परिमित प्रतिच्छेदन गुण

सामान्य सांस्थितिकी में गणित के समुच्चय $X$ के उपसमुच्चय के एक गैर-रिक्त समुच्चय $A$ को परिमित प्रतिच्छेदन गुण (एफआईपी) कहा जाता है यदि $A$ के किसी भी परिमित उपसमुच्चय पर प्रतिच्छेदित गैर-रिक्त समुच्चय है। यदि $A$ के किसी भी परिमित उपसमुच्चय पर प्रतिच्छेदन अनंत है तो इसमें समिश्र परिमित प्रतिच्छेदन गुण (एसएफआईपी) है। परिमित प्रतिच्छेदन गुण वाले समुच्चय को केंद्रित प्रणाली या फ़िल्टर उपसमुच्चय भी कहा जाता है।

परिमित प्रतिच्छेदन गुण का उपयोग सवृत समुच्चय के संदर्भ में सांस्थितिक समानता को सुधारने के लिए किया जा सकता है। यह इसका सबसे प्रमुख अनुप्रयोग है अन्य अनुप्रयोगों में यह सिद्ध करना और अल्ट्राफिल्टर (समुच्चय सिद्धांत) का निर्माण करना सम्मिलित है कि कुछ निश्चित समुच्चय अनंत हैं।

परिभाषा

मान लीजिए कि ${\textstyle X}$ एक समुच्चय है और ${\textstyle {\mathcal {A}}}$, ${\textstyle X}$ के उपसमुच्चय का एक गैर रिक्त समुच्चय है अर्थात ${\textstyle {\mathcal {A}}}$, ${\textstyle X}$ की घात समुच्चय का एक उपसमुच्चय है तब ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ को परिमित प्रतिच्छेदन गुण कहा जाता है यदि प्रत्येक गैर-रिक्त परिमित उपसमुच्चय में गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन होता है तो इसे समिश्र परिमित प्रतिच्छेदन गुण कहा जाता है यदि वह प्रतिच्छेदन सदैव अनंत होता है। प्रतीकों में ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ के पास एफआईपी होती है यदि ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ के किसी परिमित गैर-रिक्त उपसमुच्चय ${\textstyle {\mathcal {B}}}$ के किसी भी विकल्प के लिए एक बिंदु उपस्थित है:

$$x\in \bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}{B}{\text{.}}$$

इसी प्रकार ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ के पास एसएफआईपी होती है यदि ऐसे ही ${\textstyle {\mathcal {B}}}$ के प्रत्येक विकल्प के लिए अपरिमित ${\textstyle x}$ होते हैं।

फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत) के अध्ययन में एक समुच्चय के सामान्य प्रतिच्छेदन को कर्नेल कहा जाता है, जिसकी व्युत्पत्ति सूरजमुखी (गणित) के समान ही है। रिक्त कर्नेल वाले समुच्चयों को मुक्त समुच्चय कहा जाता है और गैर-रिक्त कर्नेल वाले समुच्चयों को स्थिर समुच्चय कहा जाता है।

उदाहरणों और गैर-उदाहरणों के समुच्चय

रिक्त समुच्चय परिमित प्रतिच्छेदन गुण वाले किसी भी समुच्चय से संबंधित नहीं हो सकते हैं। एफआईपी प्रतिच्छेदन गुण के लिए एक पर्याप्त गैर-रिक्त कर्नेल अवधारणा है। व्युत्पत्ति सामान्यतः गलत होती है, लेकिन परिमित समुच्चयों के लिए मान्य है अर्थात, यदि ${\mathcal {A}}$ परिमित समुच्चय है तो ${\mathcal {A}}$ के पास परिमित प्रतिच्छेदन गुण होते है यदि और केवल यदि यह निश्चित समुच्चय है तब ${\mathcal {A}}$ के पास परिमित प्रतिच्छेदन गुण नही होते हैं।

