दोहरा आधार: Difference between revisions

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{{Short description|Linear algebra concept}}
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रैखिक बीजगणित में, सदिश स्थान दिया गया है <math>V</math> आधार के साथ (रैखिक बीजगणित) <math>B</math> [[वेक्टर (गणित और भौतिकी)]] को [[सूचकांक सेट]] के लिए अनुक्रमित किया गया <math>I</math> (की [[प्रमुखता]] <math>I</math> का आयाम है <math>V</math>, का दोहरा सेट <math>B</math> सेट है <math>B^*</math> दोहरे स्थान में सदिशों का <math>V^*</math> उसी सूचकांक सेट के साथ मैं ऐसा हूं <math>B</math> और <math>B^*</math> [[बायोर्थोगोनल प्रणाली]] बनाएं गए है। दोहरा सेट सदैव [[रैखिक रूप से स्वतंत्र]] होता है इसलिए आवश्यक रूप से [[रैखिक विस्तार]] नहीं होता है <math>V^*</math>. यदि यह फैलता है <math>V^*</math>, तब <math>B^*</math> आधार के लिए दोहरा आधार या पारस्परिक आधार कहा जाता है <math>B</math>.
रैखिक बीजगणित में, सदिश समिष्ट <math>V</math> के साथ आधार <math>B</math> दिया गया है,और इसमे [[वेक्टर (गणित और भौतिकी)|सदिश (गणित और भौतिकी)]] को [[सूचकांक सेट|सूचकांक]] समूह के लिए अनुक्रमित किया गया जिसमें सूची <math>I</math> (<math>I</math> की [[प्रमुखता]] <math>V</math> के आयाम से होती है), द्वारा सूचीबद्ध सदिश होते हैं। <math>B</math> का द्विप्रतिभूत समूह, समान सूची <math>I</math> के द्वारा द्विप्रतिभूत समिष्ट <math>V^*</math> के सदिश का समूह होता है, जिसके अनुसार <math>B</math> और <math>B^*</math> [[बायोर्थोगोनल प्रणाली]] बनाते हैं। द्विप्रतिभूत समूह सदैव [[रैखिक रूप से स्वतंत्र]] होता है जिसका अर्थ होता है कि <math>B^*</math> में कोई सदिश अन्य <math>B^*</math> में सदिश के [[रैखिक विस्तार]] के रूप में लिखा नहीं जा सकता है। हालांकि, यह आवश्यक नहीं है कि यह पूरे द्विप्रतिभूत समिष्ट <math>V^*</math> को आवरण करें। यदि यह पूरे द्विप्रतिभूत समिष्ट <math>V^*</math> को आवरण करता है, तो उसे "द्विप्रतिभूत आधार" या "प्रतिशोधी आधार" कहा जाता है।


इसलिए अनुक्रमित वेक्टर सेट को इस रूप में निरूपित करना <math>B = \{v_i\}_{i\in I}</math> और <math>B^{*} = \{v^i\}_{i \in I}</math>, बायोर्थोगोनल होने का अर्थ है कि तत्वों की जोड़ी का आंतरिक उत्पाद के समान होता है इसलिए यदि सूचकांक समान हैं, और अन्यथा 0 के समान होता है। प्रतीकात्मक रूप से, दोहरे वेक्टर का मूल्यांकन करना <math>V^*</math> मूल स्थान में वेक्टर पर <math>V</math>:होता है|
अनुक्रमित सदिश समूह को इस रूप में निरूपित करते हैं: <math>B = \{v_i\}_{i\in I}</math> और <math>B^{*} = \{v^i\}_{i \in I}</math>, यदि तत्वों के अनुक्रमित समान होते हैं तो द्विपरक होना अर्थ है कि उनका आंतरिक गुणांक 1 होता है, और अन्यथा 0 होता है। प्रतीकात्मक रूप से, मूल समिष्ट <math>V</math> में सदिश पर द्वित्वीय सदिश की मूल्यांकन :
:<math>
:<math>
v^i\cdot v_j = \delta^i_j =
v^i\cdot v_j = \delta^i_j =
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\end{cases}
\end{cases}
</math>
</math>
कहाँ <math>\delta^i_j</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] प्रतीक है।
यहाँ <math>\delta^i_j</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] प्रतीक है।


