अपूर्ण गामा फलन: Difference between revisions

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{{Short description|Types of special mathematical functions}}
{{Short description|Types of special mathematical functions}}
[[File:Upper incomplete gamma function.jpg|thumb|400x400px|s के कुछ मानों के लिए ऊपरी अपूर्ण गामा फलन: 0 (नीला), 1 (लाल), 2 (हरा), 3 (नारंगी), 4 (बैंगनी)।]]
[[File:Upper incomplete gamma function.jpg|thumb|s के कुछ मानों के लिए बड़े अपूर्ण गामा फलन 0 (नीला), 1 (लाल), 2 (हरा), 3 (नारंगी), 4 (बैंगनी) है।]]
[[File:Plot of the regularized incomplete gamma function Q(2,z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|alt=Plot of the regularized incomplete gamma function Q(2,z) जटिल तल में -2-2i से 2+2i तक गणित 13.1 फ़ंक्शन कॉम्प्लेक्सप्लॉट3डी|थंब|के साथ बनाए गए रंगों के साथ -2- से जटिल तल में नियमित अपूर्ण गामा फ़ंक्शन Q(2,z) का प्लॉट Mathematica 13.1 फ़ंक्शन कॉम्प्लेक्सप्लॉट3D के साथ बनाए गए रंगों के साथ 2i से 2+2i]]
गणित में छोटे और बड़े [[गामा फ़ंक्शन|'''अपूर्ण गामा फलन''']] विशेष प्रकार के फलन होते हैं जो विभिन्न गणितीय समस्याओं जैसे कि कुछ समाकलन के समाधान के रूप में उत्पन्न होते हैं। इनके संबंधित नाम प्रायः इनकी समाकलन परिभाषाओं से उत्पन्न होते हैं, जिन्हें गामा फलन के समान परिभाषित किया गया है लेकिन अलग-अलग या "अपूर्ण" समाकलन सीमाओं के साथ गामा फलन को शून्य से अनंत तक के समाकलन भाग के रूप में परिभाषित किया गया है। यह छोटे अपूर्ण गामा फलन के विपरीत होते है, जिसे शून्य से चर की ऊपरी सीमा तक एक समाकलन भाग के रूप में परिभाषित किया गया है। इसी प्रकार बड़े अपूर्ण गामा फलन को चर की निचली सीमा से अनंत तक एक समाकलन भाग के रूप में परिभाषित किया गया है।
 
गणित में, ऊपरी और निचले [[गामा फ़ंक्शन|'''अपूर्ण गामा फलन''']] विशेष प्रकार के फलन होते हैं जो विभिन्न गणितीय समस्याओं जैसे कि कुछ समाकलन के समाधान के रूप में उत्पन्न होते हैं।
 
उनके संबंधित नाम उनकी अभिन्न परिभाषाओं से उपजे हैं, जिन्हें गामा फलन के समान परिभाषित किया गया है लेकिन अलग-अलग या "अपूर्ण" अभिन्न सीमाओं के साथ। गामा फलन को शून्य से अनंत तक के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है। यह निचले अपूर्ण गामा फलन के विपरीत है, जिसे शून्य से एक चर ऊपरी सीमा तक एक अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है। इसी प्रकार, ऊपरी अपूर्ण गामा फलन को एक चर निचली सीमा से अनंत तक एक अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है।


==परिभाषा==
==परिभाषा==
ऊपरी अपूर्ण गामा फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
बड़े अपूर्ण गामा फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
<math display="block"> \Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\, dt ,</math>
<math display="block"> \Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\, dt ,</math>
जबकि निचले अपूर्ण गामा फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
जबकि छोटे अपूर्ण गामा फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
<math display="block"> \gamma(s,x) = \int_0^x t^{s-1}\,e^{-t}\, dt .</math>
<math display="block"> \gamma(s,x) = \int_0^x t^{s-1}\,e^{-t}\, dt .</math>
दोनों स्थितियों में {{mvar|s}} एक समिश्र पैरामीटर है, जैसे कि {{mvar|s}} का वास्तविक भाग धनात्मक है।
दोनों स्थितियों में {{mvar|s}} एक समिश्र विश्लेषण है, जैसे कि {{mvar|s}} का वास्तविक भाग धनात्मक है।


==गुण==
==विशेषताएँ==


[[भागों द्वारा एकीकरण]] से हम [[पुनरावृत्ति संबंध]] पाते हैं
[[भागों द्वारा एकीकरण|भागफलों के समाकलन]] से हम [[पुनरावृत्ति संबंध]] प्राप्त करते हैं:


<math display="block">\Gamma(s+1,x)= s\Gamma(s,x) + x^{s} e^{-x}</math>
<math display="block">\Gamma(s+1,x)= s\Gamma(s,x) + x^{s} e^{-x}</math>
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चूंकि साधारण गामा फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
चूंकि साधारण गामा फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
<math display="block"> \Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\, dt</math>
<math display="block"> \Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\, dt</math>
अपने पास
या
<math display="block"> \Gamma(s) = \Gamma(s,0) = \lim_{x\to \infty} \gamma(s,x)</math>
<math display="block"> \Gamma(s) = \Gamma(s,0) = \lim_{x\to \infty} \gamma(s,x)</math>
और
और
<math display="block"> \gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s).</math>
<math display="block"> \gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s).</math>
===समिश्र मानों की निरंतरता===
===समिश्र मानों की निरंतरता===


निचला अधूरा गामा और ऊपरी अधूरा गामा फलन, जैसा कि वास्तविक धनात्मक {{mvar|s}} और {{mvar|x}} के लिए ऊपर परिभाषित किया गया है, को पूर्णसममितिक फलन में विकसित किया जा सकता है, {{mvar|x}} और {{mvar|s}} दोनों के संबंध में, समिश्र {{mvar|x}} और {{mvar|s}} के लगभग सभी संयोजनों के लिए परिभाषित किया गया है।<ref>[http://dlmf.nist.gov/8.2.ii DLMF, Incomplete Gamma functions, analytic continuation]</ref> समिश्र विश्लेषण से पता चलता है कि वास्तविक अपूर्ण गामा फलन के गुण उनके पूर्णसममितिक समकक्षों तक कैसे विस्तारित होते हैं।
वास्तविक धनात्मक {{mvar|x}} और {{mvar|s}} के लिए परिभाषित छोटे अपूर्ण गामा फलन और बड़े अपूर्ण गामा फलनों को {{mvar|s}} और {{mvar|x}} दोनों के संबंध में पूर्णसममितिक फलन में विकसित किया जा सकता है, जो समिश्र {{mvar|x}} और {{mvar|s}} के लगभग सभी संयोजनों के लिए परिभाषित है।<ref>[http://dlmf.nist.gov/8.2.ii DLMF, Incomplete Gamma functions, analytic continuation]</ref> समिश्र विश्लेषण से पता चलता है कि वास्तविक अपूर्ण गामा फलन के गुण उनके पूर्णसममितिक समकक्षों तक कैसे विस्तारित होते हैं।


====निचला अधूरा गामा फलन====
==छोटे अपूर्ण गामा फलन==


=====पूर्णसममितिक विस्तारण=====
=====पूर्णसममितिक विस्तारण=====
निचले अपूर्ण गामा फलन के लिए पुनरावृत्ति संबंध को बार-बार लागू करने से पावर श्रृंखला का विस्तार होता है:[http://dlmf.nist.gov/8.8.E7]
छोटे अपूर्ण गामा फलन के लिए पुनरावृत्ति संबंध को पुनः प्रयुक्त करने से घात श्रेणी का विस्तार होता है:[http://dlmf.nist.gov/8.8.E7]


<math display="block">\gamma(s, x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^s e^{-x} x^k}{s(s+1)\cdots(s+k)} = x^s \, \Gamma(s) \, e^{-x} \sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{\Gamma(s+k+1)}.</math>
<math display="block">\gamma(s, x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^s e^{-x} x^k}{s(s+1)\cdots(s+k)} = x^s \, \Gamma(s) \, e^{-x} \sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{\Gamma(s+k+1)}.</math>Γ(z + k) के निरपेक्ष मान में तीव्र वृद्धि को देखते हुए जब k → ∞ और Γ(z) का व्युत्क्रम एक संपूर्ण फलन है तब सबसे दाहिने योग में गुणांक अच्छी तरह से परिभाषित होते हैं और स्थानीय रूप से योग को परिवर्तित करते है सभी संक्षिप्त {{mvar|s}} और {{mvar|x}} के लिए समान रूप से वीएरस्ट्रा ß के एक प्रमेय द्वारा सीमित फलन जिसे कभी-कभी {{math|''γ''}} के रूप में दर्शाया जाता है:<math display="block">\gamma^*(s, z) := e^{-z}\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{\Gamma(s+k+1)}</math>
{{math|Γ(''z'' + ''k'')}} के पूर्ण मान में तेजी से वृद्धि को देखते हुए जब {{math|''k'' → ∞}} और यह तथ्य कि {{math|Γ(''z'')}} का व्युत्क्रम एक संपूर्ण फलन है, सबसे दाहिने योग में गुणांक अच्छी तरह से परिभाषित हैं, और स्थानीय रूप से योग सभी कॉम्प्लेक्स {{mvar|s}} और {{mvar|x}} के लिए समान रूप से अभिसरण होता है। वीएरस्ट्रा ß के एक प्रमेय द्वारा सीमित कार्य, जिसे कभी-कभी ∗<math>\gamma^*</math> के रूप में दर्शाया जाता है,<ref>{{cite web |url=http://www.math.washington.edu/~marshall/math_534/Notes.pdf |title=संग्रहीत प्रति|access-date=2011-04-23 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20110516005152/http://www.math.washington.edu/~marshall/math_534/Notes.pdf |archive-date=2011-05-16 }} Theorem 3.9 on p.56</ref><math display="block">\gamma^*(s, z) := e^{-z}\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{\Gamma(s+k+1)}</math>


 
दोनों {{mvar|z}} (निश्चित {{mvar|s}} के लिए) और {{mvar|s}} (निश्चित {{mvar|z}} के लिए)[http://dlmf.nist.gov/8.2.ii] के संबंध में पूर्ण है और इस प्रकार हार्टोग के प्रमेय द्वारा {{math|'''C''' × '''C'''}} पर पूर्णसममितिक है। इसलिए निम्नलिखित विभाजन दिया गया है:
दोनों {{mvar|z}} (निश्चित {{mvar|s}} के लिए) और {{mvar|s}} (निश्चित {{mvar|z}} के लिए)[http://dlmf.nist.gov/8.2.ii] के संबंध में संपूर्ण है, और, इस प्रकार, हार्टोग के प्रमेय[http://www.math.umn.edu/~garrett/m/complex/hartogs.pdf] द्वारा {{math|'''C''' × '''C'''}} पर पूर्णसममितिक है। इसलिए निम्नलिखित अपघटन


:<math>\gamma(s,z) = z^s \, \Gamma(s) \, \gamma^*(s,z)</math> [http://dlmf.nist.gov/8.2.E6],
:<math>\gamma(s,z) = z^s \, \Gamma(s) \, \gamma^*(s,z)</math> [http://dlmf.nist.gov/8.2.E6],


वास्तविक निचले अपूर्ण गामा फलन को पूर्णसममितिक फलन के रूप में विस्तारित करता है, दोनों संयुक्त रूप से और अलग-अलग {{mvar|z}} और {{mvar|s}} में यह <math>z^s</math> और Γ-फलन के गुणों से पता चलता है, कि पहले दो कारक <math>\gamma(s,z)</math> की विलक्षणताओं को पकड़ते हैं {{math|1=''z'' = 0}} या {{mvar|s}} एक गैर-धनात्मक पूर्णांक पर), जबकि अंतिम कारक इसके शून्य में योगदान देता है।
वास्तविक छोटे अपूर्ण गामा फलन को पूर्णसममितिक फलन के रूप में विस्तारित करता है, दोनों संयुक्त रूप से और अलग-अलग {{mvar|z}} और {{mvar|s}} में यह <math>z^s</math> और Γ-फलन के गुणों से पता चलता है कि पहले दो कारक <math>\gamma(s,z)</math> को {{math|1=''z'' = 0}} या {{mvar|s}} एक गैर-धनात्मक पूर्णांक पर विशिष्टता को अधिकृत करते हैं जबकि अंतिम कारक इसके शून्य में योगदान देता है।


=====बहु-मूल्यांकन=====
=====बहु-मूल्यांकन=====
[[जटिल लघुगणक|समिश्र लघुगणक]] {{math|1=log ''z'' = log {{abs|''z''}} + ''i'' arg ''z''}} केवल {{math|2''πi''}} के गुणज तक निर्धारित होता है, जो इसे बहु-मूल्यवान बनाता है। समिश्र लघुगणक से जुड़े कार्य सामान्यतः इस संपत्ति को प्राप्त करते हैं। इनमें से समिश्र शक्ति हैं, और चूंकि {{math|''z''<sup>''s''</sup>}} इसके अपघटन में {{math|γ}}-फलन भी प्रकट होता है।
[[जटिल लघुगणक|समिश्र लघुगणक]] {{math|1=log ''z'' = log {{abs|''z''}} + ''i'' arg ''z''}} केवल {{math|2''πi''}} के गुणज तक निर्धारित होता है, जो इसे बहु-मूल्यवान बनाता है। समिश्र लघुगणक से संबद्ध फलन सामान्यतः इस विशेषता को प्राप्त करते हैं। इनमें से समिश्र घात हैं चूंकि {{math|''z''<sup>''s''</sup>}} इसके अपघटन में {{math|γ}}-फलन भी प्रकट होता है।


बहु-मूल्यवान फलनों की अनिश्चितता समिश्रताओं का परिचय देती है, क्योंकि यह बताया जाना चाहिए कि मूल्य का चयन कैसे किया जाए। इसे संभालने की रणनीतियाँ हैं:
बहु-मूल्यवान फलनों की अनिश्चितता समिश्रताओं का परिचय देती है, क्योंकि यह बताया जाना चाहिए कि मान का चयन कैसे किया जा सकता है। इसे संरक्षित करने की कई स्थितियाँ हैं:
* (सबसे सामान्य तरीका) बहु-मूल्यवान फलनों के डोमेन सी को [[रीमैन सतह]] नामक {{math|'''C''' × '''C'''}} में एक उपयुक्त मैनिफोल्ड से बदलें। हालाँकि यह बहु-मूल्यांकन को दूर करता है, लेकिन इसके पीछे के सिद्धांत को जानना होगा [http://math.berkeley.edu/~teleman/math/Riemann.pdf]
* सबसे सामान्य तरीका बहु-मूल्यवान फलनों के डोमेन '''C''' को [[रीमैन सतह]] नामक {{math|'''C''' × '''C'''}} में एक उपयुक्त बहु-मूल्यवान फलन से परिवर्तित करें। हालाँकि यह बहु-मूल्यांकन को दूर करता है, लेकिन इसके पीछे के सिद्धांत को जानना आवश्यक होता है। [http://math.berkeley.edu/~teleman/math/Riemann.pdf]
* डोमेन को इस प्रकार प्रतिबंधित करें कि एक बहु-मूल्यवान फलन अलग-अलग एकल-मूल्यवान शाखाओं में विघटित हो जाए जिन्हें व्यक्तिगत रूप से नियंत्रित किया जा सके।
* डोमेन को इस प्रकार प्रतिबंधित करें कि एक बहु-मूल्यवान फलन अलग-अलग एकल-मूल्यवान शाखाओं में विघटित हो जाए जिन्हें व्यक्तिगत रूप से नियंत्रित किया जा सके।


