हेलिंगर दूरी: Difference between revisions

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संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों में, हेलिंगर दूरी ([[भट्टाचार्य दूरी]] से निकटता से संबंधित, हालांकि अलग) का उपयोग दो [[संभाव्यता वितरण]]ों के बीच समानता को मापने के लिए किया जाता है। यह एक प्रकार का f-डाइवर्जेंस|''f''-डाइवर्जेंस है। हेलिंगर दूरी को [[हेलिंगर अभिन्न]] के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जिसे 1909 में [[अर्नेस्ट हेलिंगर]] द्वारा पेश किया गया था।<ref>{{SpringerEOM|title=Hellinger distance|id=h/h046890|first=M.S. |last=Nikulin}}</ref><ref>{{Citation  
प्रायिकता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों में, हेलिंगर दूरी ([[भट्टाचार्य दूरी]] से निकटता से संबंधित, यद्यपि भिन्न) का उपयोग दो [[संभाव्यता वितरण|प्रायिकता वितरणों]] के बीच समानता को मापने के लिए किया जाता है। यह एक प्रकार का ''f''-भिन्नता है। हेलिंगर दूरी को [[हेलिंगर अभिन्न]] के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जिसे 1909 में [[अर्नेस्ट हेलिंगर]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था।<ref>{{SpringerEOM|title=Hellinger distance|id=h/h046890|first=M.S. |last=Nikulin}}</ref><ref>{{Citation  
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इसे कभी-कभी जेफ़्रीज़ दूरी भी कहा जाता है।<ref>{{Cite web |title=जेफ़्रीज़ दूरी - गणित का विश्वकोश|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Jeffreys_distance |access-date=2022-05-24 |website=encyclopediaofmath.org |language=en}}</ref><ref>{{Cite journal |date=1946-09-24 |title=अनुमान समस्याओं में पूर्व संभाव्यता के लिए एक अपरिवर्तनीय रूप|url=http://dx.doi.org/10.1098/rspa.1946.0056 |journal=Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences |volume=186 |issue=1007 |pages=453–461 |doi=10.1098/rspa.1946.0056 |pmid=20998741 |bibcode=1946RSPSA.186..453J |issn=0080-4630|last1=Jeffreys |first1=Harold |s2cid=19490929 |doi-access=free }}</ref>
इसे कभी-कभी जेफ़्रीज़ दूरी भी कहा जाता है।<ref>{{Cite web |title=जेफ़्रीज़ दूरी - गणित का विश्वकोश|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Jeffreys_distance |access-date=2022-05-24 |website=encyclopediaofmath.org |language=en}}</ref><ref>{{Cite journal |date=1946-09-24 |title=अनुमान समस्याओं में पूर्व संभाव्यता के लिए एक अपरिवर्तनीय रूप|url=http://dx.doi.org/10.1098/rspa.1946.0056 |journal=Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences |volume=186 |issue=1007 |pages=453–461 |doi=10.1098/rspa.1946.0056 |pmid=20998741 |bibcode=1946RSPSA.186..453J |issn=0080-4630|last1=Jeffreys |first1=Harold |s2cid=19490929 |doi-access=free }}</ref>




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===[[माप सिद्धांत]]===
===[[माप सिद्धांत]]===
माप सिद्धांत के संदर्भ में हेलिंगर दूरी को परिभाषित करने के लिए, आइए <math>P</math> और <math>Q</math> माप स्थान पर दो [[संभाव्यता माप]]ों को निरूपित करें <math>\mathcal{X}</math> यह एक सहायक माप के संबंध में [[पूर्ण निरंतरता]] है <math>\lambda</math>. ऐसा उपाय हमेशा मौजूद रहता है, उदा <math>\lambda = (P + Q)</math>. हेलिंगर के वर्ग के बीच की दूरी <math>P</math> और <math>Q</math> मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है
माप सिद्धांत के संदर्भ में हेलिंगर दूरी को परिभाषित करने के लिए, <math>P</math> और <math>Q</math> को माप समष्टि <math>\mathcal{X}</math> पर दो [[संभाव्यता माप|प्रायिकता मापों]] को निरूपित करने दें जो सहायक माप <math>\lambda</math> के संबंध में [[पूर्ण निरंतरता]] हैं। ऐसा माप सदैव स्थित रहता है, उदाहरण के लिए <math>\lambda = (P + Q)</math><math>P</math> और <math>Q</math> के बीच हेलिंगर दूरी का वर्ग मात्रा
 
