ब्राउनियन ट्री: Difference between revisions

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संभाव्यता सिद्धांत में, ब्राउनियन ट्री, या एल्डस ट्री, या कॉन्टिनम रैंडम ट्री (CRT)<ref>{{Cite book |last=Le Gall |first=Jean-François |title=स्थानिक शाखाएं प्रक्रियाएं, यादृच्छिक सांप, और आंशिक अंतर समीकरण|publisher=Springer Science \& Business Media |year=1999}}</ref> यादृच्छिक वास्तविक पेड़ों से एक विशेष मामला है जिसे [[ब्राउनियन भ्रमण]] से परिभाषित किया जा सकता है। ब्राउनियन पेड़ को 1991 और 1993 में प्रकाशित तीन लेखों में [[डेविड एल्डस]] द्वारा परिभाषित और अध्ययन किया गया था। इस पेड़ को तब से सामान्यीकृत किया गया है।
प्रायिकता सिद्धांत में, '''ब्राउनियन ट्री''', '''एल्डोस ट्री''', या '''कॉन्टिनम रैंडम ट्री''' ('''सीआरटी''')<ref>{{Cite book |last=Le Gall |first=Jean-François |title=स्थानिक शाखाएं प्रक्रियाएं, यादृच्छिक सांप, और आंशिक अंतर समीकरण|publisher=Springer Science \& Business Media |year=1999}}</ref> यादृच्छिक वास्तविक ट्रीस से एक विशेष मामला है जिसे ब्राउनियन भ्रमण से परिभाषित किया जा सकता है। ब्राउनियन ट्री को डेविड एल्डस द्वारा 1991 और 1993 में प्रकाशित तीन लेखों में परिभाषित और अध्ययन किया गया था। तब से इस ट्री को सामान्यीकृत किया गया है।


इस यादृच्छिक पेड़ की कई समान परिभाषाएँ और निर्माण हैं:<ref>{{cite web|title=सातत्य यादृच्छिक पेड़|url=http://www.stat.berkeley.edu/~aldous/Research/research-crt.html|author=David Aldous|access-date=2012-02-10|publication-date=}}</ref> सूक्ष्म रूप से कई पत्तियों द्वारा उत्पन्न उप-वृक्षों का उपयोग करना, ब्राउनियन भ्रमण का उपयोग करना, पोइसन एक सीधी रेखा को अलग करना या गैल्टन-वाटसन वृक्षों की सीमा के रूप में।
इस यादृच्छिक ट्री की कई समान परिभाषाएँ और निर्माण हैं:<ref>{{cite web|title=सातत्य यादृच्छिक पेड़|url=http://www.stat.berkeley.edu/~aldous/Research/research-crt.html|author=David Aldous|access-date=2012-02-10|publication-date=}}</ref> सीमित संख्या में पत्तियों से उत्पन्न सबट्री का उपयोग करना, ब्राउनियन भ्रमण का उपयोग करना, पॉइसन द्वारा एक सीधी रेखा को अलग करना, या गैल्टन-वाटसन ट्रीस की सीमा के रूप में है।


सहज रूप से, ब्राउनियन ट्री एक बाइनरी ट्री है जिसके नोड्स (या ब्रांचिंग पॉइंट) ट्री में [[घना सेट]] होते हैं; कहने का तात्पर्य यह है कि पेड़ के किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं के लिए, उनके बीच हमेशा एक नोड मौजूद रहेगा। यह एक [[भग्न]] वस्तु है जिसे कंप्यूटर के साथ अनुमानित किया जा सकता है<ref>{{cite web|title=निरंतर यादृच्छिक ब्राउनियन वृक्ष का अनुकरण|url=http://www.math.u-psud.fr/~miermont/simul.php|author=[[Grégory Miermont]]|access-date=2012-02-10|publication-date=}}</ref> या [[डेन्ड्राइट (क्रिस्टल)]] के साथ भौतिक प्रक्रियाओं द्वारा।
सहज ज्ञान से, ब्राउनियन ट्री एक द्विआधारी ट्री है जिसके नोड्स (या शाखा बिंदु) ट्री में घने होते हैं; तात्पर्य यह है कि ट्री के किन्हीं अलग-अलग दो बिंदुओं के लिए, उनके बीच हमेशा एक नोड उपस्थित रहेगा। यह एक फ्रैक्टल वस्तु है जिसे कंप्यूटर<ref>{{cite web|title=निरंतर यादृच्छिक ब्राउनियन वृक्ष का अनुकरण|url=http://www.math.u-psud.fr/~miermont/simul.php|author=[[Grégory Miermont]]|access-date=2012-02-10|publication-date=}}</ref> या [[डेन्ड्राइट (क्रिस्टल)|डेन्ड्राइट संरचनाओं (क्रिस्टल)]] के साथ भौतिक प्रक्रियाओं द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।