इस अनुभाग में सूत्रों की सही व्याख्या करने के लिए नियमों के निम्नलिखित सेट का उपयोग किया जा सकता है। यदि अन्यथा उल्लेख नहीं किया गया है, तो निम्नलिखित मान लिया गया है:
इस वर्गों में सूत्रों की सही व्याख्या करने के लिए नियमों के निम्नलिखित समूह का उपयोग किया जा सकता है। यदि उल्लेख नहीं किया गया है, तो निम्नलिखित मानों को लिया जा सकता है:


======सेक्टर======
======क्षेत्र======
{{math|'''C'''}} में सेक्टर जिनका शीर्ष {{math|1=''z'' = 0}} पर है, अक्सर समिश्र अभिव्यक्तियों के लिए उपयुक्त डोमेन साबित होते हैं। एक सेक्टर {{mvar|D}} में कुछ {{mvar|α}} और {{math|0 < ''δ'' ≤ ''π''}} के साथ {{math|''z'' ≠ 0}} और {{math|''α'' − ''δ'' < arg ''z'' < ''α'' + ''δ''}} को पूरा करने वाले सभी समिश्र {{mvar|z}} शामिल हैं। अक्सर, α को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है और तब निर्दिष्ट नहीं किया जाता है। यदि {{mvar|δ}} नहीं दिया गया है, तो इसे {{pi}} माना जाता है, और सेक्टर वास्तव में संपूर्ण विमान {{math|'''C'''}} है, {{math|1=''z'' = 0}} पर उत्पन्न होने वाली और {{math|−''α''}} की दिशा की ओर इशारा करने वाली एक अर्ध-रेखा के अपवाद के साथ, सामान्यतः एक के रूप में कार्य करता है शाखा काटना. नोट: कई अनुप्रयोगों और ग्रंथों में,{{mvar|α}} को चुपचाप 0 के रूप में लिया जाता है, जो क्षेत्र को धनात्मक वास्तविक अक्ष के आसपास केंद्रित करता है।
क्षेत्र {{math|'''C'''}} में शीर्ष {{math|1=''z'' = 0}} पर है प्रायः समिश्र अभिव्यक्तियों के लिए उपयुक्त डोमेन सिद्ध होते हैं। एक क्षेत्र {{mvar|D}} में कुछ {{mvar|α}} और {{math|0 < ''δ'' ≤ ''π''}} के साथ {{math|''z'' ≠ 0}} और {{math|''α'' − ''δ'' < arg ''z'' < ''α'' + ''δ''}} को पूरा करने वाले सभी समिश्र {{mvar|z}} सम्मिलित हैं। प्रायः α को अपेक्षाकृत रूप से चुना जा सकता है और तब निर्दिष्ट नहीं किया जाता है। यदि {{mvar|δ}} नहीं दिया गया है, तो इसे {{pi}} माना जाता है और क्षेत्र वास्तव में संपूर्ण समतल {{math|'''C'''}} है, {{math|1=''z'' = 0}} पर उत्पन्न होने वाली और {{math|−''α''}} की दिशा की ओर इंगित करने वाली एक अर्ध-रेखा के रूपांतरण के साथ सामान्यतः एक के रूप में कार्य करता है। शाखा विभाजन कई अनुप्रयोगों और ग्रंथों में {{mvar|α}} को 0 के रूप में लिया जाता है, जो क्षेत्र को धनात्मक वास्तविक अक्ष के आसपास केंद्रित करता है।


======शाखाएँ======
======शाखाएँ======
विशेष रूप से, ऐसे किसी भी सेक्टर डी पर एक एकल-मूल्यवान और पूर्णसममितिक लघुगणक मौजूद होता है, जिसका काल्पनिक भाग सीमा {{open-open|''α'' − ''δ'', ''α'' + ''δ''}} से बंधा होता है। ऐसे प्रतिबंधित लघुगणक के आधार पर, {{math|''z''<sup>''s''</sup>}} और अपूर्ण गामा फलन बदले में {{mvar|D}} (या {{math|'''C'''×''D''}}) पर एकल-मूल्यवान, पूर्णसममितिक फलन में बदल जाते हैं, जिन्हें D पर उनके बहु-मूल्यवान समकक्षों की शाखाएं कहा जाता है। {{mvar|α}} में {{math|2''π''}} का गुणज जोड़ना एक ही सेट डी पर सहसंबद्ध शाखाओं का एक अलग सेट उत्पन्न होता है। हालाँकि, यहां किसी भी संदर्भ में, {{mvar|α}} को निश्चित माना जाता है और इसमें शामिल सभी शाखाएं इससे जुड़ी होती हैं। यदि {{math|{{abs|''α''}} < ''δ''}} शाखाओं को प्रिंसिपल कहा जाता है, क्योंकि वे धनात्मक वास्तविक अक्ष पर अपने वास्तविक एनालॉग के बराबर होती हैं। ध्यान दें: कई अनुप्रयोगों और ग्रंथों में, सूत्र केवल प्रमुख शाखाओं के लिए होते हैं।
विशेष रूप से ऐसे किसी भी क्षेत्र {{mvar|D}} पर एक एकल-मूल्यवान और पूर्णसममितिक लघुगणक सम्मिलित होता है, जिसका काल्पनिक भाग सीमा {{open-open|''α'' − ''δ'', ''α'' + ''δ''}} से संबद्ध होता है। ऐसे प्रतिबंधित लघुगणक के आधार पर {{math|''z''<sup>''s''</sup>}} और अपूर्ण गामा फलन में {{mvar|D}} या {{math|'''C'''×''D''}} पर एकल-मूल्यवान, पूर्णसममितिक फलन में परिवर्तित हो जाते हैं, जिन्हें D पर उनके बहु-मूल्यवान समकक्षों की शाखाएं कहा जाता है। {{mvar|α}} में {{math|2''π''}} का गुणज जोड़ना एक ही समूह {{mvar|D}} पर सहसंबद्ध शाखाओं का एक अलग समूह उत्पन्न होता है। हालाँकि यहां किसी भी संदर्भ में {{mvar|α}} को निश्चित माना जाता है और इसमें सम्मिलित सभी शाखाएं इससे संबद्ध होती हैं तब {{math|{{abs|''α''}} < ''δ''}} शाखाओं को मुख्य घटक विश्लेषण कहा जाता है क्योंकि वे धनात्मक वास्तविक अक्ष पर अपने वास्तविक घटक के बराबर होती हैं। ध्यान दें कि कई अनुप्रयोगों और ग्रंथों में सूत्र केवल प्रमुख शाखाओं के लिए होते हैं।


======शाखाओं के बीच संबंध======
======शाखाओं के बीच संबंध======
समिश्र पावर फलन और निचले अपूर्ण गामा फलन दोनों की विभिन्न शाखाओं के मान एक उपयुक्त पूर्णांक k के लिए <math>e^{2\pi iks}</math> के गुणन द्वारा एक दूसरे से प्राप्त किए जा सकते हैं।[http://dlmf.nist.gov/8.2.E8]
समिश्र घात फलन और छोटे अपूर्ण गामा फलन दोनों की विभिन्न शाखाओं के मान एक उपयुक्त पूर्णांक k के लिए <math>e^{2\pi iks}</math> के गुणन द्वारा एक दूसरे से प्राप्त किए जा सकते हैं।[http://dlmf.nist.gov/8.2.E8]


=====शाखा बिंदु के निकट व्यवहार=====
=====शाखा बिंदु के निकट अनुप्रयोग=====
ऊपर दिए गए अपघटन से पता चलता है कि γ, {{math|1=''z'' = 0}} के निकट स्पर्शोन्मुख रूप से व्यवहार करता है:
ऊपर दिए गए अनुप्रयोगों से पता चलता है कि γ, {{math|1=''z'' = 0}} के निकट यह स्पर्शोन्मुख रूप से व्यवहार करता है:
<math display="block">\gamma(s, z) \asymp z^s \, \Gamma(s) \, \gamma^*(s, 0) = z^s \, \Gamma(s)/\Gamma(s+1) = z^s/s.</math>
<math display="block">\gamma(s, z) \asymp z^s \, \Gamma(s) \, \gamma^*(s, 0) = z^s \, \Gamma(s)/\Gamma(s+1) = z^s/s.</math>
धनात्मक वास्तविक {{mvar|x}}, {{mvar|y}} और {{mvar|s}} के लिए {{math|''x''<sup>''y''</sup>/y → 0}}, जब {{math|(''x'', ''y'') → (0, ''s'')}} ऐसा लगता है कि यह वास्तविक {{math|''s'' > 0}} के लिए {{math|1=''γ''(''s'', 0) = 0}} की सेटिंग को उचित ठहराता है। हालाँकि, समिश्र क्षेत्र में मामले कुछ अलग हैं। केवल यदि () एस का वास्तविक हिस्सा धनात्मक है, और (बी) मान यूवी शाखाओं के एक सीमित सेट से लिया गया है, तो उन्हें {{math|(''u'', ''v'') → (0, ''s'')}} के रूप में शून्य में परिवर्तित होने की गारंटी है, और तो {{math|''γ''(''u'', ''v'')}} भी करता है। {{math|''γ''(''b'')}} की एक ही शाखा पर स्वाभाविक रूप से पूर्ति होती है, इसलिए धनात्मक वास्तविक भाग के साथ {{mvar|s}} के लिए {{math|1=''γ''(''s'', 0) = 0}} एक सतत सीमा है। यह भी ध्यान दें कि ऐसी निरंतरता किसी भी तरह से [[विश्लेषणात्मक निरंतरता|विश्लेषणात्मक]] नहीं है।
धनात्मक वास्तविक {{mvar|x}}, {{mvar|y}} और {{mvar|s}} के लिए {{math|''x''<sup>''y''</sup>/y → 0}}, जब {{math|(''x'', ''y'') → (0, ''s'')}} ऐसा लगता है कि यह वास्तविक {{math|''s'' > 0}} के लिए {{math|1=''γ''(''s'', 0) = 0}} की सेटिंग को उपयुक्त रूप से प्रयुक्त करता है। हालाँकि समिश्र क्षेत्र में कुछ स्थितियाँ अलग हैं। यदि (a) {{mvar|s}} का वास्तविक भाग धनात्मक है, और (b) मान ''u<sup>v</sup>'' शाखाओं के एक सीमित समूह से लिया गया है, तो उन्हें {{math|(''u'', ''v'') → (0, ''s'')}} के रूप में शून्य में परिवर्तित होने की संभावना है और इसी प्रकार {{math|''γ''(''u'', ''v'')}} भी करता है। {{math|''γ''(''b'')}} की एक ही शाखा पर स्वाभाविक रूप से पूर्ति होती है। इसलिए धनात्मक वास्तविक भाग के साथ {{mvar|s}} के लिए {{math|1=''γ''(''s'', 0) = 0}} एक सतत सीमा है। यह भी ध्यान दें कि ऐसी निरंतरता किसी भी प्रकार से [[विश्लेषणात्मक निरंतरता|विश्लेषणात्मक]] नहीं है।


=====बीजगणितीय संबंध=====
=====बीजगणितीय संबंध=====
वास्तविक {{math|''γ''(''s'', ''z'')}} द्वारा देखे गए सभी बीजगणितीय संबंध और अंतर समीकरण इसके पूर्णसममितिक समकक्ष के लिए भी मान्य हैं। यह पहचान प्रमेय का परिणाम है, जिसमें कहा गया है कि वास्तविक अंतराल पर मान्य पूर्णसममितिक फलनों के बीच समीकरण हर जगह लागू होते हैं। विशेष रूप से, पुनरावृत्ति संबंध [http://dlmf.nist.gov/8.8.E1] और {{math|1=''∂γ''(''s'', ''z'')/''∂z'' = ''z''<sup>''s''−1</sup> ''e''<sup>−''z''</sup>}} संबंधित शाखाओं पर संरक्षित हैं।[http://dlmf.nist.gov/8.8.E12]
वास्तविक {{math|''γ''(''s'', ''z'')}} द्वारा देखे गए सभी बीजगणितीय संबंध और अंतर समीकरण इसके पूर्णसममितिक समकक्ष के लिए भी मान्य हैं। यह पहचान प्रमेय का परिणाम है, जिसमें कहा गया है कि वास्तविक अंतराल पर मान्य पूर्णसममितिक फलनों के बीच समीकरण प्रत्येक फलन पर प्रयुक्त होते हैं। विशेष रूप से पुनरावृत्ति संबंध [http://dlmf.nist.gov/8.8.E1] और {{math|1=''∂γ''(''s'', ''z'')/''∂z'' = ''z''<sup>''s''−1</sup> ''e''<sup>−''z''</sup>}} संबंधित शाखाओं पर संरक्षित हैं।[http://dlmf.nist.gov/8.8.E12]


=====अभिन्न प्रतिनिधित्व=====
=====समाकलन प्रतिनिधित्व=====
अंतिम संबंध हमें बताता है कि निश्चित {{mvar|s}} के लिए, {{mvar|γ}} पूर्णसममितिक फलन {{math|''z''<sup>''s''−1</sup> ''e''<sup>−''z''</sup>}} का एक आदिम या प्रतिअवकलन है, परिणामस्वरूप किसी भी समिश्र {{math|''u'', ''v'' ≠ 0}} के लिए,<math display="block">\int_u^v t^{s-1}\,e^{-t}\, dt = \gamma(s,v) - \gamma(s,u)</math>
अंतिम संबंध हमें बताता है कि निश्चित {{mvar|s}} के लिए {{mvar|γ}} पूर्णसममितिक फलन {{math|''z''<sup>''s''−1</sup> ''e''<sup>−''z''</sup>}} का एक प्राथमिक अवकलन है जिसके परिणामस्वरूप किसी भी समिश्र {{math|''u'', ''v'' ≠ 0}} के लिए निम्न है:<math display="block">\int_u^v t^{s-1}\,e^{-t}\, dt = \gamma(s,v) - \gamma(s,u)</math>


