गणनीय विकल्प का सिद्धांत: Difference between revisions

From Vigyanwiki
(Created page with "thumb|सेटों के [[गणनीय क्रम में प्रत्येक सेट (एस<sub>''i''</sub>)= ए...")
 
No edit summary
 
(5 intermediate revisions by 3 users not shown)
Line 1: Line 1:
[[File:Axiom of countable choice.svg|thumb|सेटों के [[गणनीय]] क्रम में प्रत्येक सेट (एस<sub>''i''</sub>)= एस<sub>1</sub>, एस<sub>2</sub>, एस<sub>3</sub>, ... में गैर-शून्य, और संभवतः अनंत (या यहां तक ​​कि [[बेशुमार]]) तत्वों की संख्या शामिल है। गणनीय विकल्प का सिद्धांत हमें प्रत्येक सेट से मनमाने ढंग से एक तत्व का चयन करने की अनुमति देता है, जिससे तत्वों का एक संगत अनुक्रम बनता है (x<sub>''i''</sub>)=x<sub>1</sub>, एक्स<sub>2</sub>, एक्स<sub>3</sub>, ...]]गणनीय विकल्प का स्वयंसिद्ध या गणनीय विकल्प का स्वयंसिद्ध, AC को निरूपित करता है<sub>ω</sub>, [[स्वयंसिद्ध]] सेट सिद्धांत का एक सिद्धांत है जो बताता है कि [[खाली सेट]] | गैर-रिक्त [[सेट (गणित)]] के प्रत्येक गणनीय संग्रह में एक विकल्प फ़ंक्शन होना चाहिए। अर्थात्, फ़ंक्शन N के डोमेन के साथ एक [[फ़ंक्शन (गणित)]] ''A'' दिया गया है (जहाँ N [[प्राकृतिक संख्या]]ओं के सेट को दर्शाता है) जैसे कि ''A''(''n'') एक गैर-रिक्त सेट है प्रत्येक ''n'' ∈N के लिए, डोमेन N के साथ एक फ़ंक्शन ''f'' मौजूद है जैसे कि ''f''(''n'') ∈''A''(''n'') for प्रत्येक ''एन'' ∈ एन.
[[File:Axiom of countable choice.svg|thumb|समुच्चय (S<sub>''i''</sub>) = S<sub>1</sub>, S<sub>2</sub>, S<sub>3</sub>, ... के [[गणनीय]] क्रम में प्रत्येक समुच्चय में गैर-शून्य, और संभवतः अनंत (या यहां तक ​​कि [[बेशुमार|अगणनीय]]) अवयवों की संख्या सम्मिलित होती है। गणनीय विकल्प का सिद्धांत हमें प्रत्येक समुच्चय से यादृच्छिक रूप से अवयव का चयन करने की अनुमति देता है, जिससे अवयवों का संगत अनुक्रम (''x<sub>i</sub>'') = ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, ... बनता है।]]'''गणनीय विकल्प का स्वयंसिद्ध''' या '''संख्येय विकल्प का स्वयंसिद्ध''', जिसे '''''AC<sub>ω</sub>''''' कहा जाता है, समुच्चय सिद्धांत का एक [[स्वयंसिद्ध|'''स्वयंसिद्ध''']] है जो बताता है कि [[खाली सेट|रिक्त समुच्चय]] या गैर-रिक्त [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] के प्रत्येक गणनीय संग्रह में एक विकल्प फलन होना चाहिए। अर्थात्, प्रांत '''N''' के साथ एक फलन '''A''' दिया गया है (जहाँ '''N''' प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है) जैसे कि '''''A(n)''''' प्रत्येक '''''n ∈ N''''' के लिए एक गैर-रिक्त समुच्चय है, प्रांत '''N''' के साथ एक फलन '''f''' स्थित है जैसे कि '''''f(n) ∈ A(n)''''' प्रत्येक '''''n ∈ N''''' के लिए।


==अवलोकन==
==अवलोकन==
गणनीय विकल्प का सिद्धांत (एसी<sub>ω</sub>) निर्भर पसंद के सिद्धांत (डीसी) से सख्ती से कमजोर है, {{harv|Jech|1973}} जो बदले में पसंद के सिद्धांत (एसी) से कमजोर है। [[पॉल कोहेन (गणितज्ञ)]] ने वह ए.सी. दिखाया<sub>ω</sub> पसंद के सिद्धांत के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत (जेडएफ) में सिद्ध नहीं किया जा सकता है {{harv|Potter|2004}}. एसी<sub>ω</sub> [[ कोकिला मॉडल ]] में है।
इस प्रकार से गणनीय विकल्प का सिद्धांत ('''AC<sub>ω</sub>''') निर्भर चयन के सिद्धांत (डीसी) से दृढ़ता से दुर्बल है, {{harv|जेच|1973}} जो बदले में चयन के सिद्धांत '''(AC)''' से दुर्बल है। अतः [[पॉल कोहेन (गणितज्ञ)]] दिखाया कि चयन के सिद्धांत (पॉटर 2004) के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (ZF) में '''AC<sub>ω</sub>''' सिद्ध नहीं है। इस प्रकार से AC<sub>ω</sub> [[ कोकिला मॉडल |सोलोवे मॉडल]] में है।


जेडएफ+एसी<sub>ω</sub> यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है कि गणनीय अनेक गणनीय समुच्चयों का मिलन गणनीय है। यह सिद्ध करने के लिए भी पर्याप्त है कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय है|डेडेकाइंड-अनंत (समतुल्य: एक गणनीय अनंत उपसमुच्चय है)।
अतः '''ZF+AC<sub>ω</sub>''' यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है कि गणनीय अनेक गणनीय समुच्चयों का मिलन गणनीय है। यह सिद्ध करने के लिए भी पर्याप्त है कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय है (समतुल्य: गणनीय अनंत उपसमुच्चय है)।


एसी<sub>ω</sub> [[गणितीय विश्लेषण]] के विकास के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जहां कई परिणाम [[वास्तविक संख्या]]ओं के सेट के गणनीय संग्रह के लिए एक विकल्प फ़ंक्शन पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, यह साबित करने के लिए कि सेट S ⊆ 'R' का प्रत्येक [[संचय बिंदु]] x, S \ {x} के तत्वों के कुछ अनुक्रम की [[सीमा (गणित)]] है, किसी को गणनीय के स्वयंसिद्ध (एक कमजोर रूप) की आवश्यकता है पसंद। जब मनमाना मीट्रिक रिक्त स्थान के संचय बिंदुओं के लिए तैयार किया जाता है, तो कथन एसी के बराबर हो जाता है<sub>ω</sub>. AC के समतुल्य अन्य कथनों के लिए<sub>ω</sub>, देखना {{harvtxt|Herrlich|1997}} और {{harvtxt|Howard|Rubin|1998}}.
इस प्रकार से '''''AC<sub>ω</sub>''''' [[गणितीय विश्लेषण]] के विकास के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जहां कई परिणाम [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के समुच्चय के गणनीय संग्रह के लिए विकल्प फलन पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, यह सिद्ध करने के लिए कि समुच्चय '''''S ⊆ R''''' का प्रत्येक [[संचय बिंदु]] '''''x, S \ {x}''''' के अवयवों के कुछ अनुक्रम की [[सीमा (गणित)]] है, किसी को गणनीय विकल्प के स्वयंसिद्ध (एक दुर्बल रूप) की आवश्यकता होती है। इस प्रकार से जब यादृच्छिक मापीय रिक्त समष्टि के संचय बिंदुओं के लिए तैयार किया जाता है, तो कथन '''''AC<sub>ω</sub>''''' के बराबर हो जाता है। '''''AC<sub>ω</sub>''''' के समतुल्य अन्य कथनों के लिए, हेरलिच (1997) और हॉवर्ड और रुबिन (1998) देखें।


एक आम ग़लतफ़हमी यह है कि गणनीय विकल्प में [[गणितीय प्रेरण]] प्रकृति होती है और इसलिए इसे प्रेरण द्वारा एक प्रमेय (जेडएफ, या समान, या यहां तक ​​​​कि कमजोर प्रणालियों में) के रूप में सिद्ध किया जा सकता है। बहरहाल, मामला यह नहीं; यह ग़लतफ़हमी आकार n के एक परिमित सेट (मनमाना n के लिए) के लिए परिमित विकल्प के साथ गणनीय विकल्प को भ्रमित करने का परिणाम है, और यह बाद वाला परिणाम है (जो कॉम्बिनेटरिक्स में एक प्राथमिक प्रमेय है) जो प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। हालाँकि, गैर-रिक्त सेटों के कुछ अनगिनत अनंत सेटों को पसंद के सिद्धांत के किसी भी रूप के बिना ZF में एक विकल्प फ़ंक्शन साबित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वी<sub>''ω''</sub>− {Ø} में एक विकल्प फ़ंक्शन है, जहां V<sub>''ω''</sub> वंशानुगत रूप से परिमित सेट का सेट है, यानी गैर-परिमित रैंक के वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड में पहला सेट। चॉइस फ़ंक्शन (तुच्छ रूप से) सुव्यवस्थित क्रम में सबसे कम तत्व है। एक अन्य उदाहरण तर्कसंगत समापन बिंदुओं के साथ वास्तविक संख्याओं के उचित और बंधे हुए खुले अंतरालों का सेट है।
अतः एक सामान्य मिथ्या धारणा यह है कि गणनीय विकल्प में [[गणितीय प्रेरण]] प्रकृति होती है और इसलिए इसे प्रेरण द्वारा प्रमेय (ZF, या समान, या यहां तक ​​​​कि दुर्बल प्रणालियों में) के रूप में सिद्ध किया जा सकता है। यद्यपि, स्थिति यह नहीं; यह मिथ्या आकार '''''n''''' के परिमित समुच्चय (यादृच्छिक '''n''' के लिए) के लिए परिमित विकल्प के साथ गणनीय विकल्प को भ्रमित करने का परिणाम है, और यह बाद वाला परिणाम है (जो साहचर्य में प्राथमिक प्रमेय है) जो प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। यद्यपि, गैर-रिक्त समुच्चयों के कुछ अगणनीय अनंत समुच्चयों को चयन के सिद्धांत के किसी भी रूप के बिना ZF में विकल्प फलन सिद्ध किया जा सकता है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, '''''V<sub>ω</sub>− {Ø}''''' में विकल्प फलन है, जहां '''''V<sub>ω</sub>''''' वंशानुगत रूप से परिमित समुच्चय का समुच्चय है, अर्थात गैर-परिमित पद के वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड में पहला समुच्चय है। अतः चयनित फलन (तुच्छ रूप से) सुव्यवस्थित क्रम में सबसे कम अवयव है। अन्य उदाहरण तर्कसंगत अंतिम बिंदुओं के साथ वास्तविक संख्याओं के उचित और बंधे हुए विवृत अंतरालों का समुच्चय है।


==उपयोग==
==उपयोग==
एसी के अनुप्रयोग के एक उदाहरण के रूप में<sub>ω</sub>, यहां एक प्रमाण है (जेडएफ+एसी से<sub>ω</sub>) कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है:
इस प्रकार से '''AC<sub>ω</sub>''' के अनुप्रयोग के उदाहरण के रूप में, यहां एक प्रमाण है ('''''ZF+AC<sub>ω</sub>''''' से) कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है:
: मान लीजिए कि X अनंत है। प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, मान लीजिए A<sub>''n''</sub> सभी 2 का समुच्चय हो<sup>n</sup>-X का तत्व उपसमुच्चय। चूँकि X अनंत है, प्रत्येक A<sub>''n''</sub> गैर-रिक्त है. एसी का पहला अनुप्रयोग<sub>ω</sub> एक अनुक्रम उत्पन्न करता है (बी<sub>''n''</sub> : n = 0,1,2,3,...) जहां प्रत्येक B<sub>''n''</sub> 2 के साथ X का एक उपसमुच्चय है<sup>n</sup>तत्व.
: मान लीजिए कि X अनंत है। अतः प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, मान लीजिए कि '''''A<sub>n</sub>, X''''' के सभी '''''2<sup>n</sup>-'''''अवयव उपसमुच्चयों का समुच्चय है। चूँकि X अनंत है, प्रत्येक A<sub>''n''</sub> गैर-रिक्त है। '''''AC<sub>ω</sub>''''' का पहला अनुप्रयोग एक अनुक्रम उत्पन्न करता है '''(''B<sub>n</sub>'' : ''n'' = 0,1,2,3,...)''' जहां प्रत्येक ''B<sub>n</sub>'' '''''2<sup>n</sup>''''' अवयवों के साथ '''''2<sup>n</sup>''''' का एक उपसमुच्चय है।
: सेट बी<sub>''n''</sub> आवश्यक रूप से असंयुक्त नहीं हैं, लेकिन हम परिभाषित कर सकते हैं
: इस प्रकार से समुच्चय B<sub>''n''</sub> आवश्यक रूप से असंयुक्त नहीं हैं, परन्तु हम
:: सी<sub>0</sub> = बी<sub>0</sub>
:: '''C<sub>0</sub> = B<sub>0</sub>'''
::सी<sub>''n''</sub> = बी के बीच का अंतर<sub>''n''</sub> और सभी सी का मिलन<sub>''j''</sub>, जे < एन.
::'''C<sub>''n''</sub> = B<sub>''n''</sub>''' और सभी '''''C<sub>j</sub>, j < n''''' के मिलन के बीच अंतर को परिभाषित कर सकते हैं।
:स्पष्ट रूप से प्रत्येक सेट सी<sub>''n''</sub> कम से कम 1 और अधिकतम 2 है<sup>n</sup>तत्व, और समुच्चय C<sub>''n''</sub> जोड़ीवार असंयुक्त हैं. एसी का दूसरा अनुप्रयोग<sub>ω</sub> एक अनुक्रम उत्पन्न करता है (सी<sub>''n''</sub>: n = 0,1,2,...) c के साथ<sub>''n''</sub> सी<sub>''n''</sub>.
:अतः स्पष्ट रूप से प्रत्येक समुच्चय '''C<sub>''n''</sub>''' में कम से कम 1 और अधिकतम '''''2<sup>n</sup>''''' अवयव होते हैं, और समुच्चय '''C<sub>''n''</sub>''' युग्मित रूप से असंयुक्त होते हैं। इस प्रकार से '''''AC<sub>ω</sub>''''' का दूसरा अनुप्रयोग '''c<sub>''n''</sub> ∈ ''C<sub>n</sub>''''' के साथ एक अनुक्रम ('''c<sub>''n''</sub>: n = 0,1,2,...''') उत्पन्न करता है।
:तो सभी सी<sub>''n''</sub> भिन्न हैं, और X में एक गणनीय समुच्चय है। वह फ़ंक्शन जो प्रत्येक c को मैप करता है<sub>''n''</sub> से सी<sub>''n''+1</sub> (और एक्स के अन्य सभी तत्वों को स्थिर छोड़ देता है) एक्स से एक्स तक 1-1 मानचित्र है जो चालू नहीं है, यह साबित करता है कि एक्स डेडेकाइंड-अनंत है।
:तो सभी '''c<sub>''n''</sub>''' अलग-अलग हैं, और एक्स में एक गणनीय समुच्चय है। अतः वह फलन जो प्रत्येक '''c<sub>''n''</sub>''' को '''''c<sub>n</sub>''<sub>+1</sub>''' पर प्रतिचित्रित करता है (और '''X''' के अन्य सभी अवयवों को स्थिर छोड़ देता है) X से X तक '''1-1''' प्रतिचित्र है जो प्रारंभ नहीं है, यह सिद्ध करता है कि '''X''' डेडेकाइंड-अनंत है।


==संदर्भ==
==संदर्भ==
<!--
 
This article uses parenthetical citations. Please do not add <references/>, {{reflist}}, etc. - instead, fix new citations so that they use the existing citation style
-->
* {{cite book
* {{cite book
  | first = Thomas J. | last = Jech | author-link = Thomas Jech
  | first = Thomas J. | last = Jech | author-link = Thomas Jech
Line 62: Line 60:
{{Set theory}}
{{Set theory}}
{{PlanetMath attribution|id=6418|title=axiom of countable choice}}
{{PlanetMath attribution|id=6418|title=axiom of countable choice}}
{{DEFAULTSORT:Axiom Of Countable Choice}}[[Category: पसंद का सिद्धांत]]
{{DEFAULTSORT:Axiom Of Countable Choice}}
 
 


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Collapse templates|Axiom Of Countable Choice]]
[[Category:Created On 04/07/2023]]
[[Category:Created On 04/07/2023|Axiom Of Countable Choice]]
[[Category:Machine Translated Page|Axiom Of Countable Choice]]
[[Category:Navigational boxes| ]]
[[Category:Navigational boxes without horizontal lists|Axiom Of Countable Choice]]
[[Category:Pages with script errors|Axiom Of Countable Choice]]
[[Category:Sidebars with styles needing conversion|Axiom Of Countable Choice]]
[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
[[Category:Templates Translated in Hindi|Axiom Of Countable Choice]]
[[Category:Templates Vigyan Ready|Axiom Of Countable Choice]]
[[Category:Templates generating microformats|Axiom Of Countable Choice]]
[[Category:Templates that are not mobile friendly|Axiom Of Countable Choice]]
[[Category:Templates using TemplateData|Axiom Of Countable Choice]]
[[Category:Wikipedia articles incorporating text from PlanetMath|गणनीय विकल्प का सिद्धांत]]
[[Category:Wikipedia metatemplates|Axiom Of Countable Choice]]
[[Category:पसंद का सिद्धांत|Axiom Of Countable Choice]]

Latest revision as of 10:40, 15 July 2023

समुच्चय (Si) = S1, S2, S3, ... के गणनीय क्रम में प्रत्येक समुच्चय में गैर-शून्य, और संभवतः अनंत (या यहां तक ​​कि अगणनीय) अवयवों की संख्या सम्मिलित होती है। गणनीय विकल्प का सिद्धांत हमें प्रत्येक समुच्चय से यादृच्छिक रूप से अवयव का चयन करने की अनुमति देता है, जिससे अवयवों का संगत अनुक्रम (xi) = x1, x2, x3, ... बनता है।

गणनीय विकल्प का स्वयंसिद्ध या संख्येय विकल्प का स्वयंसिद्ध, जिसे ACω कहा जाता है, समुच्चय सिद्धांत का एक स्वयंसिद्ध है जो बताता है कि रिक्त समुच्चय या गैर-रिक्त समुच्चय (गणित) के प्रत्येक गणनीय संग्रह में एक विकल्प फलन होना चाहिए। अर्थात्, प्रांत N के साथ एक फलन A दिया गया है (जहाँ N प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है) जैसे कि A(n) प्रत्येक n ∈ N के लिए एक गैर-रिक्त समुच्चय है, प्रांत N के साथ एक फलन f स्थित है जैसे कि f(n) ∈ A(n) प्रत्येक n ∈ N के लिए।

अवलोकन

इस प्रकार से गणनीय विकल्प का सिद्धांत (ACω) निर्भर चयन के सिद्धांत (डीसी) से दृढ़ता से दुर्बल है, (जेच 1973) जो बदले में चयन के सिद्धांत (AC) से दुर्बल है। अतः पॉल कोहेन (गणितज्ञ) दिखाया कि चयन के सिद्धांत (पॉटर 2004) के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (ZF) में ACω सिद्ध नहीं है। इस प्रकार से ACω सोलोवे मॉडल में है।

अतः ZF+ACω यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है कि गणनीय अनेक गणनीय समुच्चयों का मिलन गणनीय है। यह सिद्ध करने के लिए भी पर्याप्त है कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय है (समतुल्य: गणनीय अनंत उपसमुच्चय है)।

इस प्रकार से ACω गणितीय विश्लेषण के विकास के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जहां कई परिणाम वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के गणनीय संग्रह के लिए विकल्प फलन पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, यह सिद्ध करने के लिए कि समुच्चय S ⊆ R का प्रत्येक संचय बिंदु x, S \ {x} के अवयवों के कुछ अनुक्रम की सीमा (गणित) है, किसी को गणनीय विकल्प के स्वयंसिद्ध (एक दुर्बल रूप) की आवश्यकता होती है। इस प्रकार से जब यादृच्छिक मापीय रिक्त समष्टि के संचय बिंदुओं के लिए तैयार किया जाता है, तो कथन ACω के बराबर हो जाता है। ACω के समतुल्य अन्य कथनों के लिए, हेरलिच (1997) और हॉवर्ड और रुबिन (1998) देखें।

अतः एक सामान्य मिथ्या धारणा यह है कि गणनीय विकल्प में गणितीय प्रेरण प्रकृति होती है और इसलिए इसे प्रेरण द्वारा प्रमेय (ZF, या समान, या यहां तक ​​​​कि दुर्बल प्रणालियों में) के रूप में सिद्ध किया जा सकता है। यद्यपि, स्थिति यह नहीं; यह मिथ्या आकार n के परिमित समुच्चय (यादृच्छिक n के लिए) के लिए परिमित विकल्प के साथ गणनीय विकल्प को भ्रमित करने का परिणाम है, और यह बाद वाला परिणाम है (जो साहचर्य में प्राथमिक प्रमेय है) जो प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। यद्यपि, गैर-रिक्त समुच्चयों के कुछ अगणनीय अनंत समुच्चयों को चयन के सिद्धांत के किसी भी रूप के बिना ZF में विकल्प फलन सिद्ध किया जा सकता है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, Vω− {Ø} में विकल्प फलन है, जहां Vω वंशानुगत रूप से परिमित समुच्चय का समुच्चय है, अर्थात गैर-परिमित पद के वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड में पहला समुच्चय है। अतः चयनित फलन (तुच्छ रूप से) सुव्यवस्थित क्रम में सबसे कम अवयव है। अन्य उदाहरण तर्कसंगत अंतिम बिंदुओं के साथ वास्तविक संख्याओं के उचित और बंधे हुए विवृत अंतरालों का समुच्चय है।

उपयोग

इस प्रकार से ACω के अनुप्रयोग के उदाहरण के रूप में, यहां एक प्रमाण है (ZF+ACω से) कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है:

मान लीजिए कि X अनंत है। अतः प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, मान लीजिए कि An, X के सभी 2n-अवयव उपसमुच्चयों का समुच्चय है। चूँकि X अनंत है, प्रत्येक An गैर-रिक्त है। ACω का पहला अनुप्रयोग एक अनुक्रम उत्पन्न करता है (Bn : n = 0,1,2,3,...) जहां प्रत्येक Bn 2n अवयवों के साथ 2n का एक उपसमुच्चय है।
इस प्रकार से समुच्चय Bn आवश्यक रूप से असंयुक्त नहीं हैं, परन्तु हम
C0 = B0
Cn = Bn और सभी Cj, j < n के मिलन के बीच अंतर को परिभाषित कर सकते हैं।
अतः स्पष्ट रूप से प्रत्येक समुच्चय Cn में कम से कम 1 और अधिकतम 2n अवयव होते हैं, और समुच्चय Cn युग्मित रूप से असंयुक्त होते हैं। इस प्रकार से ACω का दूसरा अनुप्रयोग cnCn के साथ एक अनुक्रम (cn: n = 0,1,2,...) उत्पन्न करता है।
तो सभी cn अलग-अलग हैं, और एक्स में एक गणनीय समुच्चय है। अतः वह फलन जो प्रत्येक cn को cn+1 पर प्रतिचित्रित करता है (और X के अन्य सभी अवयवों को स्थिर छोड़ देता है) X से X तक 1-1 प्रतिचित्र है जो प्रारंभ नहीं है, यह सिद्ध करता है कि X डेडेकाइंड-अनंत है।

संदर्भ

  • Jech, Thomas J. (1973). The Axiom of Choice. North Holland. pp. 130–131. ISBN 978-0-486-46624-8.
  • Herrlich, Horst (1997). "Choice principles in elementary topology and analysis" (PDF). Comment. Math. Univ. Carolinae. 38 (3): 545.
  • Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). "Consequences of the axiom of choice". Providence, R.I. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0977-8.
  • Potter, Michael (2004). Set Theory and its Philosophy : A Critical Introduction. Oxford University Press. p. 164. ISBN 9780191556432.

This article incorporates material from axiom of countable choice on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.