वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा: Difference between revisions

Revision as of 10:56, 10 July 2023

वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा को प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है, जिसमें अनंत पर एक बिंदु के साथ वास्तविक रेखा सम्मिलित होती है; यानी, R का एक-बिंदु संघनन है।

ज्यामिति में, एक वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा वास्तविक संख्याओं के ऊपर एक प्रक्षेप्य रेखा होती है। यह एक रेखा (ज्यामिति) की सामान्य अवधारणा का विस्तार है जिसे ऐतिहासिक रूप से दृश्य परिप्रेक्ष्य (दृश्य) द्वारा निर्धारित समस्या को हल करने के लिए प्रस्तुत किया गया है: दो समानांतर रेखाएं प्रतिच्छेद नहीं करती हैं बल्कि अनंत पर प्रतिच्छेद करती प्रतीत होती हैं। इस समस्या को हल करने के लिए, अनंत पर बिंदुओं को इस तरह से प्रस्तुत किया गया है कि एक वास्तविक प्रक्षेप्य तल में, दो अलग-अलग प्रक्षेप्य रेखाएं बिल्कुल एक बिंदु पर मिलती हैं। अनंत पर इन बिंदुओं का सम्मुच्चय, समतल में दृश्य परिप्रेक्ष्य का क्षितिज, एक वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा है। यह किसी भी बिंदु पर स्थित पर्यवेक्षक से निकलने वाली दिशाओं का समूह है, जिसमें विपरीत दिशाओं की पहचान की जाती है।

वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा का एक उदाहरण प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा है, जिसे प्रायः द प्रक्षेप्य रेखा कहा जाता है।

औपचारिक रूप से, एक वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा P(R) को वास्तविकताओं पर द्वि-आयामी सदिश स्थान के सभी एक-आयामी रैखिक उप-स्थानों के सम्मुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है। वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा की स्वचालितता को प्रक्षेप्य परिवर्तन, होमोग्राफी, या रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तन कहा जाता है। वे प्रक्षेप्य रैखिक समूह पीजीएल (2, आर) बनाते हैं। पीजीएल (2, आर) के प्रत्येक तत्व को एक गैर-एकवचन आव्यूह 2×2 वास्तविक आव्यूह द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, और दो आव्यूह पीजीएल (2, आर) के एक ही तत्व को परिभाषित करते हैं यदि एक दूसरे का उत्पाद है और एक गैर-शून्य वास्तविक संख्या है।

स्थलाकृतिक रूप से, वास्तविक प्रक्षेप्य रेखाएं वृत्तों के समरूप होती हैं। वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा का जटिल समधर्मी एक जटिल प्रक्षेप्य रेखा है, जिसे रीमैन क्षेत्र भी कहा जाता है।

परिभाषा

वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा के बिंदुओं को सामान्यतः समतुल्य संबंध के समतुल्य वर्गों के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रारंभिक बिंदु आयाम 2, V का एक वास्तविक सदिश स्थान है। $V ∖ 0$ पर द्विआधारी संबंध $v ~ w$ को परिभाषित करें जिसे तब धारण किया जा सके जब कोई शून्येतर वास्तविक संख्या t उपस्थित हो जैसे कि $v = t w$ है। सदिश समष्टि की परिभाषा से लगभग तुरंत ही पता चलता है कि यह एक तुल्यता संबंध है। तुल्यता वर्ग वे सदिश रेखाएँ हैं जिनसे शून्य सदिश हटा दिया गया है। वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा $P (V)$ सभी समतुल्य वर्गों का समुच्चय है। प्रत्येक समतुल्य वर्ग को एक एकल बिंदु माना जाता है, या, दूसरे शब्दों में, एक बिंदु को एक समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है।

यदि कोई $V$ का आधार चुनता है, तो यह (इसके समन्वय सदिश के साथ एक सदिश की पहचान करके) $V$ को प्रत्यक्ष उत्पाद $R \times R = R 2$ के साथ पहचानने के लिए होता है, और समतुल्य संबंध $(x, y) ~ (w, z)$ बन जाता है यदि एक शून्येतर वास्तविक संख्या $t$ का अस्तित्व इस प्रकार है कि $(x, y) = (tw, tz)$ । इस स्तिथि में, प्रक्षेप्य रेखा $P (R 2)$ को अधिमानतः $P 1 (R)$ या $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{1}$ दर्शाया गया है।

