घटना (संभावना सिद्धांत)

प्रायिकता सिद्धांत में, घटना प्रयोग (प्रायिकता सिद्धांत) (प्रतिदर्श समष्टि का उपसमुच्चय) के परिणाम (प्रायिकता) का उपसमुच्चय (गणित) है जिसे प्रायिकता निर्दिष्ट की जाती है। इस प्रकार से एक ही परिणाम कई अलग-अलग घटनाओं का अवयव हो सकता है, और प्रयोग में अलग-अलग घटनाओं की प्रायिकता सामान्यतः समान नहीं होती है, क्योंकि उनमें परिणामों के बहुत अलग समूह सम्मिलित हो सकते हैं। घटना जिसमें मात्र एक ही परिणाम होता है, उसे प्राथमिक घटना या परमाणु घटना कहा जाता है; अर्थात्, यह एक एकल समुच्चय है। घटना $S$ को घटित माना जाता है यदि $S$ में प्रयोग (या परीक्षण) का परिणाम $x$ सम्मिलित हो प्रयोग (अर्थात्, यदि $x\in S$)। किसी घटना $S$ के घटित होने की प्रायिकता (कुछ प्रायिकता माप के संबंध में) वह प्रायिकता है कि $S$ में एक प्रयोग का परिणाम $x$ सम्मिलित है (अर्थात्, यह प्रायिकता है कि $x\in S$)। इस प्रकार से एक घटना पूरक घटना को परिभाषित करती है, अर्थात् पूरक समुच्चय (घटना नहीं होने वाली), और साथ में ये बर्नौली परीक्षण को परिभाषित करते हैं: क्या घटना घटित हुई या नहीं?

सामान्यतः, जब प्रतिदर्श समष्टि परिमित होता है, तो प्रतिदर्श समष्टि का कोई भी उपसमुच्चय घटना होता है (अर्थात, प्रतिदर्श समष्टि के घात समुच्चय के सभी अवयवों को घटनाओं के रूप में परिभाषित किया जाता है)। यद्यपि, यह दृष्टिकोण उन स्थितियों में ठीक रूप से कार्य नहीं करता है जहां प्रतिदर्श समष्टि अगणनीय अनंत है। अतः इसलिए, प्रायिकता समष्टि को परिभाषित करते समय प्रतिदर्श समष्टि के कुछ उपसमुच्चयों को घटनाओं से बाहर करना संभव है, और प्रायः आवश्यक होता है (नीचे प्रायिकता समिष्टियों में घटनाएँ देखें)।

एक सरल उदाहरण

इस प्रकार से यदि हम बिना जोकर के 52 ताश के पत्तों का डेक एकत्रित करते हैं, और डेक से एक ताश निकालते हैं, तो प्रतिदर्श समष्टि 52-अवयव समुच्चय है, क्योंकि प्रत्येक ताश संभावित परिणाम है। अतः घटना, यद्यपि, प्रतिदर्श समष्टि का कोई उपसमुच्चय है, जिसमें कोई एकल समुच्चय (एक प्रारंभिक घटना), रिक्त समुच्चय (प्रायिकता शून्य के साथ असंभव घटना) और स्वयं प्रतिदर्श समष्टि (प्रायिकता के साथ निश्चित घटना) सम्मिलित है। अन्य घटनाएँ प्रतिदर्श समष्टि के उचित उपसमुच्चय हैं जिनमें कई अवयव होते हैं। इसलिए, इस प्रकार से उदाहरण के लिए, संभावित घटनाओं में सम्मिलित हैं:

किसी घटना का यूलर आरेख। $B$ प्रतिदर्श समष्टि है और $A$ घटना है।
उनके क्षेत्रों के अनुपात से, की प्रायिकता $A$ लगभग 0.4 है.

• जोकर बने बिना ही समय में लाल और काला (0 अवयव),

• 5 हार्ट (1 अवयव),
• एक राजा (4 अवयव),
• एक चित्र वाला ताश का पत्ता (12 अवयव),
• एक हुकुम का पत्ता (13 अवयव),
• एक हुकुम का पत्ता ताश या लाल सेट (32 अवयव),
• एक ताश (52 अवयव)।

चूँकि सभी घटनाएँ समुच्चय हैं, इसलिए उन्हें सामान्यतः समुच्चय के रूप में लिखा जाता है (इस प्रकार से उदाहरण के लिए, {1, 2, 3}), और वेन आरेख का उपयोग करके ग्राफिक रूप से दर्शाया जाता है। इस प्रकार से ऐसी स्थिति में जहां प्रतिदर्श समष्टि Ω में प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभावित है, किसी घटना $A$ की प्रायिकता $P$ निम्नलखित सूत्र है:

$$\mathrm {P} (A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}\,\ \left({\text{alternatively:}}\ \Pr(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}\right)$$