युग्म प्रतिच्छेदन

परिमित प्रतिच्छेदन गुण युग्म प्रतिच्छेदन की तुलना में अधिक समिश्र होते है जो समुच्चय $\{\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}\}$ में युग्म प्रतिच्छेदित है, लेकिन एफआईपी मे युग्म प्रतिच्छेदित नहीं होते है। सामान्यतः माना कि ${\textstyle n\in \mathbb {N} \setminus \{1\}}$ इकाई ${\textstyle [n]=\{1,\dots ,n\}}$ और ${\textstyle {\mathcal {A}}=\{[n]\setminus \{j\}:j\in [n]\}}$ से बड़ा एक धनात्मक पूर्णांक है जब ${\textstyle n}$ से कम तत्वों वाले ${\mathcal {A}}$ के किसी भी उपसमुच्चय में गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन होता है, लेकिन ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ में परिमित प्रतिच्छेदन गुणों का अभाव होता है।

अनंत-प्रकार के निर्माण

यदि $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\cdots$ गैर-रिक्त समुच्चयों का घटता क्रम है तो समुच्चय ${\textstyle {\mathcal {A}}=\left\{A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \right\}}$ में परिमित प्रतिच्छेदन गुण है और यह एक π-प्रणाली भी है। यदि समुच्चय $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\cdots$ समिश्र उपसमुच्चय हैं, तो ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ समिश्र परिमित प्रतिच्छेदन गुण को भी स्वीकृत करता है। अधिक सामान्यतः किसी भी समुच्चय ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ को पूरी तरह से सम्मिलित करने का क्रम दिया जाता है, जिसमें एफआईपी होता है।उसी समय समुच्चय ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ का कर्नेल रिक्त हो सकता है यदि ${\textstyle A_{j}=\{j,j+1,j+2,\dots \}}$, तो कर्नेल ${\mathcal {A}}$ रिक्त समुच्चय है। इसी प्रकार अंतरालों के समुच्चय $\left\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \right\}$ में भी परिमित प्रतिच्छेदन गुण होते हैं लेकिन समुच्चय रिक्त कर्नेल समुच्चय होता है।

सामान्य समुच्चय और गुण

लेबेस्ग माप ${\textstyle 1}$ के साथ $[0,1]$ के सभी बोरेल उपसमुच्चय के पास परिमित प्रतिच्छेदन गुण होते हैं जैसे कि कॉमेग्रे समुच्चय के समुच्चय के पास परिमित प्रतिच्छेदन गुण होते हैं। यदि ${\textstyle X}$ एक अनंत समुच्चय है तब फ़्रेचेट फ़िल्टर ${\textstyle \{X\setminus C:C{\text{ finite}}\}}$) में परिमित प्रतिच्छेदन गुण होते है। ये सभी मुक्त फ़िल्टर समुच्चय हैं, वे ऊपर की ओर सवृत और रिक्त अनंत प्रतिच्छेदित समुच्चय हैं।

यदि $X=(0,1)$ प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $i$ के लिए उपसमुच्चय $X_{i}$ मे $i$ दशमलव के स्थान पर अंक $0$ वाले $X$ के सभी तत्व हैं, तो $X_{i}$ का कोई भी परिमित प्रतिच्छेदन गैर-रिक्त हो सकता है यदि कुछ स्थान पर $0$ और कुछ स्थान पर $1$ मान लिया जाए, लेकिन सभी $i\geq 1$ के लिए $X_{i}$ का प्रतिच्छेदन रिक्त होता है क्योंकि $(0,1)$ के किसी भी तत्व में सभी शून्य अंक नहीं होता है।

परिमित समुच्चय का विस्तार

परिमित प्रतिच्छेदन समुच्चय की एक विशेषता समुच्चय ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ है न कि समुच्चय ${\textstyle X}$ है यदि समुच्चय ${\textstyle X}$ पर एक समुच्चय ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ और ${\textstyle X\subseteq Y}$ को स्वीकृत करता है तो ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ भी समुच्चय ${\textstyle Y}$ पर परिमित प्रतिच्छेदन गुण वाला एक समुच्चय है।

