गतिशील बिलियर्ड्स

प्रसिद्ध अराजक बिलियर्ड बनीमोविच स्टेडियम के अंदर घूमता एक कण। ऐसा एनिमेशन बनाने के लिए #Software अनुभाग देखें।

गतिशील बिलियर्ड गतिशील प्रणाली होती है जिसमें कण सीमा से मुक्त गति (सामान्यतः सरल रेखा के रूप में) और स्पेक्युलर प्रतिबिंब के मध्य वैकल्पिक होता है। जब कण सीमा का प्रतिरोध करता है तो यह बिना गति की हानि के (अर्थात् प्रत्यास्थ संघट्ट) उससे परावर्तित हो जाता है। बिलियर्ड्स क्रीड़ा के हैमिल्टनियन आदर्शीकरण हैं, किन्तु सीमा द्वारा समाहित क्षेत्र में आयताकार के अतिरिक्त अन्य आकार भी हो सकते हैं जिनमें बहुआयामी भी सम्मिलित हैं। गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर गतिशील बिलियर्ड्स का भी अध्ययन किया जा सकता है; वास्तव में, बिलियर्ड्स के प्रथम अध्ययन ने निरंतर नकारात्मक वक्रता की सतह (गणित) पर अपने एर्गोडिक सिद्धांत को स्थापित किया था। ऐसे बिलियर्ड्स का अध्ययन जो किसी क्षेत्र में रखे जाने के अतिरिक्त क्षेत्र से बाहर रखे जाते हैं उन्हें बाह्य बिलियर्ड सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।

बिलियर्ड में कण की गति सीमा के साथ परावर्तन के मध्य स्थिर ऊर्जा वाली सरल रेखा होती है (यदि बिलियर्ड टेबल की रिमेंनियन मीट्रिक समतल नहीं है तो यह जियोडेसिक होगी)। सभी परावर्तन (भौतिकी) स्पेक्युलर परावर्तन होते हैं: संघट्‍टन से पूर्व आपतन कोण (ऑप्टिक्स) संघट्‍टन के पश्चात परावर्तन के कोण के समान होता है। प्रतिबिंबों के क्रम को बिलियर्ड मानचित्र द्वारा वर्णित किया गया है जो कण की गति को पूर्ण रूप से दर्शाता है।

बिलियर्ड्स अपने पोनकारे मानचित्र को निर्धारित करने के लिए गति के समीकरणों को एकीकृत करने की कठिनाइयों के बिना, एकीकृत प्रणाली से अराजकता सिद्धांत तक हैमिल्टनियन प्रणालियों की सभी जटिलताओं को पकड़ते हैं। जॉर्ज डेविड बिरखॉफ ने दर्शाया कि दीर्घवृत्त तालिका के साथ बिलियर्ड प्रणाली पूर्णांकीय है।

गति के समीकरण

सतह पर घर्षण के बिना स्वतंत्र रूप से गतिमान द्रव्यमान m के कण के लिए हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) है:

$H(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q)$

कहाँ $V(q)$ क्षेत्र के अंदर शून्य होने के लिए डिज़ाइन की गई क्षमता है $\Omega$ जिसमें कण गति कर सकता है, अन्यथा अनंत:

$V(q)={\begin{cases}0&q\in \Omega \\\infty &q\notin \Omega \end{cases}}$

क्षमता का यह रूप सीमा पर एक विशिष्ट प्रतिबिंब की गारंटी देता है। गतिज शब्द यह गारंटी देता है कि कण ऊर्जा में किसी भी परिवर्तन के बिना एक सीधी रेखा में चलता है। यदि कण को ​​गैर-यूक्लिडियन कई गुना पर चलना है, तो हैमिल्टनियन को इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

$H(p,q)={\frac {1}{2m}}p^{i}p^{j}g_{ij}(q)+V(q)$

कहाँ $g_{ij}(q)$ बिंदु पर मीट्रिक टेंसर है $q\;\in \;\Omega$. इस हेमिल्टनियन की बहुत ही सरल संरचना के कारण, कण के लिए गति के समीकरण, हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण, मैनिफोल्ड पर जियोडेसिक समीकरणों के अलावा और कुछ नहीं हैं: कण जियोडेसिक्स के साथ चलता है।