 
यह तब तक धारण करता है, जब तक समाकलन का पथ पूरी तरह से समाकलन की एक शाखा के डोमेन में समाहित है। यदि इसके अतिरिक्त s का वास्तविक भाग धनात्मक है तो lim{{math|''γ''(''s'', ''u'') → 0}} के लिए {{math|''u'' → 0}} प्रयुक्त होती है अंततः {{math|''γ''}} की समिश्र समाकलन परिभाषा के अनुसार निम्न है:
तब तक धारण करता है, जब तक एकीकरण का मार्ग पूरी तरह से इंटीग्रैंड की एक शाखा के डोमेन में समाहित है। यदि, इसके अतिरिक्त, s का वास्तविक भाग धनात्मक है, तो सीमा {{math|''γ''(''s'', ''u'') → 0}} के लिए {{math|''u'' → 0}} लागू होती है, अंततः {{math|''γ''}} की समिश्र अभिन्न परिभाषा पर पहुंचती है:


<math display="block">\gamma(s, z) = \int_0^z t^{s-1}\,e^{-t}\, dt, \, \Re(s) > 0. </math>
<math display="block">\gamma(s, z) = \int_0^z t^{s-1}\,e^{-t}\, dt, \, \Re(s) > 0. </math>
एकीकरण का कोई भी पथ जिसमें शुरुआत में केवल 0 होता है, अन्यथा इंटीग्रैंड की एक शाखा के डोमेन तक सीमित होता है, उदाहरण के लिए {{math|0}} और {{mvar|z}} को जोड़ने वाली सीधी रेखा यहां मान्य है।
समाकलन का कोई भी पथ जिसमें प्रारम्भ में केवल 0 होता है, अन्यथा समाकलन की एक शाखा के डोमेन तक सीमित होता है, उदाहरण के लिए {{math|0}} और {{mvar|z}} को जोड़ने वाली प्रत्यक्ष रेखा मान्य है:


=====के लिए सीमा {{math|''z'' → +∞}}=====
====={{math|''z'' → +∞}}=====


======वास्तविक मूल्य======
======वास्तविक मान======
{{math|''γ''}} की एक प्रमुख शाखा के अभिन्न प्रतिनिधित्व को देखते हुए, निम्नलिखित समीकरण सभी धनात्मक वास्तविक {{mvar|s}}, {{mvar|x}} के लिए मान्य है:
{{math|''γ''}} की एक प्रमुख शाखा के समाकलन प्रतिनिधित्व को देखते हुए, निम्नलिखित समीकरण सभी धनात्मक वास्तविक {{mvar|s}}, {{mvar|x}} के लिए मान्य है:
<math display="block">\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1}\,e^{-t}\, dt = \lim_{x \to \infty} \gamma(s, x)</math>
<math display="block">\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1}\,e^{-t}\, dt = \lim_{x \to \infty} \gamma(s, x)</math>
======s समिश्र======
यह परिणाम संक्षिप्त {{mvar|s}} तक विस्तृत है, माना कि {{math|1 ≤ Re(''s'') ≤ 2}} और {{math|1 < ''a'' < ''b''}} तब,<math display="block">|\gamma(s, b) - \gamma(s, a)| \le \int_a^b |t^{s-1}| e^{-t}\, dt = \int_a^b t^{\Re s-1} e^{-t}\, dt \le \int_a^b t e^{-t}\, dt</math>




======s समिश्र======
यह परिणाम कॉम्प्लेक्स {{mvar|s}} तक फैला हुआ है, पहले {{math|1 ≤ Re(''s'') ≤ 2}} और {{math|1 < ''a'' < ''b''}}. मान लें। तब<math display="block">|\gamma(s, b) - \gamma(s, a)| \le \int_a^b |t^{s-1}| e^{-t}\, dt = \int_a^b t^{\Re s-1} e^{-t}\, dt \le \int_a^b t e^{-t}\, dt</math>




जहां[http://dlmf.nist.gov/4.4.E15]
जहां निम्नलिखित फलन के बीच में प्रयोग किया गया है:[http://dlmf.nist.gov/4.4.E15]
<math display="block">|z^s| = |z|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}</math>
<math display="block">|z^s| = |z|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}</math>
बीच में प्रयोग किया गया है. चूंकि अंतिम समाकलन मनमाने ढंग से छोटा हो जाता है यदि केवल {{mvar|a}} काफी बड़ा है, {{math|''γ''(''s'', ''x'')}} एक पूर्णसममितिक फलन की ओर स्ट्रिप {{math|1 ≤ Re(s) ≤ 2}} पर {{math|''x'' → ∞}} के लिए समान रूप से परिवर्तित होता है<ref>{{cite web |url=http://www.math.washington.edu/~marshall/math_534/Notes.pdf |title=संग्रहीत प्रति|access-date=2011-04-23 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20110516005152/http://www.math.washington.edu/~marshall/math_534/Notes.pdf |archive-date=2011-05-16 }} Theorem 3.9 on p.56</ref> जो Γ होना चाहिए s) पहचान प्रमेय के कारण। पुनरावृत्ति संबंध {{math|1=''γ''(''s'', ''x'') = (''s'' − 1) ''γ''(''s'' − 1, ''x'') − ''x''<sup>''s'' − 1</sup> ''e''<sup>−''x''</sup>}} में सीमा लेते हुए और ध्यान दें कि {{math|''x'' → ∞}} के लिए lim {{math|1=''x''<sup>''n''</sup> ''e''<sup>−''x''</sup> = 0}} और सभी {{mvar|n}}, दर्शाता है कि {{math|''γ''(''s'', ''x'')}} पट्टी के बाहर भी, Γ-फलन के पुनरावृत्ति संबंध का पालन करने वाले फलन की ओर अभिसरण करता है। यह इस प्रकार है<math display="block">\Gamma(s) = \lim_{x \to \infty} \gamma(s, x)</math>सभी सम्मिश्रों के लिए {{mvar|s}} एक गैर-धनात्मक पूर्णांक नहीं है,{{mvar|x}} वास्तविक और {{math|''γ''}} मूलधन है।
चूंकि अंतिम समाकलन अपेक्षाकृत रूप से छोटा हो जाता है यदि केवल {{mvar|a}}, {{math|''γ''(''s'', ''x'')}} से बड़ा है तब एक पूर्णसममितिक फलन की ओर विभाजन {{math|1 ≤ Re(s) ≤ 2}} पर {{math|''x'' → ∞}} के लिए समान रूप से परिवर्तित होता है।<ref>{{cite web |url=http://www.math.washington.edu/~marshall/math_534/Notes.pdf |title=संग्रहीत प्रति|access-date=2011-04-23 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20110516005152/http://www.math.washington.edu/~marshall/math_534/Notes.pdf |archive-date=2011-05-16 }} Theorem 3.9 on p.56</ref> जो Γ या s होना चाहिए) पहचान प्रमेय के कारण पुनरावृत्ति संबंध {{math|1=''γ''(''s'', ''x'') = (''s'' − 1) ''γ''(''s'' − 1, ''x'') − ''x''<sup>''s'' − 1</sup> ''e''<sup>−''x''</sup>}} में सीमा लेते हुए और ध्यान दें कि {{math|''x'' → ∞}} के लिए lim {{math|1=''x''<sup>''n''</sup> ''e''<sup>−''x''</sup> = 0}} है और सभी {{mvar|n}}, दर्शाते है कि {{math|''γ''(''s'', ''x'')}} के बाहर भी Γ-फलन के पुनरावृत्ति संबंध का अनुसरण करने वाले फलन की ओर अभिसरण करता है। यह इस प्रकार है:<math display="block">\Gamma(s) = \lim_{x \to \infty} \gamma(s, x)</math>सभी सम्मिश्रों के लिए {{mvar|s}} एक गैर-धनात्मक पूर्णांक नहीं है {{mvar|x}} वास्तविक फलन और {{math|''γ''}} मूल फलन है।


======क्षेत्रवार अभिसरण======
======क्षेत्रवृत अभिसरण======
अब आप सेक्टर {{mvar|u}} से हैं {{math|{{abs|arg ''z''}} < ''δ'' < ''π''/2}} कुछ निश्चित {{mvar|δ}} ({{math|1=''α'' = 0}}) के साथ, {{math|''γ''}} इस क्षेत्र की प्रमुख शाखा बनें, और देखें
क्षेत्र {{mvar|u}} मे {{math|{{abs|arg ''z''}} < ''δ'' < ''π''/2}} कुछ निश्चित बिन्दु {{mvar|δ}} ({{math|1=''α'' = 0}}) के साथ, {{math|''γ''}} इस क्षेत्र की प्रमुख के लिए निम्नलिखित देखें:
<math display="block">\Gamma(s) - \gamma(s, u) = \Gamma(s) - \gamma(s, |u|) + \gamma(s, |u|) - \gamma(s, u).</math>
<math display="block">\Gamma(s) - \gamma(s, u) = \Gamma(s) - \gamma(s, |u|) + \gamma(s, |u|) - \gamma(s, u).</math>
जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, पहला अंतर मनमाने ढंग से छोटा किया जा सकता है, यदि {{math|{{abs|''u''}}}} पर्याप्त रूप से बड़ा है. दूसरा अंतर निम्नलिखित अनुमान की अनुमति देता है:
जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, पहला अंतर अपेक्षाकृत रूप से छोटा किया जा सकता है, यदि {{math|{{abs|''u''}}}} पर्याप्त रूप से बड़ा है और दूसरा अंतर निम्नलिखित अनुमान की स्वीकृति देता है:


<math display="block">|\gamma(s, |u|) - \gamma(s, u)| \le \int_u^{|u|} |z^{s-1} e^{-z}|\, dz = \int_u^{|u|} |z|^{\Re s - 1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z} \, dz,</math>
<math display="block">|\gamma(s, |u|) - \gamma(s, u)| \le \int_u^{|u|} |z^{s-1} e^{-z}|\, dz = \int_u^{|u|} |z|^{\Re s - 1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z} \, dz,</math>
जहां हमने {{math|''γ''}} के अभिन्न प्रतिनिधित्व और {{math|{{abs|''z''<sup>''s''</sup>}}}} के सूत्र का उपयोग किया ऊपर। यदि हम त्रिज्या {{math|1=''R'' = {{abs|''u''}}}} के साथ चाप को एकीकृत करते हैं {{mvar|u}} और {{math|{{abs|''u''}}}} को जोड़ने वाला लगभग 0 है, तो अंतिम समाकलन है:
जहां {{math|''γ''}} के समाकलन प्रतिनिधित्व {{math|{{abs|''z''<sup>''s''</sup>}}}} के सूत्र का उपयोग किया है यदि हम त्रिज्या {{math|1=''R'' = {{abs|''u''}}}} के साथ चाप को एकीकृत करते हैं तो {{mvar|u}} और {{math|{{abs|''u''}}}} को जोड़ने वाला लगभग 0 है, तो अंतिम समाकलन है:


<math display="block">\le R \left|\arg u\right| R^{\Re s - 1}\, e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos\arg u} \le \delta\,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta}\,e^{-R\cos\delta} = M\,(R\,\cos\delta)^{\Re s}\,e^{-R\cos\delta}</math>
<math display="block">\le R \left|\arg u\right| R^{\Re s - 1}\, e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos\arg u} \le \delta\,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta}\,e^{-R\cos\delta} = M\,(R\,\cos\delta)^{\Re s}\,e^{-R\cos\delta}</math>
जहां {{math|1=''M'' = ''δ''(cos ''δ'')<sup>−Re ''s''</sup> ''e''<sup>Im ''sδ''</sup>}}, {{mvar|u}} या {{mvar|R}} से एक स्थिर स्वतंत्र है। फिर से बड़े {{mvar|x}} के लिए {{math|''x''<sup>''n''</sup> ''e''<sup>−''x''</sup>}} के व्यवहार का जिक्र करते हुए, हम देखते हैं कि अंतिम अभिव्यक्ति 0 के करीब पहुंचती है क्योंकि {{mvar|R}} {{math|∞}} की ओर बढ़ता है। कुल मिलाकर अब हमारे पास है:
जहां {{math|1=''M'' = ''δ''(cos ''δ'')<sup>−Re ''s''</sup> ''e''<sup>Im ''sδ''</sup>}}, {{mvar|u}} या {{mvar|R}} से एक स्थिर स्वतंत्र है। फिर से बड़े {{mvar|x}} के लिए {{math|''x''<sup>''n''</sup> ''e''<sup>−''x''</sup>}} के व्यवहार का अनुसरण करते हुए, हम देखते हैं कि अंतिम अभिव्यक्ति 0 के निकट है क्योंकि {{mvar|R}} {{math|∞}} की ओर बढ़ता है। अंततः अब कुल फलन हमारे पास है:


<math display="block">\Gamma(s) = \lim_{|z| \to \infty} \gamma(s, z), \quad \left|\arg z\right| < \pi/2 - \epsilon,</math>यदि {{mvar|s}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है, तो {{math|0 < ''ε'' < ''π''/2}} मनमाने ढंग से छोटा है, लेकिन निश्चित है, और {{math|''γ''}} इस डोमेन पर प्रमुख शाखा को दर्शाता है।
<math display="block">\Gamma(s) = \lim_{|z| \to \infty} \gamma(s, z), \quad \left|\arg z\right| < \pi/2 - \epsilon,</math>यदि {{mvar|s}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है, तो {{math|0 < ''ε'' < ''π''/2}} अपेक्षाकृत रूप से छोटा है, लेकिन निश्चित है और {{math|''γ''}} इस डोमेन पर प्रमुख शाखा को दर्शाता है।
=====अवलोकन=====
=====समीक्षा=====
<math>\gamma(s, z)</math> है:
<math>\gamma(s, z)</math> है:
* निश्चित धनात्मक पूर्णांक {{mvar|s}} के लिए {{mvar|z}} में संपूर्ण
* निश्चित धनात्मक पूर्णांक {{mvar|s}} के लिए {{mvar|z}} में पूर्ण है।
* निश्चित {{mvar|s}} के लिए {{mvar|z}} में बहु-मूल्यवान पूर्णसममितिक {{math|1=''z'' = 0}} पर एक शाखा बिंदु के साथ एक पूर्णांक नहीं है
* निश्चित {{mvar|s}} के लिए {{mvar|z}} में बहु-मूल्यवान पूर्णसममितिक {{math|1=''z'' = 0}} पर एक शाखा बिंदु के साथ एक पूर्णांक नहीं है।
* निश्चित {{math|1=''z'' ≠ 0}} के लिए {{mvar|s}} में प्रत्येक शाखा मेरोमोर्फिक पर, गैर-धनात्मक पूर्णांक s पर सरल ध्रुवों के साथ।
* निश्चित {{math|1=''z'' ≠ 0}} के लिए {{mvar|s}} में प्रत्येक शाखा मेरोमोर्फिक फलन पर गैर-धनात्मक पूर्णांक s पर सरल ध्रुवों के साथ है।