युग्म का तुल्यता वर्ग $(x, y)$ पारंपरिक रूप से $[x : y]$ दर्शाया गया है, संकेतन में कोलन यह याद दिलाता है कि, यदि $y \neq 0$ , अनुपात $x : y$ समतुल्य वर्ग के सभी तत्वों के लिए समान है। यदि कोई बिंदु P तुल्यता वर्ग [x: y] है तो कोई कहता है कि (x, y) P के प्रक्षेप्य निर्देशांक की एक जोड़ी है। ^[1]

जैसा कि $P (V)$ को एक तुल्यता संबंध के माध्यम से परिभाषित किया गया है, V से $P (V)$ तक विहित प्रक्षेपण एक सांस्थिति (भागफल सांस्थिति) और प्रक्षेप्य रेखा पर एक विभेदक संरचना को परिभाषित करता है। हालाँकि, यह तथ्य कि तुल्यता वर्ग परिमित नहीं हैं, विभेदक संरचना को परिभाषित करने में कुछ कठिनाइयाँ उत्पन्न करता है। इन्हें $V$ को यूक्लिडियन सदिश समष्टि मानकर हल किया जाता है। इकाई सदिशों का वृत्त, $R 2$ की स्तिथि में, उन सदिशों का समुच्चय है जिनके निर्देशांक $x 2 + y 2 = 1$ को संतुष्ट करते हैं। यह वृत्त प्रत्येक तुल्यता वर्ग को बिल्कुल दो विपरीत बिंदुओं पर काटता है। इसलिए, समतुल्य संबंध द्वारा प्रक्षेप्य रेखा को वृत्त $v ~ w$ का भागफल स्थान माना जा सकता है यदि और केवल यदि दोनों में से कोई एक $v = w$ या $v = - w$ है।

तालिका

प्रक्षेप्य रेखा अनेक गुना है। इसे उपरोक्त निर्माण द्वारा एक तुल्यता संबंध के माध्यम से देखा जा सकता है, लेकिन दो तालिका (सांस्थिति) से युक्त एटलस (सांस्थिति) प्रदान करके समझना आसान है।

तालिका #1: $y\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {x}{y}}$
तालिका #2: $x\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {y}{x}}$

तुल्यता संबंध प्रदान करता है कि तुल्यता वर्ग के सभी प्रतिनिधियों को एक तालिका द्वारा एक ही वास्तविक संख्या में भेजा जाता है।

x या y में से कोई भी शून्य हो सकता है, लेकिन दोनों नहीं, इसलिए प्रक्षेप्य रेखा को कवर करने के लिए दोनों तालिका की आवश्यकता होती है। इन दो तालिका के बीच संक्रमण मानचित्र गुणात्मक व्युत्क्रम है। चूंकि यह एक विभेदक कार्य है, और यहां तक कि एक विश्लेषणात्मक कार्य भी है (शून्य के बाहर), वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा एक विभेदक बहुविध और एक विश्लेषणात्मक बहुविध दोनों है।

तालिका #1 का उलटा कार्य मानचित्र है

x\mapsto [x:1].

यह वास्तविक रेखा को प्रक्षेप्य रेखा में अंतःस्थापन करने को परिभाषित करता है, जिसकी छवि का पूरक बिंदु $[1: 0]$ है। इस अंतःस्थापन और प्रक्षेप्य रेखा से युक्त जोड़ी को प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा कहा जाता है। इस अंतःस्थापन द्वारा वास्तविक रेखा को उसकी छवि के साथ पहचानने से, कोई यह देख सकता है कि प्रक्षेप्य रेखा को वास्तविक रेखा और एकल बिंदु $[1: 0]$ का मिलन माना जा सकता है, प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा के अनंत पर बिंदु कहा जाता है, और $\infty$ निरूपित किया जाता है। यह अंतःस्थापन हमें बिंदु $[x : y]$ की पहचान करने की अनुमति देता है या तो वास्तविक संख्या $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}x/y$ के साथ अगर $y \neq 0$ है, या दूसरी स्तिथि में $\infty$ के साथ है।