उल्लेखनीय बिलियर्ड्स और बिलियर्ड कक्षाएं

हैडमर्ड के बिलियर्ड्स

Main article: Hadamard's dynamical system

हैडमार्ड के बिलियर्ड्स निरंतर नकारात्मक वक्रता की सतह पर एक मुक्त बिंदु कण की गति से संबंधित हैं, विशेष रूप से, नकारात्मक वक्रता के साथ सबसे सरल कॉम्पैक्ट रीमैन सतह, जीनस 2 की सतह (एक दो छेद वाला डोनट)। मॉडल बिल्कुल हल करने योग्य है, और सतह पर जियोडेसिक प्रवाह द्वारा दिया जाता है। 1898 में जैक्स हैडमार्ड द्वारा पेश किए जाने के बाद, यह कभी भी अध्ययन किए गए नियतात्मक अराजकता का सबसे पहला उदाहरण है।

आर्टिन के बिलियर्ड्स

Main article: Artin billiard

आर्टिन का बिलियर्ड निरंतर नकारात्मक वक्रता की सतह पर एक बिंदु कण की मुक्त गति पर विचार करता है, विशेष रूप से, सबसे सरल गैर-कॉम्पैक्ट रीमैन सतह, एक पुच्छल सतह। यह बिल्कुल हल करने योग्य होने के लिए उल्लेखनीय है, और फिर भी न केवल एर्गोडिक बल्कि मिश्रण (गणित) भी है। यह एनोसोव प्रवाह का एक उदाहरण है। इस प्रणाली का सर्वप्रथम अध्ययन एमिल आर्टिन ने 1924 में किया था।

डिस्पर्सिंग और सेमी-डिस्पर्सिंग बिलियर्ड्स

एम को सीमा के बिना पूर्ण चिकनी रीमैनियन कई गुना होने दें, अधिकतम अनुभागीय वक्रता के से अधिक नहीं है और रीमैनियन और मीट्रिक ज्यामिति की शब्दावली के साथ $\rho >0$. भूगर्भीय रूप से उत्तल सेट उपसमुच्चय (दीवारें) के संग्रह पर विचार करें $B_{i}\subset M$, $i=1,\ldots ,n$, जैसे कि उनकी सीमाएं कोडिमेंशन एक की चिकनी सबमैनीफोल्ड हैं। होने देना

$B=M\ (\bigcup _{i=1}^{n}\operatorname {Int} (B_{i}))$, कहाँ $\operatorname {Int} (B_{i})$ सेट के इंटीरियर को दर्शाता है $B_{i}$. सेट $B\subset M$ बिलियर्ड टेबल कहा जाएगा।

अब एक कण पर विचार करें जो सेट बी के भीतर एक जियोडेसिक के साथ इकाई गति के साथ चलता है यह सेट बी में से एक तक पहुंचता है_i (ऐसी घटना को टकराव कहा जाता है) जहां यह कानून के अनुसार प्रतिबिंबित होता है "घटना का कोण प्रतिबिंब के कोण के बराबर होता है" (यदि यह सेट में से एक तक पहुंचता है) $B_{i}\cap B_{j}$ , $i\neq j$, प्रक्षेपवक्र उस क्षण के बाद परिभाषित नहीं है)। ऐसी गतिशील प्रणाली को अर्ध-फैलाने वाला बिलियर्ड कहा जाता है। यदि दीवारें सख्ती से उत्तल हैं, तो बिलियर्ड को डिस्पर्सिंग कहा जाता है। नामकरण अवलोकन से प्रेरित है कि एक दीवार के सख्ती से उत्तल भाग के साथ टकराव के बाद प्रक्षेपवक्र के स्थानीय समानांतर बीम फैलते हैं, किन्तु दीवार के एक फ्लैट खंड के साथ टकराव के बाद स्थानीय रूप से समानांतर रहते हैं।