== परिभाषाएँ ==
== परिभाषाएँ ==
निम्नलिखित परिभाषाएँ एक ब्राउनियन वृक्ष के विभिन्न लक्षण हैं, उन्हें एल्डस के तीन लेखों से लिया गया है।<ref>{{Cite journal |last=Aldous |first=David |date=1991 |title=कॉन्टिनम रैंडम ट्री I|journal=The Annals of Probability |volume=19 |issue=1 |pages=1–28}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Aldous |first=David |date=1991-10-25 |title=सातत्य यादृच्छिक पेड़। द्वितीय। एक सिंहावलोकन|url=https://books.google.fr/books?hl=en&lr=&id=FerdFlyRS8oC&oi=fnd&pg=PA23&dq=info:arqXCCYZRZAJ:scholar.google.com&ots=cjCsH6iXig&sig=37LAi5Idgd2gkdTPF0V-AHtY1LU&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false |journal=Stochastic analysis |volume=167 |pages=23–70}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Aldous |first=David |date=1993 |title=कॉन्टिनम रैंडम ट्री III|url=https://www.jstor.org/stable/2244761 |journal=The Annals of Probability |volume=21 |issue=1 |pages=248–289 |issn=0091-1798}}</ref> पत्ती, नोड, शाखा, जड़ की धारणाएँ एक पेड़ पर सहज ज्ञान युक्त धारणाएँ हैं (विवरण के लिए, असली पेड़ देखें)।
निम्नलिखित परिभाषाएँ ब्राउनियन ट्री की अलग-अलग विशेषताएँ हैं, इन्हें एल्डस के तीन लेखों से लिया गया है।<ref>{{Cite journal |last=Aldous |first=David |date=1991 |title=कॉन्टिनम रैंडम ट्री I|journal=The Annals of Probability |volume=19 |issue=1 |pages=1–28}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Aldous |first=David |date=1991-10-25 |title=सातत्य यादृच्छिक पेड़। द्वितीय। एक सिंहावलोकन|url=https://books.google.fr/books?hl=en&lr=&id=FerdFlyRS8oC&oi=fnd&pg=PA23&dq=info:arqXCCYZRZAJ:scholar.google.com&ots=cjCsH6iXig&sig=37LAi5Idgd2gkdTPF0V-AHtY1LU&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false |journal=Stochastic analysis |volume=167 |pages=23–70}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Aldous |first=David |date=1993 |title=कॉन्टिनम रैंडम ट्री III|url=https://www.jstor.org/stable/2244761 |journal=The Annals of Probability |volume=21 |issue=1 |pages=248–289 |issn=0091-1798}}</ref> ''पत्ती, गाँठ, शाखा'' और ''जड़'' की धारणाएँ एक ट्री की सहज धारणाएँ हैं (विवरण के लिए, वास्तविक ट्री देखें)।


=== परिमित-आयामी कानून ===
=== परिमित-आयामी नियम ===
यह परिभाषा सूक्ष्म रूप से कई पत्तियों द्वारा उत्पन्न उपवृक्षों के परिमित-आयामी नियम देती है।
यह परिभाषा परिमित रूप से अनेक पत्तियों द्वारा उत्पन्न सबट्री के परिमित-आयामी नियम देती है।