==परिचय==
==परिचय==
वेक्टर के साथ संचालन करने के लिए, हमारे पास इसके घटकों की गणना करने की सीधी विधि होनी चाहिए। कार्टेशियन फ्रेम में आवश्यक ऑपरेशन वेक्टर और बेस वेक्टर का [[डॉट उत्पाद]] है।{{sfn|Lebedev|Cloud|Eremeyev|2010|p=12}} उदाहरण के लिए,
सदिश के साथ संचालन करने के लिए, हमारे पास इसके घटकों की गणना करने की सीधी विधि होनी चाहिए। कार्टेशियन फ्रेम में, आवश्यक ऑपरेशन सदिश और बेस सदिश के बीच [[डॉट उत्पाद]] होता है।{{sfn|Lebedev|Cloud|Eremeyev|2010|p=12}} उदाहरण के लिए,


: <math>\mathbf{x} = x^1 \mathbf{i}_1 + x^2 \mathbf{i}_2 + x^3 \mathbf{i}_3</math>
: <math>\mathbf{x} = x^1 \mathbf{i}_1 + x^2 \mathbf{i}_2 + x^3 \mathbf{i}_3</math>
कहाँ <math>\mathbf{i}_k</math> कार्टेशियन फ्रेम में आधार है। के घटक <math>\mathbf{x}</math> के लिए पाया जा सकता है
जहां <math>\mathbf{i}_k</math> कार्टेशियन फ्रेम में बेस होती हैं। सदिश <math>\mathbf{x}</math> के घटकों को निम्नलिखित द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:


: <math>x^k = \mathbf{x} \cdot \mathbf{i}_k.</math>
: <math>x^k = \mathbf{x} \cdot \mathbf{i}_k.</math>
यद्यपि, गैर-कार्टेशियन फ्रेम में, हमारे पास जरूरी नहीं है <math>\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j=0</math> सभी के लिए <math>i\neq j</math>. यद्यपि, वेक्टर खोजना सदैव संभव होता है <math>\mathbf{e}^i</math> ऐसा है कि
यद्यपि, गैर-कार्टेशियन फ्रेम में, हमें आवश्यकता नहीं होती कि सभी <math>\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j=0</math>,(<math>i\neq j</math>) तथापि, यह सदैव संभव होता है कि सदिश <math>\mathbf{e}^i</math> को ढूंढा जा सकता है जिसके लिए निम्नलिखित संबंध स्थापित होता है:


: <math>x^i = \mathbf{x}\cdot\mathbf{e}^i \qquad  (i = 1, 2, 3).</math>
: <math>x^i = \mathbf{x}\cdot\mathbf{e}^i \qquad  (i = 1, 2, 3).</math>
समता कब टिकती है <math>\mathbf{e}^i</math> का दोहरा आधार है <math>\mathbf{e}_i</math>. सूचकांक की स्थिति में अंतर पर ध्यान दें <math>i</math>.
यह समीकरण जब <math>\mathbf{e}^i</math>, <math>\mathbf{e}_i</math> का द्वित्वीय समूह होता है। ध्यान दें कि अनुक्रम के समिष्ट पर अंक <math>i</math> में अंतर होता है। .
 
कार्टेशियन फ्रेम में, हमारे पास है <math>\mathbf{e}^k = \mathbf{e}_k = \mathbf{i}_k.</math>
 


कार्टेशियन फ्रेम में, हमारे पास <math>\mathbf{e}^k = \mathbf{e}_k = \mathbf{i}_k.</math> होता है।
==अस्तित्व और विशिष्टता==
==अस्तित्व और विशिष्टता==
इसलिए दोहरा सेट सदैव उपस्थित रहता है और वी से वी में इंजेक्शन देता है, अर्थात् मैपिंग जो v भेजती है अक्षर बी में यह, विशेष रूप से, कहता है कि दोहरे स्थान का आयाम V के समान या उससे बड़ा है।
द्वित्वीय समूह सदैव उपस्थित होती है और वह ''V'' से ''V''<sup>∗</sup> में इंजेक्शन प्रदान करती है, निरंतर वह मानचित्रण है जो ''v<sub>i</sub>'' को ''v<sup>i</sup>'' पर भेजता है। यह विशेष रूप से दर्शाता है, कि द्वित्वीय समिष्ट की आयाम ''V'' की आयाम से अधिक या उसके समान होती है।


यद्यपि, अनंत-आयामी V का दोहरा सेट इसके दोहरे स्थान V का विस्तार नहीं करता है<sup>∗</sup>. उदाहरण के लिए, V में मानचित्र w पर विचार करें<sup>∗</sup>V से अंतर्निहित अदिश F के लिए दिए गए में {{nowrap|1=''w''(''v<sub>i</sub>'') = 1}} सबके लिए मैं यह मानचित्र सभी वी पर स्पष्ट रूप से शून्येतर है<sub>i</sub>. यदि w दोहरे आधार वाले सदिशों v का परिमित रैखिक संयोजन में होता है।  इसलिए <math display="inline">w=\sum_{i\in K}\alpha_iv^i</math> I के परिमित उपसमुच्चय K के लिए, फिर किसी भी j के लिए जो K में नहीं है, <math display="inline">w(v_j)=\left(\sum_{i\in K}\alpha_iv^i\right)\left(v_j\right)=0</math>, डब्ल्यू की परिभाषा का खंडन करता है। इसलिए, यह w दोहरे समुच्चय के विस्तार में नहीं है।
यद्यपि, असीमित-आयामी ''V'' की द्वित्वीय समूह अपने द्वित्वीय समिष्ट ''V''<sup>∗</sup> को नहीं छात्रित करती है। उदाहरण के लिए, ''V'' में से ''V''<sup>∗</sup> में मानचित्रण व्याख्यान ''V'' के लिए मान w को विचार करें, जहां w(vi) = 1 हर i के लिए। यह मानचित्रण व्याख्यान सभी ''v<sup>i</sup>'' i पर स्पष्ट रूप से गैरशून्य है। यदि w द्वित्वीय आधार सदिश ''v<sup>i</sup>'' के सीमित रूप होती, उदाहरण के लिए<math display="inline">w=\sum_{i\in K}\alpha_iv^i</math> जहां K एक सीमित उपसमय I का होता है, तो किसी भी j जो K में नहीं है के लिए, <math display="inline">w(v_j)=\left(\sum_{i\in K}\alpha_iv^i\right)\left(v_j\right)=0</math>, होगा,यह  w की परिभाषा के खंडन को प्रतिरोधित करता है। इसलिए, यह w द्वित्वीय समूह के छायांकन में नहीं होती है।


अनंत-आयामी स्थान के दोहरे में मूल स्थान की तुलना में अधिक आयामीता (यह बड़ी अनंत कार्डिनैलिटी है) है, और इस प्रकार इनका ही अनुक्रमण सेट के साथ कोई आधार नहीं हो सकता है। यद्यपि, वैक्टर का दोहरा सेट उपस्थित है, जो मूल स्थान के दोहरे समरूपी उप-स्थान को परिभाषित करता है। इसके अतिरिक्त, [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] के लिए, सतत दोहरे स्थान को परिभाषित किया जा सकता है, जिस स्थिति में दोहरा आधार उपस्थित हो सकता है।
असीमित-आयामी समिष्ट का द्वित्वीय समिष्ट मूल समिष्ट से अधिक आयाम (यह अधिक असीमित सर्वाधिक गणितीयता) रखता है, और इसलिए इनमें ऐसा आधार नहीं हो सकता है जिसमें ही सूची संख्या हो। चूंकि, सदिश समिष्ट के लिए, द्वित्वीय समूह उपस्थित होती है, जो मूल समिष्ट के समान द्वित्वीय समिष्ट के समानरूप स्पर्श करती है। इसके अतिरिक्त, [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|टोपोलॉजिकल सदिश]] समिष्ट के लिए, नियमित द्वित्वीय समिष्ट परिभाषित किया जा सकता है, जिसके अंतर्गत द्वित्वीय आधार उपस्थित हो सकता है।


===परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान===
===परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान===