यही निर्माण दूसरे तालिका के साथ भी किया जा सकता है। इस स्तिथि में, अनंत पर बिंदु $[0: 1]$ है। इससे पता चलता है कि अनंत पर बिंदु की धारणा वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा के लिए आंतरिक नहीं है, बल्कि वास्तविक रेखा को प्रक्षेप्य रेखा में अंतः स्थापित करने के विकल्प के सापेक्ष है।

संरचना

वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा एक पूर्ण अंतरिक्ष प्रक्षेप्य श्रेणी है जो वास्तविक प्रक्षेप्य तल और जटिल प्रक्षेप्य रेखा में पाई जाती है। इस प्रकार इसकी संरचना इन अधिरचनाओं से विरासत में मिली है। इन संरचनाओं में प्राथमिक प्रक्षेप्य सीमा के बिंदुओं के बीच प्रक्षेप्य सुसंगत संयुग्म का संबंध है।

वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा में एक चक्रीय क्रम होता है जो वास्तविक संख्याओं के सामान्य क्रम को बढ़ाता है।

स्वसमाकृतिकता

प्रक्षेप्य रैखिक समूह और उसकी क्रिया

आव्यूह-सदिश गुणन कॉलम सदिश के स्थान $R 2$ पर $GL 2 (R)$ की बाईं क्रिया को परिभाषित करता है: स्पष्ट रूप से,

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}.

चूंकि प्रत्येक आव्यूह $GL 2 (R)$ में शून्य सदिश को ठीक करता है और आनुपातिक सदिश को आनुपातिक सदिश में मानचित्र करता है, $GL 2 (R)$ पर $P 1 (R)$ एक प्रेरित कार्रवाई होती है: स्पष्ट रूप से, ^[2]

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}[x:y]=[ax+by:cx+dy].

(यहां और नीचे, संकेतन $[x:y]$ सजातीय निर्देशांक के लिए स्तंभ आव्यूह के समतुल्य वर्ग $\textstyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ को दर्शाता है; इसे पंक्ति आव्यूह $[x\;y]$ के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।)

$GL 2 (R)$ के तत्व जो $P 1 (R)$ पर तुच्छ रूप से कार्य करते हैं, पहचान आव्यूह के गैर-शून्य अदिश गुणज हैं; ये $R \times$ अंकित एक उपसमूह बनाते हैं। प्रक्षेप्य रैखिक समूह को भागफल समूह $PGL 2 (R) = GL 2 (R)/ R \times$ के रूप में परिभाषित किया गया है। उपरोक्त के अनुसार, $P 1 (R)$ पर $PGL 2 (R)$ की एक प्रेरित विश्वसनीय क्रिया है। इस कारण से, समूह $PGL 2 (R)$ को $P 1 (R)$ के रैखिक ऑटोमोर्फिज्म का समूह भी कहा जा सकता है।

रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तन

पहचान $R \cup \infty \to P 1 (R)$ का उपयोग करके x को [x:1] और ∞ को [1:0] पर भेजकर, $R \cup \infty$ पर $PGL 2 (R)$ की संगत क्रिया प्राप्त की जाती है, जो रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा होती है: स्पष्ट रूप से, चूंकि

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}[x:1]=[ax+b:cx+d]\quad \mathrm {and} \quad {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}[1:0]=[a:c],

की कक्षा

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

में

PGL 2 (R)

x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}

और

\infty \mapsto {\frac {a}{c}}

के समान कार्य करता है। ^[3]^[4]^[5] ^[6] इस समझ के साथ कि हर 0 वाले प्रत्येक भिन्न की व्याख्या

\infty

के रूप में की जानी चाहिए। ^[7]

गुण

$P 1 (R)$ में अलग-अलग बिंदुओं के दो क्रमित त्रिगुणों को देखते हुए, PGL2(R) का एक अनूठा तत्व उपस्थित है जो पहले त्रिगुण को दूसरे से मानचित्र करता है; अर्थात्, क्रिया तीव्रता से 3-संक्रमणीय है। उदाहरण के लिए, रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तन मानचित्रण (0, 1, ∞) से (−1, 0, 1) केली रूपांतरण $x\mapsto {\frac {x-1}{x+1}}$ है।
बिंदु ∞ के $PGL 2 (R)$ में स्टेबलाइज़र वास्तविक रेखा का एफ़िन समूह है, जिसमें सभी $a \in R \times$ और $b \in R$ के लिए परिवर्तन $x\mapsto ax+b$ सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

