मूल्यांकन (माप सिद्धांत): Difference between revisions

Revision as of 09:13, 9 July 2023

माप सिद्धांत में, या न्यूनतम डोमेन सिद्धांत के माध्यम से इसके दृष्टिकोण में, मूल्यांकन एक टोपोलॉजिकल स्पेस के विवृत समुच्चयों के वर्ग से लेकर अपरिमित सहित धनात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक का प्रतिचित्र है, जिसमें कुछ गुण होते हैं। यह एक माप से निकटता से संबंधित अवधारणा है, और इस तरह, यह माप सिद्धांत, संभाव्यता सिद्धांत और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में अनुप्रयोग पाता है।

डोमेन/माप सिद्धांत परिभाषा

मान लीजिए $\scriptstyle (X,{\mathcal {T}})$ टोपोलॉजिकल स्पेस है: मूल्यांकन कोई भी निर्धारित फ़ंक्शन है

v:{\mathcal {T}}\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{+\infty \}

निम्नलिखित तीन गुणों को संतुष्ट करें

{\begin{array}{lll}v(\varnothing )=0&&\scriptstyle {\text{Strictness property}}\\v(U)\leq v(V)&{\mbox{if}}~U\subseteq V\quad U,V\in {\mathcal {T}}&\scriptstyle {\text{Monotonicity property}}\\v(U\cup V)+v(U\cap V)=v(U)+v(V)&\forall U,V\in {\mathcal {T}}&\scriptstyle {\text{Modularity property}}\,\end{array}}

परिभाषा तुरंत मूल्यांकन और माप के बीच संबंध दिखाती है: दो गणितीय वस्तुओं के गुण प्रायः समान नहीं होने पर भी बहुत समान होते हैं, एकमात्र अंतर यह है कि माप का डोमेन दिए गए टोपोलॉजिकल स्पेस का बोरेल बीजगणित है, जबकि किसी मूल्यांकन का क्षेत्र विवृत समुच्चयों का वर्ग है। अधिक विवरण और संदर्भ अल्वारेज़-मनीला, एडलाट और साहेब-जहरोमी 2000 और गौबॉल्ट-लारेक 2005 में पाए जा सकते हैं।

निरंतर मूल्यांकन

मूल्यांकन (जैसा कि डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत में परिभाषित किया गया है) को विवृत समुच्चयों के प्रत्येक निर्देशित परिवार $\scriptstyle \{U_{i}\}_{i\in I}$ के लिए निरंतर कहा जाता है (यानी विवृत समुच्चयों का अनुक्रमित परिवार जो इस अर्थ में भी निर्देशित होता है कि प्रत्येक जोड़ी सूचकांक के लिए) $i$ और $j$ सूचकांक समुच्चय $I$ से संबंधित हैं, सूचकांक $k$ उपस्थित है जैसे कि $\scriptstyle U_{i}\subseteq U_{k}$ और $\scriptstyle U_{j}\subseteq U_{k}$ निम्नलिखित समानता रखते हैं:

v\left(\bigcup _{i\in I}U_{i}\right)=\sup _{i\in I}v(U_{i}).

यह गुण मापों की τ-योगात्मकता के अनुरूप है।

सरल मूल्यांकन

मूल्यांकन (जैसा कि डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत में परिभाषित किया गया है) को सरल कहा जाता है यदि यह डायराक मूल्यांकन के ऋणेतर गुणांक के साथ सीमित रैखिक संयोजन है, अर्थात,

v(U)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\delta _{x_{i}}(U)\quad \forall U\in {\mathcal {T}}

