होलोनोमिक आधार: Difference between revisions
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गणित और [[गणितीय भौतिकी]] में, अलग-अलग गुणनफल के लिए एक समन्वय आधार या होलोनोमिक आधार {{math|''M''}} [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] [[वेक्टर फ़ील्ड|सदिश क्षेत्र]] {{math|{'''e'''{{sub|1}}, ..., '''e'''{{sub|''n''}}}{{null}}}} का एक सम्मुच्चय बहुविध के एक क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु P पर परिभाषित किया गया है | गणित और [[गणितीय भौतिकी]] में, अलग-अलग गुणनफल के लिए एक समन्वय आधार या होलोनोमिक आधार {{math|''M''}} [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] [[वेक्टर फ़ील्ड|सदिश क्षेत्र]] {{math|{'''e'''{{sub|1}}, ..., '''e'''{{sub|''n''}}}{{null}}}} का एक सम्मुच्चय बहुविध के एक क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु P पर परिभाषित किया गया है | ||
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एक आधार जो होलोनोमिक नहीं है उसे एनहोलोनोमिक कहा जाता | एक आधार जो होलोनोमिक नहीं है उसे एनहोलोनोमिक गैर-होलोनोमिक या गैर-समन्वय आधार कहा जाता है। {{refn|{{citation |authors=Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler |year=1970 |title=Gravitation |page=210 }}}} | ||
एक | मैनिफोल्ड m पर एक मापीय प्रदिश g को देखते हुए, सामान्यतः एक समन्वय आधार ढूंढना संभव नहीं है जो m के किसी भी खुले क्षेत्र u में लम्बवत होता है। {{refn|{{citation |author=Bernard F. Schutz |year=1980 |title=Geometrical Methods of Mathematical Physics |publisher=[[Cambridge University Press]] |pages=47–49 |isbn=9780521298872 }}}} एक स्पष्ट अपवाद तब होता है जब m वास्तविक समन्वय स्थान {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} को मैनिफोल्ड के रूप में माना जाता है जिसमें g हर बिंदु पर यूक्लिडियन मापीय {{math|''δ''{{sub|''ij'' }}'''e'''{{sup|''i''}} ⊗ '''e'''{{i sup|''j''}}}} होता है। | ||
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Revision as of 10:39, 9 July 2023
गणित और गणितीय भौतिकी में, अलग-अलग गुणनफल के लिए एक समन्वय आधार या होलोनोमिक आधार M आधार (रैखिक बीजगणित) सदिश क्षेत्र {e1, ..., en} का एक सम्मुच्चय बहुविध के एक क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु P पर परिभाषित किया गया है
जहां δs बिंदु P और निकटवर्ती बिंदु Q के बीच विस्थापन सदिश है जिसका P से समन्वय पृथक्करण समन्वय वक्र xα के अनुदिश δxα है (अर्थात बहुविध पर वक्र P जिसके लिए स्थानीय समन्वय प्रणाली xα बदलता रहता है और अन्य सभी निर्देशांक स्थिर रहते हैं)। [1]
ऐसे आधार और दिशात्मक व्युत्पन्न संचालक के बीच संबंध बनाना संभव है। स्पर्शरेखा सदिश u = uαeα के साथ xα(λ) द्वारा परिभाषित मैनिफोल्ड पर एक पैरामीटरयुक्त वक्र C को देखते हुए, जहां uα = dxα/dλ, और C के प्रतिवैस में परिभाषित एक फलन f(xα) है, C के साथ f की भिन्नता लिखी जा सकती है जैसे
चूंकि हमारे पास u = uαeα है, पहचान अक्सर eα और आंशिक व्युत्पन्न संचालक ∂/∂xα समन्वय आधार सदिश के बीच सदिश की व्याख्या के अंतर्गत कार्यों पर कार्य करने वाले संचालक के रूप में की जाती है। [2]
{e1, ..., en} आधार के लिए एक स्थानीय परिस्थिति होलोनोमिक होने का अर्थ यह है कि सभी पारस्परिक लाइ व्युत्पन्न विलुप्त हो जाते हैं: [3]
एक आधार जो होलोनोमिक नहीं है उसे एनहोलोनोमिक गैर-होलोनोमिक या गैर-समन्वय आधार कहा जाता है। [4]
मैनिफोल्ड m पर एक मापीय प्रदिश g को देखते हुए, सामान्यतः एक समन्वय आधार ढूंढना संभव नहीं है जो m के किसी भी खुले क्षेत्र u में लम्बवत होता है। [5] एक स्पष्ट अपवाद तब होता है जब m वास्तविक समन्वय स्थान Rn को मैनिफोल्ड के रूप में माना जाता है जिसमें g हर बिंदु पर यूक्लिडियन मापीय δij ei ⊗ ej होता है।
संदर्भ
- ↑ M. P. Hobson; G. P. Efstathiou; A. N. Lasenby (2006), General Relativity: An Introduction for Physicists, Cambridge University Press, p. 57
- ↑ T. Padmanabhan (2010), Gravitation: Foundations and Frontiers, Cambridge University Press, p. 25
- ↑ Roger Penrose; Wolfgang Rindler, Spinors and Space–Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields, Cambridge University Press, pp. 197–199
- ↑ Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1970), Gravitation, p. 210
{{citation}}: CS1 maint: uses authors parameter (link) - ↑ Bernard F. Schutz (1980), Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridge University Press, pp. 47–49, ISBN 9780521298872
यह भी देखें
श्रेणी:विभेदक ज्यामिति श्रेणी:गणितीय भौतिकी
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