आइए हम सभी बाइनरी ट्री के स्थान पर विचार करें <math>k</math> से गिने पत्ते <math>1</math> को <math>k</math>. इन पेड़ों के पास है <math>2k-1</math> लंबाई के साथ किनारे <math>(\ell_1,\dots,\ell_{2k-1})\in \R_+^{2k-1}</math>. एक पेड़ को उसके आकार से परिभाषित किया जाता है <math>\tau</math> (जिसे नोड्स का क्रम कहना है) और किनारे की लंबाई। हम एक संभाव्यता सिद्धांत को परिभाषित करते हैं <math>\mathbb{P}</math> एक यादृच्छिक चर का <math>(T,(L_i)_{1\leq i\leq 2k-1})</math> द्वारा इस स्थान पर:
आइए हम सभी बाइनरी ट्री के स्थान पर विचार करें <math>k</math> से गिने पत्ते <math>1</math> को <math>k</math>. इन ट्रीस के पास है <math>2k-1</math> लंबाई के साथ किनारे <math>(\ell_1,\dots,\ell_{2k-1})\in \R_+^{2k-1}</math>. एक ट्री को उसके आकार से परिभाषित किया जाता है <math>\tau</math> (जिसे नोड्स का क्रम कहना है) और किनारे की लंबाई है। हम एक प्रायिकता सिद्धांत को परिभाषित करते हैं <math>\mathbb{P}</math> एक यादृच्छिक चर का <math>(T,(L_i)_{1\leq i\leq 2k-1})</math> द्वारा इस स्थान पर:


: <math>\mathbb P(T=\tau \,, \, L_i\in [\ell_i, \ell_i + d\ell_i], \forall 1 \leq i \leq 2k-1)= s \exp(-s^2/2)\, d\ell_1 \ldots d\ell_{2k-1}</math>
: <math>\mathbb P(T=\tau \,, \, L_i\in [\ell_i, \ell_i + d\ell_i], \forall 1 \leq i \leq 2k-1)= s \exp(-s^2/2)\, d\ell_1 \ldots d\ell_{2k-1}</math>
कहां <math>\textstyle s = \sum \ell_i</math>.
कहां <math>\textstyle s = \sum \ell_i</math>.


दूसरे शब्दों में, <math>\mathbb P</math> पेड़ के आकार पर निर्भर नहीं करता बल्कि सभी किनारों की लंबाई के कुल योग पर निर्भर करता है।
दूसरे शब्दों में, <math>\mathbb P</math> ट्री के आकार पर निर्भर नहीं करता बल्कि सभी किनारों की लंबाई के कुल योग पर निर्भर करता है।
{{Math theorem
{{Math theorem
| math_statement = Let <math>X</math> be a metric space with the tree property, meaning there exists a unique path between two points of <math>X</math>. Equip <math>X</math>  with a probability measure <math>\mu</math>. Suppose the sub-tree of <math>X</math> generated by <math>k</math> points, chosen randomly under <math>\mu</math>, has law <math>\mathbb P</math>. Then <math>X</math> is called a '''Brownian tree'''.
| math_statement = Let <math>X</math> be a metric space with the tree property, meaning there exists a unique path between two points of <math>X</math>. Equip <math>X</math>  with a probability measure <math>\mu</math>. Suppose the sub-tree of <math>X</math> generated by <math>k</math> points, chosen randomly under <math>\mu</math>, has law <math>\mathbb P</math>. Then <math>X</math> is called a '''Brownian tree'''.
मान लीजिए <math>X</math> ट्री संपत्ति के साथ एक मीट्रिक स्थान है, जिसका अर्थ है कि <math>X</math> के दो बिंदुओं के बीच एक अद्वितीय पथ उपस्थित है। <math>X</math> को प्रायिकता माप <math>\mu</math> से लैस करें। <math>k</math> के तहत यादृच्छिक रूप से चुने गए <math>\mu</math> बिंदुओं द्वारा उत्पन्न <math>X</math> के सबट्री को नियम <math>\mathbb P</math> है। फिर <math>X</math> को "'ब्राउनियन ट्री'' कहा जाता है।
| name = Definition
| name = Definition
}}
}}
दूसरे शब्दों में, ब्राउनियन वृक्ष को उन सभी परिमित उप-वृक्षों के नियमों से परिभाषित किया जाता है जो इससे उत्पन्न हो सकते हैं।


=== सतत वृक्ष ===
दूसरे शब्दों में, ब्राउनियन ट्री को उन सभी परिमित सबट्री के नियमों से परिभाषित किया जाता है जो इससे उत्पन्न हो सकते हैं।
ब्राउनियन वृक्ष एक वास्तविक वृक्ष है जिसे ब्राउनियन भ्रमण से परिभाषित किया गया है (वास्तविक वृक्ष में लक्षण वर्णन 4 देखें)।
 