डिस्पर्सिंग बाउंड्री बिलियर्ड्स के लिए वही भूमिका निभाती है जो नकारात्मक वक्रता जियोडेसिक के लिए करती है क्योंकि हैमिल्टनियन प्रवाह गतिकी की घातीय अस्थिरता का कारण बनता है। ठीक यही फैलाव तंत्र है जो बिखरने वाले बिलियर्ड्स को उनके सबसे मजबूत कैओस सिद्धांत गुण देता है, जैसा कि याकोव जी. सिनाई द्वारा स्थापित किया गया था। अर्थात्, बिलियर्ड्स ergodicity, मिक्सिंग (गणित), बर्नौली स्कीम हैं, जिसमें एक सकारात्मक कोलमोगोरोव-सिनाई एन्ट्रापी और सहसंबंधों का एक घातीय क्षय है।

सामान्य सेमी-डिस्पर्सिंग बिलियर्ड्स के अराजक गुणों को अच्छी तरह से नहीं समझा जाता है, हालांकि, एक महत्वपूर्ण प्रकार के सेमी-डिस्पर्सिंग बिलियर्ड्स, हार्ड बॉल गैस का 1975 से कुछ विवरणों में अध्ययन किया गया था (अगला खंड देखें)।

दिमित्री बुरागो और सर्ज फेरलेगर के सामान्य परिणाम गैर-पतित अर्ध-फैलाने वाले बिलियर्ड्स में टकरावों की संख्या पर एकसमान अनुमान से इसकी टोपोलॉजिकल एन्ट्रापी की परिमितता स्थापित करने की अनुमति मिलती है और आवधिक प्रक्षेपवक्रों की घातीय वृद्धि से अधिक नहीं। इसके विपरीत, पतित अर्ध-फैलाने वाले बिलियर्ड्स में अनंत टोपोलॉजिकल एन्ट्रापी हो सकती है।

लॉरेंज गैस उर्फ ​​सिनाव बिलियर्ड्स

सिनाई बिलियर्ड के अंदर घूमता एक कण, जिसे लोरेंत्ज़ गैस भी कहा जाता है।

लोरेंत्ज़ गैस (सिनाई बिलियर्ड के रूप में भी जाना जाता है) की तालिका एक वर्ग है जिसके केंद्र से एक डिस्क हटा दी गई है; तालिका समतल है, जिसमें कोई वक्रता नहीं है। बिलियर्ड एक वर्ग के अंदर उछलती हुई दो परस्पर क्रिया करने वाली डिस्क के व्यवहार का अध्ययन करने से उत्पन्न होता है, जो वर्ग की सीमाओं और एक दूसरे से दूर परावर्तित होती है। कॉन्फ़िगरेशन चर के रूप में द्रव्यमान के केंद्र को समाप्त करके, दो इंटरेक्टिंग डिस्क की गतिशीलता सिनाई बिलियर्ड में गतिशीलता को कम कर देती है।

बिलियर्ड को याकोव जी. सिनाई द्वारा एक अंतःक्रियात्मक हैमिल्टनियन प्रणाली के एक उदाहरण के रूप में पेश किया गया था जो भौतिक थर्मोडायनामिक गुणों को प्रदर्शित करता है: इसके संभावित ट्रैजेक्टोरियों के लगभग सभी (माप शून्य तक) एर्गोडिक हैं और इसमें एक सकारात्मक लाइपुनोव प्रतिपादक है।

इस मॉडल के साथ सिनाई की महान उपलब्धि यह दिखाना था कि एक आदर्श गैस के लिए शास्त्रीय कैननिकल पहनावा | बोल्ट्जमैन-गिब्स पहनावा अनिवार्य रूप से अधिकतम अराजक हैडमार्ड बिलियर्ड्स है।

बनीमोविच स्टेडियम

बनीमोविच स्टेडियम नामक तालिका अर्धवृत्त द्वारा छाया हुआ एक आयत है, एक आकृति जिसे स्टेडियम (ज्यामिति) कहा जाता है। जब तक इसे लियोनिद बनीमोविच द्वारा पेश नहीं किया गया था, सकारात्मक लाइपुनोव प्रतिपादकों वाले बिलियर्ड्स को कक्षाओं के घातीय विचलन उत्पन्न करने के लिए उत्तल स्कैटर की आवश्यकता होती थी, जैसे कि सिनाई बिलियर्ड में डिस्क। बनीमोविच ने दिखाया कि एक अवतल क्षेत्र के फोकस बिंदु से परे कक्षाओं पर विचार करके घातीय विचलन प्राप्त करना संभव था।

