क्रमित प्रारूप: Difference between revisions

Latest revision as of 12:00, 14 July 2023

गणित में, विशेषकर समुच्चय सिद्धांत में, दो क्रमित समुच्चय $X$ और $Y$ को समान क्रमित प्रारूप कहा जाता है, यदि वे क्रम समरूप हैं, अर्थात, यदि कोई आक्षेप उपस्थित है (प्रत्येक अवयव दूसरे सम्मुचय में यथार्थतः एक के साथ जुड़ता है) $f\colon X\to Y$ ऐसे कि दोनों $f$ और इसका व्युत्क्रम तथा एकदिस्ट (अवयवों के क्रम को संरक्षित करना) होता हैं। विशेष स्थिति में जब $X$ पूरी तरह से व्यवस्थित है, की एकदिस्टता $f$ इसके व्युत्क्रम की एकदिस्टता का तात्पर्य है।

उदाहरण के लिए, पूर्णांक के समुच्चय (गणित) और सम (गणित) पूर्णांकों के समुच्चय का क्रम प्रकार समान होता है, क्योंकि माप $n\mapsto 2n$ आक्षेप है जो क्रम को सुरक्षित रखता है। लेकिन पूर्णांकों के समुच्चय और परिमेय संख्याओं के समुच्चय (मानक क्रम के साथ) में समान क्रम प्रकार नहीं होता है, क्योंकि यद्यपि ही समुच्चय समान आकार के होते हैं (वे दोनों गणनीय समुच्चय हैं), उनके बीच कोई क्रम-परिरक्षी मानचित्रण विशेषण नहीं है। इन दो क्रमित प्रारूपों में हम दो : धनात्मक पूर्णांकों में समुच्चय (जिसमें सबसे कम अवयव होता है), और ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय (जिसमें सबसे बड़ा अवयव होता है) और जोड़ सकते हैं। विवृत अंतराल $(0, 1)$ परिमेय का क्रम परिमेय के समरूपी है (चूँकि, उदाहरण के लिए, $f(x)={\tfrac {2x-1}{1-\vert {2x-1}\vert }}$ पूर्व से उत्तरार्द्ध तक दृढ़ता से बढ़ती द्विभाजन है); अर्ध-विवृत अंतराल [0,1) और (0,1] और विवृत अंतराल [0,1] में निहित परिमेय, तीन अतिरिक्त क्रमित प्रारूप के उदाहरण हैं।

चूँकि क्रम-समतुल्यता समतुल्य संबंध है, यह सभी क्रमबद्ध सम्मुचयो के वर्ग (सेट सिद्धांत) को समतुल्य वर्गों में विभाजित करता है।

सु-क्रमित क्रम प्रारूप

अलग-अलग क्रम प्रारूपों (ऊपर से नीचे) के साथ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर तीन सुव्यवस्थित क्रम:

\omega

,

\omega +5

, और

\omega +\omega

।

परिभाषा के अनुसार प्रत्येक सुव्यवस्थित समुच्चय यथार्थतः क्रमसूचक संख्या (गणित) के बराबर होता है। क्रमसूचक संख्याओं को उनकी कक्षाओं का विहित रूप माना जाता है, और इसलिए सुव्यवस्थित समुच्चय के क्रम प्रारूप को साधारणतया संबंधित क्रमसूचक के साथ पहचाना जाता है। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का क्रम प्रकार $ω$ हैं।

सुव्यवस्थित समुच्चय का क्रम प्रारूप $V$ को कभी-कभी $ord(V)$ ^[1] के रूप में व्यक्त किया जाता हैं।

उदाहरण के लिए, समुच्चय पर विचार करें $V$ सम क्रमसूचक $ω \cdot 2 + 7$ से भी कम होता हैं:

V=\{0,2,4,\ldots ;\omega ,\omega +2,\omega +4,\ldots ;\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+2,\omega \cdot 2+4,\omega \cdot 2+6\}.