:<math>H^2(P,Q) = \frac{1}{2}\displaystyle \int_{\mathcal{X}} \left(\sqrt{p(x)} - \sqrt{q(x)}\right)^2 \lambda(dx). </math>
यहाँ, <math>P(dx) = p(x)\lambda(dx)</math> और <math>Q(dx) = q(x) \lambda(dx)</math>, अर्थात। <math>p</math> और <math>q</math> के संबंध में क्रमशः पी और क्यू के रेडॉन-निकोडिम डेरिवेटिव हैं <math>\lambda</math>. यह परिभाषा निर्भर नहीं करती <math>\lambda</math>, यानी पी और क्यू के बीच हेलिंगर दूरी नहीं बदलती है <math>\lambda</math> को एक अलग संभाव्यता माप के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है जिसके संबंध में P और Q दोनों बिल्कुल निरंतर हैं। सघनता के लिए, उपरोक्त सूत्र को अक्सर इस प्रकार लिखा जाता है
 
:<math>H^2(P,Q) = \frac{1}{2}\int_{\mathcal{X}} \left(\sqrt{P(dx)} - \sqrt{Q(dx)}\right)^2. </math>
 


===[[लेब्सेग माप]] का उपयोग कर संभाव्यता सिद्धांत===
:<math>H^2(P,Q) = \frac{1}{2}\displaystyle \int_{\mathcal{X}} \left(\sqrt{p(x)} - \sqrt{q(x)}\right)^2 \lambda(dx) </math> के रूप में परिभाषित किया गया है।
प्रारंभिक संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में हेलिंगर दूरी को परिभाषित करने के लिए, हम λ को लेबेस्ग माप के रूप में लेते हैं, ताकि dP / और dQ / dλ केवल संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन हों। यदि हम घनत्वों को क्रमशः एफ और जी के रूप में निरूपित करते हैं, तो वर्ग हेलिंगर दूरी को मानक कैलकुलस इंटीग्रल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
यहाँ, <math>P(dx) = p(x)\lambda(dx)</math> और <math>Q(dx) = q(x) \lambda(dx)</math>, अर्थात <math>p</math> और <math>q</math>, <math>\lambda</math> के संबंध में क्रमशः P और Q के रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न हैं। यह परिभाषा <math>\lambda</math> पर निर्भर नहीं करती है,अर्थात P और Q के बीच हेलिंगर दूरी नहीं बदलती है यदि <math>\lambda</math> को एक अलग प्रायिकता माप के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है जिसके संबंध में P और Q दोनों [[पूर्ण निरंतरता]] हैं। सघनता के लिए, उपरोक्त सूत्र को प्रातः


:<math>H^2(f,g) =\frac{1}{2}\int \left(\sqrt{f(x)} - \sqrt{g(x)}\right)^2 \, dx = 1 - \int \sqrt{f(x) g(x)} \, dx,</math>
:<math>H^2(P,Q) = \frac{1}{2}\int_{\mathcal{X}} \left(\sqrt{P(dx)} - \sqrt{Q(dx)}\right)^2 </math> के रूप में लिखा जाता है।
जहां दूसरा रूप वर्ग का विस्तार करके और इस तथ्य का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है कि इसके डोमेन पर संभाव्यता घनत्व का अभिन्न अंग 1 के बराबर है।


हेलिंगर दूरी H(P,Q) संपत्ति को संतुष्ट करती है (कॉची-श्वार्ज़ असमानता#L2|कॉची-श्वार्ज़ असमानता से व्युत्पन्न)
===[[लेब्सेग माप]] का उपयोग कर प्रायिकता सिद्धांत===
प्रारंभिक प्रायिकता सिद्धांत के संदर्भ में हेलिंगर दूरी को परिभाषित करने के लिए, हम '''λ''' को लेबेस्ग माप के रूप में लेते हैं, ताकि '''dP / dλ''' और '''dQ / dλ''' मात्र प्रायिकता घनत्व फलन हों। यदि हम घनत्वों को क्रमशः ''f'' और ''g'' के रूप में निरूपित करते हैं, तो वर्ग हेलिंगर दूरी को मानक गणना समाकल