=== सतत ट्री ===
ब्राउनियन ट्री एक वास्तविक ट्री है जिसे ब्राउनियन भ्रमण से परिभाषित किया गया है (वास्तविक ट्री में लक्षण वर्णन 4 देखें)।


होने देना <math>e=(e(x),0\leq x\leq 1)</math>एक ब्राउनियन भ्रमण हो। एक [[मीट्रिक स्थान]] परिभाषित करें <math>d</math> पर <math>[0,1]</math> साथ
मान लीजिए <math>e=(e(x),0\leq x\leq 1)</math>एक ब्राउनियन भ्रमण हो। एक [[मीट्रिक स्थान]] परिभाषित करें <math>d</math> पर <math>[0,1]</math> साथ


: <math> d(x, y) := e(x)+e(y)-2 \min\big\{e(z)\, ; z\in[x,y]\big\}, </math> किसी के लिए <math>x,y\in [0,1]</math>
: <math> d(x, y) := e(x)+e(y)-2 \min\big\{e(z)\, ; z\in[x,y]\big\}, </math> किसी के लिए <math>x,y\in [0,1]</math>
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  {{Math theorem
  {{Math theorem
| math_statement = The metric space <math>\big([0,1]\,/\!\sim_e,\, d\big)</math> is called a '''Brownian tree'''.
| math_statement = The metric space <math>\big([0,1]\,/\!\sim_e,\, d\big)</math> is called a '''Brownian tree'''.
मीट्रिक स्थान  <math>\big([0,1]\,/\!\sim_e,\, d\big)</math> को '''ब्राउनियन ट्री'''' कहा जाता है।
| name = Definition
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एक गैर सजातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया पर विचार करें {{mvar|N}} तीव्रता के साथ <math>r(t)=t</math>. दूसरे शब्दों में, किसी के लिए <math>t>0</math>, <math>N_t</math> पैरामीटर के साथ एक प्वासों बंटन है <math>t^2</math>. होने देना <math>C_1, C_2, \ldots</math> के बिंदु हों <math>N</math>. फिर अंतराल की लंबाई <math>[C_i,C_{i+1}]</math> घटते साधनों के साथ घातीय वितरण हैं। हम फिर निम्नलिखित निर्माण करते हैं:
एक गैर सजातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया पर विचार करें {{mvar|N}} तीव्रता के साथ <math>r(t)=t</math>. दूसरे शब्दों में, किसी के लिए <math>t>0</math>, <math>N_t</math> पैरामीटर के साथ एक प्वासों बंटन है <math>t^2</math>. होने देना <math>C_1, C_2, \ldots</math> के बिंदु हों <math>N</math>. फिर अंतराल की लंबाई <math>[C_i,C_{i+1}]</math> घटते साधनों के साथ घातीय वितरण हैं। हम फिर निम्नलिखित निर्माण करते हैं:


* (इनिशियलाइज़ेशन) पहला कदम एक यादृच्छिक बिंदु चुनना है <math>u</math> अंतराल पर [[निरंतर समान वितरण]] <math>[0,C_1]</math>. फिर हम खंड को गोंद करते हैं <math>]C_1,C_2]</math> को <math>u</math> (गणितीय रूप से बोलना, हम एक नई दूरी को परिभाषित करते हैं)। हमें एक पेड़ मिलता है <math>T_1</math> एक जड़ (बिंदु 0) के साथ, दो पत्ते (<math>C_1</math> और <math>C_2</math>), साथ ही साथ एक बाइनरी ब्रांचिंग पॉइंट (बिंदु <math>u</math>).
* (इनिशियलाइज़ेशन) पहला कदम एक यादृच्छिक बिंदु चुनना है <math>u</math> अंतराल पर [[निरंतर समान वितरण]] <math>[0,C_1]</math>. फिर हम खंड को श्लेष देते हैं <math>]C_1,C_2]</math> को <math>u</math> (गणितीय रूप से बोलना, हम एक नई दूरी को परिभाषित करते हैं)। हमें एक ट्री मिलता है <math>T_1</math> एक जड़ (बिंदु 0) के साथ, दो पत्ते (<math>C_1</math> और <math>C_2</math>), साथ ही साथ एक बाइनरी ब्रांचिंग पॉइंट (बिंदु <math>u</math>).
* (पुनरावृत्ति) कदम पर {{mvar|k}}, खंड <math>]C_k,C_{k+1}]</math> इसी तरह पेड़ से चिपका है <math>T_{k-1}</math>, एक समान रूप से यादृच्छिक बिंदु पर <math>T_{k-1}</math>.
* (पुनरावृत्ति) कदम पर {{mvar|k}}, खंड <math>]C_k,C_{k+1}]</math> इसी तरह ट्री से चिपका है <math>T_{k-1}</math>, एक समान रूप से यादृच्छिक बिंदु पर <math>T_{k-1}</math>.
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{{Math theorem
| math_statement = The [[Closure (topology)|closure]] <math>\overline{\bigcup_{k\geq 1}T_k}</math>, equipped with the distance previously built, is called '''Brownian tree'''.
| math_statement = The [[Closure (topology)|closure]] <math>\overline{\bigcup_{k\geq 1}T_k}</math>, equipped with the distance previously built, is called '''Brownian tree'''.
[[क्लोजर (टोपोलॉजी)|क्लोजर]] <math>\overline{\bigcup_{k\geq 1}T_k}</math>, जो पहले से निर्मित दूरी से सुसज्जित है, को '''ब्राउनियन ट्री'''' कहा जाता है।
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}}
इस एल्गोरिथ्म का उपयोग संख्यात्मक रूप से ब्राउनियन पेड़ों का अनुकरण करने के लिए किया जा सकता है।


=== [[गैल्टन-वाटसन ट्री]]ों की सीमा ===
इस एल्गोरिथ्म का उपयोग संख्यात्मक रूप से ब्राउनियन ट्रीस का अनुकरण करने के लिए किया जा सकता है।
एक गैल्टन-वाटसन वृक्ष पर विचार करें, जिसके प्रजनन नियम में परिमित गैर-शून्य प्रसरण है, जिसके लिए वातानुकूलित है <math>n</math> नोड्स। होने देना <math>\tfrac{1}{\sqrt{n}}G_n</math> यह पेड़ हो, जिसके किनारों की लंबाई को विभाजित किया गया हो <math>\sqrt{n}</math>. दूसरे शब्दों में, प्रत्येक किनारे की लंबाई होती है <math>\tfrac{1}{\sqrt{n}}</math>. गैल्टन-वाटसन के पेड़ को मीट्रिक स्थान के रूप में या पुनर्निर्मित गैल्टन-वाटसन के पेड़ का उपयोग करके निर्माण को औपचारिक रूप दिया जा सकता है।
 
=== गैल्टन-वाटसन ट्री की सीमा ===
गैल्टन-वाटसन ट्री पर विचार करें, जिसके प्रजनन नियम में परिमित गैर-शून्य प्रसरण है, जिसके लिए वातानुकूलित है <math>n</math> नोड्स होने देना <math>\tfrac{1}{\sqrt{n}}G_n</math> यह ट्री हो, जिसके किनारों की लंबाई को विभाजित किया गया हो <math>\sqrt{n}</math>. दूसरे शब्दों में, प्रत्येक किनारे की लंबाई होती है <math>\tfrac{1}{\sqrt{n}}</math>. गैल्टन-वाटसन के ट्री को मीट्रिक स्थान के रूप में या पुनर्निर्मित गैल्टन-वाटसन के ट्री का उपयोग करके निर्माण को औपचारिक रूप दिया जा सकता है।
{{Math theorem
{{Math theorem
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यहां, उपयोग की जाने वाली सीमा स्कोरोखोड अंतरिक्ष में स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के [[वितरण में अभिसरण]] है (यदि हम समोच्च प्रक्रियाओं पर विचार करें) या हौसडॉर्फ दूरी से परिभाषित वितरण में अभिसरण (यदि हम मीट्रिक रिक्त स्थान पर विचार करें)।
यहां, उपयोग की जाने वाली सीमा स्कोरोखोड अंतरिक्ष में स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के वितरण में अभिसरण है (यदि हम समोच्च प्रक्रियाओं पर विचार करें) या हौसडॉर्फ दूरी से परिभाषित वितरण में अभिसरण (यदि हम मीट्रिक रिक्त स्थान पर विचार करें)।
 
 