चुंबकीय बिलियर्ड्स

लंबवत चुंबकीय क्षेत्र के साथ एक सिनाई बिलियर्ड के अंदर आवेशित कण का संचलन।

चुंबकीय बिलियर्ड्स बिलियर्ड्स का प्रतिनिधित्व करते हैं जहां एक आवेशित कण लंबवत चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में प्रचार कर रहा है। नतीजतन, कण प्रक्षेपवक्र एक सीधी रेखा से एक वृत्त के चाप में बदल जाता है। इस वृत्त की त्रिज्या चुंबकीय क्षेत्र की शक्ति के व्युत्क्रमानुपाती होती है। इस तरह के बिलियर्ड्स बिलियर्ड्स के वास्तविक विश्व अनुप्रयोगों में उपयोगी रहे हैं, सामान्यतः नैनोटेक्नोलॉजी मॉडलिंग करते हैं (अनुप्रयोग देखें)।

सामान्यीकृत बिलियर्ड्स

सामान्यीकृत बिलियर्ड्स (जीबी) एक बंद डोमेन के अंदर द्रव्यमान बिंदु (एक कण) की गति का वर्णन करता है $\Pi \,\subset \,\mathbb {R} ^{n}$ टुकड़ा-वार चिकनी सीमा के साथ $\Gamma$. सीमा पर $\Gamma$ बिंदु के वेग को सामान्यीकृत बिलियर्ड कानून की कार्रवाई के तहत कण के रूप में रूपांतरित किया जाता है। जीबी को लेव डी. पुस्टिल'निकोव द्वारा सामान्य मामले में पेश किया गया था, और, मामले में जब $\Pi$ एक समानांतर चतुर्भुज है ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम के औचित्य के संबंध में। भौतिक दृष्टिकोण से, जीबी एक गैस का वर्णन करता है जिसमें बहुत से कण एक बर्तन में चलते हैं, जबकि बर्तन की दीवारें गर्म या ठंडी होती हैं। सामान्यीकरण का सार निम्नलिखित है। जैसे ही कण सीमा से टकराता है $\Gamma$, इसका वेग किसी दिए गए फ़ंक्शन की सहायता से रूपांतरित होता है $f(\gamma ,\,t)$, प्रत्यक्ष उत्पाद पर परिभाषित $\Gamma \,\times \,\mathbb {R} ^{1}$ (कहाँ $\mathbb {R} ^{1}$ असली रेखा है, $\gamma \,\in \,\Gamma$ सीमा का एक बिंदु है और $t\,\in \,\mathbb {R} ^{1}$ समय है), निम्नलिखित कानून के अनुसार। मान लीजिए कि कण का प्रक्षेपवक्र, जो वेग से चलता है $v$, प्रतिच्छेद करता है $\Gamma$ बिंदु पर $\gamma \,\in \,\Gamma$ समय पर $t^{*}$. फिर समय पर $t^{*}$ कण वेग प्राप्त कर लेता है $v^{*}$, जैसे कि यह असीम रूप से भारी विमान से एक लोचदार धक्का लगा हो $\Gamma ^{*}$, जो स्पर्शरेखा है $\Gamma$ बिंदु पर $\gamma$, और समय पर $t^{*}$ की ओर सामान्य की ओर बढ़ता है $\Gamma$ पर $\gamma$ वेग के साथ $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(\gamma ,\,t^{*})$. हम इस बात पर बल देते हैं कि सीमा की स्थिति स्वयं नियत है, जबकि कण पर इसकी क्रिया को फलन द्वारा परिभाषित किया जाता है $f$.