जहां $a_{i}$ हमेशा सभी सूचकांक $i$ के लिए शून्य से अधिक या न्यूनतम बराबर होता है। सरल मूल्यांकन स्पष्ट रूप से उपरोक्त अर्थ में निरंतर हैं। सरल मूल्यांकनों के निर्देशित परिवार का सर्वोच्च (अर्थात् सरल मूल्यांकनों का अनुक्रमित परिवार जो इस अर्थ में भी निर्देशित है कि सूचकांकों की प्रत्येक जोड़ी के लिए $i$ और $j$ सूचकांक समुच्चय $I$ से संबंधित हैं, सूचकांक $k$ उपस्थित है जैसे कि $\scriptstyle v_{i}(U)\leq v_{k}(U)\!$ को अर्ध-सरल मूल्यांकन कहा जाता है।

{\bar {v}}(U)=\sup _{i\in I}v_{i}(U)\quad \forall U\in {\mathcal {T}}.\,

यह भी देखें

दिए गए मूल्यांकन के लिए विस्तार समस्या (डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत के अर्थ में) इसमें यह पता लगाना सम्मिलित है कि किस प्रकार की स्थितियों के तहत इसे उचित टोपोलॉजिकल स्पेस पर माप तक बढ़ाया जा सकता है, जो वही स्थान हो भी सकता है और नहीं भी जहां इसे परिभाषित किया गया है: संदर्भ अनुभाग में अल्वारेज़-मनिला, एडलाट और साहेब-जहरोमी 2000 और गौबॉल्ट-लारेक 2005 के पेपर इस उद्देश्य के लिए समर्पित हैं और कई ऐतिहासिक विवरण भी देते हैं।
उत्तल समुच्चय पर मूल्यांकन और मैनिफ़ोल्ड पर मूल्यांकन की अवधारणाएं डोमेन/माप सिद्धांत के अर्थ में मूल्यांकन का सामान्यीकरण हैं। उत्तल समुच्चयों पर मूल्यांकन को जटिल मूल्यों को मानने की अनुमति है, और अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस के गैर-खाली उत्तल कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का समुच्चय है: मैनिफोल्ड्स पर मूल्यांकन जटिल-मूल्यवान परिमित रूप से योगात्मक माप है जो दिए गए मैनिफोल्ड्स के सभी कॉम्पैक्ट सबमैनिफोल्ड के वर्ग के एक उचित उपसमुच्चय पर परिभाषित किया गया है।^{[lower-alpha 1]}

उदाहरण

डिराक मूल्यांकन

मान लीजिए $\scriptstyle (X,{\mathcal {T}})$ टोपोलॉजिकल स्पेस है, और मान लीजिए कि $x$ , $X$ का एक बिंदु है: यह प्रतिचित्र

\delta _{x}(U)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}~x\notin U\\1&{\mbox{if}}~x\in U\end{cases}}\quad {\text{ for all }}U\in {\mathcal {T}}

डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत में एक मूल्यांकन है, जिसे डिराक मूल्यांकन कहा जाता है। इस अवधारणा की उत्पत्ति वितरण सिद्धांत से हुई है क्योंकि यह डिराक वितरण के मूल्यांकन सिद्धांत का स्पष्ट स्थानान्तरण है: जैसा कि ऊपर देखा गया है, डिराक मूल्यांकन "ईंटें" हैं जिनसे सरल मूल्यांकन बने होते हैं।

यह भी देखें

मूल्यांकन (ज्यामिति)

उद्धृत कार्य

Alvarez-Manilla, Maurizio; Edalat, Abbas; Saheb-Djahromi, Nasser (2000), "An extension result for continuous valuations", Journal of the London Mathematical Society, 61 (2): 629–640, CiteSeerX 10.1.1.23.9676, doi:10.1112/S0024610700008681.
Goubault-Larrecq, Jean (2005), "Extensions of valuations", Mathematical Structures in Computer Science, 15 (2): 271–297, doi:10.1017/S096012950400461X

बाहरी संबंध

Alesker, Semyon, "various preprints on valuation s", arXiv preprint server, primary site at Cornell University. Several papers dealing with valuations on convex sets, valuations on manifolds and related topics.
The nLab page on valuations

[1] Details can be found in several arXiv papers of prof. Semyon Alesker.