==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==


*सिद्धांत संभावना
*असली पेड़
*पॉसों बिंदु प्रक्रिया
*पॉसों वितरण
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*स्कोरोखोड बचाओ
*हॉसडॉर्फ दूरी
*अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया
== संदर्भ ==
== संदर्भ ==
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Latest revision as of 11:49, 14 July 2023

प्रायिकता सिद्धांत में, ब्राउनियन ट्री, एल्डोस ट्री, या कॉन्टिनम रैंडम ट्री (सीआरटी)[1] यादृच्छिक वास्तविक ट्रीस से एक विशेष मामला है जिसे ब्राउनियन भ्रमण से परिभाषित किया जा सकता है। ब्राउनियन ट्री को डेविड एल्डस द्वारा 1991 और 1993 में प्रकाशित तीन लेखों में परिभाषित और अध्ययन किया गया था। तब से इस ट्री को सामान्यीकृत किया गया है।

इस यादृच्छिक ट्री की कई समान परिभाषाएँ और निर्माण हैं:[2] सीमित संख्या में पत्तियों से उत्पन्न सबट्री का उपयोग करना, ब्राउनियन भ्रमण का उपयोग करना, पॉइसन द्वारा एक सीधी रेखा को अलग करना, या गैल्टन-वाटसन ट्रीस की सीमा के रूप में है।

सहज ज्ञान से, ब्राउनियन ट्री एक द्विआधारी ट्री है जिसके नोड्स (या शाखा बिंदु) ट्री में घने होते हैं; तात्पर्य यह है कि ट्री के किन्हीं अलग-अलग दो बिंदुओं के लिए, उनके बीच हमेशा एक नोड उपस्थित रहेगा। यह एक फ्रैक्टल वस्तु है जिसे कंप्यूटर[3] या डेन्ड्राइट संरचनाओं (क्रिस्टल) के साथ भौतिक प्रक्रियाओं द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

परिभाषाएँ

निम्नलिखित परिभाषाएँ ब्राउनियन ट्री की अलग-अलग विशेषताएँ हैं, इन्हें एल्डस के तीन लेखों से लिया गया है।[4][5][6] पत्ती, गाँठ, शाखा और जड़ की धारणाएँ एक ट्री की सहज धारणाएँ हैं (विवरण के लिए, वास्तविक ट्री देखें)।

परिमित-आयामी नियम

यह परिभाषा परिमित रूप से अनेक पत्तियों द्वारा उत्पन्न सबट्री के परिमित-आयामी नियम देती है।

आइए हम सभी बाइनरी ट्री के स्थान पर विचार करें से गिने पत्ते को . इन ट्रीस के पास है लंबाई के साथ किनारे . एक ट्री को उसके आकार से परिभाषित किया जाता है (जिसे नोड्स का क्रम कहना है) और किनारे की लंबाई है। हम एक प्रायिकता सिद्धांत को परिभाषित करते हैं एक यादृच्छिक चर का द्वारा इस स्थान पर:

कहां .

दूसरे शब्दों में, ट्री के आकार पर निर्भर नहीं करता बल्कि सभी किनारों की लंबाई के कुल योग पर निर्भर करता है।

Definition — Let be a metric space with the tree property, meaning there exists a unique path between two points of . Equip with a probability measure . Suppose the sub-tree of generated by points, chosen randomly under , has law . Then is called a Brownian tree.


मान लीजिए ट्री संपत्ति के साथ एक मीट्रिक स्थान है, जिसका अर्थ है कि के दो बिंदुओं के बीच एक अद्वितीय पथ उपस्थित है। को प्रायिकता माप से लैस करें। के तहत यादृच्छिक रूप से चुने गए बिंदुओं द्वारा उत्पन्न के सबट्री को नियम है। फिर को "'ब्राउनियन ट्री कहा जाता है।

दूसरे शब्दों में, ब्राउनियन ट्री को उन सभी परिमित सबट्री के नियमों से परिभाषित किया जाता है जो इससे उत्पन्न हो सकते हैं।

सतत ट्री

ब्राउनियन ट्री एक वास्तविक ट्री है जिसे ब्राउनियन भ्रमण से परिभाषित किया गया है (वास्तविक ट्री में लक्षण वर्णन 4 देखें)।

मान लीजिए एक ब्राउनियन भ्रमण हो। एक मीट्रिक स्थान परिभाषित करें पर साथ

किसी के लिए

फिर हम एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करते हैं, विख्यात पर जो सभी बिंदुओं से संबंधित है ऐसा है कि .