====ऊपरी अपूर्ण गामा फलन====
==बड़े अपूर्ण गामा फलन==


ऊपरी अपूर्ण गामा फलन के लिए {{mvar|z}} या {{mvar|s}} के संबंध में एक पूर्णसममितिक विस्तार, द्वारा दिया गया है [http://dlmf.nist.gov/8.2.E3]
बड़े अपूर्ण गामा फलन के लिए {{mvar|z}} या {{mvar|s}} के संबंध में एक पूर्णसममितिक विस्तार निम्न फलन द्वारा दिया गया है:[http://dlmf.nist.gov/8.2.E3]
<math display="block">\Gamma(s,z) = \Gamma(s) - \gamma(s, z)</math>
<math display="block">\Gamma(s,z) = \Gamma(s) - \gamma(s, z)</math>
बिंदुओं {{math|(''s'', ''z'')}} पर, जहां दाहिना पक्ष मौजूद है। चूंकि <math>\gamma</math> बहु-मूल्यवान है, यही बात <math>\Gamma</math> के लिए भी लागू होती है, लेकिन प्रमुख मानों पर प्रतिबंध से केवल <math>\Gamma</math> की एकल-मूल्यवान प्रमुख शाखा प्राप्त होती है।
बिंदुओं {{math|(''s'', ''z'')}} पर जहां दाहिना पक्ष सम्मिलित है चूंकि <math>\gamma</math> बहु-मूल्यवान है, यही प्रक्रिया <math>\Gamma</math> के लिए भी प्रयुक्त होती है, लेकिन प्रमुख मानों पर प्रतिबंध से केवल <math>\Gamma</math> की एकल-मूल्यवान प्रमुख शाखा प्राप्त होती है।


जब उपरोक्त समीकरण में {{mvar|s}} एक गैर-धनात्मक पूर्णांक है, तो अंतर का कोई भी भाग परिभाषित नहीं किया गया है, और एक सीमित प्रक्रिया, यहां {{math|''s'' → 0}} के लिए विकसित की गई है, लुप्त मानों को भरती है। [[जटिल विश्लेषण|समिश्र विश्लेषण]] होलोमोर्फिसिटी की गारंटी देता है, क्योंकि <math>\Gamma(s,z)</math> एक निश्चित z के लिए उस सीमा के पड़ोस में घिरा हुआ साबित होता है।
जब उपरोक्त समीकरण में {{mvar|s}} एक गैर-धनात्मक पूर्णांक है, तो अंतर का कोई भी भाग परिभाषित नहीं किया गया है और एक सीमित प्रक्रिया यहां {{math|''s'' → 0}} के लिए विकसित की गई है जो लुप्त मानों को पूर्ण करती है। [[जटिल विश्लेषण|समिश्र विश्लेषण]] होलोमोर्फिस का दायित्व करती है क्योंकि <math>\Gamma(s,z)</math> एक निश्चित z के लिए उस सीमा के निकट में घिरा हुआ सिद्ध होता है।


सीमा निर्धारित करने के लिए, {{math|1=''z'' = 0}} पर <math>\gamma^*</math> की शक्ति श्रृंखला उपयोगी है। <math>\gamma</math> की अभिन्न परिभाषा में इसकी शक्ति श्रृंखला द्वारा <math>e^{-x}</math> को प्रतिस्थापित करने पर एक प्राप्त होता है (अभी के लिए {{mvar|x}},{{mvar|s}} धनात्मक वास्तविक मान लें)
सीमा निर्धारित करने के लिए {{math|1=''z'' = 0}} पर <math>\gamma^*</math> की घात श्रृंखला उपयोगी है। <math>\gamma</math> की समाकलन परिभाषा में इसकी घात श्रृंखला द्वारा <math>e^{-x}</math> को प्रतिस्थापित करने पर निम्न मान प्राप्त होता है अभी के लिए {{mvar|x}}, {{mvar|s}} को धनात्मक वास्तविक मान सकते है:


<math display="block">\gamma(s, x) = \int_0^x t^{s-1} e^{-t} \, dt = \int_0^x \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\,\frac{t^{s+k-1}}{k!} \, dt = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\,\frac{x^{s+k}}{k!(s+k)} = x^s\,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-x)^k}{k!(s+k)}</math>
<math display="block">\gamma(s, x) = \int_0^x t^{s-1} e^{-t} \, dt = \int_0^x \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\,\frac{t^{s+k-1}}{k!} \, dt = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\,\frac{x^{s+k}}{k!(s+k)} = x^s\,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-x)^k}{k!(s+k)}</math>
या[http://dlmf.nist.gov/8.7.E1]
या[http://dlmf.nist.gov/8.7.E1]
<math display="block">\gamma^*(s,x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-x)^k}{k!\,\Gamma(s)(s+k)}.</math>
<math display="block">\gamma^*(s,x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-x)^k}{k!\,\Gamma(s)(s+k)}.</math>
जो, संपूर्ण <math>\gamma^*</math> फलन के श्रृंखला प्रतिनिधित्व के रूप में, सभी कॉम्प्लेक्स {{mvar|x}} (और सभी कॉम्प्लेक्स {{mvar|s}} एक गैर-धनात्मक पूर्णांक नहीं) के लिए अभिसरण करता है।
जो संपूर्ण <math>\gamma^*</math> फलन के श्रृंखला प्रतिनिधित्व के रूप में सभी संक्षिप्त {{mvar|x}} और सभी संक्षिप्त {{mvar|s}} एक गैर-धनात्मक पूर्णांक के लिए अभिसरण करता है और वास्तविक मानों पर प्रतिबंध हटाने के साथ श्रृंखला विस्तार की स्वीकृति देता है:
 
वास्तविक मानों पर प्रतिबंध हटने के साथ, श्रृंखला विस्तार की अनुमति देती है:


<math display="block">\gamma(s, z) - \frac{1}{s} = -\frac{1}{s} + z^s\,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-z)^k}{k!(s+k)} = \frac{z^s-1}{s} + z^s\, \sum_{k=1}^\infty \frac{(-z)^k}{k!(s+k)},\quad \Re(s) > -1, \,s \ne 0.</math>
<math display="block">\gamma(s, z) - \frac{1}{s} = -\frac{1}{s} + z^s\,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-z)^k}{k!(s+k)} = \frac{z^s-1}{s} + z^s\, \sum_{k=1}^\infty \frac{(-z)^k}{k!(s+k)},\quad \Re(s) > -1, \,s \ne 0.</math>
जब {{math|''s'' → 0}}:<ref>[[Gamma function#General|see last eq.]]</ref>
जब {{math|''s'' → 0}}:<ref>[[Gamma function#General|see last eq.]]</ref>
<math display="block">\frac{z^s-1}{s} \to \ln(z),\quad \Gamma(s) - \frac{1}{s} = \frac{1}{s} - \gamma + O(s) - \frac{1}{s} \to -\gamma,</math>
<math display="block">\frac{z^s-1}{s} \to \ln(z),\quad \Gamma(s) - \frac{1}{s} = \frac{1}{s} - \gamma + O(s) - \frac{1}{s} \to -\gamma,</math>
(<math>\gamma</math> यहाँ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है), इसलिए,
<math>\gamma</math> यहाँ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है, इसलिए,
<math display="block">\Gamma(0,z) = \lim_{s \to 0}\left(\Gamma(s) - \tfrac{1}{s} - (\gamma(s, z) - \tfrac{1}{s})\right) = -\gamma-\ln(z) - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-z)^k}{k\,(k!)}</math>
<math display="block">\Gamma(0,z) = \lim_{s \to 0}\left(\Gamma(s) - \tfrac{1}{s} - (\gamma(s, z) - \tfrac{1}{s})\right) = -\gamma-\ln(z) - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-z)^k}{k\,(k!)}</math>
ऊपरी अपूर्ण गामा फलन के लिए {{math|''s'' → 0}} के रूप में सीमित फलन है, जिसे घातीय समाकलन <math>E_1(z)</math> के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{Cite web|url=http://dlmf.nist.gov/8.4.E4|title=DLMF: 8.4 Special Values}}</ref> पुनरावृत्ति संबंध के माध्यम से, धनात्मक पूर्णांक n के लिए <math>\Gamma(-n, z)</math> का मान इस परिणाम से प्राप्त किया जा सकता है<ref>{{Cite web|url=http://dlmf.nist.gov/8.4.E15|title = DLMF: 8.4 Special Values}}</ref>
बड़े अपूर्ण गामा फलन के लिए {{math|''s'' → 0}} के रूप में सीमित फलन है, जिसे घातीय समाकलन <math>E_1(z)</math> के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{Cite web|url=http://dlmf.nist.gov/8.4.E4|title=DLMF: 8.4 Special Values}}</ref> पुनरावृत्ति संबंध के माध्यम से धनात्मक पूर्णांक n के लिए <math>\Gamma(-n, z)</math> का मान इस परिणाम से प्राप्त किया जा सकता है:<ref>{{Cite web|url=http://dlmf.nist.gov/8.4.E15|title = DLMF: 8.4 Special Values}}</ref>


<math display="block">\Gamma(-n, z) = \frac{1}{n!} \left(\frac{e^{-z}}{z^n} \sum_{k = 0}^{n - 1} (-1)^k (n - k - 1)! \, z^k + (-1)^n \Gamma(0, z)\right)</math>
<math display="block">\Gamma(-n, z) = \frac{1}{n!} \left(\frac{e^{-z}}{z^n} \sum_{k = 0}^{n - 1} (-1)^k (n - k - 1)! \, z^k + (-1)^n \Gamma(0, z)\right)</math>
इसलिए सभी s और {{math|''z'' ≠ 0}} के लिए {{mvar|z}} और {{mvar|s}} दोनों के संबंध में, ऊपरी अधूरा गामा फलन अस्तित्व में है और पूर्णसममितिक साबित होता है।
इसलिए सभी s और {{math|''z'' ≠ 0}} के लिए {{mvar|z}} और {{mvar|s}} दोनों के संबंध में बड़े अपूर्ण गामा फलन अस्तित्व में है और पूर्णसममितिक सिद्ध होते है।


<math>\Gamma(s, z)</math> है:
जहां <math>\Gamma(s, z)</math> है:
* निश्चित धनात्मक अभिन्न {{mvar|s}} के लिए {{mvar|z}} में संपूर्ण
* निश्चित धनात्मक समाकलन {{mvar|s}} के लिए {{mvar|z}} में संपूर्ण है।
* निश्चित {{mvar|s}} के लिए {{mvar|z}} में बहु-मूल्यवान पूर्णसममितिक, {{math|1=''z'' = 0}} पर एक शाखा बिंदु के साथ गैर-शून्य और एक धनात्मक पूर्णांक नहीं
* निश्चित {{mvar|s}} के लिए {{mvar|z}} में बहु-मूल्यवान पूर्णसममितिक, {{math|1=''z'' = 0}} पर एक शाखा बिंदु के साथ गैर-शून्य और एक धनात्मक पूर्णांक नहीं है।
* धनात्मक वास्तविक भाग और {{math|1=''z'' = 0}} के साथ s के लिए <math>\Gamma(s)</math> के बराबर (सीमा जब <math>(s_i,z_i) \to (s, 0)</math> लेकिन यह एक सतत विस्तार है, नहीं विश्लेषणात्मक एक (वास्तविक {{math|''s'' < 0}} के लिए मान्य नहीं है!)
* धनात्मक वास्तविक भाग और {{math|1=''z'' = 0}} के साथ s के लिए <math>\Gamma(s)</math> के बराबर (सीमा जब <math>(s_i,z_i) \to (s, 0)</math> लेकिन यह एक सतत विस्तार विश्लेषणात्मक नहीं है, एक वास्तविक {{math|''s'' < 0}} के लिए मान्य नहीं है।
* प्रत्येक शाखा पर निश्चित {{math|''z'' ≠ 0}} के लिए संपूर्ण {{mvar|s}} में।
* प्रत्येक शाखा पर निश्चित {{math|''z'' ≠ 0}} के लिए संपूर्ण {{mvar|s}} फलन है।


===विशेष मूल्य===
===विशेष मान===


*<math>\Gamma(s+1,1) = \frac{\lfloor es! \rfloor}{e} </math> यदि {{mvar|s}} एक धनात्मक [[पूर्णांक]] है,
*<math>\Gamma(s+1,1) = \frac{\lfloor es! \rfloor}{e} </math> , यदि {{mvar|s}} एक धनात्मक [[पूर्णांक]] है।
* <math>\Gamma(s,x) = (s-1)!\, e^{-x} \sum_{k=0}^{s-1} \frac{x^k}{k!}</math> यदि {{mvar|s}} एक धनात्मक [[पूर्णांक]] है,<ref>{{mathworld | urlname=IncompleteGammaFunction | title=Incomplete Gamma Function}} (equation 2)</ref>
* <math>\Gamma(s,x) = (s-1)!\, e^{-x} \sum_{k=0}^{s-1} \frac{x^k}{k!}</math>, यदि {{mvar|s}} एक धनात्मक [[पूर्णांक]] है।<ref>{{mathworld | urlname=IncompleteGammaFunction | title=Incomplete Gamma Function}} (equation 2)</ref>
* <math> \Gamma(s,0) = \Gamma(s), \Re(s) > 0</math>,
* <math> \Gamma(s,0) = \Gamma(s), \Re(s) > 0</math>,
* <math>\Gamma(1,x) = e^{-x}</math>,
* <math>\Gamma(1,x) = e^{-x}</math>,
Line 161: Line 151:
* <math>\gamma\left(\tfrac{1}{2}, x\right) = \sqrt\pi \operatorname{erf}\left(\sqrt x\right)</math>.
* <math>\gamma\left(\tfrac{1}{2}, x\right) = \sqrt\pi \operatorname{erf}\left(\sqrt x\right)</math>.