[lower-alpha 1]

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-[[माप सिद्धांत]] में, या कम से कम [[डोमेन सिद्धांत]] के माध्यम से इसके दृष्टिकोण में, एक '''मूल्यांकन''' एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] के विवृत समुच्चयों के वर्ग से लेकर अपरिमित सहित धनात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक का एक प्रतिचित्र है, जिसमें कुछ गुण होते हैं। यह एक माप से निकटता से संबंधित अवधारणा है, और इस तरह, यह माप सिद्धांत, संभाव्यता सिद्धांत और [[सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] में अनुप्रयोग पाता है।
+[[माप सिद्धांत]] में, या न्यूनतम [[डोमेन सिद्धांत]] के माध्यम से इसके दृष्टिकोण में, '''मूल्यांकन''' एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] के विवृत समुच्चयों के वर्ग से लेकर अपरिमित सहित धनात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक का प्रतिचित्र है, जिसमें कुछ गुण होते हैं। यह एक माप से निकटता से संबंधित अवधारणा है, और इस तरह, यह माप सिद्धांत, संभाव्यता सिद्धांत और [[सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] में अनुप्रयोग पाता है।
 ==डोमेन/माप सिद्धांत परिभाषा==
-मान लीजिए <math> \scriptstyle (X,\mathcal{T})</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस है: एक मूल्यांकन कोई भी निर्धारित फ़ंक्शन है<math display=block>v : \mathcal{T} \to \R^+ \cup \{+\infty\}</math>निम्नलिखित तीन गुणों को संतुष्ट करें
+मान लीजिए <math> \scriptstyle (X,\mathcal{T})</math> टोपोलॉजिकल स्पेस है: मूल्यांकन कोई भी निर्धारित फ़ंक्शन है<math display=block>v : \mathcal{T} \to \R^+ \cup \{+\infty\}</math>निम्नलिखित तीन गुणों को संतुष्ट करें
 <math display=block>
 \begin{array}{lll}
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 \end{array}
 </math>
-परिभाषा तुरंत एक मूल्यांकन और एक माप के बीच संबंध दिखाती है: दो गणितीय वस्तुओं के गुण अक्सर समान नहीं होने पर भी बहुत समान होते हैं, एकमात्र अंतर यह है कि माप का डोमेन दिए गए टोपोलॉजिकल स्पेस का [[बोरेल बीजगणित]] है, जबकि किसी मूल्यांकन का क्षेत्र विवृत समुच्चयों का वर्ग है। अधिक विवरण और संदर्भ अल्वारेज़-मनीला, एडलाट और साहेब-जहरोमी 2000 और गौबॉल्ट-लारेक 2005 में पाए जा सकते हैं।
+परिभाषा तुरंत मूल्यांकन और माप के बीच संबंध दिखाती है: दो गणितीय वस्तुओं के गुण प्रायः समान नहीं होने पर भी बहुत समान होते हैं, एकमात्र अंतर यह है कि माप का डोमेन दिए गए टोपोलॉजिकल स्पेस का [[बोरेल बीजगणित]] है, जबकि किसी मूल्यांकन का क्षेत्र विवृत समुच्चयों का वर्ग है। अधिक विवरण और संदर्भ अल्वारेज़-मनीला, एडलाट और साहेब-जहरोमी 2000 और गौबॉल्ट-लारेक 2005 में पाए जा सकते हैं।
 ===निरंतर मूल्यांकन===
-एक मूल्यांकन (जैसा कि डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत में परिभाषित किया गया है) को खुले सेटों के प्रत्येक निर्देशित परिवार <math> \scriptstyle \{U_i\}_{i\in I} </math> के लिए '''निरंतर''' कहा जाता है (यानी खुले सेटों का एक [[अनुक्रमित परिवार]] जो इस अर्थ में भी निर्देशित होता है कि प्रत्येक जोड़ी सूचकांक के लिए) <math>i</math> और <math>j</math> [[सूचकांक सेट|सूचकांक समुच्चय]] <math> I </math> से संबंधित हैं, एक सूचकांक <math>k</math> मौजूद है जैसे कि <math>\scriptstyle U_i\subseteq U_k</math> और <math>\scriptstyle U_j\subseteq U_k</math> निम्नलिखित समानता रखते हैं:
+मूल्यांकन (जैसा कि डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत में परिभाषित किया गया है) को विवृत समुच्चयों के ''प्रत्येक निर्देशित परिवार'' <math> \scriptstyle \{U_i\}_{i\in I} </math> के लिए '''निरंतर''' कहा जाता है (यानी विवृत समुच्चयों का [[अनुक्रमित परिवार]] जो इस अर्थ में भी निर्देशित होता है कि प्रत्येक जोड़ी सूचकांक के लिए) <math>i</math> और <math>j</math> [[सूचकांक सेट|सूचकांक समुच्चय]] <math> I </math> से संबंधित हैं, सूचकांक <math>k</math> उपस्थित है जैसे कि <math>\scriptstyle U_i\subseteq U_k</math> और <math>\scriptstyle U_j\subseteq U_k</math> निम्नलिखित समानता रखते हैं:
 <math display="block">v\left(\bigcup_{i\in I}U_i\right) = \sup_{i\in I} v(U_i).</math>यह गुण मापों की τ-योगात्मकता के अनुरूप है।
 ===सरल मूल्यांकन===
-एक मूल्यांकन (जैसा कि डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत में परिभाषित किया गया है) को '''सरल''' कहा जाता है यदि यह डायराक मूल्यांकन के ऋणेतर गुणांक के साथ एक सीमित [[रैखिक संयोजन]] है, अर्थात,<math display=block>v(U)=\sum_{i=1}^n a_i\delta_{x_i}(U)\quad\forall U\in\mathcal{T}</math>
+मूल्यांकन (जैसा कि डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत में परिभाषित किया गया है) को '''सरल''' कहा जाता है यदि यह डायराक मूल्यांकन के ऋणेतर गुणांक के साथ सीमित [[रैखिक संयोजन]] है, अर्थात,<math display=block>v(U)=\sum_{i=1}^n a_i\delta_{x_i}(U)\quad\forall U\in\mathcal{T}</math>
-जहां <math>a_i</math> हमेशा सभी सूचकांक <math>i</math> के लिए शून्य से अधिक या कम से कम बराबर होता है। सरल मूल्यांकन स्पष्ट रूप से उपरोक्त अर्थ में निरंतर हैं। सरल मूल्यांकनों के एक निर्देशित परिवार का सर्वोच्च (अर्थात् सरल मूल्यांकनों का एक अनुक्रमित परिवार जो इस अर्थ में भी निर्देशित है कि सूचकांकों की प्रत्येक जोड़ी के लिए <math>i</math>और <math>j</math> सूचकांक समुच्चय <math> I </math> से संबंधित हैं, एक सूचकांक <math>k</math> मौजूद है जैसे कि <math>\scriptstyle v_i(U)\leq v_k(U)\!</math> को '''अर्ध-सरल मूल्यांकन''' कहा जाता है।<math display="block">\bar{v}(U) = \sup_{i\in I}v_i(U) \quad \forall U\in \mathcal{T}.\,</math>
+जहां <math>a_i</math> हमेशा सभी सूचकांक <math>i</math> के लिए शून्य से अधिक या न्यूनतम बराबर होता है। सरल मूल्यांकन स्पष्ट रूप से उपरोक्त अर्थ में निरंतर हैं। सरल मूल्यांकनों के निर्देशित परिवार का सर्वोच्च (अर्थात् सरल मूल्यांकनों का अनुक्रमित परिवार जो इस अर्थ में भी निर्देशित है कि सूचकांकों की प्रत्येक जोड़ी के लिए <math>i</math>और <math>j</math> सूचकांक समुच्चय <math> I </math> से संबंधित हैं, सूचकांक <math>k</math> उपस्थित है जैसे कि <math>\scriptstyle v_i(U)\leq v_k(U)\!</math> को '''अर्ध-सरल मूल्यांकन''' कहा जाता है।<math display="block">\bar{v}(U) = \sup_{i\in I}v_i(U) \quad \forall U\in \mathcal{T}.\,</math>
 ===यह भी देखें===
-* दिए गए मूल्यांकन के लिए '''विस्तार समस्या''' (डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत के अर्थ में) इसमें यह पता लगाना शामिल है कि किस प्रकार की स्थितियों के तहत इसे उचित टोपोलॉजिकल स्पेस पर एक माप तक बढ़ाया जा सकता है, जो वही स्थान हो भी सकता है और नहीं भी जहां इसे परिभाषित किया गया है: संदर्भ अनुभाग में अल्वारेज़-मनिला, एडलाट और साहेब-जहरोमी 2000 और गौबॉल्ट-लारेक 2005 के पेपर इस उद्देश्य के लिए समर्पित हैं और कई ऐतिहासिक विवरण भी देते हैं।