वास्तविक प्रक्षेप्य तल
जटिल प्रक्षेप्य तल
व्हील सिद्धांत

↑ The argument used to construct $P 1 (R)$ can also be used with any field K and any dimension to construct the projective space $P n (K)$ .
↑ Miyake, Modular forms, Springer, 2006, §1.1. This reference and some of the others below work with $P 1 (C)$ instead of $P 1 (R)$ , but the principle is the same.
↑ Lang, Elliptic functions, Springer, 1987, 3.§1.
↑ Serre, A course in arithmetic, Springer, 1973, VII.1.1.
↑ Stillwell, Mathematics and its history, Springer, 2010, §8.6
↑ Lang, Complex analysis, Springer, 1999, VII, §5.
↑ Koblitz, Introduction to elliptic curves and modular forms, Springer, 1993, III.§1.

संदर्भ

Juan Carlos Alvarez (2000) The Real Projective Line, course content from New York University.
Santiago Cañez (2014) Notes on Projective Geometry from Northwestern University.

[1] The argument used to construct $P 1 (R)$ can also be used with any field K and any dimension to construct the projective space $P n (K)$ .

[2] Miyake, Modular forms, Springer, 2006, §1.1. This reference and some of the others below work with $P 1 (C)$ instead of $P 1 (R)$ , but the principle is the same.

[3] Lang, Elliptic functions, Springer, 1987, 3.§1.

[4] Serre, A course in arithmetic, Springer, 1973, VII.1.1.

[5] Stillwell, Mathematics and its history, Springer, 2010, §8.6

[6] Lang, Complex analysis, Springer, 1999, VII, §5.

[7] Koblitz, Introduction to elliptic curves and modular forms, Springer, 1993, III.§1.

[1]

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[4]

[5]

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[7]