हम विमान की गति की सकारात्मक दिशा लेते हैं $\Gamma ^{*}$ के भीतरी भाग की ओर होना $\Pi$. इस प्रकार यदि व्युत्पन्न $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(\gamma ,\,t)\;>\;0$, फिर कण प्रभाव के बाद तेज हो जाता है।

यदि वेग $v^{*}$उपरोक्त प्रतिबिंब कानून के परिणाम के रूप में कण द्वारा अधिग्रहित, डोमेन के इंटीरियर को निर्देशित किया जाता है $\Pi$, तब कण सीमा को छोड़ देगा और अंदर जाना जारी रखेगा $\Pi$ के साथ अगली टक्कर तक $\Gamma$. यदि वेग $v^{*}$ के बाहर की ओर निर्देशित है $\Pi$, तब कण चालू रहता है $\Gamma$ बिंदु पर $\gamma$ कुछ समय तक ${\tilde {t}}\;>\;t^{*}$ सीमा के साथ अंतःक्रिया कण को ​​छोड़ने के लिए बाध्य करेगी।

यदि समारोह $f(\gamma ,\,t)$ समय पर निर्भर नहीं करता $t$; अर्थात।, $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}\;=\;0$, सामान्यीकृत बिलियर्ड शास्त्रीय के साथ मेल खाता है।

यह सामान्यीकृत प्रतिबिंब कानून बहुत स्वाभाविक है। सबसे पहले, यह एक स्पष्ट तथ्य को दर्शाता है कि गैस वाले बर्तन की दीवारें गतिहीन हैं। दूसरा कण पर दीवार की क्रिया अभी भी शास्त्रीय लोचदार धक्का है। संक्षेप में, हम दिए गए वेगों के साथ असीम रूप से गतिमान सीमाओं पर विचार करते हैं।

इसे सीमा से प्रतिबिंब माना जाता है $\Gamma$ दोनों शास्त्रीय यांत्रिकी (न्यूटोनियन केस) और सापेक्षता के सिद्धांत (सापेक्षतावादी मामले) के ढांचे में।

मुख्य परिणाम: न्यूटोनियन मामले में कण की ऊर्जा परिबद्ध है, गिब्स एंट्रॉपी एक स्थिर है, (नोट्स में) और सापेक्षिक मामले में कण की ऊर्जा, गिब्स एंट्रॉपी, चरण मात्रा के संबंध में एंट्रॉपी अनंत तक बढ़ती है,(नोट्स में), सामान्यीकृत बिलियर्ड्स के संदर्भ।

क्वांटम अराजकता

बिलियर्ड्स के क्वांटम संस्करण का कई तरह से आसानी से अध्ययन किया जाता है। ऊपर दिए गए बिलियर्ड्स के शास्त्रीय हैमिल्टनियन को स्थिर-राज्य श्रोडिंगर समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है $H\psi \;=\;E\psi$ या, अधिक सटीक,

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi _{n}(q)=E_{n}\psi _{n}(q)$

कहाँ $\nabla ^{2}$ लाप्लासियन है। क्षमता जो क्षेत्र के बाहर अनंत है $\Omega$ किन्तु इसके अंदर शून्य डिरिचलेट सीमा स्थितियों में अनुवाद करता है:

$\psi _{n}(q)=0\quad {\mbox{for}}\quad q\notin \Omega$

हमेशा की तरह, वेवफंक्शन को ऑर्थोनॉर्मल माना जाता है:

$\int _{\Omega }{\overline {\psi _{m}}}(q)\psi _{n}(q)\,dq=\delta _{mn}$

विचित्र रूप से, फ्री-फील्ड श्रोडिंगर समीकरण हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के समान है,

$\left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi =0$

साथ

$k^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}2mE_{n}$

इसका तात्पर्य है कि दो और तीन आयामी क्वांटम बिलियर्ड्स को किसी दिए गए आकार के रडार गुहा के शास्त्रीय अनुनाद मोड द्वारा तैयार किया जा सकता है, इस प्रकार प्रायोगिक सत्यापन के लिए एक द्वार खोल सकता है। (रडार कैविटी मोड का अध्ययन अनुप्रस्थ चुंबकीय (टीएम) मोड तक सीमित होना चाहिए, क्योंकि ये डिरिचलेट सीमा शर्तों का पालन करने वाले हैं)।

अर्ध-शास्त्रीय सीमा से मेल खाती है $\hbar \;\to \;0$ जिसके बराबर देखा जा सकता है $m\;\to \;\infty$, द्रव्यमान इतना बढ़ रहा है कि यह शास्त्रीय रूप से व्यवहार करता है।