यहां <math>\operatorname{Ei}</math> घातीय समाकलन है <math>\operatorname{E}_n</math> सामान्यीकृत घातीय समाकलन है <math>\operatorname{erf}</math> त्रुटि फलन है और <math>\operatorname{erfc}</math> [[पूरक त्रुटि फ़ंक्शन|पूरक त्रुटि फलन]] <math>\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)</math> है।
यहां <math>\operatorname{Ei}</math> घातीय समाकलन है, <math>\operatorname{E}_n</math> सामान्यीकृत घातीय समाकलन है, <math>\operatorname{erf}</math> त्रुटि फलन है और <math>\operatorname{erfc}</math> [[पूरक त्रुटि फ़ंक्शन|पूरक त्रुटि फलन]] <math>\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)</math> है।


===स्पर्शोन्मुख व्यवहार===
===स्पर्शोन्मुख अनुप्रयोग===


* <math>\frac{\gamma(s,x)}{x^s} \to \frac{1}{s}</math> जैसा <math>x \to 0</math>,
* <math>\frac{\gamma(s,x)}{x^s} \to \frac{1}{s}</math> जैसे <math>x \to 0</math>,
* <math>\frac{\Gamma(s,x)}{x^s} \to -\frac{1}{s}</math> जैसा <math>x \to 0</math> और <math>\Re (s) < 0</math> (वास्तव में {{math|''s''}}, की त्रुटि {{math|Γ(''s'', ''x'') ~ −''x''<sup>''s''</sup> / ''s''}} के आदेश पर है {{math|''O''(''x''<sup>min{''s'' + 1, 0}</sup>)}} अगर {{math|''s'' ≠ −1}} और {{math|''O''(ln(''x''))}} यदि {{math|1=''s'' = −1}}),
* <math>\frac{\Gamma(s,x)}{x^s} \to -\frac{1}{s}</math> जैसे <math>x \to 0</math> और <math>\Re (s) < 0</math> (वास्तव में {{math|''s''}} की त्रुटि {{math|Γ(''s'', ''x'') ~ −''x''<sup>''s''</sup> / ''s''}}, {{math|''O''(''x''<sup>min{''s'' + 1, 0}</sup>)}} के क्रम मे है यदि {{math|''s'' ≠ −1}} और यदि {{math|''O''(ln(''x''))}} {{math|1=''s'' = −1}}) है।
** <math>\Gamma(s,x) \sim \Gamma(s) - \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{s+n}}{n!(s+n)}</math> एक [[स्पर्शोन्मुख श्रृंखला]] के रूप में जहां <math>x\to0^+</math> और <math>s\neq 0,-1,-2,\dots</math>.<ref>{{cite book |last=Bender & Orszag |date=1978 |title=वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए उन्नत गणितीय तरीके|publisher=Springer}}</ref>
** <math>\Gamma(s,x) \sim \Gamma(s) - \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{s+n}}{n!(s+n)}</math> , जहां <math>x\to0^+</math> और <math>s\neq 0,-1,-2,\dots</math>.एक [[स्पर्शोन्मुख श्रृंखला]] के रूप में है।<ref>{{cite book |last=Bender & Orszag |date=1978 |title=वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए उन्नत गणितीय तरीके|publisher=Springer}}</ref>
** <math>\Gamma(-N,x) \sim C_N + \frac{(-1)^{N+1}}{N!} \ln x - \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{n-N}}{n!(n-N)}</math> एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के रूप में जहां <math>x \to 0^+</math> और <math>N = 1, 2, \dots</math>, कहाँ <math display="inline">C_N = \frac{(-1)^{N+1}}{N!} \left( \gamma - \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \right)</math>, कहाँ <math>\gamma</math> [[यूलर-माशेरोनी स्थिरांक]] है।<ref>{{cite book |last=Bender & Orszag |date=1978 |title=वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए उन्नत गणितीय तरीके|publisher=Springer}}</ref>
** <math>\Gamma(-N,x) \sim C_N + \frac{(-1)^{N+1}}{N!} \ln x - \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{n-N}}{n!(n-N)}</math> , जहां <math>x \to 0^+</math> और <math>N = 1, 2, \dots</math>,एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के रूप में है।
* <math>\gamma(s,x) \to \Gamma(s)</math> जैसा <math>x \to \infty</math>,
**<math display="inline">C_N = \frac{(-1)^{N+1}}{N!} \left( \gamma - \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \right)</math>, जहाँ <math>\gamma</math> [[यूलर-माशेरोनी स्थिरांक]] है।<ref>{{cite book |last=Bender & Orszag |date=1978 |title=वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए उन्नत गणितीय तरीके|publisher=Springer}}</ref>
* <math>\frac{\Gamma(s,x)}{x^{s-1} e^{-x}} \to 1</math> जैसा <math>x \to \infty</math>,
* <math>\gamma(s,x) \to \Gamma(s)</math> जैसे <math>x \to \infty</math>,
* <math>\Gamma(s,z) \sim z^{s-1} e^{-z} \sum_{k=0} \frac {\Gamma(s)} {\Gamma(s-k)} z^{-k}</math> एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के रूप में जहां <math>|z| \to \infty</math> और <math>\left|\arg z\right| < \tfrac{3}{2} \pi</math>.<ref>[http://dlmf.nist.gov/8.11.i DLMF, Incomplete Gamma functions, 8.11(i)]</ref>
* <math>\frac{\Gamma(s,x)}{x^{s-1} e^{-x}} \to 1</math> जैसे <math>x \to \infty</math>,
* <math>\Gamma(s,z) \sim z^{s-1} e^{-z} \sum_{k=0} \frac {\Gamma(s)} {\Gamma(s-k)} z^{-k}</math>, जहां <math>|z| \to \infty</math> और <math>\left|\arg z\right| < \tfrac{3}{2} \pi</math> एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के रूप में है।<ref>[http://dlmf.nist.gov/8.11.i DLMF, Incomplete Gamma functions, 8.11(i)]</ref>


==मूल्यांकन सूत्र==
==मूल्यांकन सूत्र==


निम्न गामा फलन का मूल्यांकन पावर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके किया जा सकता है:<ref>[https://dlmf.nist.gov/8.11#ii]</ref>
निम्न गामा फलन का मूल्यांकन घात श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके किया जा सकता है:<ref>[https://dlmf.nist.gov/8.11#ii]</ref>
<math display="block">\gamma(s, z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^s e^{-z} z^k}{s (s+1) \dots (s+k)}=z^s e^{-z}\sum_{k=0}^\infty\dfrac{z^k}{s^{\overline{k+1}}}</math>
<math display="block">\gamma(s, z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^s e^{-z} z^k}{s (s+1) \dots (s+k)}=z^s e^{-z}\sum_{k=0}^\infty\dfrac{z^k}{s^{\overline{k+1}}}</math>
जहां <math>s^{\overline{k+1}}</math> पोचहैमर प्रतीक है।
जहां <math>s^{\overline{k+1}}</math> पोचहैमर प्रतीक है और एक वैकल्पिक विस्तार है:<math display="block">\gamma(s,z)= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \frac{z^{s+k}}{s+k}= \frac{z^s}{s} M(s, s+1,-z),</math>
 
जहां {{math|''M''}} कुमेर का [[संगम हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन|समिश्र हाइपरजियोमेट्रिक फलन]] है।
एक वैकल्पिक विस्तार है
<math display="block">\gamma(s,z)= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \frac{z^{s+k}}{s+k}= \frac{z^s}{s} M(s, s+1,-z),</math>
जहां {{math|''M''}} कुमेर का [[संगम हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन|संगम हाइपरजियोमेट्रिक फलन]] है।
 
===कुमेर के संगम हाइपरजियोमेट्रिक फलन के साथ संबंध===


जब {{mvar|z}} का वास्तविक भाग धनात्मक हो<math display="block">\gamma(s,z) = s^{-1} z^s e^{-z} M(1,s+1,z)</math>
===कुमेर के समिश्र हाइपरजियोमेट्रिक फलन के साथ संबंध===


जब {{mvar|z}} का वास्तविक भाग धनात्मक हो:<math display="block">\gamma(s,z) = s^{-1} z^s e^{-z} M(1,s+1,z)</math>


जहाँ <math display="block"> M(1, s+1, z) = 1 + \frac{z}{(s+1)} + \frac{z^2}{(s+1)(s+2)} + \frac{z^3}{(s+1)(s+2)(s+3)} + \cdots</math> अभिसरण की अनंत त्रिज्या है।
जहाँ<math display="block"> M(1, s+1, z) = 1 + \frac{z}{(s+1)} + \frac{z^2}{(s+1)(s+2)} + \frac{z^3}{(s+1)(s+2)(s+3)} + \cdots</math> अभिसरण की अनंत त्रिज्या है।  


फिर से मिश्रित हाइपरज्यामितीय फलनों के साथ और कुमेर की पहचान को नियोजित करते हुए,
पुनः मिश्रित हाइपरज्यामितीय फलनों के साथ कुमेर के पहचान फलन को नियोजित करते हुए,<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
\Gamma(s,z) &= e^{-z} U(1-s,1-s,z) = \frac{z^s e^{-z}}{\Gamma(1-s)} \int_0^\infty  \frac{e^{-u}}{u^s (z+u)} du \\
\Gamma(s,z) &= e^{-z} U(1-s,1-s,z) = \frac{z^s e^{-z}}{\Gamma(1-s)} \int_0^\infty  \frac{e^{-u}}{u^s (z+u)} du \\
&= e^{-z} z^s U(1,1+s,z) = e^{-z} \int_0^\infty e^{-u} (z+u)^{s-1} du = e^{-z} z^s \int_0^\infty e^{-z u} (1+u)^{s-1} du.
&= e^{-z} z^s U(1,1+s,z) = e^{-z} \int_0^\infty e^{-u} (z+u)^{s-1} du = e^{-z} z^s \int_0^\infty e^{-z u} (1+u)^{s-1} du.
\end{align}</math>
\end{align}</math>
संख्यात्मक मानों की वास्तविक गणना के लिए, गॉस का निरंतर अंश एक उपयोगी विस्तार प्रदान करता है:
संख्यात्मक मानों की वास्तविक गणना के लिए गॉस का निरंतर समीकरण एक उपयोगी विस्तार प्रदान करता है:


<math display="block">
<math display="block">
Line 201: Line 187:
{s+3 + \cfrac{2z}{s+4 - \cfrac{(s+2)z}{s+5 + \cfrac{3z}{s+6 - \ddots}}}}}}}.
{s+3 + \cfrac{2z}{s+4 - \cfrac{(s+2)z}{s+5 + \cfrac{3z}{s+6 - \ddots}}}}}}}.
</math>
</math>
यह निरंतर अंश सभी कॉम्प्लेक्स के लिए अभिसरण करता है {{mvar|z}}, केवल वही प्रदान किया गया {{mvar|s}} एक ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है.
यह निरंतर समीकरण सभी समिश्र फलन {{mvar|z}} के लिए अभिसरण करता है कि {{mvar|s}} एक ऋणात्मक पूर्णांक न हो, बड़े गामा फलन में निरंतर समिश्र फलन निम्न है:<ref>Abramowitz and Stegun [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_263.htm p.&nbsp;263, 6.5.31]</ref><math display="block">
 
ऊपरी गामा फलन में निरंतर अंश होता है<ref>Abramowitz and Stegun [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_263.htm p.&nbsp;263, 6.5.31]</ref>
<math display="block">
\Gamma(s, z) = \cfrac{z^s e^{-z}}{z+\cfrac{1-s}{1 + \cfrac{1}{z + \cfrac{2-s}
\Gamma(s, z) = \cfrac{z^s e^{-z}}{z+\cfrac{1-s}{1 + \cfrac{1}{z + \cfrac{2-s}
{1 + \cfrac{2}{z+ \cfrac{3-s}{1+ \ddots}}}}}}
{1 + \cfrac{2}{z+ \cfrac{3-s}{1+ \ddots}}}}}}
Line 215: Line 198:


===[[गुणन प्रमेय]]===
===[[गुणन प्रमेय]]===
निम्नलिखित गुणन प्रमेय सत्य है:
निम्नलि:खित गुणन प्रमेय सत्य है:
<math display="block">\Gamma(s,z) = \frac 1 {t^s} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{\left(1-\frac 1 t \right)^i}{i!} \Gamma(s+i,t z)
<math display="block">\Gamma(s,z) = \frac 1 {t^s} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{\left(1-\frac 1 t \right)^i}{i!} \Gamma(s+i,t z)
= \Gamma(s,t z) -(t z)^s e^{-t z} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\left(\frac 1 t-1 \right)^i}{i} L_{i-1}^{(s-i)}(t z).</math>
= \Gamma(s,t z) -(t z)^s e^{-t z} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\left(\frac 1 t-1 \right)^i}{i} L_{i-1}^{(s-i)}(t z).</math>
Line 221: Line 204:


===सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन===
===सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन===
अपूर्ण गामा फलन विभिन्न कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में उपलब्ध हैं।
अपूर्ण गामा फलन विभिन्न कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में उपलब्ध हैं। हालाँकि, सामान्यतः अनुपलब्ध होने पर भी अपूर्ण फलन मानों की गणना सामान्यतः [[स्प्रेडशीट]] (और कंप्यूटर बीजगणित पैकेज) में सम्मिलित फलन का उपयोग करके की जा सकती है। उदाहरण के लिए [[ Microsoft Excel |माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल]] में इनकी गणना [[गामा वितरण]] फलन के साथ संयुक्त गामा फलन का उपयोग करके की जा सकती है।
 
*छोटे अपूर्ण फलन: <math>  \gamma(s, x) </math> <code>= EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)</code>.
हालाँकि, सीधे तौर पर अनुपलब्ध होने पर भी, अपूर्ण फलन मानों की गणना सामान्यतः [[स्प्रेडशीट]] (और कंप्यूटर बीजगणित पैकेज) में शामिल फलन का उपयोग करके की जा सकती है। उदाहरण के लिए, [[ Microsoft Excel |Microsoft Excel]] में, इनकी गणना [[गामा वितरण]] फलन के साथ संयुक्त गामा फलन का उपयोग करके की जा सकती है।
*बड़े अपूर्ण फलन: <math> \Gamma(s, x) </math> <code>= EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE))</code>.
*निचला अपूर्ण कार्य: <math>  \gamma(s, x) </math> <code>= EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)</code>.
*ऊपरी अधूरा कार्य: <math> \Gamma(s, x) </math> <code>= EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE))</code>.
ये गामा वितरण के संचयी वितरण फलन की परिभाषा से अनुसरण करते हैं।
ये गामा वितरण के संचयी वितरण फलन की परिभाषा से अनुसरण करते हैं।