फिर भागफल स्थान (टोपोलॉजी) पर एक दूरी है .

Definition — The metric space is called a Brownian tree.


मीट्रिक स्थान को ब्राउनियन ट्री' कहा जाता है।

भ्रमण पर विचार करने की प्रथा है इसके बजाय .

पोइसन लाइन-ब्रेकिंग कंस्ट्रक्शन

इसे स्टिक-ब्रेकिंग कंस्ट्रक्शन भी कहा जाता है।

एक गैर सजातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया पर विचार करें N तीव्रता के साथ . दूसरे शब्दों में, किसी के लिए , पैरामीटर के साथ एक प्वासों बंटन है . होने देना के बिंदु हों . फिर अंतराल की लंबाई घटते साधनों के साथ घातीय वितरण हैं। हम फिर निम्नलिखित निर्माण करते हैं:

  • (इनिशियलाइज़ेशन) पहला कदम एक यादृच्छिक बिंदु चुनना है अंतराल पर निरंतर समान वितरण . फिर हम खंड को श्लेष देते हैं को (गणितीय रूप से बोलना, हम एक नई दूरी को परिभाषित करते हैं)। हमें एक ट्री मिलता है एक जड़ (बिंदु 0) के साथ, दो पत्ते ( और ), साथ ही साथ एक बाइनरी ब्रांचिंग पॉइंट (बिंदु ).
  • (पुनरावृत्ति) कदम पर k, खंड इसी तरह ट्री से चिपका है , एक समान रूप से यादृच्छिक बिंदु पर .

Definition — The closure , equipped with the distance previously built, is called Brownian tree.


क्लोजर , जो पहले से निर्मित दूरी से सुसज्जित है, को ब्राउनियन ट्री' कहा जाता है।

इस एल्गोरिथ्म का उपयोग संख्यात्मक रूप से ब्राउनियन ट्रीस का अनुकरण करने के लिए किया जा सकता है।

गैल्टन-वाटसन ट्री की सीमा

गैल्टन-वाटसन ट्री पर विचार करें, जिसके प्रजनन नियम में परिमित गैर-शून्य प्रसरण है, जिसके लिए वातानुकूलित है नोड्स होने देना यह ट्री हो, जिसके किनारों की लंबाई को विभाजित किया गया हो . दूसरे शब्दों में, प्रत्येक किनारे की लंबाई होती है . गैल्टन-वाटसन के ट्री को मीट्रिक स्थान के रूप में या पुनर्निर्मित गैल्टन-वाटसन के ट्री का उपयोग करके निर्माण को औपचारिक रूप दिया जा सकता है।

Theorem —  वितरण में एक यादृच्छिक वास्तविक वृक्ष में परिवर्तित हो जाता है, जिसे हम ब्राउनियन वृक्ष कहते हैं।

यहां, उपयोग की जाने वाली सीमा स्कोरोखोड अंतरिक्ष में स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के वितरण में अभिसरण है (यदि हम समोच्च प्रक्रियाओं पर विचार करें) या हौसडॉर्फ दूरी से परिभाषित वितरण में अभिसरण (यदि हम मीट्रिक रिक्त स्थान पर विचार करें)।



संदर्भ

  1. Le Gall, Jean-François (1999). स्थानिक शाखाएं प्रक्रियाएं, यादृच्छिक सांप, और आंशिक अंतर समीकरण. Springer Science \& Business Media.
  2. David Aldous. "सातत्य यादृच्छिक पेड़". Retrieved 2012-02-10.
  3. Grégory Miermont. "निरंतर यादृच्छिक ब्राउनियन वृक्ष का अनुकरण". Retrieved 2012-02-10.
  4. Aldous, David (1991). "कॉन्टिनम रैंडम ट्री I". The Annals of Probability. 19 (1): 1–28.
  5. Aldous, David (1991-10-25). "सातत्य यादृच्छिक पेड़। द्वितीय। एक सिंहावलोकन". Stochastic analysis. 167: 23–70.
  6. Aldous, David (1993). "कॉन्टिनम रैंडम ट्री III". The Annals of Probability. 21 (1): 248–289. ISSN 0091-1798.