: <math>0\le H(P,Q) \le 1.</math>
:<math>H^2(f,g) =\frac{1}{2}\int \left(\sqrt{f(x)} - \sqrt{g(x)}\right)^2 \, dx = 1 - \int \sqrt{f(x) g(x)} \, dx</math>
के रूप में निरूपित करते हैं, जहां दूसरा रूप वर्ग का विस्तार करके और इस तथ्य का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है कि इसके डोमेन पर प्रायिकता घनत्व का अभिन्न अंग 1 के बराबर है।


हेलिंगर दूरी '''H(P,Q)''' गुण (कॉची-श्वार्ज़ असमानता से व्युत्पन्न)


: <math>0\le H(P,Q) \le 1</math> को संतुष्ट करती है।
===असतत वितरण===
===असतत वितरण===
दो असतत संभाव्यता वितरणों के लिए <math>P=(p_1, \ldots, p_k)</math> और <math>Q=(q_1, \ldots, q_k)</math>,
दो असतत प्रायिकता वितरणों <math>P=(p_1, \ldots, p_k)</math> और <math>Q=(q_1, \ldots, q_k)</math> के लिए, उनकी हेलिंगर दूरी को
उनकी हेलिंगर दूरी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है


: <math>
: <math>
   H(P, Q) = \frac{1}{\sqrt{2}} \; \sqrt{\sum_{i=1}^k (\sqrt{p_i} - \sqrt{q_i})^2},
   H(P, Q) = \frac{1}{\sqrt{2}} \; \sqrt{\sum_{i=1}^k (\sqrt{p_i} - \sqrt{q_i})^2},
</math>
</math>
जो सीधे तौर पर वर्गमूल सदिशों के अंतर की [[यूक्लिडियन दूरी]] से संबंधित है, अर्थात।
के रूप में परिभाषित किया गया है, जो प्रत्यक्षतः वर्गमूल सदिश के अंतर के [[यूक्लिडियन दूरी]] से संबंधित है, अर्थात
: <math>
: <math>
H(P, Q) = \frac{1}{\sqrt{2}} \; \bigl\|\sqrt{P} - \sqrt{Q} \bigr\|_2 .
H(P, Q) = \frac{1}{\sqrt{2}} \; \bigl\|\sqrt{P} - \sqrt{Q} \bigr\|_2 .
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==गुण==
==गुण==
हेलिंगर दूरी किसी दिए गए [[संभाव्यता स्थान]] पर संभाव्यता वितरण के फ़ंक्शन स्थान पर एक [[बंधा हुआ कार्य]] [[मीट्रिक (गणित)]] बनाती है।
हेलिंगर दूरी किसी दिए गए [[संभाव्यता स्थान|प्रायिकता]] समष्टि पर प्रायिकता वितरण के फलन समष्टि पर एक [[बंधा हुआ कार्य]] [[मीट्रिक (गणित)]] बनाती है।


अधिकतम दूरी 1 तब प्राप्त होती है जब P प्रत्येक सेट के लिए संभाव्यता शून्य निर्दिष्ट करता है, जिस पर Q सकारात्मक संभावना निर्दिष्ट करता है, और इसके विपरीत।
अधिकतम दूरी 1 तब प्राप्त होती है जब P प्रत्येक सेट के लिए प्रायिकता शून्य निर्दिष्ट करता है, जिस पर Q सकारात्मक प्रायिकता निर्दिष्ट करता है, और इसके विपरीत।