पायथन में, हालांकि {{code|scipy.special}} के तहत अपूर्ण गामा फलन का कार्यान्वयन प्रदान करता है, यह पहले तर्क के लिए ऋणात्मक मानों का समर्थन नहीं करता है। ऐसे स्थितियों में एक समाधान लाइब्रेरी "mpmath" से फलन "gammainc" का उपयोग करना है।
पायथन में हालांकि {{code|scipy.special}} के अंतर्गत अपूर्ण गामा फलन का कार्यान्वयन प्रदान किया जाता है, यह पहले तर्क के लिए ऋणात्मक मानों का समर्थन नहीं करता है। ऐसी स्थितियों में एक समाधान लाइब्रेरी <code>"mpmath"</code> से फलन <code>"gammainc"</code> का उपयोग किया जाता है।  


== नियमित गामा फलन और पॉइसन यादृच्छिक चर ==
== नियमित गामा फलन और पॉइसन यादृच्छिक चर ==


दो संबंधित कार्य नियमित गामा कार्य हैं:
दो संबंधित फलन नियमित गामा फलन हैं:


<math display="block">P(s,x)=\frac{\gamma(s,x)}{\Gamma(s)},</math>
<math display="block">P(s,x)=\frac{\gamma(s,x)}{\Gamma(s)},</math>और <math display="block">Q(s,x)=\frac{\Gamma(s,x)}{\Gamma(s)} = 1 - P(s,x).</math>
<math display="block">Q(s,x)=\frac{\Gamma(s,x)}{\Gamma(s)} = 1 - P(s,x).</math>


<math>P(s,x)</math> [[आकार पैरामीटर]] <math>s</math> और स्केल पैरामीटर 1 के साथ गामा यादृच्छिक चर के लिए संचयी वितरण फलन है।
<math>P(s,x)</math> [[आकार पैरामीटर]] <math>s</math> और अदिश पैरामीटर 1 के साथ गामा यादृच्छिक चर के लिए संचयी वितरण फलन है। जब <math>s</math> एक पूर्णांक है तब <math>Q(s, \lambda)</math> [[पॉइसन यादृच्छिक चर]] के लिए संचयी वितरण फलन है यदि <math>X</math> एक <math>\mathrm{Poi}(\lambda)</math> यादृच्छिक चर है तब,
 
जब <math>s</math> एक पूर्णांक है <math>Q(s, \lambda)</math> [[पॉइसन यादृच्छिक चर]] के लिए संचयी वितरण फलन है यदि <math>X</math> एक <math>\mathrm{Poi}(\lambda)</math> यादृच्छिक चर है तो।


<math display="block"> \Pr(X<s) = \sum_{i<s} e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!} = \frac{\Gamma(s,\lambda)}{\Gamma(s)} = Q(s,\lambda).</math>
<math display="block"> \Pr(X<s) = \sum_{i<s} e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!} = \frac{\Gamma(s,\lambda)}{\Gamma(s)} = Q(s,\lambda).</math>
यह सूत्र भागों द्वारा बार-बार एकीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
यह सूत्र उपरोक्त फलन द्वारा बार-बार समाकलन करने प्राप्त किया जा सकता है। स्थिर गणना वितरण के संदर्भ में <math> s </math> पैरामीटर को लेवी के स्थिरता पैरामीटर <math> \alpha</math> के व्युत्क्रम के रूप में माना जा सकता है:<math display="block">
 
स्थिर गणना वितरण के संदर्भ में <math> s </math> पैरामीटर को लेवी के स्थिरता पैरामीटर <math> \alpha</math> के व्युत्क्रम के रूप में माना जा सकता है:<math display="block">
     Q(s,x) =
     Q(s,x) =
         \displaystyle\int_0^\infty e^{\left( -{x^s}/{\nu} \right)}
         \displaystyle\int_0^\infty e^{\left( -{x^s}/{\nu} \right)}
         \, \mathfrak{N}_{{1}/{s}}\left(\nu\right)  \, d\nu , \,\, (s > 1)
         \, \mathfrak{N}_{{1}/{s}}\left(\nu\right)  \, d\nu , \,\, (s > 1)
</math>जहां <math>\mathfrak{N}_{\alpha}(\nu)</math> आकार <math> \alpha = 1/s < 1</math> का एक मानक स्थिर गणना वितरण है।
</math>जहां <math>\mathfrak{N}_{\alpha}(\nu)</math> आकार <math> \alpha = 1/s < 1</math> का एक मानक स्थिर गणना वितरण है जहां <math>P(s,x)</math> और <math>Q(s, x)</math> को [[scipy|<code>scipy</code>]]में <code>[https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.special.gammainc.html#scipy.special.gammainc gammainc]</code> और <code>[https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.special.gammaincc.html gammaincc]</code> के रूप में कार्यान्वित किया जाता है।
 
 
<math>P(s,x)</math> और <math>Q(s, x)</math> को [[scipy]] में <code>[https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.special.gammainc.html#scipy.special.gammainc gammainc]</code> और <code>[https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.special.gammaincc.html gammaincc]</code> के रूप में कार्यान्वित किया जाता है।
 
== व्युत्पन्न ==
== व्युत्पन्न ==


उपरोक्त अभिन्न प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हुए, ऊपरी अपूर्ण गामा फलन का व्युत्पन्न <math> \Gamma (s,x) </math> इसके संबंध में {{mvar|x}} है
उपरोक्त समाकलन प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हुए, बड़े अपूर्ण गामा फलन का व्युत्पन्न <math> \Gamma (s,x) </math> इसके संबंध में {{mvar|x}} है:
<math display="block"> \frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial x} = - x^{s-1} e^{-x}</math>
<math display="block"> \frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial x} = - x^{s-1} e^{-x}</math>
इसके पहले तर्क के संबंध में व्युत्पन्न <math>s</math> द्वारा दिया गया है<ref>[[Keith Geddes|K.O. Geddes]], M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott, ''Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions'', AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp.&nbsp;149–165, [https://doi.org/10.1007%2FBF01810298]  
इसके पहले तर्क के संबंध में व्युत्पन्न <math>s</math> द्वारा दिया गया है:<ref>[[Keith Geddes|K.O. Geddes]], M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott, ''Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions'', AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp.&nbsp;149–165, [https://doi.org/10.1007%2FBF01810298]  
</ref>
</ref>
<math display="block">\frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial s} = \ln x \Gamma (s,x) + x\,T(3,s,x)</math>
<math display="block">\frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial s} = \ln x \Gamma (s,x) + x\,T(3,s,x)</math>
और दूसरा व्युत्पन्न द्वारा
और दूसरा व्युत्पन्न,
<math display="block">\frac{\partial^2 \Gamma (s,x) }{\partial s^2} = \ln^2 x \Gamma (s,x) + 2 x[\ln x\,T(3,s,x) + T(4,s,x) ]</math>
<math display="block">\frac{\partial^2 \Gamma (s,x) }{\partial s^2} = \ln^2 x \Gamma (s,x) + 2 x[\ln x\,T(3,s,x) + T(4,s,x) ]</math>
जहां समारोह <math>T(m,s,x)</math> [[मीजर जी-फ़ंक्शन|मीजर जी-फलन]] का एक विशेष मामला है
जहां फलन <math>T(m,s,x)</math> [[मीजर जी-फ़ंक्शन|मीजर जी-फलन]] की एक विशेष स्थिति है:
<math display="block">T(m,s,x) = G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0} \!\left( \left. \begin{matrix} 0, 0, \dots, 0 \\ s-1, -1, \dots, -1 \end{matrix} \; \right| \, x \right).</math>
<math display="block">T(m,s,x) = G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0} \!\left( \left. \begin{matrix} 0, 0, \dots, 0 \\ s-1, -1, \dots, -1 \end{matrix} \; \right| \, x \right).</math>
इस विशेष विशेष मामले में अपने स्वयं के आंतरिक समापन गुण हैं क्योंकि इसका उपयोग सभी क्रमिक डेरिवेटिव को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। सामान्य रूप में,
इस विशेष स्थितियों में इसके अपने स्वयं के आंतरिक समापन गुण हैं क्योंकि इसका उपयोग सामान्यतः सभी क्रमिक व्युत्पन्न को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है:
<math display="block">\frac{\partial^m \Gamma (s,x) }{\partial s^m} = \ln^m x \Gamma (s,x) + m x\,\sum_{n=0}^{m-1} P_n^{m-1} \ln^{m-n-1} x\,T(3+n,s,x)</math>
<math display="block">\frac{\partial^m \Gamma (s,x) }{\partial s^m} = \ln^m x \Gamma (s,x) + m x\,\sum_{n=0}^{m-1} P_n^{m-1} \ln^{m-n-1} x\,T(3+n,s,x)</math>
कहाँ <math> P_j^n </math> पोचहैमर प्रतीक द्वारा परिभाषित क्रम[[परिवर्तन]] है:
जहाँ <math> P_j^n </math> पोचहैमर प्रतीक द्वारा परिभाषित क्रम [[परिवर्तन]] है:
<math display="block">P_j^n = \binom{n}{j} j! = \frac{n!}{(n-j)!}.</math>
<math display="block">P_j^n = \binom{n}{j} j! = \frac{n!}{(n-j)!}.</math>
ऐसे सभी व्युत्पन्न क्रमिक रूप से उत्पन्न किए जा सकते हैं:
ऐसे सभी व्युत्पन्न क्रमिक रूप से उत्पन्न किए जा सकते हैं:
Line 272: Line 244:
और
और
<math display="block">\frac{\partial T (m,s,x) }{\partial x} = -\frac{1}{x} [T(m-1,s,x) + T(m,s,x)]</math>
<math display="block">\frac{\partial T (m,s,x) }{\partial x} = -\frac{1}{x} [T(m-1,s,x) + T(m,s,x)]</math>
यह फलन <math>T(m,s,x)</math> इसके लिए मान्य श्रृंखला प्रतिनिधित्व से गणना की जा सकती है <math> |z| < 1 </math>,
फलन <math>T(m,s,x)</math> की गणना <math> |z| < 1 </math> के लिए इसकी क्रमिक श्रृंखला प्रतिनिधित्व से की जा सकती है:
<math display="block">T(m,s,z) = - \frac{(-1)^{m-1} }{(m-2)! } \left.\frac{d^{m-2} }{dt^{m-2} } \left[\Gamma (s-t) z^{t-1}\right]\right|_{t=0} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{s-1+n}}{n! (-s-n)^{m-1} }</math>
<math display="block">T(m,s,z) = - \frac{(-1)^{m-1} }{(m-2)! } \left.\frac{d^{m-2} }{dt^{m-2} } \left[\Gamma (s-t) z^{t-1}\right]\right|_{t=0} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{s-1+n}}{n! (-s-n)^{m-1} }</math>
इस समझ के साथ कि {{mvar|s}} कोई ऋणात्मक पूर्णांक या शून्य नहीं है। ऐसे में व्यक्ति को एक सीमा का उपयोग करना चाहिए। <math> |z| \ge 1 </math> के लिए परिणाम को विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। इस फलन के कुछ विशेष स्थितियों को सरल बनाया जा सकता है. उदाहरण के लिए <math>T(2,s,x)=\Gamma(s,x)/x</math>, <math>x\,T(3,1,x) = \mathrm{E}_1(x)</math>, जहां <math>\mathrm{E}_1(x)</math> घातांकीय समाकलन है। ये व्युत्पन्न और फलन <math>T(m,s,x)</math> ऊपरी अपूर्ण गामा फलन की अभिन्न परिभाषा के बार-बार विभेदन द्वारा कई अभिन्नों का सटीक समाधान प्रदान करते हैं।<ref>{{cite journal | first1=M. S. |last1=Milgram|title=सामान्यीकृत पूर्णांक-घातांकीय फ़ंक्शन|journal=Math. Comp.| year=1985|volume=44| issue=170| pages=443–458|mr=0777276| doi=10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4|doi-access=free}}</ref><ref>{{cite arXiv| eprint=0912.3844| author1=Mathar|title=Numerical Evaluation of the Oscillatory Integral over exp(i*pi*x)*x^(1/x) between 1 and infinity| class=math.CA|year=2009}}, App B</ref>  
इस समझ के साथ कि {{mvar|s}} कोई ऋणात्मक पूर्णांक या शून्य नहीं है। ऐसे में व्यक्ति को एक सीमा का उपयोग करना चाहिए। <math> |z| \ge 1 </math> के लिए परिणाम को विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। इस फलन की कुछ विशेष स्थितियों को सरल बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए <math>T(2,s,x)=\Gamma(s,x)/x</math>, <math>x\,T(3,1,x) = \mathrm{E}_1(x)</math>, जहां <math>\mathrm{E}_1(x)</math> घातांकीय समाकलन है। ये व्युत्पन्न और फलन <math>T(m,s,x)</math> बड़े अपूर्ण गामा फलन की समाकलन परिभाषा के पुनः समाकलन द्वारा कई समाकलनों का शुद्ध समाधान प्रदान करते हैं।<ref>{{cite journal | first1=M. S. |last1=Milgram|title=सामान्यीकृत पूर्णांक-घातांकीय फ़ंक्शन|journal=Math. Comp.| year=1985|volume=44| issue=170| pages=443–458|mr=0777276| doi=10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4|doi-access=free}}</ref><ref>{{cite arXiv| eprint=0912.3844| author1=Mathar|title=Numerical Evaluation of the Oscillatory Integral over exp(i*pi*x)*x^(1/x) between 1 and infinity| class=math.CA|year=2009}}, App B</ref>  


उदाहरण के लिए,
उदाहरण के लिए,
<math display="block"> \int_{x}^{\infty} \frac{t^{s-1} \ln^m t}{e^t} dt= \frac{\partial^m}{\partial s^m} \int_{x}^{\infty} \frac{t^{s-1}}{e^t}  dt = \frac{\partial^m}{\partial s^m} \Gamma (s,x)</math>
<math display="block"> \int_{x}^{\infty} \frac{t^{s-1} \ln^m t}{e^t} dt= \frac{\partial^m}{\partial s^m} \int_{x}^{\infty} \frac{t^{s-1}}{e^t}  dt = \frac{\partial^m}{\partial s^m} \Gamma (s,x)</math>
इस सूत्र को लाप्लास परिवर्तनों और मेलिन परिवर्तनों के एक विशाल वर्ग के लिए और अधिक बढ़ाया या सामान्यीकृत किया जा सकता है। जब कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली के साथ जोड़ा जाता है, तो विशेष फलनों का शोषण निश्चित समाकलन्स को हल करने के लिए एक शक्तिशाली तरीका प्रदान करता है, विशेष रूप से व्यावहारिक इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों द्वारा सामना किए जाने वाले (अधिक विवरण के लिए प्रतीकात्मक एकीकरण देखें)।
इस सूत्र को लाप्लास परिवर्तनों और मेलिन परिवर्तनों के एक विशाल वर्ग के लिए और अधिक बढ़ाया या सामान्यीकृत किया जा सकता है। जब इसे कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली के साथ जोड़ा जाता है, तो विशेष फलनों का शोषण विशेष रूप से व्यावहारिक इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों द्वारा सामना किए जाने वाले निश्चित समाकलन को हल करने के लिए एक प्रभावशाली तरीका प्रदान करता है। अधिक विवरण के लिए प्रतीकात्मक समाकलन देखें।