इस प्रकार से यह नियम उपरोक्त प्रत्येक उदाहरण घटना पर सरलता से लागू किया जा सकता है।

प्रायिकता समिष्टियों में घटनाएँ

अतः प्रतिदर्श समष्टि के सभी उपसमुच्चयों को घटनाओं के रूप में परिभाषित करना तब ठीक कार्य करता है जब मात्र सीमित रूप से कई परिणाम होते हैं, परन्तु जब प्रतिदर्श समष्टि अनंत होता है तो समस्याएं उत्पन्न होती हैं। कई मानक प्रायिकता वितरणों के लिए, जैसे कि सामान्य वितरण, प्रतिदर्श समष्टि का समुच्चय या वास्तविक संख्याओं का कुछ उपसमुच्चय है। वास्तविक संख्याओं के सभी समुच्चयों के लिए प्रायिकताओं को परिभाषित करने का प्रयास कठिनाइयों में पड़ जाता है जब कोई 'निकृष्ट व्यवहार वाले' समुच्चयों पर विचार करता है, जैसे कि गैर-मापनीय समुच्चय। इसलिए उप-समुच्चयों के अधिक सीमित वर्ग पर ध्यान केंद्रित करना आवश्यक है। प्रायिकता सिद्धांत के मानक उपकरण, जैसे कि संयुक्त प्रायिकता और सप्रतिबन्ध प्रायिकता, को कार्य करने के लिए, σ-बीजगणित का उपयोग करना आवश्यक है, अर्थात, वर्ग जो अपने सदस्यों के पूरक और गणनीय संघों के अंतर्गत संवृत है। σ-बीजगणित का सबसे स्वाभाविक विकल्प बोरेल माप समुच्चय है जो अंतरालों के संघों और प्रतिच्छेदनों से प्राप्त होता है। यद्यपि, लेब्सेग माप समुच्चय का बड़ा वर्ग व्यवहार में अधिक उपयोगी सिद्ध होता है।

इस प्रकार से प्रायिकता समिष्टियों के सामान्य माप सिद्धांत में विवरण में, एक घटना को प्रतिदर्श समष्टि के उपसमुच्चय के चयनित 𝜎-बीजगणित के अवयव के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। इस परिभाषा के अंतर्गत, प्रतिदर्श समष्टि का कोई भी उपसमुच्चय जो 𝜎-बीजगणित का अवयव नहीं है, एक घटना नहीं है, और इसकी कोई प्रायिकता नहीं है। यद्यपि, प्रायिकता समष्टि के उचित विनिर्देश के साथ, रुचि की सभी घटनाएँ 𝜎-बीजगणित के अवयव हैं।

अंकन पर नोट

यद्यपि घटनाएँ कुछ प्रतिदर्श समष्टि $\Omega$ के उपसमुच्चय हैं, फिर भी उन्हें प्रायः यादृच्छिक चर वाले विधेय या संकेतक के रूप में लिखा जाता है। अतः इस प्रकार से उदाहरण के लिए, यदि $X$ प्रतिदर्श समष्टि $\Omega$ पर परिभाषित वास्तविक-मानित यादृच्छिक चर है, तो घटना

$$\{\omega \in \Omega \mid u<X(\omega )\leq v\}\,$$

को अधिक सरलता से, मात्र,

$$u<X\leq v\,$$

के रूप में लिखा जा सकता है।

यह प्रायिकता के सूत्रों में विशेष रूप से सामान्य है, जैसे कि

$$\Pr(u<X\leq v)=F(v)-F(u)\,.$$

इस प्रकार से समुच्चय (गणित) $u<X\leq v$ प्रतिचित्रण (गणित) $X$ के अंतर्गत एक व्युत्क्रम प्रतिरूप एक उदाहरण है क्योंकि $\omega \in X^{-1}((u,v])$ यदि और मात्र यदि $u<X(\omega )\leq v.$

यह भी देखें

• परमाणु (माप सिद्धांत)
• पूरक घटना
• प्राथमिक घटना
• स्वतंत्र घटना
• परिणाम (प्रायिकता)
• युग्मानुसार स्वतंत्रता घटना

बाहरी संबंध

• "Random event", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Formal definition in the Mizar system.