निरपेक्ष मान (बीजगणित): Difference between revisions

Latest revision as of 12:38, 14 July 2023

बीजगणित में, एक निरपेक्ष मान (जिसे मूल्यांकन, परिमाण या मानदंड भी कहा जाता है,^[1] चूँकि मानदंड (गणित) सामान्यतः एक विशिष्ट प्रकार के निरपेक्ष मान को संदर्भित करता है) एक फलन (गणित) होता है जो किसी अभिन्न डोमेन में तत्वों के आकार को मापता है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, यदि D एक अभिन्न डोमेन होता है, तो 'संपूर्ण मान' होता है |x| R संतोषजनक:

•	$\left\|x\right\|\geq 0$	(गैर-ऋणात्मक)
•	$\left\|x\right\|=0$ यदि if $x=0$	(धनात्मक निश्चितता)
•	$\left\|xy\right\|=\left\|x\right\|\left\|y\right\|$	(गुणात्मकता)
•	$\left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|$	(असमानित त्रिकोण)

इन सूक्तियों से यह निष्कर्ष निकलता है कि |1| = 1 और |-1| = 1. इसके अतिरिक्त, प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए है,

|n| = |1 + 1 +...+1 (n)| = |−1 − 1 − ... − 1 (n)| ≤n.

निरपेक्ष मान वह होता है जिसमें, उदाहरण के लिए, |2|=2 है, लेकिन कई अन्य फलन ऊपर बताई गई आवश्यकताओं को पूरा करते है, उदाहरण के लिए निरपेक्ष मान का वर्गमूल।

एक निरपेक्ष मान एक माप को प्रेरित करता है $d(f,g)=|f-g|.$

उदाहरण

पूर्णांकों पर मानक निरपेक्ष मान.
संमिश्र संख्याओं पर मानक निरपेक्ष मान.
पी-एडिक निरपेक्ष मान तर्कसंगत संख्याओं पर।
यदि R, F और तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र है $p(x)$ R का एक निश्चित अपरिवर्तनीय तत्व है, तो निम्नलिखित R पर एक निरपेक्ष मान को परिभाषित करता है: इसके लिए $f(x)$ R परिभाषा में $|f|$ होता है $2^{-n}$ , जहाँ $f(x)=p(x)^{n}{\frac {g(x)}{h(x)}}$ और $\gcd(g(x),p(x))=1=\gcd(h(x),p(x)).$

निरपेक्ष मान के प्रकार

तुच्छ निरपेक्ष मान |x|=0 के साथ निरपेक्ष मान है x=0 और |x|=1।^[2] प्रत्येक अभिन्न डोमेन कम से कम तुच्छ निरपेक्ष मान ले सकता है। किसी परिमित क्षेत्र पर तुच्छ मान ही एकमात्र संभावित निरपेक्ष मान होता है क्योंकि किसी भी गैर-शून्य तत्व को 1 प्राप्त करने के लिए कुछ ऊर्जा तक बढ़ाया जा सकता है।

यदि कोई निरपेक्ष मान मजबूत गुण को संतुष्ट करता है |x + y| ≤ सभी x और y के लिए अधिकतम(|x|, |y|), फिर |x या 'गैर-आर्किमिडीयन निरपेक्ष मान', और अन्यथा एक 'आर्किमिडीयन निरपेक्ष मान'।

स्थान

यदि |x|₁ और |x|₂ एक ही अभिन्न डोमेन D पर दो निरपेक्ष मान होते है, तो यह दो निरपेक्ष मान समतुल्य होते है यदि |x|₁ <1और |x|₂ <1 सभी एक्स के लिए है। यदि दो गैर-तुच्छ निरपेक्ष मान समतुल्य होते है, तो कुछ घातांक e के लिए हमारे पास है |x|₁ = |x|₂ सभी एक्स के लिए निरपेक्ष मान 1 से कम निरपेक्ष मान प्राप्त होता है, लेकिन 1 से अधिक बढ़ाने पर यह आवश्यक नहीं होता है कि निरपेक्ष मान प्राप्त हो जाए। (उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं पर सामान्य निरपेक्ष मान का वर्गीकरण करने पर एक फलन प्राप्त होता है जो पूर्ण मान नहीं होता है |x+y| ≤ |x|+|y|.) संपूर्ण मान, या दूसरे शब्दों में, निरपेक्ष मानों के समतुल्य वर्ग को 'बीजगणितीय संख्या सिद्धांत कहा जाता है।

ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय में कहा गया है कि परिमेय संख्या 'क्यू' के गैर-तुच्छ स्थान सामान्य निरपेक्ष मान और प्रत्येक अभाज्य पी के लिए पी-एडिक निरपेक्ष मान होता है।^[3] किसी दिए गए अभाज्य पी के लिए, किसी भी परिमेय संख्या q को pⁿ(a/b) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां a और b पूर्णांक है जो p से विभाज्य नहीं होता है और n एक पूर्णांक होता है। q का p-एडिक निरपेक्ष मान है

\left|p^{n}{\frac {a}{b}}\right|_{p}=p^{-n}.

चूँकि उपरोक्त परिभाषा के अनुसार सामान्य निरपेक्ष मान और पी-एडिक निरपेक्ष मान संख्याओं को परिभाषित करते है।

मूल्यांकन

यदि निरपेक्ष मान b > 1 के लिए, हम ν(x)_b=−log परिभाषित करते है |x| x ≠ 0 और ν(0) = ∞ के लिए, जहां ∞ सभी वास्तविक संख्याओं से बड़ा होता है, तो हम निम्नलिखित गुणों के साथ D से 'R' ∪ {∞} तक एक फलन प्राप्त करते है:

ν(x) = ∞ ⇒ x = 0,
ν(xy) = ν(x)+ν(y),
ν(x + y) ≥ min(ν(x), ν(y))

इस तरह के फलन को निकोलस बॉर्बकी की वाक्यांश में मूल्यांकन (बीजगणित) के रूप में जाना जाता है, लेकिन अन्य लेखक निरपेक्ष मूल्य के लिए मूल्यांकन शब्द का उपयोग करते है।

पूर्णता

निरपेक्ष मान के साथ एक अभिन्न डोमेन D को देखते हुए, हम निरपेक्ष मान के संबंध में D के तत्वों को कॉची अनुक्रम द्वारा परिभाषित कर सकते है, जिसके लिए यह आवश्यक होता है कि प्रत्येक ε > 0 के लिए एक धनात्मक पूर्णांक n होता है, जैसे कि सभी पूर्णांक एम, एन > एन के पास होता है |x_m − x_n| < ε, शून्य अनुक्रमों को (a_n) D के तत्वों को |a_n| शून्य अनुक्रमों में परिवर्तित करता है। कॉची अनुक्रमों के वलय में शून्य अनुक्रम एक प्रमुख आदर्श होता है, और इसलिए भागफल वलय एक अभिन्न डोमेन होता है। डोमेन D इस भागफल में अंतर्निहित होता है, जिसे निरपेक्ष मान |x| के संबंध में D का पूर्ण मीट्रिक स्थान कहा जाता है।

चूँकि क्षेत्र अभिन्न डोमेन होता है, यह निरपेक्ष मान के संबंध में किसी क्षेत्र को पूरा करने के लिए एक निर्माण भी होता है। उत्तरार्द्ध का भागफल सभी गैर-शून्य तत्वों के अनुक्रम के अंतिम शून्य बिंदु से प्रारंभ होने वाले अनुक्रम से आसानी से किया जा सकता है। भागफल वलय गैर-शून्य तत्व के अनुक्रम के शून्य अनुक्रम से भिन्न होता है, और एक प्रतिनिधि व्युत्क्रम तत्व प्राप्त हो सकता है।

अलेक्जेंडर ओस्ट्रोव्स्की का एक अन्य प्रमेय यह होता है कि आर्किमिडीज के निरपेक्ष मूल्य के संबंध में पूरा किया गया कोई भी क्षेत्र वास्तविक या जटिल संख्याओं के लिए समरूपी होता है, और मूल्यांकन सामान्य क्षेत्र के बराबर होता है।^[4] गेलफैंड-टॉर्नहेम प्रमेय में कहा गया है कि मूल्यांकन वाला कोई भी क्षेत्र C के क्षेत्र विस्तार के लिए समरूपी होता है, मूल्यांकन C पर सामान्य निरपेक्ष मूल्य के बराबर होता है।^[5]

क्षेत्र और अभिन्न डोमेन

यदि D, निरपेक्ष मान है

|x/y|=|x|/|y|.\,

दूसरी ओर, यदि F अल्ट्रामेट्रिक निरपेक्ष मान |x| एक क्षेत्र है, तो F के तत्वों का समुच्चय इस प्रकार होता है |x| ≤ 1 यह एक मूल्यांकन को परिभाषित करता है, जैसे कि F के प्रत्येक गैर-शून्य तत्व x के लिए, x या x⁻¹ में D से संबंधित होता है। चूँकि F एक क्षेत्र है, D का कोई शून्य विभाजक नहीं होता है और यह एक अभिन्न डोमेन होता है। इसका एक अद्वितीय अधिकतम अनुक्रम होता है जिसमें x इस प्रकार सम्मलित होते है |x| <1, और इसलिए यह एक स्थानीय वलय होता है।

↑ Koblitz, Neal (1984). पी-एडिक संख्याएं, पी-एडिक विश्लेषण और जीटा-फ़ंक्शन (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 1. ISBN 978-0-387-96017-3. Retrieved 24 August 2012. The metrics we'll be dealing with will come from norms on the field F...
↑ Koblitz, Neal (1984). पी-एडिक संख्याएं, पी-एडिक विश्लेषण और जीटा-फ़ंक्शन (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 3. ISBN 978-0-387-96017-3. Retrieved 24 August 2012. By the 'trivial' norm we mean the norm ‖ ‖ such that ‖0‖ = 0 and ‖x‖ = 1 for x ≠ 0.
↑ Cassels (1986) p.16
↑ Cassels (1986) p.33
↑ William Stein (2004-05-06). "मूल्यांकन के उदाहरण". Retrieved 2023-01-28.

संदर्भ

Bourbaki, Nicolas (1972). Commutative Algebra. Addison-Wesley.
Cassels, J.W.S. (1986). Local Fields. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
Jacobson, Nathan (1989). Basic algebra II (2nd ed.). W H Freeman. ISBN 0-7167-1933-9. Chapter 9, paragraph 1 "Absolute values".
Janusz, Gerald J. (1996–1997). Algebraic Number Fields (2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4.

[1] Koblitz, Neal (1984). पी-एडिक संख्याएं, पी-एडिक विश्लेषण और जीटा-फ़ंक्शन (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 1. ISBN 978-0-387-96017-3. Retrieved 24 August 2012. The metrics we'll be dealing with will come from norms on the field F...

[2] Koblitz, Neal (1984). पी-एडिक संख्याएं, पी-एडिक विश्लेषण और जीटा-फ़ंक्शन (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 3. ISBN 978-0-387-96017-3. Retrieved 24 August 2012. By the 'trivial' norm we mean the norm ‖ ‖ such that ‖0‖ = 0 and ‖x‖ = 1 for x ≠ 0.

[3] Cassels (1986) p.16

[4] Cassels (1986) p.33

[5] William Stein (2004-05-06). "मूल्यांकन के उदाहरण". Retrieved 2023-01-28.

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-{{About|the generalization of the basic concept|the basic concept|Absolute value||Absolute value (disambiguation)}}
+{{About|मूल अवधारणा का सामान्यीकरण|मूल अवधारणा|निरपेक्ष मूल्य||निरपेक्ष मूल्य (बहुविकल्पी)}}
-[[बीजगणित]] में, एक निरपेक्ष मान (जिसे मूल्यांकन, परिमाण या मानदंड भी कहा जाता है,<ref>{{cite book |last=Koblitz |first=Neal |authorlink=Neal Koblitz |title=पी-एडिक संख्याएं, पी-एडिक विश्लेषण और जीटा-फ़ंक्शन|edition=2nd |year=1984 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |isbn=978-0-387-96017-3 |url=https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-96017-3 |accessdate=24 August 2012 |page=1 |quote=The metrics we'll be dealing with will come from ''norms'' on the field ''F''...}}</ref> हालाँकि मानदंड (गणित) आमतौर पर एक [[फ़ील्ड (गणित)]] पर एक विशिष्ट प्रकार के निरपेक्ष मान को संदर्भित करता है) एक [[फ़ंक्शन (गणित)]] है जो किसी फ़ील्ड या [[अभिन्न डोमेन]] में तत्वों के आकार को मापता है। अधिक सटीक रूप से, यदि डी एक अभिन्न डोमेन है, तो 'पूर्ण मान' कोई भी मैपिंग है |x 'आर' संतोषजनक:
+[[बीजगणित]] में, एक '''निरपेक्ष मान''' (जिसे मूल्यांकन, परिमाण या मानदंड भी कहा जाता है,<ref>{{cite book |last=Koblitz |first=Neal |authorlink=Neal Koblitz |title=पी-एडिक संख्याएं, पी-एडिक विश्लेषण और जीटा-फ़ंक्शन|edition=2nd |year=1984 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |isbn=978-0-387-96017-3 |url=https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-96017-3 |accessdate=24 August 2012 |page=1 |quote=The metrics we'll be dealing with will come from ''norms'' on the field ''F''...}}</ref> चूँकि मानदंड (गणित) सामान्यतः एक विशिष्ट प्रकार के निरपेक्ष मान को संदर्भित करता है) एक [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] होता है जो किसी [[अभिन्न डोमेन]] में तत्वों के आकार को मापता है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, यदि D एक अभिन्न डोमेन होता है, तो 'संपूर्ण मान' होता है |x| R संतोषजनक:
 {|
 |-
-| style="width:1.1em" | || style="width:.8em" | •|| <math>\left|x\right|\geq0</math> || style="width:3em" | || (non-negativity)
+| style="width:1.1em" | || style="width:.8em" | •|| <math>\left|x\right|\geq0</math> || style="width:3em" | || (गैर-ऋणात्मक)
 |-
-| ||•|| <math>\left|x\right|=0</math> if and only if <math>x=0</math> || || ([[Positive-definite function|positive definiteness]])
+| ||•|| <math>\left|x\right|=0</math> यदि if <math>x=0</math> || || (धनात्मक निश्चितता)
 |-
-| ||•|| <math>\left|xy\right|=\left|x\right|\left|y\right|</math> || || (multiplicativity)
+| ||•|| <math>\left|xy\right|=\left|x\right|\left|y\right|</math> || || (गुणात्मकता)
 |-
-| ||•|| <math>\left|x+y\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right|</math> || || ([[triangle inequality]])
+| ||•|| <math>\left|x+y\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right|</math> || || (असमानित त्रिकोण)
 |}
-इन सूक्तियों से यह निष्कर्ष निकलता है कि |1| = 1 और |-1| = 1. इसके अलावा, प्रत्येक सकारात्मक [[पूर्णांक]] n के लिए,
+इन सूक्तियों से यह निष्कर्ष निकलता है कि |1| = 1 और |-1| = 1. इसके अतिरिक्त, प्रत्येक धनात्मक [[पूर्णांक]] n के लिए है,
-:|एन| = |1 + 1 +...+1 (एन बार)| = |−1 − 1 − ... − 1 (एन बार)| ≤एन.
+:|n| = |1 + 1 +...+1 (n)| = |−1 − 1 − ... − 1 (n)| ≤n.
-शास्त्रीय निरपेक्ष मान वह है जिसमें, उदाहरण के लिए, |2|=2, लेकिन कई अन्य फ़ंक्शन ऊपर बताई गई आवश्यकताओं को पूरा करते हैं, उदाहरण के लिए शास्त्रीय निरपेक्ष मान का [[वर्गमूल]] (लेकिन उसका वर्ग नहीं)।
-एक निरपेक्ष मान एक मीट्रिक (गणित) (और इस प्रकार एक टोपोलॉजिकल स्पेस#परिभाषाएँ) को प्रेरित करता है <math>d(f,g) = |f - g|.</math>
+निरपेक्ष मान वह होता है जिसमें, उदाहरण के लिए, |2|=2 है, लेकिन कई अन्य फलन ऊपर बताई गई आवश्यकताओं को पूरा करते है, उदाहरण के लिए निरपेक्ष मान का [[वर्गमूल]]।
+एक निरपेक्ष मान एक माप को प्रेरित करता है <math>d(f,g) = |f - g|.</math>
 == उदाहरण ==
 *पूर्णांकों पर मानक निरपेक्ष मान.
 *संमिश्र संख्याओं पर मानक निरपेक्ष मान.
-*पी-एडिक मूल्यांकन#पी-एडिक निरपेक्ष मूल्य|पी-एडिक निरपेक्ष मान तर्कसंगत संख्याओं पर।
+*पी-एडिक निरपेक्ष मान तर्कसंगत संख्याओं पर।
-*यदि R, फ़ील्ड F और पर [[तर्कसंगत कार्य]]ों का क्षेत्र है <math>p(x)</math> आर का एक निश्चित अपरिवर्तनीय तत्व है, तो निम्नलिखित आर पर एक निरपेक्ष मान को परिभाषित करता है: के लिए <math>f(x)</math> आर परिभाषित में <math>|f|</math> होना <math>2^{-n}</math>, कहाँ <math>f(x) = p(x)^n \frac{g(x)}{h(x)}</math> और <math>\gcd(g(x), p(x)) = 1 = \gcd(h(x), p(x)).</math>
+*यदि R, F और [[तर्कसंगत कार्य|तर्कसंगत कार्यों]] का क्षेत्र है <math>p(x)</math> R का एक निश्चित अपरिवर्तनीय तत्व है, तो निम्नलिखित R पर एक निरपेक्ष मान को परिभाषित करता है: इसके लिए <math>f(x)</math> R परिभाषा में <math>|f|</math> होता है <math>2^{-n}</math>, जहाँ <math>f(x) = p(x)^n \frac{g(x)}{h(x)}</math> और <math>\gcd(g(x), p(x)) = 1 = \gcd(h(x), p(x)).</math>
 == निरपेक्ष मान के प्रकार ==
-तुच्छ निरपेक्ष मान |''x''|=0 के साथ निरपेक्ष मान है जब ''x''=0 और |''x''|=1 अन्यथा।<ref>{{cite book |last=Koblitz |first=Neal |authorlink=Neal Koblitz |title=पी-एडिक संख्याएं, पी-एडिक विश्लेषण और जीटा-फ़ंक्शन|edition=2nd |year=1984 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |isbn=978-0-387-96017-3 |url=https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-96017-3 |accessdate=24 August 2012 |page=3 |quote=By the 'trivial' norm we mean the norm&nbsp;‖&nbsp;‖ such that ‖0‖&nbsp;=&nbsp;0 and ‖''x''‖&nbsp;=&nbsp;1 for ''x''&nbsp;≠&nbsp;0.}}</ref> प्रत्येक अभिन्न डोमेन कम से कम तुच्छ निरपेक्ष मान ले सकता है। किसी [[परिमित क्षेत्र]] पर तुच्छ मान ही एकमात्र संभावित निरपेक्ष मान है क्योंकि किसी भी गैर-शून्य तत्व को 1 प्राप्त करने के लिए कुछ शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है।
+तुच्छ निरपेक्ष मान |''x''|=0 के साथ निरपेक्ष मान है ''x''=0 और |''x''|=1।<ref>{{cite book |last=Koblitz |first=Neal |authorlink=Neal Koblitz |title=पी-एडिक संख्याएं, पी-एडिक विश्लेषण और जीटा-फ़ंक्शन|edition=2nd |year=1984 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |isbn=978-0-387-96017-3 |url=https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-96017-3 |accessdate=24 August 2012 |page=3 |quote=By the 'trivial' norm we mean the norm&nbsp;‖&nbsp;‖ such that ‖0‖&nbsp;=&nbsp;0 and ‖''x''‖&nbsp;=&nbsp;1 for ''x''&nbsp;≠&nbsp;0.}}</ref> प्रत्येक अभिन्न डोमेन कम से कम तुच्छ निरपेक्ष मान ले सकता है। किसी [[परिमित क्षेत्र]] पर तुच्छ मान ही एकमात्र संभावित निरपेक्ष मान होता है क्योंकि किसी भी गैर-शून्य तत्व को 1 प्राप्त करने के लिए कुछ ऊर्जा तक बढ़ाया जा सकता है।
 यदि कोई निरपेक्ष मान मजबूत गुण को संतुष्ट करता है |x + y| ≤ सभी x और y के लिए अधिकतम(|x|, |y|), फिर |x या 'गैर-आर्किमिडीयन निरपेक्ष मान', और अन्यथा एक 'आर्किमिडीयन निरपेक्ष मान'।
 == स्थान ==
-यदि |x|<sub>1</sub> और |x|<sub>2</sub> एक ही अभिन्न डोमेन D पर दो निरपेक्ष मान हैं, तो दो निरपेक्ष मान समतुल्य हैं यदि |x|<sub>1</sub> <1 यदि और केवल यदि |x|<sub>2</sub> <1 सभी एक्स के लिए। यदि दो गैर-तुच्छ निरपेक्ष मान समतुल्य हैं, तो कुछ घातांक e के लिए हमारे पास |x| है<sub>1</sub><sup>तथा</sup> = |x|<sub>2</sub> सभी एक्स के लिए किसी निरपेक्ष मान को 1 से कम घात तक बढ़ाने पर एक और निरपेक्ष मान प्राप्त होता है, लेकिन 1 से अधिक घात तक बढ़ाने पर आवश्यक नहीं कि निरपेक्ष मान प्राप्त हो। (उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं पर सामान्य निरपेक्ष मान का वर्ग करने पर एक फ़ंक्शन प्राप्त होता है जो पूर्ण मान नहीं है क्योंकि यह नियम का उल्लंघन करता है |x+y| ≤ |x|+|y|.) तुल्यता तक पूर्ण मान, या में दूसरे शब्दों में, निरपेक्ष मानों के समतुल्य वर्ग को 'बीजगणितीय संख्या सिद्धांत#स्थान' कहा जाता है।
+यदि |x|<sub>1</sub> और |x|<sub>2</sub> एक ही अभिन्न डोमेन D पर दो निरपेक्ष मान होते है, तो यह दो निरपेक्ष मान समतुल्य होते है यदि |x|<sub>1</sub> <1और |x|<sub>2</sub> <1 सभी एक्स के लिए है। यदि दो गैर-तुच्छ निरपेक्ष मान समतुल्य होते है, तो कुछ घातांक e के लिए हमारे पास है |x|<sub>1</sub> = |x|<sub>2</sub> सभी एक्स के लिए निरपेक्ष मान 1 से कम निरपेक्ष मान प्राप्त होता है, लेकिन 1 से अधिक बढ़ाने पर यह आवश्यक नहीं होता है कि निरपेक्ष मान प्राप्त हो जाए। (उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं पर सामान्य निरपेक्ष मान का वर्गीकरण करने पर एक फलन प्राप्त होता है जो पूर्ण मान नहीं होता है |x+y| ≤ |x|+|y|.) संपूर्ण मान, या दूसरे शब्दों में, निरपेक्ष मानों के समतुल्य वर्ग को 'बीजगणितीय संख्या सिद्धांत कहा जाता है।
-ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय में कहा गया है कि परिमेय संख्या 'क्यू' के गैर-तुच्छ स्थान सामान्य निरपेक्ष मान और प्रत्येक अभाज्य पी के लिए पी-एडिक संख्या|पी-एडिक निरपेक्ष मान हैं।<ref>Cassels (1986) p.16</ref> किसी दिए गए अभाज्य p के लिए, किसी भी परिमेय संख्या q को p के रूप में लिखा जा सकता है<sup>n</sup>(a/b), जहां a और b पूर्णांक हैं जो p से विभाज्य नहीं हैं और n एक पूर्णांक है। q का p-एडिक निरपेक्ष मान है
+ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय में कहा गया है कि परिमेय संख्या 'क्यू' के गैर-तुच्छ स्थान सामान्य निरपेक्ष मान और प्रत्येक अभाज्य पी के लिए पी-एडिक निरपेक्ष मान होता है।<ref>Cassels (1986) p.16</ref> किसी दिए गए अभाज्य पी के लिए, किसी भी परिमेय संख्या q को p<sup>n</sup>(a/b) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां a और b पूर्णांक है जो p से विभाज्य नहीं होता है और n एक पूर्णांक होता है। q का p-एडिक निरपेक्ष मान है
 :<math>\left|p^n \frac{a}{b}\right|_p = p^{-n}.</math>
-चूँकि उपरोक्त परिभाषा के अनुसार सामान्य निरपेक्ष मान और पी-एडिक निरपेक्ष मान निरपेक्ष मान हैं, ये स्थानों को परिभाषित करते हैं।
+चूँकि उपरोक्त परिभाषा के अनुसार सामान्य निरपेक्ष मान और पी-एडिक निरपेक्ष मान संख्याओं को परिभाषित करते है।
 == मूल्यांकन ==
-{{main|Valuation (algebra)}}
+{{main|मूल्यांकन (बीजगणित)}}
-यदि कुछ अल्ट्रामेट्रिक निरपेक्ष मान और किसी आधार b > 1 के लिए, हम ν(x)=−log परिभाषित करते हैं<sub>''b''</sub>|x| x ≠ 0 और ν(0) = ∞ के लिए, जहां ∞ को सभी वास्तविक संख्याओं से बड़ा होने का आदेश दिया गया है, तो हम निम्नलिखित गुणों के साथ D से 'R' ∪ {∞} तक एक फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं:
+यदि निरपेक्ष मान b > 1 के लिए, हम ν(x)<sub>''b''</sub>=−log परिभाषित करते है |x| x ≠ 0 और ν(0) = ∞ के लिए, जहां ∞ सभी वास्तविक संख्याओं से बड़ा होता है, तो हम निम्नलिखित गुणों के साथ D से 'R' ∪ {∞} तक एक फलन प्राप्त करते है:
 * ν(x) = ∞ ⇒ x = 0,
 * ν(xy) = ν(x)+ν(y),
-* ν(x + y) ≥ min(ν(x), ν(y)).
+* ν(x + y) ≥ min(ν(x), ν(y))
-इस तरह के फ़ंक्शन को [[निकोलस बॉर्बकी]] की शब्दावली में [[मूल्यांकन (बीजगणित)]] के रूप में जाना जाता है, लेकिन अन्य लेखक निरपेक्ष मूल्य के लिए मूल्यांकन शब्द का उपयोग करते हैं और फिर मूल्यांकन के बजाय घातीय मूल्यांकन कहते हैं।
+इस तरह के फलन को [[निकोलस बॉर्बकी]] की वाक्यांश में [[मूल्यांकन (बीजगणित)]] के रूप में जाना जाता है, लेकिन अन्य लेखक निरपेक्ष मूल्य के लिए मूल्यांकन शब्द का उपयोग करते है।
 == पूर्णता ==
-निरपेक्ष मान के साथ एक अभिन्न डोमेन डी को देखते हुए, हम निरपेक्ष मान के संबंध में डी के तत्वों के [[कॉची अनुक्रम]] को परिभाषित कर सकते हैं, जिसके लिए यह आवश्यक है कि प्रत्येक ε > 0 के लिए एक सकारात्मक पूर्णांक एन हो, जैसे कि सभी पूर्णांक एम, एन > एन के लिए एक के पास |x है<sub>''m'' </sub> − एक्स<sub>''n''</sub>| < ε. कॉची अनुक्रम बिंदुवार जोड़ और गुणा के तहत एक रिंग (गणित) बनाते हैं। कोई शून्य अनुक्रमों को अनुक्रमों के रूप में भी परिभाषित कर सकता है (a<sub>''n''</sub>) D के तत्वों का ऐसा कि |a<sub>''n''</sub>| शून्य में परिवर्तित हो जाता है। कॉची अनुक्रमों के वलय में शून्य अनुक्रम एक [[प्रमुख आदर्श]] हैं, और इसलिए भागफल वलय एक अभिन्न डोमेन है। डोमेन डी इस भागफल रिंग में एम्बेडेड है, जिसे निरपेक्ष मान |x| के संबंध में डी का [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] कहा जाता है।
+निरपेक्ष मान के साथ एक अभिन्न डोमेन D को देखते हुए, हम निरपेक्ष मान के संबंध में D के तत्वों को [[कॉची अनुक्रम]] द्वारा परिभाषित कर सकते है, जिसके लिए यह आवश्यक होता है कि प्रत्येक ε > 0 के लिए एक धनात्मक पूर्णांक n होता है, जैसे कि सभी पूर्णांक एम, एन > एन के पास होता है |x<sub>''m''</sub> − x<sub>''n''</sub>| < ε, शून्य अनुक्रमों को (a<sub>''n''</sub>) D के तत्वों को |a<sub>''n''</sub>| शून्य अनुक्रमों में परिवर्तित करता है। कॉची अनुक्रमों के वलय में शून्य अनुक्रम एक [[प्रमुख आदर्श]] होता है, और इसलिए भागफल वलय एक अभिन्न डोमेन होता है। डोमेन D इस भागफल में अंतर्निहित होता है, जिसे निरपेक्ष मान |x| के संबंध में D का [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] कहा जाता है।
-चूँकि फ़ील्ड अभिन्न डोमेन हैं, यह निरपेक्ष मान के संबंध में किसी फ़ील्ड को पूरा करने के लिए एक निर्माण भी है। यह दिखाने के लिए कि परिणाम एक फ़ील्ड है, न कि केवल एक अभिन्न डोमेन, हम या तो दिखा सकते हैं कि शून्य अनुक्रम एक [[अधिकतम आदर्श]] बनाते हैं, या फिर सीधे व्युत्क्रम का निर्माण कर सकते हैं। उत्तरार्द्ध को भागफल रिंग के सभी गैर-शून्य तत्वों के लिए, अनुक्रम के अंतिम शून्य तत्व से परे एक बिंदु से शुरू होने वाला अनुक्रम लेकर आसानी से किया जा सकता है। भागफल वलय का कोई भी गैर-शून्य तत्व ऐसे अनुक्रम से एक शून्य अनुक्रम से भिन्न होगा, और बिंदुवार व्युत्क्रम लेकर हम एक प्रतिनिधि व्युत्क्रम तत्व पा सकते हैं।
+चूँकि क्षेत्र अभिन्न डोमेन होता है, यह निरपेक्ष मान के संबंध में किसी क्षेत्र को पूरा करने के लिए एक निर्माण भी होता है। उत्तरार्द्ध का भागफल सभी गैर-शून्य तत्वों के अनुक्रम के अंतिम शून्य बिंदु से प्रारंभ होने वाले अनुक्रम से आसानी से किया जा सकता है। भागफल वलय गैर-शून्य तत्व के अनुक्रम के शून्य अनुक्रम से भिन्न होता है, और एक प्रतिनिधि व्युत्क्रम तत्व प्राप्त हो सकता है।
-[[अलेक्जेंडर ओस्ट्रोव्स्की]] का एक अन्य प्रमेय यह है कि [[आर्किमिडीज]]़ के निरपेक्ष मूल्य के संबंध में पूरा किया गया कोई भी क्षेत्र वास्तविक या जटिल संख्याओं के लिए [[ समरूपी ]] है, और मूल्यांकन सामान्य के बराबर है।<ref>Cassels (1986) p.33</ref> गेलफैंड-टॉर्नहेम प्रमेय में कहा गया है कि आर्किमिडीयन मूल्यांकन वाला कोई भी क्षेत्र सी के क्षेत्र विस्तार के लिए आइसोमोर्फिक है, मूल्यांकन सी पर सामान्य निरपेक्ष मूल्य के बराबर है।<ref>{{cite web|url=https://www.williamstein.org/papers/ant/html/node60.html |author=William Stein |title=मूल्यांकन के उदाहरण|date=2004-05-06 |accessdate=2023-01-28 }}</ref>
+[[अलेक्जेंडर ओस्ट्रोव्स्की]] का एक अन्य प्रमेय यह होता है कि [[आर्किमिडीज]] के निरपेक्ष मूल्य के संबंध में पूरा किया गया कोई भी क्षेत्र वास्तविक या जटिल संख्याओं के लिए [[ समरूपी |समरूपी]] होता है, और मूल्यांकन सामान्य क्षेत्र के बराबर होता है।<ref>Cassels (1986) p.33</ref> गेलफैंड-टॉर्नहेम प्रमेय में कहा गया है कि मूल्यांकन वाला कोई भी क्षेत्र C के क्षेत्र विस्तार के लिए समरूपी होता है, मूल्यांकन C पर सामान्य निरपेक्ष मूल्य के बराबर होता है।<ref>{{cite web|url=https://www.williamstein.org/papers/ant/html/node60.html |author=William Stein |title=मूल्यांकन के उदाहरण|date=2004-05-06 |accessdate=2023-01-28 }}</ref>
+== क्षेत्र और अभिन्न डोमेन ==
+यदि D, निरपेक्ष मान है
-== फ़ील्ड्स और इंटीग्रल डोमेन ==
-यदि D, निरपेक्ष मान |
 :<math>|x/y| = |x|/|y|.\,</math>
-दूसरी ओर, यदि F अल्ट्रामेट्रिक निरपेक्ष मान |x| वाला एक क्षेत्र है, तो F के तत्वों का समुच्चय इस प्रकार है कि |x| ≤ 1 एक [[ मूल्यांकन अंगूठी ]] को परिभाषित करता है, जो एफ का एक [[सबरिंग]] डी है, जैसे कि एफ के प्रत्येक गैर-शून्य तत्व x के लिए, x या x में से कम से कम एक<sup>−1</sup>D से संबंधित है। चूँकि F एक क्षेत्र है, D का कोई शून्य विभाजक नहीं है और यह एक अभिन्न डोमेन है। इसका एक अद्वितीय अधिकतम आदर्श है जिसमें सभी x इस प्रकार शामिल हैं कि |x| <1, और इसलिए यह एक स्थानीय वलय है।
+दूसरी ओर, यदि F अल्ट्रामेट्रिक निरपेक्ष मान |x| एक क्षेत्र है, तो F के तत्वों का समुच्चय इस प्रकार होता है |x| ≤ 1 यह एक [[ मूल्यांकन अंगूठी |मूल्यांकन]] को परिभाषित करता है, जैसे कि F के प्रत्येक गैर-शून्य तत्व x के लिए, x या x<sup>−1</sup> में D से संबंधित होता है। चूँकि F एक क्षेत्र है, D का कोई शून्य विभाजक नहीं होता है और यह एक अभिन्न डोमेन होता है। इसका एक अद्वितीय अधिकतम अनुक्रम होता है जिसमें x इस प्रकार सम्मलित होते है |x| <1, और इसलिए यह एक स्थानीय वलय होता है।
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