==अनिश्चित और निश्चित समाकलन==
==अनिश्चित और निश्चित समाकलन==


भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके निम्नलिखित अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग आसानी से प्राप्त किए जा सकते हैं (दोनों स्थितियों में एकीकरण के स्थिरांक को छोड़ दिया गया है):
समिश्र फलनो द्वारा समाकलन का उपयोग करके निम्नलिखित अनिश्चितकालीन समाकलन भाग आसानी से प्राप्त किए जा सकते हैं। दोनों स्थितियों में समाकलन के स्थिरांक को छोड़ दिया गया है:


<math display="block">\int x^{b-1} \gamma(s,x) dx = \frac{1}{b} \left( x^b \gamma(s,x) - \gamma(s+b,x) \right),</math>
<math display="block">\int x^{b-1} \gamma(s,x) dx = \frac{1}{b} \left( x^b \gamma(s,x) - \gamma(s+b,x) \right),</math>
<math display="block">\int x^{b-1} \Gamma(s,x) dx = \frac{1}{b} \left( x^b \Gamma(s,x) - \Gamma(s+b,x) \right).</math>
<math display="block">\int x^{b-1} \Gamma(s,x) dx = \frac{1}{b} \left( x^b \Gamma(s,x) - \Gamma(s+b,x) \right).</math>
निचले और ऊपरी अपूर्ण गामा फलन [[फूरियर रूपांतरण]] के माध्यम से जुड़े हुए हैं:
छोटे और बड़े अपूर्ण गामा फलन [[फूरियर रूपांतरण]] के माध्यम से संबद्ध होते हैं:


<math display="block">\int_{-\infty}^\infty \frac {\gamma\left(\frac s 2, z^2 \pi \right)} {(z^2 \pi)^\frac s 2} e^{-2 \pi i k z} dz = \frac {\Gamma\left(\frac {1-s} 2, k^2 \pi \right)} {(k^2 \pi)^\frac {1-s} 2}.</math>
<math display="block">\int_{-\infty}^\infty \frac {\gamma\left(\frac s 2, z^2 \pi \right)} {(z^2 \pi)^\frac s 2} e^{-2 \pi i k z} dz = \frac {\Gamma\left(\frac {1-s} 2, k^2 \pi \right)} {(k^2 \pi)^\frac {1-s} 2}.</math>
यह, उदाहरण के लिए {{harv|ग्रैडस्टीन  |रयज़िक|2015|loc=§7.642}} की उपयुक्त विशेषज्ञता द्वारा अनुसरण करता है।<!-- location 7.642 does not match chapter given further below. Needs to be sorted out. -->.
उदाहरण के लिए यह फलन {{harv|ग्रैडस्टीन  |रयज़िक|2015|loc=§7.642}} की उपयुक्त विशेषताओ का अनुसरण करता है।<!-- location 7.642 does not match chapter given further below. Needs to be sorted out. -->


== टिप्पणियाँ ==
== टिप्पणियाँ ==
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* [http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma3/ formulas and identities of the Incomplete Gamma Function] functions.wolfram.com
* [http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma3/ formulas and identities of the Incomplete Gamma Function] functions.wolfram.com


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Latest revision as of 10:36, 15 July 2023

s के कुछ मानों के लिए बड़े अपूर्ण गामा फलन 0 (नीला), 1 (लाल), 2 (हरा), 3 (नारंगी), 4 (बैंगनी) है।

गणित में छोटे और बड़े अपूर्ण गामा फलन विशेष प्रकार के फलन होते हैं जो विभिन्न गणितीय समस्याओं जैसे कि कुछ समाकलन के समाधान के रूप में उत्पन्न होते हैं। इनके संबंधित नाम प्रायः इनकी समाकलन परिभाषाओं से उत्पन्न होते हैं, जिन्हें गामा फलन के समान परिभाषित किया गया है लेकिन अलग-अलग या "अपूर्ण" समाकलन सीमाओं के साथ गामा फलन को शून्य से अनंत तक के समाकलन भाग के रूप में परिभाषित किया गया है। यह छोटे अपूर्ण गामा फलन के विपरीत होते है, जिसे शून्य से चर की ऊपरी सीमा तक एक समाकलन भाग के रूप में परिभाषित किया गया है। इसी प्रकार बड़े अपूर्ण गामा फलन को चर की निचली सीमा से अनंत तक एक समाकलन भाग के रूप में परिभाषित किया गया है।

परिभाषा

बड़े अपूर्ण गामा फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

जबकि छोटे अपूर्ण गामा फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
दोनों स्थितियों में s एक समिश्र विश्लेषण है, जैसे कि s का वास्तविक भाग धनात्मक है।

विशेषताएँ

भागफलों के समाकलन से हम पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त करते हैं:

और
चूंकि साधारण गामा फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
या
और

समिश्र मानों की निरंतरता

वास्तविक धनात्मक x और s के लिए परिभाषित छोटे अपूर्ण गामा फलन और बड़े अपूर्ण गामा फलनों को s और x दोनों के संबंध में पूर्णसममितिक फलन में विकसित किया जा सकता है, जो समिश्र x और s के लगभग सभी संयोजनों के लिए परिभाषित है।[1] समिश्र विश्लेषण से पता चलता है कि वास्तविक अपूर्ण गामा फलन के गुण उनके पूर्णसममितिक समकक्षों तक कैसे विस्तारित होते हैं।

छोटे अपूर्ण गामा फलन

पूर्णसममितिक विस्तारण

छोटे अपूर्ण गामा फलन के लिए पुनरावृत्ति संबंध को पुनः प्रयुक्त करने से घात श्रेणी का विस्तार होता है:[3]

Γ(z + k) के निरपेक्ष मान में तीव्र वृद्धि को देखते हुए जब k → ∞ और Γ(z) का व्युत्क्रम एक संपूर्ण फलन है तब सबसे दाहिने योग में गुणांक अच्छी तरह से परिभाषित होते हैं और स्थानीय रूप से योग को परिवर्तित करते है सभी संक्षिप्त s और x के लिए समान रूप से वीएरस्ट्रा ß के एक प्रमेय द्वारा सीमित फलन जिसे कभी-कभी γ के रूप में दर्शाया जाता है:

दोनों z (निश्चित s के लिए) और s (निश्चित z के लिए)[4] के संबंध में पूर्ण है और इस प्रकार हार्टोग के प्रमेय द्वारा C × C पर पूर्णसममितिक है। इसलिए निम्नलिखित विभाजन दिया गया है:

[5],

वास्तविक छोटे अपूर्ण गामा फलन को पूर्णसममितिक फलन के रूप में विस्तारित करता है, दोनों संयुक्त रूप से और अलग-अलग z और s में यह और Γ-फलन के गुणों से पता चलता है कि पहले दो कारक को z = 0 या s एक गैर-धनात्मक पूर्णांक पर विशिष्टता को अधिकृत करते हैं जबकि अंतिम कारक इसके शून्य में योगदान देता है।

बहु-मूल्यांकन

समिश्र लघुगणक log z = log |z| + i arg z केवल 2πi के गुणज तक निर्धारित होता है, जो इसे बहु-मूल्यवान बनाता है। समिश्र लघुगणक से संबद्ध फलन सामान्यतः इस विशेषता को प्राप्त करते हैं। इनमें से समिश्र घात हैं चूंकि zs इसके अपघटन में γ-फलन भी प्रकट होता है।

बहु-मूल्यवान फलनों की अनिश्चितता समिश्रताओं का परिचय देती है, क्योंकि यह बताया जाना चाहिए कि मान का चयन कैसे किया जा सकता है। इसे संरक्षित करने की कई स्थितियाँ हैं:

  • सबसे सामान्य तरीका बहु-मूल्यवान फलनों के डोमेन C को रीमैन सतह नामक C × C में एक उपयुक्त बहु-मूल्यवान फलन से परिवर्तित करें। हालाँकि यह बहु-मूल्यांकन को दूर करता है, लेकिन इसके पीछे के सिद्धांत को जानना आवश्यक होता है। [6]
  • डोमेन को इस प्रकार प्रतिबंधित करें कि एक बहु-मूल्यवान फलन अलग-अलग एकल-मूल्यवान शाखाओं में विघटित हो जाए जिन्हें व्यक्तिगत रूप से नियंत्रित किया जा सके।

इस वर्गों में सूत्रों की सही व्याख्या करने के लिए नियमों के निम्नलिखित समूह का उपयोग किया जा सकता है। यदि उल्लेख नहीं किया गया है, तो निम्नलिखित मानों को लिया जा सकता है:

क्षेत्र

क्षेत्र C में शीर्ष z = 0 पर है प्रायः समिश्र अभिव्यक्तियों के लिए उपयुक्त डोमेन सिद्ध होते हैं। एक क्षेत्र D में कुछ α और 0 < δπ के साथ z ≠ 0 और αδ < arg z < α + δ को पूरा करने वाले सभी समिश्र z सम्मिलित हैं। प्रायः α को अपेक्षाकृत रूप से चुना जा सकता है और तब निर्दिष्ट नहीं किया जाता है। यदि δ नहीं दिया गया है, तो इसे π माना जाता है और क्षेत्र वास्तव में संपूर्ण समतल C है, z = 0 पर उत्पन्न होने वाली और α की दिशा की ओर इंगित करने वाली एक अर्ध-रेखा के रूपांतरण के साथ सामान्यतः एक के रूप में कार्य करता है। शाखा विभाजन कई अनुप्रयोगों और ग्रंथों में α को 0 के रूप में लिया जाता है, जो क्षेत्र को धनात्मक वास्तविक अक्ष के आसपास केंद्रित करता है।

शाखाएँ

विशेष रूप से ऐसे किसी भी क्षेत्र D पर एक एकल-मूल्यवान और पूर्णसममितिक लघुगणक सम्मिलित होता है, जिसका काल्पनिक भाग सीमा (αδ, α + δ) से संबद्ध होता है। ऐसे प्रतिबंधित लघुगणक के आधार पर zs और अपूर्ण गामा फलन में D या C×D पर एकल-मूल्यवान, पूर्णसममितिक फलन में परिवर्तित हो जाते हैं, जिन्हें D पर उनके बहु-मूल्यवान समकक्षों की शाखाएं कहा जाता है। α में 2π का गुणज जोड़ना एक ही समूह D पर सहसंबद्ध शाखाओं का एक अलग समूह उत्पन्न होता है। हालाँकि यहां किसी भी संदर्भ में α को निश्चित माना जाता है और इसमें सम्मिलित सभी शाखाएं इससे संबद्ध होती हैं तब |α| < δ शाखाओं को मुख्य घटक विश्लेषण कहा जाता है क्योंकि वे धनात्मक वास्तविक अक्ष पर अपने वास्तविक घटक के बराबर होती हैं। ध्यान दें कि कई अनुप्रयोगों और ग्रंथों में सूत्र केवल प्रमुख शाखाओं के लिए होते हैं।

शाखाओं के बीच संबंध

समिश्र घात फलन और छोटे अपूर्ण गामा फलन दोनों की विभिन्न शाखाओं के मान एक उपयुक्त पूर्णांक k के लिए के गुणन द्वारा एक दूसरे से प्राप्त किए जा सकते हैं।[7]

शाखा बिंदु के निकट अनुप्रयोग

ऊपर दिए गए अनुप्रयोगों से पता चलता है कि γ, z = 0 के निकट यह स्पर्शोन्मुख रूप से व्यवहार करता है:

धनात्मक वास्तविक x, y और s के लिए xy/y → 0, जब (x, y) → (0, s) ऐसा लगता है कि यह वास्तविक s > 0 के लिए γ(s, 0) = 0 की सेटिंग को उपयुक्त रूप से प्रयुक्त करता है। हालाँकि समिश्र क्षेत्र में कुछ स्थितियाँ अलग हैं। यदि (a) s का वास्तविक भाग धनात्मक है, और (b) मान uv शाखाओं के एक सीमित समूह से लिया गया है, तो उन्हें (u, v) → (0, s) के रूप में शून्य में परिवर्तित होने की संभावना है और इसी प्रकार γ(u, v) भी करता है। γ(b) की एक ही शाखा पर स्वाभाविक रूप से पूर्ति होती है। इसलिए धनात्मक वास्तविक भाग के साथ s के लिए γ(s, 0) = 0 एक सतत सीमा है। यह भी ध्यान दें कि ऐसी निरंतरता किसी भी प्रकार से विश्लेषणात्मक नहीं है।

बीजगणितीय संबंध

वास्तविक γ(s, z) द्वारा देखे गए सभी बीजगणितीय संबंध और अंतर समीकरण इसके पूर्णसममितिक समकक्ष के लिए भी मान्य हैं। यह पहचान प्रमेय का परिणाम है, जिसमें कहा गया है कि वास्तविक अंतराल पर मान्य पूर्णसममितिक फलनों के बीच समीकरण प्रत्येक फलन पर प्रयुक्त होते हैं। विशेष रूप से पुनरावृत्ति संबंध [8] और ∂γ(s, z)/∂z = zs−1 ez संबंधित शाखाओं पर संरक्षित हैं।[9]

समाकलन प्रतिनिधित्व

अंतिम संबंध हमें बताता है कि निश्चित s के लिए γ पूर्णसममितिक फलन zs−1 ez का एक प्राथमिक अवकलन है जिसके परिणामस्वरूप किसी भी समिश्र u, v ≠ 0 के लिए निम्न है:

यह तब तक धारण करता है, जब तक समाकलन का पथ पूरी तरह से समाकलन की एक शाखा के डोमेन में समाहित है। यदि इसके अतिरिक्त s का वास्तविक भाग धनात्मक है तो limγ(s, u) → 0 के लिए u → 0 प्रयुक्त होती है अंततः γ की समिश्र समाकलन परिभाषा के अनुसार निम्न है:

समाकलन का कोई भी पथ जिसमें प्रारम्भ में केवल 0 होता है, अन्यथा समाकलन की एक शाखा के डोमेन तक सीमित होता है, उदाहरण के लिए 0 और z को जोड़ने वाली प्रत्यक्ष रेखा मान्य है:

z → +∞
वास्तविक मान

γ की एक प्रमुख शाखा के समाकलन प्रतिनिधित्व को देखते हुए, निम्नलिखित समीकरण सभी धनात्मक वास्तविक s, x के लिए मान्य है:

s समिश्र

यह परिणाम संक्षिप्त s तक विस्तृत है, माना कि 1 ≤ Re(s) ≤ 2 और 1 < a < b तब,



जहां निम्नलिखित फलन के बीच में प्रयोग किया गया है:[10]

चूंकि अंतिम समाकलन अपेक्षाकृत रूप से छोटा हो जाता है यदि केवल a, γ(s, x) से बड़ा है तब एक पूर्णसममितिक फलन की ओर विभाजन 1 ≤ Re(s) ≤ 2 पर x → ∞ के लिए समान रूप से परिवर्तित होता है।[2] जो Γ या s होना चाहिए) पहचान प्रमेय के कारण पुनरावृत्ति संबंध γ(s, x) = (s − 1) γ(s − 1, x) − xs − 1 ex में सीमा लेते हुए और ध्यान दें कि x → ∞ के लिए lim xn ex = 0 है और सभी n, दर्शाते है कि γ(s, x) के बाहर भी Γ-फलन के पुनरावृत्ति संबंध का अनुसरण करने वाले फलन की ओर अभिसरण करता है। यह इस प्रकार है:
सभी सम्मिश्रों के लिए s एक गैर-धनात्मक पूर्णांक नहीं है x वास्तविक फलन और γ मूल फलन है।

क्षेत्रवृत अभिसरण

क्षेत्र u मे |arg z| < δ < π/2 कुछ निश्चित बिन्दु δ (α = 0) के साथ, γ इस क्षेत्र की प्रमुख के लिए निम्नलिखित देखें:

जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, पहला अंतर अपेक्षाकृत रूप से छोटा किया जा सकता है, यदि |u| पर्याप्त रूप से बड़ा है और दूसरा अंतर निम्नलिखित अनुमान की स्वीकृति देता है:

जहां γ के समाकलन प्रतिनिधित्व |zs| के सूत्र का उपयोग किया है यदि हम त्रिज्या R = |u| के साथ चाप को एकीकृत करते हैं तो u और |u| को जोड़ने वाला लगभग 0 है, तो अंतिम समाकलन है:

जहां M = δ(cos δ)−Re s eIm , u या R से एक स्थिर स्वतंत्र है। फिर से बड़े x के लिए xn ex के व्यवहार का अनुसरण करते हुए, हम देखते हैं कि अंतिम अभिव्यक्ति 0 के निकट है क्योंकि R की ओर बढ़ता है। अंततः अब कुल फलन हमारे पास है:

यदि s एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है, तो 0 < ε < π/2 अपेक्षाकृत रूप से छोटा है, लेकिन निश्चित है और γ इस डोमेन पर प्रमुख शाखा को दर्शाता है।

समीक्षा

है:

  • निश्चित धनात्मक पूर्णांक s के लिए z में पूर्ण है।
  • निश्चित s के लिए z में बहु-मूल्यवान पूर्णसममितिक z = 0 पर एक शाखा बिंदु के साथ एक पूर्णांक नहीं है।
  • निश्चित z ≠ 0 के लिए s में प्रत्येक शाखा मेरोमोर्फिक फलन पर गैर-धनात्मक पूर्णांक s पर सरल ध्रुवों के साथ है।

बड़े अपूर्ण गामा फलन

बड़े अपूर्ण गामा फलन के लिए z या s के संबंध में एक पूर्णसममितिक विस्तार निम्न फलन द्वारा दिया गया है:[11]

बिंदुओं (s, z) पर जहां दाहिना पक्ष सम्मिलित है चूंकि बहु-मूल्यवान है, यही प्रक्रिया के लिए भी प्रयुक्त होती है, लेकिन प्रमुख मानों पर प्रतिबंध से केवल की एकल-मूल्यवान प्रमुख शाखा प्राप्त होती है।

जब उपरोक्त समीकरण में s एक गैर-धनात्मक पूर्णांक है, तो अंतर का कोई भी भाग परिभाषित नहीं किया गया है और एक सीमित प्रक्रिया यहां s → 0 के लिए विकसित की गई है जो लुप्त मानों को पूर्ण करती है। समिश्र विश्लेषण होलोमोर्फिस का दायित्व करती है क्योंकि एक निश्चित z के लिए उस सीमा के निकट में घिरा हुआ सिद्ध होता है।

सीमा निर्धारित करने के लिए z = 0 पर की घात श्रृंखला उपयोगी है। की समाकलन परिभाषा में इसकी घात श्रृंखला द्वारा को प्रतिस्थापित करने पर निम्न मान प्राप्त होता है अभी के लिए x, s को धनात्मक वास्तविक मान सकते है:

या[12]
जो संपूर्ण फलन के श्रृंखला प्रतिनिधित्व के रूप में सभी संक्षिप्त x और सभी संक्षिप्त s एक गैर-धनात्मक पूर्णांक के लिए अभिसरण करता है और वास्तविक मानों पर प्रतिबंध हटाने के साथ श्रृंखला विस्तार की स्वीकृति देता है:

जब s → 0:[3]
यहाँ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है, इसलिए,
बड़े अपूर्ण गामा फलन के लिए s → 0 के रूप में सीमित फलन है, जिसे घातीय समाकलन के रूप में भी जाना जाता है।[4] पुनरावृत्ति संबंध के माध्यम से धनात्मक पूर्णांक n के लिए का मान इस परिणाम से प्राप्त किया जा सकता है:[5]

इसलिए सभी s और z ≠ 0 के लिए z और s दोनों के संबंध में बड़े अपूर्ण गामा फलन अस्तित्व में है और पूर्णसममितिक सिद्ध होते है।

जहां है:

  • निश्चित धनात्मक समाकलन s के लिए z में संपूर्ण है।
  • निश्चित s के लिए z में बहु-मूल्यवान पूर्णसममितिक, z = 0 पर एक शाखा बिंदु के साथ गैर-शून्य और एक धनात्मक पूर्णांक नहीं है।
  • धनात्मक वास्तविक भाग और z = 0 के साथ s के लिए के बराबर (सीमा जब लेकिन यह एक सतत विस्तार विश्लेषणात्मक नहीं है, एक वास्तविक s < 0 के लिए मान्य नहीं है।
  • प्रत्येक शाखा पर निश्चित z ≠ 0 के लिए संपूर्ण s फलन है।

विशेष मान

  • , यदि s एक धनात्मक पूर्णांक है।
  • , यदि s एक धनात्मक पूर्णांक है।[6]
  • ,
  • ,
  • ,
  • के लिए ,
  • ,
  • ,
  • .

यहां घातीय समाकलन है, सामान्यीकृत घातीय समाकलन है, त्रुटि फलन है और पूरक त्रुटि फलन है।

स्पर्शोन्मुख अनुप्रयोग

  • जैसे ,
  • जैसे और (वास्तव में s की त्रुटि Γ(s, x) ~ −xs / s, O(xmin{s + 1, 0}) के क्रम मे है यदि s ≠ −1 और यदि O(ln(x)) s = −1) है।
    • , जहां और .एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के रूप में है।[7]
    • , जहां और ,एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के रूप में है।
    • , जहाँ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।[8]
  • जैसे ,
  • जैसे ,
  • , जहां और एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के रूप में है।[9]

मूल्यांकन सूत्र

निम्न गामा फलन का मूल्यांकन घात श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके किया जा सकता है:[10]

जहां पोचहैमर प्रतीक है और एक वैकल्पिक विस्तार है:
जहां M कुमेर का समिश्र हाइपरजियोमेट्रिक फलन है।

कुमेर के समिश्र हाइपरजियोमेट्रिक फलन के साथ संबंध

जब z का वास्तविक भाग धनात्मक हो:

जहाँ

अभिसरण की अनंत त्रिज्या है।

पुनः मिश्रित हाइपरज्यामितीय फलनों के साथ कुमेर के पहचान फलन को नियोजित करते हुए,

संख्यात्मक मानों की वास्तविक गणना के लिए गॉस का निरंतर समीकरण एक उपयोगी विस्तार प्रदान करता है:

यह निरंतर समीकरण सभी समिश्र फलन z के लिए अभिसरण करता है कि s एक ऋणात्मक पूर्णांक न हो, बड़े गामा फलन में निरंतर समिश्र फलन निम्न है:[11]
और[citation needed]


गुणन प्रमेय

निम्नलि:खित गुणन प्रमेय सत्य है:


सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन

अपूर्ण गामा फलन विभिन्न कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में उपलब्ध हैं। हालाँकि, सामान्यतः अनुपलब्ध होने पर भी अपूर्ण फलन मानों की गणना सामान्यतः स्प्रेडशीट (और कंप्यूटर बीजगणित पैकेज) में सम्मिलित फलन का उपयोग करके की जा सकती है। उदाहरण के लिए माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल में इनकी गणना गामा वितरण फलन के साथ संयुक्त गामा फलन का उपयोग करके की जा सकती है।

  • छोटे अपूर्ण फलन: = EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE).
  • बड़े अपूर्ण फलन: = EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)).

ये गामा वितरण के संचयी वितरण फलन की परिभाषा से अनुसरण करते हैं।

पायथन में हालांकि scipy.special के अंतर्गत अपूर्ण गामा फलन का कार्यान्वयन प्रदान किया जाता है, यह पहले तर्क के लिए ऋणात्मक मानों का समर्थन नहीं करता है। ऐसी स्थितियों में एक समाधान लाइब्रेरी "mpmath" से फलन "gammainc" का उपयोग किया जाता है।

नियमित गामा फलन और पॉइसन यादृच्छिक चर

दो संबंधित फलन नियमित गामा फलन हैं:

और

आकार पैरामीटर और अदिश पैरामीटर 1 के साथ गामा यादृच्छिक चर के लिए संचयी वितरण फलन है। जब एक पूर्णांक है तब पॉइसन यादृच्छिक चर के लिए संचयी वितरण फलन है यदि एक यादृच्छिक चर है तब,

यह सूत्र उपरोक्त फलन द्वारा बार-बार समाकलन करने प्राप्त किया जा सकता है। स्थिर गणना वितरण के संदर्भ में पैरामीटर को लेवी के स्थिरता पैरामीटर के व्युत्क्रम के रूप में माना जा सकता है:
जहां आकार का एक मानक स्थिर गणना वितरण है जहां और को scipyमें gammainc और gammaincc के रूप में कार्यान्वित किया जाता है।

व्युत्पन्न

उपरोक्त समाकलन प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हुए, बड़े अपूर्ण गामा फलन का व्युत्पन्न इसके संबंध में x है:

इसके पहले तर्क के संबंध में व्युत्पन्न द्वारा दिया गया है:[12]
और दूसरा व्युत्पन्न,
जहां फलन मीजर जी-फलन की एक विशेष स्थिति है:
इस विशेष स्थितियों में इसके अपने स्वयं के आंतरिक समापन गुण हैं क्योंकि इसका उपयोग सामान्यतः सभी क्रमिक व्युत्पन्न को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है:
जहाँ पोचहैमर प्रतीक द्वारा परिभाषित क्रम परिवर्तन है:
ऐसे सभी व्युत्पन्न क्रमिक रूप से उत्पन्न किए जा सकते हैं:
और
फलन की गणना के लिए इसकी क्रमिक श्रृंखला प्रतिनिधित्व से की जा सकती है:
इस समझ के साथ कि s कोई ऋणात्मक पूर्णांक या शून्य नहीं है। ऐसे में व्यक्ति को एक सीमा का उपयोग करना चाहिए। के लिए परिणाम को विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। इस फलन की कुछ विशेष स्थितियों को सरल बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए , , जहां घातांकीय समाकलन है। ये व्युत्पन्न और फलन बड़े अपूर्ण गामा फलन की समाकलन परिभाषा के पुनः समाकलन द्वारा कई समाकलनों का शुद्ध समाधान प्रदान करते हैं।[13][14]

उदाहरण के लिए,

इस सूत्र को लाप्लास परिवर्तनों और मेलिन परिवर्तनों के एक विशाल वर्ग के लिए और अधिक बढ़ाया या सामान्यीकृत किया जा सकता है। जब इसे कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली के साथ जोड़ा जाता है, तो विशेष फलनों का शोषण विशेष रूप से व्यावहारिक इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों द्वारा सामना किए जाने वाले निश्चित समाकलन को हल करने के लिए एक प्रभावशाली तरीका प्रदान करता है। अधिक विवरण के लिए प्रतीकात्मक समाकलन देखें।

अनिश्चित और निश्चित समाकलन

समिश्र फलनो द्वारा समाकलन का उपयोग करके निम्नलिखित अनिश्चितकालीन समाकलन भाग आसानी से प्राप्त किए जा सकते हैं। दोनों स्थितियों में समाकलन के स्थिरांक को छोड़ दिया गया है:

छोटे और बड़े अपूर्ण गामा फलन फूरियर रूपांतरण के माध्यम से संबद्ध होते हैं:

उदाहरण के लिए यह फलन (ग्रैडस्टीन & रयज़िक 2015, §7.642) की उपयुक्त विशेषताओ का अनुसरण करता है।

टिप्पणियाँ

  1. DLMF, Incomplete Gamma functions, analytic continuation
  2. "संग्रहीत प्रति" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2011-05-16. Retrieved 2011-04-23. Theorem 3.9 on p.56
  3. see last eq.
  4. "DLMF: 8.4 Special Values".
  5. "DLMF: 8.4 Special Values".
  6. Weisstein, Eric W. "Incomplete Gamma Function". MathWorld. (equation 2)
  7. Bender & Orszag (1978). वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए उन्नत गणितीय तरीके. Springer.
  8. Bender & Orszag (1978). वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए उन्नत गणितीय तरीके. Springer.
  9. DLMF, Incomplete Gamma functions, 8.11(i)
  10. [1]
  11. Abramowitz and Stegun p. 263, 6.5.31
  12. K.O. Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott, Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp. 149–165, [2]
  13. Milgram, M. S. (1985). "सामान्यीकृत पूर्णांक-घातांकीय फ़ंक्शन". Math. Comp. 44 (170): 443–458. doi:10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4. MR 0777276.
  14. Mathar (2009). "Numerical Evaluation of the Oscillatory Integral over exp(i*pi*x)*x^(1/x) between 1 and infinity". arXiv:0912.3844 [math.CA]., App B


संदर्भ


बाहरी संबंध