गणनीय विकल्प का सिद्धांत: Difference between revisions
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गणनीय विकल्प का सिद्धांत ( | गणनीय विकल्प का सिद्धांत ('''AC<sub>ω</sub>''') निर्भर चयन के सिद्धांत (डीसी) से दृढ़ता से दुर्बल है, {{harv|जेच|1973}} जो बदले में चयन के सिद्धांत '''(AC)''' से दुर्बल है। [[पॉल कोहेन (गणितज्ञ)]] दिखाया कि चयन के सिद्धांत (पॉटर 2004) के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (ZF) में '''AC<sub>ω</sub>''' सिद्ध नहीं है। AC<sub>ω</sub> [[ कोकिला मॉडल |सोलोवे मॉडल]] में है। | ||
'''ZF+AC<sub>ω</sub>''' यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है कि गणनीय अनेक गणनीय समुच्चयों का मिलन गणनीय है। यह सिद्ध करने के लिए भी पर्याप्त है कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय है (समतुल्य: गणनीय अनंत उपसमुच्चय है)। | |||
'''''AC<sub>ω</sub>''''' [[गणितीय विश्लेषण]] के विकास के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जहां कई परिणाम [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के समुच्चय के गणनीय संग्रह के लिए विकल्प फलन पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, यह सिद्ध करने के लिए कि समुच्चय '''''S ⊆ R''''' का प्रत्येक [[संचय बिंदु]] '''''x, S \ {x}''''' के अवयवों के कुछ अनुक्रम की [[सीमा (गणित)]] है, किसी को गणनीय विकल्प के स्वयंसिद्ध (एक दुर्बल रूप) की आवश्यकता होती है। जब यादृच्छिक मापीय रिक्त समष्टि के संचय बिंदुओं के लिए तैयार किया जाता है, तो कथन '''''AC<sub>ω</sub>''''' के बराबर हो जाता है। '''''AC<sub>ω</sub>''''' के समतुल्य अन्य कथनों के लिए, हेरलिच (1997) और हॉवर्ड और रुबिन (1998) देखें। | |||
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Revision as of 11:00, 12 July 2023
समुच्चय (Si) = S1, S2, S3, ... के गणनीय क्रम में प्रत्येक समुच्चय में गैर-शून्य, और संभवतः अनंत (या यहां तक कि अगणनीय) अवयवों की संख्या सम्मिलित होती है। गणनीय विकल्प का सिद्धांत हमें प्रत्येक समुच्चय से यादृच्छिक रूप से अवयव का चयन करने की अनुमति देता है, जिससे अवयवों का संगत अनुक्रम (xi) = x1, x2, x3, ... बनता है।
गणनीय विकल्प का स्वयंसिद्ध या संख्येय विकल्प का स्वयंसिद्ध, जिसे ACω कहा जाता है, समुच्चय सिद्धांत का एक स्वयंसिद्ध है जो बताता है कि रिक्त समुच्चय या गैर-रिक्त समुच्चय (गणित) के प्रत्येक गणनीय संग्रह में एक विकल्प फलन होना चाहिए। अर्थात्, प्रांत N के साथ एक फलन A दिया गया है (जहाँ N प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है) जैसे कि A(n) प्रत्येक n ∈ N के लिए एक गैर-रिक्त समुच्चय है, प्रांत N के साथ एक फलन f स्थित है जैसे कि f(n) ∈ A(n) प्रत्येक n ∈ N के लिए।
अवलोकन
गणनीय विकल्प का सिद्धांत (ACω) निर्भर चयन के सिद्धांत (डीसी) से दृढ़ता से दुर्बल है, (जेच 1973) जो बदले में चयन के सिद्धांत (AC) से दुर्बल है। पॉल कोहेन (गणितज्ञ) दिखाया कि चयन के सिद्धांत (पॉटर 2004) के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (ZF) में ACω सिद्ध नहीं है। ACω सोलोवे मॉडल में है।
ZF+ACω यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है कि गणनीय अनेक गणनीय समुच्चयों का मिलन गणनीय है। यह सिद्ध करने के लिए भी पर्याप्त है कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय है (समतुल्य: गणनीय अनंत उपसमुच्चय है)।