इसलिए परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के स्थितियों में, दोहरा सेट हमेशा दोहरा आधार होता है और इस प्रकार यह अद्वितीय होता है। इन आधारों को निरूपित किया जाता है <math>B=\{e_1,\dots,e_n\}</math> और <math>B^*=\{e^1,\dots,e^n\}</math>. यदि कोई वेक्टर पर कोवेक्टर के मूल्यांकन को युग्म के रूप में निरूपित करता है, तो बायोरथोगोनैलिटी स्थिति बन जाती है:
आधार सदिश समिष्ट के लिए, द्वित्वीय समूह सदैव द्वित्वीय आधार होती है और यह अद्वितीय होती है। इन आधारों को इस प्रकार से चिह्नित किया जाता है: <math>B=\{e_1,\dots,e_n\}</math> और <math>B^*=\{e^1,\dots,e^n\}</math>यदि हम कोसदिश को सदिश पर मूल्यांकन के रूप में चिह्नित करते हैं, तो द्वित्वीयता की शर्त इस प्रकार होती है:
:<math>\left\langle e^i, e_j \right\rangle = \delta^i_j.</math>
:<math>\left\langle e^i, e_j \right\rangle = \delta^i_j.</math>
इसके आधार के साथ दोहरे आधार का जुड़ाव वी के आधारों के स्थान से वी के आधारों के स्थान तक नक्शा देता है, इसलिए और यह भी समरूपता है। वास्तविक संख्याओं जैसे [[टोपोलॉजिकल क्षेत्र]] के लिए, दोहरे का स्थान [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] है, और यह इन स्थानों के आधारों के [[स्टिफ़ेल मैनिफ़ोल्ड]] के बीच [[होमियोमोर्फिज्म]] देता है।
द्वित्वीय आधार का एकत्व आधार के साथ संबद्धता आधार के समिष्ट के आधार के समिष्ट के बीच से नक्शा देता है, और यह भी विस्मृति है। [[टोपोलॉजिकल क्षेत्र]] के लिए, द्वित्वियों की समिष्ट [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल]] समिष्ट होती है, और इसे इन समिष्ट के आधारों के [[स्टिफ़ेल मैनिफ़ोल्ड]] के बीच [[होमियोमोर्फिज्म]] देता है।


==दोहरे स्थान का श्रेणीबद्ध और बीजगणितीय निर्माण==
==दोहरे समिष्ट का श्रेणीबद्ध और बीजगणितीय निर्माण==


वेक्टर स्पेस ([[मॉड्यूल (गणित)]]) के दोहरे स्थान को पेश करने का दूसरा तरीका इसे श्रेणीबद्ध अर्थ में पेश करना है। ऐसा करने के लिए, चलो <math>A</math> रिंग के ऊपर परिभाषित मॉड्यूल बनें <math>R</math> (वह है, <math>A</math> श्रेणी में वस्तु है <math>R\text{-}\mathbf{Mod}</math>). फिर हम इस प्रकार दोहरे स्थान को परिभाषित करते हैं <math>A</math>, निरूपित <math>A^{\ast}</math>, होना <math>\text{Hom}_R(A,R)</math>, मॉड्यूल सभी का गठन किया <math>R</math>-रैखिक मॉड्यूल समरूपता से <math>A</math> में <math>R</math>. ध्यान दें कि हम दोहरे को दोहरे में परिभाषित कर सकते हैं, जिसे दोहरे दोहरे के रूप में जाना जाता है <math>A</math>, के रूप में लिखा गया है <math>A^{\ast\ast}</math>, और के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\text{Hom}_R(A^{\ast},R)</math>.
सदिश समिष्ट ([[मॉड्यूल (गणित)|मापांक (गणित)]]) के द्वित्वीय समिष्ट को श्रेणीय दृष्टिकोण में परिचय देने के लिए और विधि है। इसके लिए, <math>A</math> को मॉड्यूल मानकीकृत किया जाता है जो अवधारणाओं के ऊपर <math>R</math> (अर्थात्, <math>A</math> श्रेणी में वस्तु <math>R\text{-}\mathbf{Mod}</math>) की वस्तु होता है। तब हम <math>A</math>, का द्वित्वीय स्थान, जिसे <math>A^{\ast}</math>, से चिह्नित किया जाता है, निम्नलिखित रूप में परिभाषित करते हैं: <math>\text{Hom}_R(A,R)</math>, जो सभी <math>R</math>-रैखिक मापांक होमोमॉर्फिज़म का मॉड्यूल होता है, जो <math>A</math> से <math>R</math>. तक होते हैं। इसका अर्थ है कि हम द्वित्वीय को द्वित्वीय के रूप में परिभाषित कर सकते हैं, जिसे द्विगुण के रूप में चिह्नित किया जाता है <math>A^{\ast\ast}</math>, और इसे निम्न रूप में परिभाषित किया जाता है: <math>\text{Hom}_R(A^{\ast},R)</math>