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 ==परिभाषा==
-वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा के बिंदुओं को सामान्यतः समतुल्य संबंध के समतुल्य वर्गों के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रारंभिक बिंदु आयाम 2, V का एक वास्तविक वेक्टर स्थान है। {{math|''V'' ∖ 0}} पर द्विआधारी संबंध {{math|'''v''' ~ '''w'''}} को परिभाषित करें जिसे तब धारण किया जा सके जब कोई शून्येतर वास्तविक संख्या t उपस्थित हो जैसे कि {{math|1='''v''' = ''t'''''w'''}}। सदिश समष्टि की परिभाषा से लगभग तुरंत ही पता चलता है कि यह एक तुल्यता संबंध है। तुल्यता वर्ग वे सदिश रेखाएँ हैं जिनसे शून्य सदिश हटा दिया गया है। वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा {{math|'''P'''('''V''')}} सभी समतुल्य वर्गों का समुच्चय है। प्रत्येक समतुल्य वर्ग को एक एकल बिंदु माना जाता है, या, दूसरे शब्दों में, एक बिंदु को एक समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है।
+वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा के बिंदुओं को सामान्यतः समतुल्य संबंध के समतुल्य वर्गों के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रारंभिक बिंदु आयाम 2, V का एक वास्तविक सदिश स्थान है। {{math|''V'' ∖ 0}} पर द्विआधारी संबंध {{math|'''v''' ~ '''w'''}} को परिभाषित करें जिसे तब धारण किया जा सके जब कोई शून्येतर वास्तविक संख्या t उपस्थित हो जैसे कि {{math|1='''v''' = ''t'''''w'''}} है। सदिश समष्टि की परिभाषा से लगभग तुरंत ही पता चलता है कि यह एक तुल्यता संबंध है। तुल्यता वर्ग वे सदिश रेखाएँ हैं जिनसे शून्य सदिश हटा दिया गया है। वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा {{math|'''P'''('''V''')}} सभी समतुल्य वर्गों का समुच्चय है। प्रत्येक समतुल्य वर्ग को एक एकल बिंदु माना जाता है, या, दूसरे शब्दों में, एक बिंदु को एक समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है।
-यदि कोई {{math|''V''}} का आधार चुनता है, तो यह (इसके समन्वय वेक्टर के साथ एक वेक्टर की पहचान करके) {{math|''V''}} को प्रत्यक्ष उत्पाद {{math|1='''R''' × '''R''' = '''R'''<sup>2</sup>}} के साथ पहचानने के लिए होता है, और समतुल्य संबंध {{math|(''x'', ''y'') ~ (''w'', ''z'')}} बन जाता है यदि एक शून्येतर वास्तविक संख्या {{math|''t''}} का अस्तित्व इस प्रकार है कि {{math|1=(''x'', ''y'') = (''tw'', ''tz'')}}। इस स्तिथि में, प्रक्षेप्य रेखा {{math|'''P'''('''R'''<sup>2</sup>)}} को अधिमानतः  {{math|'''P'''<sup>1</sup>('''R''')}} या <math> \mathbb{R}\mathbb{P}^1</math> दर्शाया गया है।
+यदि कोई {{math|''V''}} का आधार चुनता है, तो यह (इसके समन्वय सदिश के साथ एक सदिश की पहचान करके) {{math|''V''}} को प्रत्यक्ष उत्पाद {{math|1='''R''' × '''R''' = '''R'''<sup>2</sup>}} के साथ पहचानने के लिए होता है, और समतुल्य संबंध {{math|(''x'', ''y'') ~ (''w'', ''z'')}} बन जाता है यदि एक शून्येतर वास्तविक संख्या {{math|''t''}} का अस्तित्व इस प्रकार है कि {{math|1=(''x'', ''y'') = (''tw'', ''tz'')}}। इस स्तिथि में, प्रक्षेप्य रेखा {{math|'''P'''('''R'''<sup>2</sup>)}} को अधिमानतः  {{math|'''P'''<sup>1</sup>('''R''')}} या <math> \mathbb{R}\mathbb{P}^1</math> दर्शाया गया है।
 युग्म का तुल्यता वर्ग {{math|(''x'', ''y'')}} पारंपरिक रूप से {{math|[''x'': ''y'']}} दर्शाया गया है, संकेतन में कोलन यह याद दिलाता है कि, यदि {{math|''y'' ≠ 0}}, [[अनुपात]] {{math|''x'' : ''y''}} समतुल्य वर्ग के सभी तत्वों के लिए समान है। यदि कोई बिंदु P तुल्यता वर्ग [x: y] है तो कोई कहता है कि (x, y) P के प्रक्षेप्य निर्देशांक की एक जोड़ी है। <ref>The argument used to construct {{math|'''P'''<sup>1</sup>('''R''')}} can also be used with any [[field (mathematics)|field]] ''K''  and any dimension  to construct the projective space {{math|'''P'''<sup>''n''</sup>(''K'')}}.</ref>
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 तुल्यता संबंध प्रदान करता है कि तुल्यता वर्ग के सभी प्रतिनिधियों को एक तालिका द्वारा एक ही वास्तविक संख्या में भेजा जाता है।