+* दिए गए मूल्यांकन के लिए '''विस्तार समस्या''' (डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत के अर्थ में) इसमें यह पता लगाना सम्मिलित है कि किस प्रकार की स्थितियों के तहत इसे उचित टोपोलॉजिकल स्पेस पर माप तक बढ़ाया जा सकता है, जो वही स्थान हो भी सकता है और नहीं भी जहां इसे परिभाषित किया गया है: संदर्भ अनुभाग में अल्वारेज़-मनिला, एडलाट और साहेब-जहरोमी 2000 और गौबॉल्ट-लारेक 2005 के पेपर इस उद्देश्य के लिए समर्पित हैं और कई ऐतिहासिक विवरण भी देते हैं।
-*'''उत्तल समुच्चय पर मूल्यांकन''' और '''मैनिफ़ोल्ड पर मूल्यांकन''' की अवधारणाएं डोमेन/माप सिद्धांत के अर्थ में मूल्यांकन का एक सामान्यीकरण हैं। उत्तल सेटों पर एक मूल्यांकन को जटिल मूल्यों को मानने की अनुमति है, और अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस एक परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस के गैर-खाली उत्तल कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का समुच्चय है: मैनिफोल्ड्स पर मूल्यांकन एक जटिल-मूल्यवान परिमित रूप से योगात्मक माप है जो दिए गए मैनिफोल्ड्स के सभी [[कॉम्पैक्ट सबमैनिफोल्ड]] के वर्ग के एक उचित उपसमुच्चय पर परिभाषित किया गया है।{{efn|Details can be found in several [[arXiv]] [https://arxiv.org/find/grp_q-bio,grp_cs,grp_physics,grp_math,grp_nlin/1/AND+au:+Alesker+ti:+Valuations/0/1/0/all/0/1 papers] of prof. Semyon Alesker.}}
+*'''उत्तल समुच्चय पर मूल्यांकन''' और '''मैनिफ़ोल्ड पर मूल्यांकन''' की अवधारणाएं डोमेन/माप सिद्धांत के अर्थ में मूल्यांकन का सामान्यीकरण हैं। उत्तल समुच्चयों पर मूल्यांकन को जटिल मूल्यों को मानने की अनुमति है, और अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस के गैर-खाली उत्तल कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का समुच्चय है: मैनिफोल्ड्स पर मूल्यांकन जटिल-मूल्यवान परिमित रूप से योगात्मक माप है जो दिए गए मैनिफोल्ड्स के सभी [[कॉम्पैक्ट सबमैनिफोल्ड]] के वर्ग के एक उचित उपसमुच्चय पर परिभाषित किया गया है।{{efn|Details can be found in several [[arXiv]] [https://arxiv.org/find/grp_q-bio,grp_cs,grp_physics,grp_math,grp_nlin/1/AND+au:+Alesker+ti:+Valuations/0/1/0/all/0/1 papers] of prof. Semyon Alesker.}}
 ==उदाहरण==
 ===डिराक मूल्यांकन===
-मान लीजिए <math> \scriptstyle (X,\mathcal{T})</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, और मान लीजिए कि <math>x</math>, <math>X</math> का एक बिंदु है: यह प्रतिचित्र <math display=block>\delta_x(U)=
+मान लीजिए <math> \scriptstyle (X,\mathcal{T})</math> टोपोलॉजिकल स्पेस है, और मान लीजिए कि <math>x</math>, <math>X</math> का एक बिंदु है: यह प्रतिचित्र <math display=block>\delta_x(U)=
 \begin{cases}
 & \mbox{if}~x\notin U\\
@@ Line 35: / Line 35: @@
 \end{cases}
 \quad \text{ for all } U \in \mathcal{T}
-</math>
+</math>डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत में एक मूल्यांकन है, जिसे '''[[पॉल डिराक|डिराक]] मूल्यांकन''' कहा जाता है। इस अवधारणा की उत्पत्ति [[वितरण (गणित)|वितरण]] सिद्धांत से हुई है क्योंकि यह [[डिराक वितरण]] के मूल्यांकन सिद्धांत का स्पष्ट स्थानान्तरण है: जैसा कि ऊपर देखा गया है, डिराक मूल्यांकन "ईंटें" हैं जिनसे सरल मूल्यांकन बने होते हैं।
-डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत में एक मूल्यांकन है, एक अर्थ जिसे '''[[पॉल डिराक|डिराक]] मूल्यांकन''' कहा जाता है। इस अवधारणा की उत्पत्ति [[वितरण (गणित)|वितरण]] सिद्धांत से हुई है क्योंकि यह [[डिराक वितरण]] के मूल्यांकन सिद्धांत का एक स्पष्ट स्थानान्तरण है: जैसा कि ऊपर देखा गया है, डिराक मूल्यांकन "ईंटें" हैं जिनसे सरल मूल्यांकन बने होते हैं।
 ==यह भी देखें==