ACω गणितीय विश्लेषण के विकास के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जहां कई परिणाम वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के गणनीय संग्रह के लिए विकल्प फलन पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, यह सिद्ध करने के लिए कि समुच्चय S ⊆ R का प्रत्येक संचय बिंदु x, S \ {x} के अवयवों के कुछ अनुक्रम की सीमा (गणित) है, किसी को गणनीय विकल्प के स्वयंसिद्ध (एक दुर्बल रूप) की आवश्यकता होती है। जब यादृच्छिक मापीय रिक्त समष्टि के संचय बिंदुओं के लिए तैयार किया जाता है, तो कथन ACω के बराबर हो जाता है। ACω के समतुल्य अन्य कथनों के लिए, हेरलिच (1997) और हॉवर्ड और रुबिन (1998) देखें।
एक सामान्य मिथ्या धारणा यह है कि गणनीय विकल्प में गणितीय प्रेरण प्रकृति होती है और इसलिए इसे प्रेरण द्वारा प्रमेय (ZF, या समान, या यहां तक कि दुर्बल प्रणालियों में) के रूप में सिद्ध किया जा सकता है। यद्यपि, स्थिति यह नहीं; यह मिथ्या आकार n के परिमित समुच्चय (यादृच्छिक n के लिए) के लिए परिमित विकल्प के साथ गणनीय विकल्प को भ्रमित करने का परिणाम है, और यह बाद वाला परिणाम है (जो साहचर्य में प्राथमिक प्रमेय है) जो प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। यद्यपि, गैर-रिक्त समुच्चयों के कुछ अगणनीय अनंत समुच्चयों को चयन के सिद्धांत के किसी भी रूप के बिना ZF में विकल्प फलन सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, Vω− {Ø} में विकल्प फलन है, जहां Vω वंशानुगत रूप से परिमित समुच्चय का समुच्चय है, अर्थात गैर-परिमित पद के वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड में पहला समुच्चय है। चयनित फलन (तुच्छ रूप से) सुव्यवस्थित क्रम में सबसे कम अवयव है। अन्य उदाहरण तर्कसंगत अंतिम बिंदुओं के साथ वास्तविक संख्याओं के उचित और बंधे हुए विवृत अंतरालों का समुच्चय है।
उपयोग
ACω के अनुप्रयोग के उदाहरण के रूप में, यहां एक प्रमाण है (ZF+ACω से) कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है:
- मान लीजिए कि X अनंत है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, मान लीजिए कि An, X के सभी 2n-अवयव उपसमुच्चयों का समुच्चय है। चूँकि X अनंत है, प्रत्येक An गैर-रिक्त है। ACω का पहला अनुप्रयोग एक अनुक्रम उत्पन्न करता है (Bn : n = 0,1,2,3,...) जहां प्रत्येक Bn 2n अवयवों के साथ 2n का एक उपसमुच्चय है।
- समुच्चय Bn आवश्यक रूप से असंयुक्त नहीं हैं, परन्तु हम
- C0 = B0
- Cn = Bn और सभी Cj, j < n के मिलन के बीच अंतर को परिभाषित कर सकते हैं।
- स्पष्ट रूप से प्रत्येक समुच्चय Cn में कम से कम 1 और अधिकतम 2n अवयव होते हैं, और समुच्चय Cn युग्मित रूप से असंयुक्त होते हैं। ACω का दूसरा अनुप्रयोग cn ∈ Cn के साथ एक अनुक्रम (cn: n = 0,1,2,...) उत्पन्न करता है।
- तो सभी cn अलग-अलग हैं, और एक्स में एक गणनीय समुच्चय है। वह फलन जो प्रत्येक cn को cn+1 पर प्रतिचित्रित करता है (और X के अन्य सभी अवयवों को स्थिर छोड़ देता है) X से X तक 1-1 प्रतिचित्र है जो प्रारंभ नहीं है, यह सिद्ध करता है कि X डेडेकाइंड-अनंत है।
संदर्भ
- Jech, Thomas J. (1973). The Axiom of Choice. North Holland. pp. 130–131. ISBN 978-0-486-46624-8.
- Herrlich, Horst (1997). "Choice principles in elementary topology and analysis" (PDF). Comment. Math. Univ. Carolinae. 38 (3): 545.
- Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). "Consequences of the axiom of choice". Providence, R.I. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0977-8.
- Potter, Michael (2004). Set Theory and its Philosophy : A Critical Introduction. Oxford University Press. p. 164. ISBN 9780191556432.
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