-x या y में से कोई भी शून्य हो सकता है, लेकिन दोनों नहीं, इसलिए प्रक्षेप्य रेखा को कवर करने के लिए दोनों तालिका की आवश्यकता होती है। इन दो तालिका के बीच [[संक्रमण मानचित्र]] गुणात्मक व्युत्क्रम है। चूंकि यह एक विभेदक कार्य है, और यहां तक कि एक [[विश्लेषणात्मक कार्य]] भी है (शून्य के बाहर), वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा एक विभेदक कई गुना और एक विश्लेषणात्मक कई गुना दोनों है।
+x या y में से कोई भी शून्य हो सकता है, लेकिन दोनों नहीं, इसलिए प्रक्षेप्य रेखा को कवर करने के लिए दोनों तालिका की आवश्यकता होती है। इन दो तालिका के बीच [[संक्रमण मानचित्र]] गुणात्मक व्युत्क्रम है। चूंकि यह एक विभेदक कार्य है, और यहां तक कि एक [[विश्लेषणात्मक कार्य]] भी है (शून्य के बाहर), वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा एक विभेदक बहुविध और एक विश्लेषणात्मक बहुविध दोनों है।
 तालिका #1 का उलटा कार्य मानचित्र है
 :<math> x \mapsto [x: 1].</math>
-यह वास्तविक रेखा को प्रक्षेप्य रेखा में [[एम्बेडिंग|अंतःस्थापन]] करने को परिभाषित करता है, जिसकी छवि का पूरक बिंदु {{math|[1: 0]}} है। इस अंतःस्थापन और प्रक्षेप्य रेखा से युक्त जोड़ी को प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा कहा जाता है। इस अंतःस्थापन द्वारा वास्तविक रेखा को उसकी छवि के साथ पहचानने से, कोई यह देख सकता है कि प्रक्षेप्य रेखा को वास्तविक रेखा और एकल बिंदु का मिलन माना जा सकता {{math|[1: 0]}} है, प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा के अनंत पर बिंदु कहा जाता है, और {{math|∞}} निरूपित किया जाता है। यह अंतःस्थापन हमें बिंदु {{math|[''x'': ''y'']}} की पहचान करने की अनुमति देता है या तो वास्तविक संख्या {{math|{{sfrac|''x''|''y''}}}} के साथ अगर {{math|''y'' ≠ 0}} है, या दूसरी स्तिथि में {{math|∞}} के साथ है।
+यह वास्तविक रेखा को प्रक्षेप्य रेखा में [[एम्बेडिंग|अंतःस्थापन]] करने को परिभाषित करता है, जिसकी छवि का पूरक बिंदु {{math|[1: 0]}} है। इस अंतःस्थापन और प्रक्षेप्य रेखा से युक्त जोड़ी को प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा कहा जाता है। इस अंतःस्थापन द्वारा वास्तविक रेखा को उसकी छवि के साथ पहचानने से, कोई यह देख सकता है कि प्रक्षेप्य रेखा को वास्तविक रेखा और एकल बिंदु {{math|[1: 0]}} का मिलन माना जा सकता है, प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा के अनंत पर बिंदु कहा जाता है, और {{math|∞}} निरूपित किया जाता है। यह अंतःस्थापन हमें बिंदु {{math|[''x'': ''y'']}} की पहचान करने की अनुमति देता है या तो वास्तविक संख्या {{math|{{sfrac|''x''|''y''}}}} के साथ अगर {{math|''y'' ≠ 0}} है, या दूसरी स्तिथि में {{math|∞}} के साथ है।
 यही निर्माण दूसरे तालिका के साथ भी किया जा सकता है। इस स्तिथि में, अनंत पर बिंदु {{math|[0: 1]}} है। इससे पता चलता है कि अनंत पर बिंदु की धारणा वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा के लिए आंतरिक नहीं है, बल्कि वास्तविक रेखा को प्रक्षेप्य रेखा में अंतः स्थापित करने के विकल्प के सापेक्ष है।
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 ===प्रक्षेप्य रैखिक समूह और उसकी क्रिया===
-आव्यूह-वेक्टर गुणन कॉलम सदिश के स्थान {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} पर {{math|GL<sub>2</sub>('''R''')}} की बाईं क्रिया को परिभाषित करता है: स्पष्ट रूप से,
+आव्यूह-सदिश गुणन कॉलम सदिश के स्थान {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} पर {{math|GL<sub>2</sub>('''R''')}} की बाईं क्रिया को परिभाषित करता है: स्पष्ट रूप से,
 :<math> \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+by \\ cx+dy \end{pmatrix}.</math>
 चूंकि प्रत्येक आव्यूह {{math|GL<sub>2</sub>('''R''')}} में शून्य सदिश को ठीक करता है और आनुपातिक सदिश को आनुपातिक सदिश में मानचित्र करता है, {{math|GL<sub>2</sub>('''R''')}} पर {{math|'''P'''<sup>1</sup>('''R''')}} एक प्रेरित कार्रवाई होती है: स्पष्ट रूप से, <ref>Miyake, ''Modular forms'', Springer, 2006, §1.1.  This reference and some of the others below work with {{math|'''P'''<sup>1</sup>('''C''')}} instead of {{math|'''P'''<sup>1</sup>('''R''')}}, but the principle is the same.</ref>

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