v t e Measure theory
Basic concepts	Absolute continuity Lebesgue integration L^p spaces Measure Measure space Probability space Measurable space/function
Sets	Almost everywhere Baire set Borel set Carathéodory's criterion Convergence in measure 𝜆-system Essential range infimum/supremum Locally measurable [[Pi-system\| $π$ -system]] σ-algebra Non-measurable set Vitali set Null set Support Transverse measure
Types of Measures	Baire Banach Besov Borel Complex Complete Content (Logarithmically) Convex Discrete Finite Inner (Quasi-) Invariant Locally finite Maximising Metric outer Outer Perfect Pre-measure (Sub-) Probability Projection-valued Radon Random Regular Borel regular Inner regular Outer regular Saturated Set function σ-finite s-finite Signed Singular Spectral Strictly positive Tight Vector
Particular measures	Counting Dirac Euler Gaussian Haar Harmonic Hausdorff Intensity Lebesgue Logarithmic Product Pushforward Spherical measure Tangent Trivial Young
Main results	Carathéodory's extension theorem Convergence theorems Dominated Monotone Vitali Decomposition theorems Hahn Jordan Maharam's Egorov's Fatou's lemma Fubini's Fubini–Tonelli Hölder's inequality Minkowski inequality Radon–Nikodym Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
Other results	Disintegration theorem Lifting theory Lebesgue's density theorem Lebesgue differentiation theorem Sard's theorem
Applications & related	Probability theory Real analysis Spectral theory

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