कभी-कभी कारक <math>1/\sqrt{2}</math> अभिन्न के सामने छोड़ दिया गया है, इस स्थिति में हेलिंगर की दूरी शून्य से दो के वर्गमूल तक होती है।
कभी-कभी कारक <math>1/\sqrt{2}</math> अभिन्न के सामने छोड़ दिया गया है, इस स्थिति में हेलिंगर की दूरी शून्य से दो के वर्गमूल तक होती है।
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दो [[सामान्य वितरण]]ों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी <math> P \sim \mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)</math> और <math> Q \sim \mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2)</math> है:
दो [[सामान्य वितरण]]ों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी <math> P \sim \mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)</math> और <math> Q \sim \mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2)</math> है:
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   H^2(P, Q) = 1 - \sqrt{\frac{2\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}} \,  e^{-\frac{1}{4}\frac{(\mu_1-\mu_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}.
   H^2(P, Q) = 1 - \sqrt{\frac{2\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}} \,  e^{-\frac{1}{4}\frac{(\mu_1-\mu_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}.
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दो [[बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण]]ों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी <math> P \sim \mathcal{N}(\mu_1,\Sigma_1)</math> और <math> Q \sim \mathcal{N}(\mu_2,\Sigma_2)</math> है <ref>{{cite book |last=Pardo |first=L. |year=2006 |title=विचलन माप के आधार पर सांख्यिकीय अनुमान|location=New York |publisher=Chapman and Hall/CRC |page=51 |isbn=1-58488-600-5 }}</ref>
दो [[बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण]]ों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी <math> P \sim \mathcal{N}(\mu_1,\Sigma_1)</math> और <math> Q \sim \mathcal{N}(\mu_2,\Sigma_2)</math> है <ref>{{cite book |last=Pardo |first=L. |year=2006 |title=विचलन माप के आधार पर सांख्यिकीय अनुमान|location=New York |publisher=Chapman and Hall/CRC |page=51 |isbn=1-58488-600-5 }}</ref>
: <math>
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   H^2(P, Q) = 1 - \frac{ \det (\Sigma_1)^{1/4} \det (\Sigma_2) ^{1/4}} { \det \left( \frac{\Sigma_1 + \Sigma_2}{2}\right)^{1/2} }
   H^2(P, Q) = 1 - \frac{ \det (\Sigma_1)^{1/4} \det (\Sigma_2) ^{1/4}} { \det \left( \frac{\Sigma_1 + \Sigma_2}{2}\right)^{1/2} }
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दो [[बीटा वितरण]]ों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी <math> P \sim \text{Beta}(a_1,b_1)</math> और <math> Q \sim \text{Beta}(a_2, b_2)</math> है:
दो [[बीटा वितरण]]ों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी <math> P \sim \text{Beta}(a_1,b_1)</math> और <math> Q \sim \text{Beta}(a_2, b_2)</math> है:
: <math>H^2(P,Q) = 1 - \frac{B\left(\frac{a_1 + a_2}{2}, \frac{b_1 + b_2}{2}\right)}{\sqrt{B(a_1, b_1) B(a_2, b_2)}}</math>
: <math>H^2(P,Q) = 1 - \frac{B\left(\frac{a_1 + a_2}{2}, \frac{b_1 + b_2}{2}\right)}{\sqrt{B(a_1, b_1) B(a_2, b_2)}}</math>
कहाँ <math>B</math> [[बीटा फ़ंक्शन]] है.
कहाँ <math>B</math> [[बीटा फ़ंक्शन|बीटा फलन]] है।


दो [[गामा वितरण]]ों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी <math> P \sim \text{Gamma}(a_1,b_1)</math> और <math> Q \sim \text{Gamma}(a_2, b_2)</math> है:
दो [[गामा वितरण]]ों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी <math> P \sim \text{Gamma}(a_1,b_1)</math> और <math> Q \sim \text{Gamma}(a_2, b_2)</math> है:
: <math>H^2(P,Q) = 1 - \Gamma\left({\scriptstyle\frac{a_1 + a_2}{2}}\right)\left(\frac{b_1+b_2}{2}\right)^{-(a_1+a_2)/2}\sqrt{\frac{b_1^{a_1}b_2^{a_2}}{\Gamma(a_1)\Gamma(a_2)}}</math>
: <math>H^2(P,Q) = 1 - \Gamma\left({\scriptstyle\frac{a_1 + a_2}{2}}\right)\left(\frac{b_1+b_2}{2}\right)^{-(a_1+a_2)/2}\sqrt{\frac{b_1^{a_1}b_2^{a_2}}{\Gamma(a_1)\Gamma(a_2)}}</math>
कहाँ <math>\Gamma</math> [[गामा फ़ंक्शन]] है.
कहाँ <math>\Gamma</math> [[गामा फ़ंक्शन|गामा फलन]] है।


== कुल भिन्नता दूरी के साथ संबंध ==
== कुल भिन्नता दूरी के साथ संबंध ==
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H^2(P,Q) \leq \delta(P,Q) \leq  \sqrt{2}H(P,Q)\,.
H^2(P,Q) \leq \delta(P,Q) \leq  \sqrt{2}H(P,Q)\,.
</math>
</math>
इस असमानता में स्थिरांक आपके द्वारा चुने गए पुनर्सामान्यीकरण के आधार पर बदल सकते हैं (<math>1/2</math> या <math>1/\sqrt{2}</math>).
इस असमानता में स्थिरांक आपके द्वारा चुने गए पुनर्सामान्यीकरण के आधार पर बदल सकते हैं (<math>1/2</math> या <math>1/\sqrt{2}</math>)


ये असमानताएं एलपी स्पेस#परिमित आयामों में पी-मानदंड|1-मानदंड और एलपी स्थान#परिमित आयामों में पी-मानदंड|2-मानदंड के बीच की असमानताओं से तुरंत उत्पन्न होती हैं।
ये असमानताएं एलपी स्पेस#परिमित आयामों में पी-मानदंड|1-मानदंड और एलपी समष्टि#परिमित आयामों में पी-मानदंड|2-मानदंड के बीच की असमानताओं से तुरंत उत्पन्न होती हैं।


==यह भी देखें==
==यह भी देखें==

Revision as of 11:02, 14 July 2023

प्रायिकता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों में, हेलिंगर दूरी (भट्टाचार्य दूरी से निकटता से संबंधित, यद्यपि भिन्न) का उपयोग दो प्रायिकता वितरणों के बीच समानता को मापने के लिए किया जाता है। यह एक प्रकार का f-भिन्नता है। हेलिंगर दूरी को हेलिंगर अभिन्न के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जिसे 1909 में अर्नेस्ट हेलिंगर द्वारा प्रस्तुत किया गया था।[1][2]

इसे कभी-कभी जेफ़्रीज़ दूरी भी कहा जाता है।[3][4]


परिभाषा

माप सिद्धांत

माप सिद्धांत के संदर्भ में हेलिंगर दूरी को परिभाषित करने के लिए, और को माप समष्टि पर दो प्रायिकता मापों को निरूपित करने दें जो सहायक माप के संबंध में पूर्ण निरंतरता हैं। ऐसा माप सदैव स्थित रहता है, उदाहरण के लिए और के बीच हेलिंगर दूरी का वर्ग मात्रा

के रूप में परिभाषित किया गया है।

यहाँ, और , अर्थात और , के संबंध में क्रमशः P और Q के रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न हैं। यह परिभाषा पर निर्भर नहीं करती है,अर्थात P और Q के बीच हेलिंगर दूरी नहीं बदलती है यदि को एक अलग प्रायिकता माप के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है जिसके संबंध में P और Q दोनों पूर्ण निरंतरता हैं। सघनता के लिए, उपरोक्त सूत्र को प्रातः

के रूप में लिखा जाता है।

लेब्सेग माप का उपयोग कर प्रायिकता सिद्धांत

प्रारंभिक प्रायिकता सिद्धांत के संदर्भ में हेलिंगर दूरी को परिभाषित करने के लिए, हम λ को लेबेस्ग माप के रूप में लेते हैं, ताकि dP / dλ और dQ / dλ मात्र प्रायिकता घनत्व फलन हों। यदि हम घनत्वों को क्रमशः f और g के रूप में निरूपित करते हैं, तो वर्ग हेलिंगर दूरी को मानक गणना समाकल

के रूप में निरूपित करते हैं, जहां दूसरा रूप वर्ग का विस्तार करके और इस तथ्य का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है कि इसके डोमेन पर प्रायिकता घनत्व का अभिन्न अंग 1 के बराबर है।

हेलिंगर दूरी H(P,Q) गुण (कॉची-श्वार्ज़ असमानता से व्युत्पन्न)

को संतुष्ट करती है।

असतत वितरण

दो असतत प्रायिकता वितरणों और के लिए, उनकी हेलिंगर दूरी को

के रूप में परिभाषित किया गया है, जो प्रत्यक्षतः वर्गमूल सदिश के अंतर के यूक्लिडियन दूरी से संबंधित है, अर्थात