इसका क्रम प्रारूप है:

\operatorname {ord} (V)=\omega \cdot 2+4=\{0,1,2,\ldots ;\omega ,\omega +1,\omega +2,\ldots ;\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\omega \cdot 2+2,\omega \cdot 2+3\},

क्योंकि गणना की 2 अलग-अलग सूचियाँ हैं और अंत में क्रम से 4 हैं।

परिमेय संख्या

किसी भी गणनीय पूर्णतः क्रमबद्ध समुच्चय को क्रम-संरक्षण प्रकारो से परिमेय संख्याओं में अन्तः क्षेपक रूप से मापा किया जा सकता है। किसी भी घने क्रम को गणना करने योग्य पूर्ण रूप से क्रमित समुच्चय जिसमें कोई उच्चतम और कोई निम्नतम अवयव नहीं है, उसे क्रम-संरक्षण प्रकार से परिमेय संख्याओं पर विशेष रूप से मापा जा सकता है।

संकेतन

पूर्णांक संख्या और परिमेय संख्या का क्रम प्रकार साधारण तौर पर $\pi$ और $\eta$ दर्शाया जाता है, क्रमशः यदि समुच्चय $S$ का क्रम प्रारूप $\sigma$ हैं, तो $S$ के द्वैत (आदेश सिद्धांत) का क्रम प्रारूप (प्रतिलोम क्रम) $\sigma ^{*}$ दर्शाया गया है।

यह भी देखें

सु-क्रमित

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "Order Type". MathWorld.

संदर्भ

↑ "Ordinal Numbers and Their Arithmetic". Archived from the original on 2009-10-27. Retrieved 2007-06-13.

[1] "Ordinal Numbers and Their Arithmetic". Archived from the original on 2009-10-27. Retrieved 2007-06-13.

[1]