निर्मित फ़िल्टर और सांस्थितिक समुच्चय

See also: § π-प्रणाली और फिल्टर से संबंध

यदि $K\subseteq X$ को $K\neq \varnothing$ के साथ समुच्चय किया गया है तो समुच्चय ${\mathcal {A}}=\{S\subseteq X:K\subseteq S\}$ के पास परिमित प्रतिच्छेदन गुण होते है यदि इस समुच्चय को ${\textstyle X}$ द्वारा उत्पन्न ${\textstyle K}$ पर प्रमुख फ़िल्टर समुच्चय कहा जाता है। उपसमुच्चय ⊆ और एक विवृत अंतराल ${\mathcal {B}}=\{I\subseteq \mathbb {R} :K\subseteq I{\text{ and }}I{\text{ an open interval}}\}$ में परिमित प्रतिच्छेदन गुण होते है लगभग इसी कारण से कर्नेल में गैर-रिक्त समुच्चय ${\textstyle K}$ होता है यदि ${\textstyle K}$ एक विवृत अंतराल है, तो समुच्चय ${\textstyle K}$ वास्तव में ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ या ${\textstyle {\mathcal {B}}}$ के कर्नेल के बराबर है और प्रत्येक फ़िल्टर समुच्चय का एक तत्व भी है लेकिन सामान्यतः फ़िल्टर के कर्नेल को फ़िल्टर समुच्चय का एक तत्व होना आवश्यक नहीं होता है।

किसी समुच्चय पर एक उपयुक्त फ़िल्टर समुच्चय में परिमित प्रतिच्छेदन गुण होते है यदि सांस्थितिक समष्टि में एक बिंदु पर प्रत्येक निकटम उपसमुच्चय में परिमित प्रतिच्छेदन गुण है और यही विशेषता प्रत्येक निकटम उपसमुच्चय के आधार और एक बिंदु पर प्रत्येक निकटम फिल्टर समुच्चय के लिए भी प्रयुक्त होती है क्योंकि प्रत्येक समुच्चय विशेष रूप से एक निकटम उपसमुच्चय भी होते हैं।

π-प्रणाली और फिल्टर समुच्चय मे संबंध

Main article: पाई-प्रणाली

एक π-प्रणाली समुच्चयों का एक गैर-रिक्त समुच्चय है जो परिमित प्रतिच्छेदन के अंतर्गत सवृत समुच्चय है:

$$\pi ({\mathcal {A}})=\left\{A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}:1\leq n<\infty {\text{ and }}A_{1},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}\right\}$$

एक या अधिक समुच्चयों के सभी परिमित प्रतिच्छेदनों को ${\textstyle {\mathcal {A}}}$, द्वारा उत्पन्न π-प्रणाली कहा जाता है, क्योंकि यह उपसमुच्चय के रूप में ${\textstyle {\mathcal {A}}}$, वाली सबसे छोटा π-प्रणाली है और ${\textstyle X}$ , $\pi ({\mathcal {A}})$ का विवृत समुच्चय है:

$$\pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}=\left\{S\subseteq X:P\subseteq S{\text{ for some }}P\in \pi ({\mathcal {A}})\right\}{\text{.}}$$

किसी भी समुच्चय के लिए ${\textstyle {\mathcal {A}}}$, परिमित प्रतिच्छेदन गुण निम्नलिखित में से किसी के बराबर होते है:

• समुच्चय ${\mathcal {A}}$ द्वारा उत्पन्न π-प्रणाली में एक तत्व के रूप में रिक्त समुच्चय नहीं है जो कि $\varnothing \notin \pi ({\mathcal {A}})$ समुच्चय है।
• समुच्चय $\pi ({\mathcal {A}})$ परिमित प्रतिच्छेदन गुण है।
• समुच्चय $\pi ({\mathcal {A}})$ एक प्रीफ़िल्टर समुच्चय है।
• समुच्चय ${\mathcal {A}}$ कुछ प्रीफ़िल्टर के एक उपसमूह है।
• ऊपर की ओर सवृत होने वाला समुच्चय ${\textstyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}}$ एक फ़िल्टर समुच्चय है। इस स्थिति में ${\textstyle X}$ को $\pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}$ द्वारा उत्पन्न ${\textstyle X}$ पर फ़िल्टर समुच्चय कहा जाता है क्योंकि यह न्यूनतम $X$ पर $\,\subseteq \,$ फ़िल्टर के संबंध में ${\mathcal {A}}$ उपसमुच्चय के रूप में सम्मिलित है।
• समुच्चय ${\mathcal {A}}$ कुछ उपयुक्त फ़िल्टर का एक उपसमूह है।

अनुप्रयोग

सघनता

परिमित प्रतिच्छेदन गुण सघनता की वैकल्पिक परिभाषा बनाने में उपयोगी होते है:

Theorem — एक सांस्थितिक समष्टि तभी संक्षिप्त होती है जब परिमित प्रतिच्छेदन गुण वाले विवृत उपसमुच्चय के प्रत्येक समूह में गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन होता है।

समानता के इस सूत्रीकरण का उपयोग टाइकोनॉफ़ के प्रमेय के कुछ प्रमाणों में किया जाता है।

पूर्ण समष्टि की अनंतता

एक अन्य सामान्य अनुप्रयोग से यह सिद्ध करना है कि वास्तविक संख्याएँ अनंत समुच्चय हैं।

Theorem — मान लीजिए $X$ एक गैर-रिक्त संक्षिप्त समष्टि हॉसडॉर्फ समष्टि है जो इस गुण को संतुष्ट करती है कि कोई भी एक बिंदु समुच्चय सवृत समुच्चय नहीं है तब $X$ अनंत समुच्चय है।

प्रमेय के कथन में निम्नलिखित सभी शर्तें आवश्यक हैं:

1. हम हॉसडॉर्फ समष्टि को समाप्त नहीं कर सकते हैं क्योकि अविभाज्य सांस्थितिक के साथ एक गणनीय समुच्चय (कम से कम दो बिंदुओं के साथ) संक्षिप्त है जहां एक से अधिक बिंदु हैं जो इस गुण को संतुष्ट करते है कि कोई भी एक बिंदु समुच्चय विवृत नहीं है, लेकिन अनंत नहीं है।
2. हम सघनता की स्थिति को समाप्त नहीं कर सकते हैं क्योकि यह परिमेय संख्याओं के समुच्चय से पता चलता है।
3. हम इस शर्त को समाप्त नहीं कर सकते है कि एक बिंदु समुच्चय विवृत नहीं हो सकता है जैसा कि असतत सांस्थितिक के साथ कोई भी परिमित समष्टि प्रदर्शित होती है।

Proof

We will show that if $U\subseteq X$ is non-empty and open, and if $x$ is a point of $X,$ then there is a neighbourhood $V\subset U$ whose closure does not contain $x$ ($x$' may or may not be in $U$). Choose $y\in U$ different from $x$ (if $x\in U$ then there must exist such a $y$ for otherwise $U$ would be an open one point set; if $x\notin U,$ this is possible since $U$is non-empty). Then by the Hausdorff condition, choose disjoint neighbourhoods $W$ and $K$ of $x$ and $y$ respectively. Then $K\cap U$ will be a neighbourhood of $y$ contained in $U$ whose closure doesn't contain $x$ as desired.