एक सामान्य कथन के रूप में, कोई यह कह सकता है कि जब भी गति के शास्त्रीय समीकरण पूर्णांक (जैसे आयताकार या गोलाकार बिलियर्ड टेबल) होते हैं, तो बिलियर्ड्स का क्वांटम-यांत्रिक संस्करण पूरी तरह से हल करने योग्य होता है। जब शास्त्रीय प्रणाली अस्त-व्यस्त होती है, तो क्वांटम प्रणाली सामान्यतः पूरी तरह से हल करने योग्य नहीं होती है, और इसके परिमाणीकरण और मूल्यांकन में कई कठिनाइयाँ पेश करती हैं। अराजक क्वांटम सिस्टम का सामान्य अध्ययन क्वांटम अराजकता के रूप में जाना जाता है।

तथाकथित क्वांटम मृगतृष्णा के अवलोकन द्वारा एक अण्डाकार मेज पर निशान का एक विशेष रूप से हड़ताली उदाहरण दिया गया है।

अनुप्रयोग

बिलियर्ड्स, दोनों क्वांटम और शास्त्रीय, भौतिकी के कई क्षेत्रों में काफी विविध वास्तविक दुनिया प्रणालियों को मॉडल करने के लिए लागू किए गए हैं। उदाहरणों में शामिल हैं ज्यामितीय प्रकाशिकी|किरण-प्रकाशिकी, लेज़र, ध्वनिकी, ऑप्टिकल फाइबर (जैसे डबल-क्लैड फाइबर ), या क्वांटम-शास्त्रीय पत्राचार। उनके सबसे लगातार अनुप्रयोगों में से एक है नैनो उपकरणों के अंदर गतिमान कणों का मॉडल बनाना, उदाहरण के लिए क्वांटम डॉट्स, पी-एन जंक्शन | पीएन-जंक्शन, एंटीडॉट सुपरलैटिस, दूसरों के मध्य में। भौतिक मॉडल के रूप में बिलियर्ड्स की इस व्यापक रूप से फैली हुई प्रभावशीलता का कारण इस तथ्य पर निर्भर करता है कि कम मात्रा में विकार या शोर के साथ स्थितियों में, उदाहरण के लिए आंदोलन। इलेक्ट्रॉन, या प्रकाश किरण जैसे कण, बिलियर्ड्स में बिंदु-कणों की गति के समान हैं। इसके अलावा, कण टकरावों की ऊर्जा संरक्षण प्रकृति हैमिल्टनियन यांत्रिकी के ऊर्जा संरक्षण का प्रत्यक्ष प्रतिबिंब है।

सॉफ्टवेयर

विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं के लिए बिलियर्ड्स का अनुकरण करने के लिए ओपन सोर्स सॉफ़्टवेयर मौजूद है। सबसे नए से पुराने तक, मौजूदा सॉफ़्टवेयर हैं: DynamicalBilliards.jl (जूलिया), pii/S0010465515003744?via%3Dihub Bill2D (C++) और Billiard Simulator (Matlab)। इस पृष्ठ पर मौजूद एनिमेशन DynamicalBilliards.jl के साथ किए गए थे।

यह भी देखें

• फर्मी-उलम मॉडल (दोलन दीवारों के साथ बिलियर्ड्स)
• ल्यूबचेवस्की-स्टिलिंगर कम्प्रेशन एल्गोरिथम आकार में वृद्धि के दौरान न केवल सीमाओं के साथ बल्कि आपस में टकराते हुए कठिन क्षेत्रों का अनुकरण करता है
• अंकगणित बिलियर्ड्स
• रोशनी की समस्या

संदर्भ

सिनाई के बिलियर्ड्स

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अजीब बिलियर्ड्स

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बनीमोविच स्टेडियम

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• फ्लैश एनीमेशन अराजक बनीमोविच स्टेडियम को दिखाता है

सामान्यीकृत बिलियर्ड्स

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• एम.वी. डेरयाबिन और एल.डी. पुस्टिल'निकोव, सामान्यीकृत सापेक्षवादी बिलियर्ड्स में घातीय आकर्षणकर्ता, कॉम। गणित। भौतिक। 248(3), पीपी. 527–552 (2004).

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Billiards". MathWorld.
• Scholarpedia entry on Dynamical Billiards (Leonid Bunimovich)
• Introduction to dynamical systems using billiards, Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems