गणनीय विकल्प का सिद्धांत

समुच्चय (S_i) = S₁, S₂, S₃, ... के गणनीय क्रम में प्रत्येक समुच्चय में गैर-शून्य, और संभवतः अनंत (या यहां तक ​​कि अगणनीय) अवयवों की संख्या सम्मिलित होती है। गणनीय विकल्प का सिद्धांत हमें प्रत्येक समुच्चय से यादृच्छिक रूप से अवयव का चयन करने की अनुमति देता है, जिससे अवयवों का संगत अनुक्रम (x_i) = x₁, x₂, x₃, ... बनता है।

गणनीय विकल्प का स्वयंसिद्ध या संख्येय विकल्प का स्वयंसिद्ध, जिसे AC_ω कहा जाता है, समुच्चय सिद्धांत का एक स्वयंसिद्ध है जो बताता है कि रिक्त समुच्चय या गैर-रिक्त समुच्चय (गणित) के प्रत्येक गणनीय संग्रह में एक विकल्प फलन होना चाहिए। अर्थात्, प्रांत N के साथ एक फलन A दिया गया है (जहाँ N प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है) जैसे कि A(n) प्रत्येक n ∈ N के लिए एक गैर-रिक्त समुच्चय है, प्रांत N के साथ एक फलन f स्थित है जैसे कि f(n) ∈ A(n) प्रत्येक n ∈ N के लिए।

अवलोकन

इस प्रकार से गणनीय विकल्प का सिद्धांत (AC_ω) निर्भर चयन के सिद्धांत (डीसी) से दृढ़ता से दुर्बल है, (जेच 1973) जो बदले में चयन के सिद्धांत (AC) से दुर्बल है। अतः पॉल कोहेन (गणितज्ञ) दिखाया कि चयन के सिद्धांत (पॉटर 2004) के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (ZF) में AC_ω सिद्ध नहीं है। इस प्रकार से AC_ω सोलोवे मॉडल में है।

अतः ZF+AC_ω यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है कि गणनीय अनेक गणनीय समुच्चयों का मिलन गणनीय है। यह सिद्ध करने के लिए भी पर्याप्त है कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय है (समतुल्य: गणनीय अनंत उपसमुच्चय है)।

इस प्रकार से AC_ω गणितीय विश्लेषण के विकास के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जहां कई परिणाम वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के गणनीय संग्रह के लिए विकल्प फलन पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, यह सिद्ध करने के लिए कि समुच्चय S ⊆ R का प्रत्येक संचय बिंदु x, S \ {x} के अवयवों के कुछ अनुक्रम की सीमा (गणित) है, किसी को गणनीय विकल्प के स्वयंसिद्ध (एक दुर्बल रूप) की आवश्यकता होती है। इस प्रकार से जब यादृच्छिक मापीय रिक्त समष्टि के संचय बिंदुओं के लिए तैयार किया जाता है, तो कथन AC_ω के बराबर हो जाता है। AC_ω के समतुल्य अन्य कथनों के लिए, हेरलिच (1997) और हॉवर्ड और रुबिन (1998) देखें।

अतः एक सामान्य मिथ्या धारणा यह है कि गणनीय विकल्प में गणितीय प्रेरण प्रकृति होती है और इसलिए इसे प्रेरण द्वारा प्रमेय (ZF, या समान, या यहां तक ​​​​कि दुर्बल प्रणालियों में) के रूप में सिद्ध किया जा सकता है। यद्यपि, स्थिति यह नहीं; यह मिथ्या आकार n के परिमित समुच्चय (यादृच्छिक n के लिए) के लिए परिमित विकल्प के साथ गणनीय विकल्प को भ्रमित करने का परिणाम है, और यह बाद वाला परिणाम है (जो साहचर्य में प्राथमिक प्रमेय है) जो प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। यद्यपि, गैर-रिक्त समुच्चयों के कुछ अगणनीय अनंत समुच्चयों को चयन के सिद्धांत के किसी भी रूप के बिना ZF में विकल्प फलन सिद्ध किया जा सकता है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, V_ω− {Ø} में विकल्प फलन है, जहां V_ω वंशानुगत रूप से परिमित समुच्चय का समुच्चय है, अर्थात गैर-परिमित पद के वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड में पहला समुच्चय है। अतः चयनित फलन (तुच्छ रूप से) सुव्यवस्थित क्रम में सबसे कम अवयव है। अन्य उदाहरण तर्कसंगत अंतिम बिंदुओं के साथ वास्तविक संख्याओं के उचित और बंधे हुए विवृत अंतरालों का समुच्चय है।

उपयोग

इस प्रकार से AC_ω के अनुप्रयोग के उदाहरण के रूप में, यहां एक प्रमाण है (ZF+AC_ω से) कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है:

मान लीजिए कि X अनंत है। अतः प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, मान लीजिए कि A_n, X के सभी 2ⁿ-अवयव उपसमुच्चयों का समुच्चय है। चूँकि X अनंत है, प्रत्येक A_n गैर-रिक्त है। AC_ω का पहला अनुप्रयोग एक अनुक्रम उत्पन्न करता है (B_n : n = 0,1,2,3,...) जहां प्रत्येक B_n 2ⁿ अवयवों के साथ 2ⁿ का एक उपसमुच्चय है।

इस प्रकार से समुच्चय B_n आवश्यक रूप से असंयुक्त नहीं हैं, परन्तु हम

C₀ = B₀

C_n = B_n और सभी C_j, j < n के मिलन के बीच अंतर को परिभाषित कर सकते हैं।

अतः स्पष्ट रूप से प्रत्येक समुच्चय C_n में कम से कम 1 और अधिकतम 2ⁿ अवयव होते हैं, और समुच्चय C_n युग्मित रूप से असंयुक्त होते हैं। इस प्रकार से AC_ω का दूसरा अनुप्रयोग c_n ∈ C_n के साथ एक अनुक्रम (c_n: n = 0,1,2,...) उत्पन्न करता है।

तो सभी c_n अलग-अलग हैं, और एक्स में एक गणनीय समुच्चय है। अतः वह फलन जो प्रत्येक c_n को c_n+1 पर प्रतिचित्रित करता है (और X के अन्य सभी अवयवों को स्थिर छोड़ देता है) X से X तक 1-1 प्रतिचित्र है जो प्रारंभ नहीं है, यह सिद्ध करता है कि X डेडेकाइंड-अनंत है।

संदर्भ

• Jech, Thomas J. (1973). The Axiom of Choice. North Holland. pp. 130–131. ISBN 978-0-486-46624-8.
• Herrlich, Horst (1997). "Choice principles in elementary topology and analysis" (PDF). Comment. Math. Univ. Carolinae. 38 (3): 545.
• Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). "Consequences of the axiom of choice". Providence, R.I. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0977-8.
• Potter, Michael (2004). Set Theory and its Philosophy : A Critical Introduction. Oxford University Press. p. 164. ISBN 9780191556432.

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