Now suppose $f:\mathbb {N} \to X$ is a bijection, and let $\left\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}$ denote the image of $f.$ Let $X$ be the first open set and choose a neighbourhood $U_{1}\subset X$ whose closure does not contain $x_{1}.$ Secondly, choose a neighbourhood $U_{2}\subset U_{1}$ whose closure does not contain $x_{2}.$ Continue this process whereby choosing a neighbourhood $U_{n+1}\subset U_{n}$ whose closure does not contain $x_{n+1}.$ Then the collection $\left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}$ satisfies the finite intersection property and hence the intersection of their closures is non-empty by the compactness of $X.$ Therefore, there is a point $x$ in this intersection. No $x_{i}$ can belong to this intersection because $x_{i}$ does not belong to the closure of $U_{i}.$ This means that $x$ is not equal to $x_{i}$ for all $i$ and $f$ is not surjective; a contradiction. Therefore, $X$ is uncountable.

Corollary — Every closed interval $[a,b]$ with $a<b$ is uncountable. Therefore, $\mathbb {R}$ is uncountable.

Corollary — Every perfect, locally compact Hausdorff space is uncountable.

Proof

Let $X$ be a perfect, compact, Hausdorff space, then the theorem immediately implies that $X$ is uncountable. If $X$ is a perfect, locally compact Hausdorff space that is not compact, then the one-point compactification of $X$ is a perfect, compact Hausdorff space. Therefore, the one point compactification of $X$ is uncountable. Since removing a point from an uncountable set still leaves an uncountable set, $X$ is uncountable as well.

अल्ट्राफिल्टर

माना कि X गैर-रिक्त समुच्चय $F\subseteq 2^{X}$ है जो $F$ में परिमित प्रतिच्छेदन समुच्चय है और जिसमे $U$ अल्ट्राफिल्टर $2^{X}$ सम्मिलित है प्रायः इसके $F\subseteq U$ परिणाम को अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

• [[फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत)

|फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत) ]]

• [[टोपोलॉजी में फ़िल्टर

|टोपोलॉजी में फ़िल्टर ]]

• निकटम समष्टि
• [[अल्ट्राफिल्टर (समुच्चय सिद्धांत)

|अल्ट्राफिल्टर (समुच्चय सिद्धांत) ]]

संदर्भ

सामान्य स्रोत

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बाहरी संबंध

• "Finite intersection property". PlanetMath.

Families ${\mathcal {F}}$ of sets over $\Omega$
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
[[pi-system|π-system]]
Semiring										Never
[[Semialgebra|Semialgebra (Semifield)]]										Never
[[Monotone class|Monotone class]]						only if $A_{i}\searrow$	only if $A_{i}\nearrow$
[[Dynkin system|𝜆-system (Dynkin System)]]				only if $A\subseteq B$			only if $A_{i}\nearrow$ or they are disjoint			Never
[[Ring of sets|Ring (Order theory)]]
[[Ring of sets|Ring (Measure theory)]]										Never
[[Delta-ring|δ-Ring]]										Never
[[Sigma-ring|𝜎-Ring]]										Never
[[Field of sets|Algebra (Field)]]										Never
[[σ-algebra|𝜎-Algebra (𝜎-Field)]]										Never
[[Dual ideal|Dual ideal]]
[[Filter (set theory)|Filter]]				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
[[Prefilter|Prefilter (Filter base)]]				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
[[Filter subbase|Filter subbase]]				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
[[Topology (structure)|Open Topology]]							(even arbitrary $\cup$)			Never
[[Topology (structure)|Closed Topology]]						(even arbitrary $\cap$)				Never
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	directed downward	finite intersections	finite unions	relative complements	complements in $\Omega$	countable intersections	countable unions	contains $\Omega$	contains $\varnothing$	Finite Intersection Property
Additionally, a semiring is a [[pi-system|π-system]] where every complement $B\setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ A semialgebra is a semiring that contains $\Omega .$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ are arbitrary elements of ${\mathcal {F}}$ and it is assumed that ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$