भी,


गुण

हेलिंगर दूरी किसी दिए गए प्रायिकता समष्टि पर प्रायिकता वितरण के फलन समष्टि पर एक बंधा हुआ कार्य मीट्रिक (गणित) बनाती है।

अधिकतम दूरी 1 तब प्राप्त होती है जब P प्रत्येक सेट के लिए प्रायिकता शून्य निर्दिष्ट करता है, जिस पर Q सकारात्मक प्रायिकता निर्दिष्ट करता है, और इसके विपरीत।

कभी-कभी कारक अभिन्न के सामने छोड़ दिया गया है, इस स्थिति में हेलिंगर की दूरी शून्य से दो के वर्गमूल तक होती है।

हेलिंगर दूरी भट्टाचार्य दूरी से संबंधित है जैसा कि इसे परिभाषित किया जा सकता है

हेलिंजर दूरियों का उपयोग अनुक्रमिक विश्लेषण और स्पर्शोन्मुख सांख्यिकी के सिद्धांत में किया जाता है।[5][6] दो सामान्य वितरणों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी और है:

दो बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरणों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी और है [7]

दो घातीय वितरणों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी और है:

दो वेइबुल वितरणों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी और (कहाँ एक सामान्य आकार पैरामीटर है और क्रमशः स्केल पैरामीटर हैं):

दर मापदंडों के साथ दो पॉइसन वितरणों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी और , ताकि और , है:

दो बीटा वितरणों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी और है:

कहाँ बीटा फलन है।

दो गामा वितरणों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी और है:

कहाँ गामा फलन है।

कुल भिन्नता दूरी के साथ संबंध

हेलिंगर दूरी और कुल भिन्नता दूरी (या सांख्यिकीय दूरी) इस प्रकार संबंधित हैं:[8]

इस असमानता में स्थिरांक आपके द्वारा चुने गए पुनर्सामान्यीकरण के आधार पर बदल सकते हैं ( या )।

ये असमानताएं एलपी स्पेस#परिमित आयामों में पी-मानदंड|1-मानदंड और एलपी समष्टि#परिमित आयामों में पी-मानदंड|2-मानदंड के बीच की असमानताओं से तुरंत उत्पन्न होती हैं।

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. Nikulin, M.S. (2001) [1994], "Hellinger distance", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
  2. Hellinger, Ernst (1909), "Neue Begründung der Theorie quadratischer Formen von unendlichvielen Veränderlichen", Journal für die reine und angewandte Mathematik (in Deutsch), 1909 (136): 210–271, doi:10.1515/crll.1909.136.210, JFM 40.0393.01, S2CID 121150138
  3. "जेफ़्रीज़ दूरी - गणित का विश्वकोश". encyclopediaofmath.org (in English). Retrieved 2022-05-24.
  4. Jeffreys, Harold (1946-09-24). "अनुमान समस्याओं में पूर्व संभाव्यता के लिए एक अपरिवर्तनीय रूप". Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. 186 (1007): 453–461. Bibcode:1946RSPSA.186..453J. doi:10.1098/rspa.1946.0056. ISSN 0080-4630. PMID 20998741. S2CID 19490929.
  5. Torgerson, Erik (1991). "Comparison of Statistical Experiments". गणित का विश्वकोश. Vol. 36. Cambridge University Press.
  6. Liese, Friedrich; Miescke, Klaus-J. (2008). Statistical Decision Theory: Estimation, Testing, and Selection. Springer. ISBN 978-0-387-73193-3.
  7. Pardo, L. (2006). विचलन माप के आधार पर सांख्यिकीय अनुमान. New York: Chapman and Hall/CRC. p. 51. ISBN 1-58488-600-5.
  8. Harsha, Prahladh (September 23, 2011). "संचार जटिलता पर व्याख्यान नोट्स" (PDF).


संदर्भ

  • Yang, Grace Lo; Le Cam, Lucien M. (2000). Asymptotics in Statistics: Some Basic Concepts. Berlin: Springer. ISBN 0-387-95036-2.
  • Vaart, A. W. van der (19 June 2000). Asymptotic Statistics (Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-78450-6.
  • Pollard, David E. (2002). A user's guide to measure theoretic probability. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-00289-3.