्त होता है

$${\begin{aligned}S_{M}-S_{N}&=a_{M}B_{M}-a_{N}B_{N}-\sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n})\\&=(a_{M}-a)B_{M}-(a_{N}-a)B_{N}+a(B_{M}-B_{N})-\sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}),\end{aligned}}$$

जहां a की सीमा है $a_{n}$. जैसा ${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$ अभिसरण है, $B_{N}$ से स्वतंत्र रूप से घिरा हुआ है $N$, द्वारा कहो $B$. जैसा $a_{n}-a$ शून्य पर जाएं, इसलिए पहले दो पदों पर जाएं। कॉची मानदंड के अनुसार तीसरा पद शून्य हो जाता है ${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$. शेष राशि परिबद्ध है

$$\sum _{n=N}^{M-1}|B_{n}||a_{n+1}-a_{n}|\leq B\sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|=B|a_{N}-a_{M}|$$

की एकरसता से $a_{n}$, और शून्य पर भी चला जाता है $N\to \infty$.

ऊपर बताए गए प्रमाण का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि यदि

1. आंशिक रकम $B_{N}$ स्वतंत्र रूप से एक बंधा हुआ अनुक्रम बनाएं $N$;
2. $\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|<\infty$ (जिससे कि योग $\sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|$ के रूप में शून्य हो जाता है $N$ अनंत तक जाता है)
3. $\lim a_{n}=0$

तब ${\textstyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$ जुटता है.

दोनों ही स्थितियोंमें, श्रृंखला का योग संतुष्ट करता है:

$$|S|=\left|\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}\right|\leq B\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|.$$

उच्च क्रम परिमित अंतर विधियों के लिए योग-दर-भाग ऑपरेटर
एक योग-दर-भाग (एसबीपी) परिमित अंतर ऑपरेटर पारंपरिक रूप से एक केंद्रित अंतर आंतरिक योजना और विशिष्ट सीमा स्टेंसिल से बना होता है जो संबंधित एकीकरण-दर-भाग फॉर्मूलेशन के व्यवहार की नकल करता है। सीमा शर्तें सामान्यतः एक साथ-सन्निकटन-अवधि (SAT) तकनीक द्वारा लगाई जाती हैं। एसबीपी-एसएटी का संयोजन सीमा उपचार के लिए एक शक्तिशाली ढांचा है। लंबे समय तक सिमुलेशन के लिए अच्छी तरह से सिद्ध स्थिरता और त्रुटिहीनता के उच्च क्रम के लिए विधि को प्राथमिकता दी जाती है।

यह भी देखें

• अभिसारी श्रृंखला
• अपसारी श्रृंखला
• भागों द्वारा एकीकरण
• सिजेरो सारांश
• हाबिल का प्रमेय
• हाबिल का योग सूत्र

संदर्भ

ग्रन्थसूची

• Abel, Niels Henrik (1826). "Untersuchungen über die Reihe $1+{\frac {m}{x}}+{\frac {m\cdot (m-1)}{2\cdot 1}}x^{2}+{\frac {m\cdot (m-1)\cdot (m-2)}{3\cdot 2\cdot 1}}x^{3}+\ldots$ u.s.w.". J. Reine Angew. Math. 1: 311–339.