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 {{short description|Isomorphism type of ordered sets}}
-{{distinguish|text=[[Ordered type system|ordered types]]}}
+गणित में, विशेषकर समुच्चय सिद्धांत में, दो क्रमित समुच्चय {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} को समान '''क्रमित प्रारूप''' कहा जाता है, यदि वे [[आदेश समरूपी|क्रम समरूप]] हैं, अर्थात, यदि कोई आक्षेप उपस्थित है (प्रत्येक अवयव दूसरे सम्मुचय में यथार्थतः एक के साथ जुड़ता है) <math>f\colon X \to Y</math> ऐसे कि दोनों {{mvar|f}} और इसका व्युत्क्रम तथा एकदिस्ट (अवयवों के क्रम को संरक्षित करना) होता हैं। विशेष स्थिति में जब {{mvar|X}}  पूरी तरह से व्यवस्थित है, की एकदिस्टता  {{mvar|f}}  इसके व्युत्क्रम की एकदिस्टता का तात्पर्य है।
-{{more footnotes|date=February 2023}}
-गणित में, विशेषकर समुच्चय सिद्धांत में, दो क्रमित समुच्चय {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} को समान ऑर्डर प्रकार कहा जाता है यदि वे [[आदेश समरूपी]] हैं, अर्थात, यदि कोई आक्षेप मौजूद है (प्रत्येक तत्व दूसरे सेट में बिल्कुल एक के साथ जुड़ता है) <math>f\colon X \to Y</math> ऐसे कि दोनों {{mvar|f}} और इसका व्युत्क्रम कार्य क्रम सिद्धांत (तत्वों के क्रम को संरक्षित करना) में मोनोटोनिक # मोनोटोनिकिटी है। विशेष मामले में जब {{mvar|X}} पूरी तरह से व्यवस्थित है, की एकरसता {{mvar|f}} इसके व्युत्क्रम की एकरसता का तात्पर्य है।
-उदाहरण के लिए, [[पूर्णांक]]ों के समुच्चय (गणित) और [[समता (गणित)]] पूर्णांकों के समुच्चय का क्रम प्रकार समान होता है, क्योंकि मैपिंग <math>n\mapsto 2n</math> एक आक्षेप है जो व्यवस्था को सुरक्षित रखता है। लेकिन पूर्णांकों के समुच्चय और परिमेय संख्याओं के समुच्चय (मानक क्रम के साथ) में समान क्रम प्रकार नहीं होता है, क्योंकि भले ही समुच्चय समान [[ प्रमुखता ]] के होते हैं (वे दोनों [[गणनीय समुच्चय]] हैं), कोई क्रम-संरक्षित विशेषण नहीं है उनके बीच मानचित्रण. इन दो ऑर्डर प्रकारों में हम दो और जोड़ सकते हैं: सकारात्मक पूर्णांकों का सेट (जिसमें सबसे कम तत्व होता है), और नकारात्मक पूर्णांकों का सेट (जिसमें सबसे बड़ा तत्व होता है)। खुला अंतराल {{math|(0, 1)}} परिमेय का क्रम परिमेय के समरूपी है (चूँकि, उदाहरण के लिए, <math>f(x) = \tfrac{2x - 1}{1 - \vert {2x - 1} \vert}</math> पूर्व से उत्तरार्द्ध तक सख्ती से बढ़ती आपत्ति है); आधे-बंद अंतराल [0,1) और (0,1] और बंद अंतराल [0,1] में निहित तर्कसंगतता, तीन अतिरिक्त ऑर्डर प्रकार के उदाहरण हैं।
+उदाहरण के लिए, [[पूर्णांक]] के समुच्चय (गणित) और [[समता (गणित)|सम (गणित)]] पूर्णांकों के समुच्चय का क्रम प्रकार समान होता है, क्योंकि माप <math>n\mapsto 2n</math> आक्षेप है जो क्रम को सुरक्षित रखता है। लेकिन पूर्णांकों के समुच्चय और परिमेय संख्याओं के समुच्चय (मानक क्रम के साथ) में समान क्रम प्रकार नहीं होता है, क्योंकि यद्यपि ही समुच्चय समान [[ प्रमुखता |आकार]] के होते हैं (वे दोनों [[गणनीय समुच्चय]] हैं), उनके बीच कोई क्रम-परिरक्षी मानचित्रण विशेषण नहीं है। इन दो क्रमित प्रारूपों में हम दो : धनात्मक पूर्णांकों में समुच्चय (जिसमें सबसे कम अवयव होता है), और ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय (जिसमें सबसे बड़ा अवयव होता है) और जोड़ सकते हैं। विवृत अंतराल {{math|(0, 1)}} परिमेय का क्रम परिमेय के समरूपी है (चूँकि, उदाहरण के लिए, <math>f(x) = \tfrac{2x - 1}{1 - \vert {2x - 1} \vert}</math> पूर्व से उत्तरार्द्ध तक दृढ़ता से बढ़ती द्विभाजन है); अर्ध-विवृत अंतराल [0,1) और (0,1] और विवृत अंतराल [0,1] में निहित परिमेय, तीन अतिरिक्त क्रमित प्रारूप के उदाहरण हैं।
-चूँकि क्रम-समतुल्यता एक [[समतुल्य संबंध]] है, यह एक का विभाजन सभी क्रमबद्ध सेटों के [[वर्ग (सेट सिद्धांत)]] को समतुल्य वर्गों में सेट करता है।
+चूँकि क्रम-समतुल्यता [[समतुल्य संबंध]] है, यह सभी क्रमबद्ध सम्मुचयो के [[वर्ग (सेट सिद्धांत)]] को समतुल्य वर्गों में विभाजित करता है।
-==अच्छी तरह से ऑर्डर का प्रकार==
+==सु-क्रमित क्रम प्रारूप ==
-[[File:OrderTypeExamples svg.svg|thumb|400px|अलग-अलग क्रम प्रकारों (ऊपर से नीचे) के साथ प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर तीन सुव्यवस्थित क्रम: <math>\omega</math>, <math>\omega+5</math>, और <math>\omega+\omega</math>.]]परिभाषा के अनुसार प्रत्येक [[सुव्यवस्थित सेट]] ठीक एक [[क्रमसूचक संख्या (गणित)]] के बराबर होता है। क्रमसूचक संख्याओं को उनकी कक्षाओं का विहित रूप माना जाता है, और इसलिए एक सुव्यवस्थित सेट के क्रम प्रकार को आमतौर पर संबंधित क्रमसूचक के साथ पहचाना जाता है। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का क्रम प्रकार है {{mvar|[[ω (ordinal number)|ω]]}}.
+[[File:OrderTypeExamples svg.svg|thumb|400px|अलग-अलग क्रम प्रारूपों (ऊपर से नीचे) के साथ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर तीन सुव्यवस्थित क्रम: <math>\omega</math>, <math>\omega+5</math>, और <math>\omega+\omega</math>। ]]परिभाषा के अनुसार प्रत्येक [[सुव्यवस्थित सेट|सुव्यवस्थित समुच्चय]] यथार्थतः [[क्रमसूचक संख्या (गणित)]] के बराबर होता है। क्रमसूचक संख्याओं को उनकी कक्षाओं का विहित रूप माना जाता है, और इसलिए सुव्यवस्थित समुच्चय के क्रम प्रारूप को साधारणतया संबंधित क्रमसूचक के साथ पहचाना जाता है। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का क्रम प्रकार {{mvar|[[ω (ordinal number)|ω]]}} हैं।
-सुव्यवस्थित सेट का ऑर्डर प्रकार {{mvar|V}} को कभी-कभी इस रूप में व्यक्त किया जाता है {{math|ord(''V'')}}.<ref>{{Cite web |url=http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/ordinals.htm |title=Ordinal Numbers and Their Arithmetic<!-- Bot generated title --> |access-date=2007-06-13 |archive-date=2009-10-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20091027100631/http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/ordinals.htm |url-status=dead }}</ref>
+सुव्यवस्थित समुच्चय का क्रम प्रारूप {{mvar|V}} को कभी-कभी {{math|ord(''V'')}}<ref>{{Cite web |url=http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/ordinals.htm |title=Ordinal Numbers and Their Arithmetic<!-- Bot generated title --> |access-date=2007-06-13 |archive-date=2009-10-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20091027100631/http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/ordinals.htm |url-status=dead }}</ref> के रूप में व्यक्त किया जाता हैं।
-उदाहरण के लिए, सेट पर विचार करें {{mvar|V}} सम क्रमादेशों से भी कम {{math|''ω'' &sdot; 2 + 7}}:
+उदाहरण के लिए, समुच्चय पर विचार करें {{mvar|V}}  सम क्रमसूचक {{math|''ω'' &sdot; 2 + 7}} से भी कम होता हैं:
 :<math>V = \{0,2,4,\ldots;\omega,\omega + 2,\omega + 4,\ldots;\omega\cdot 2,\omega\cdot 2 + 2, \omega\cdot 2 + 4, \omega\cdot 2 + 6\}.</math>
-इसका ऑर्डर प्रकार है:
+इसका क्रम प्रारूप है:
 :<math>\operatorname{ord}(V) = \omega\cdot 2 + 4 = \{0, 1, 2, \ldots; \omega, \omega+1, \omega+2, \ldots; \omega\cdot 2, \omega\cdot 2 + 1, \omega\cdot 2 + 2, \omega\cdot 2 + 3\},</math>
-क्योंकि गिनती की 2 अलग-अलग सूचियाँ हैं और अंत में क्रम से 4 हैं।
+क्योंकि गणना की 2 अलग-अलग सूचियाँ हैं और अंत में क्रम से 4 हैं।
 ==परिमेय संख्या==
-किसी भी गणनीय पूर्णतः क्रमबद्ध सेट को क्रम-संरक्षण तरीके से परिमेय संख्याओं में इंजेक्टिव रूप से मैप किया जा सकता है।
+किसी भी गणनीय पूर्णतः क्रमबद्ध समुच्चय को क्रम-संरक्षण प्रकारो से परिमेय संख्याओं में अन्तः क्षेपक रूप से मापा किया जा सकता है।
-किसी भी घने क्रम को गिनने योग्य पूरी तरह से आदेशित सेट जिसमें कोई उच्चतम और कोई निम्नतम तत्व नहीं है, उसे क्रम-संरक्षण तरीके से तर्कसंगत संख्याओं पर विशेष रूप से मैप किया जा सकता है।
+किसी भी घने क्रम को गणना करने योग्य पूर्ण रूप से क्रमित समुच्चय जिसमें कोई उच्चतम और कोई निम्नतम अवयव नहीं है, उसे क्रम-संरक्षण प्रकार से परिमेय संख्याओं पर विशेष रूप से मापा जा सकता है।
 == संकेतन ==
-[[पूर्णांक संख्या]] और परिमेय संख्या का क्रम प्रकार आमतौर पर दर्शाया जाता है <math>\pi</math> और <math>\eta</math>, क्रमशः. यदि एक सेट <math>S</math> ऑर्डर प्रकार है <math>\sigma</math>, के [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]] का क्रम प्रकार <math>S</math> (उलटा क्रम) दर्शाया गया है <math>\sigma^{*}</math>.
+[[पूर्णांक संख्या]] और परिमेय संख्या का क्रम प्रकार साधारण तौर पर <math>\pi</math> और <math>\eta</math> दर्शाया जाता है, क्रमशः यदि समुच्चय <math>S</math> का क्रम प्रारूप <math>\sigma</math> हैं, तो <math>S</math> के [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]] का क्रम प्रारूप (प्रतिलोम क्रम) <math>\sigma^{*}</math>दर्शाया गया है।
 ==यह भी देखें==
-*सुव्यवस्थित
+*सु-क्रमित
 == बाहरी संबंध ==
 * {{mathworld|urlname=OrderType|title=Order Type}}
 ==संदर्भ==
 {{reflist}}
-{{Order theory}}
-[[Category: क्रमसूचक संख्या]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 30/06/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
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