इसलिए दोहरे स्थान के लिए औपचारिक रूप से आधार तैयार करने के लिए, अब हम इस प्रकार अपना दृष्टिकोण उस स्थितियों तक सीमित रखेंगे जहां <math>F</math> परिमित-आयामी मुक्त है (बाएं) <math>R</math>-मॉड्यूल, कहाँ <math>R</math> ता के साथ अंगूठी है. फिर, हम मान लेते हैं कि सेट <math>X</math> के लिए आधार है <math>F</math>. यहां से, हम क्रोनकर डेल्टा फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं <math>\delta_{xy}</math> आधार के ऊपर <math>X</math> के लिए <math>\delta_{xy}=1</math> अगर <math>x=y</math> और <math>\delta_{xy}=0</math> अगर <math>x\ne y</math>. फिर सेट <math> S = \lbrace f_x:F \to R \; | \; f_x(y)=\delta_{xy} \rbrace </math> प्रत्येक के साथ रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट का वर्णन करता है <math>f_x \in \text{Hom}_R(F,R)</math>. तब से <math>F</math> परिमित-आयामी है, आधार <math>X</math> परिमित प्रमुखता का है. फिर,इस प्रकार सेट <math> S </math> का आधार है <math>F^\ast</math> और <math>F^\ast</math> स्वतंत्र (सही) है <math>R</math>-मापांक होता है|
द्वित्वीय समिष्ट के लिए आधार का समर्पित निर्माण करने के लिए, हम अब अपनी दृष्टि को सीमित करेंगे जहां <math>F</math> सीमित-आयामी मुक्त (बायां) <math>R</math>-मॉड्यूल, है, जहाँ <math>R</math> एकता युक्त अवधारणा के साथ अवधारणा है। फिर, हम मानते हैं कि समूह <math>X</math>, <math>F</math> के लिए आधार है। यहां से, हम आधार <math>X</math> पर क्रोनेकर डेल्टा फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित करते हैं <math>\delta_{xy}</math> बायां <math>X</math> के लिए जहां <math>\delta_{xy}=1</math> यदि <math>x=y</math> है और <math>\delta_{xy}=0</math> यदि <math>x\ne y</math>.है। तब समूह <math> S = \lbrace f_x:F \to R \; | \; f_x(y)=\delta_{xy} \rbrace </math> प्रत्येक <math>f_x \in \text{Hom}_R(F,R)</math> के साथ लचीला स्वतंत्र समूह का वर्णन करता है। चूंकि <math>F</math> सीमित-आयामी है, इसलिए आधार <math>X</math> पसीमित-आयामी है। फिर, समूह <math> S </math> को <math>F^\ast</math> के लिए आधार बताता है और <math>F^\ast</math> मुक्त (दायां) <math>R</math>-मापांक होता है|


==उदाहरण==
==उदाहरण==
उदाहरण के लिए, मानक आधार वैक्टर <math>\R^2</math> ([[कार्तीय तल]]) हैं
निर्देशीय रूप में उदाहरण के रूप में, <math>\R^2</math> ([[कार्तीय तल]]) के मानक आधार सदिश हैं
:<math>
:<math>
   \left\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\right\} = \left\{
   \left\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\right\} = \left\{
Line 60: Line 58:
   \right\}
   \right\}
</math>
</math>
और इसके दोहरे स्थान के मानक आधार वैक्टर <math>(\R^2)^*</math> हैं
और उसके द्वितीय समिष्ट <math>(\R^2)^*</math>के मानक आधार सदिश हैं
:<math>
:<math>
   \left\{\mathbf{e}^1, \mathbf{e}^2\right \} = \left\{
   \left\{\mathbf{e}^1, \mathbf{e}^2\right \} = \left\{
Line 71: Line 69:
     \right\}\text{.}
     \right\}\text{.}
</math>
</math>
किसी दिए गए आधार के लिए, 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में <math>\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}</math>, बायोर्थोगोनल (दोहरा) आधार <math>\{\mathbf{e}^1, \mathbf{e}^2, \mathbf{e}^3\}</math> नीचे दिए गए सूत्रों के लिए पाया जा सकता है:
त्रिआयामी यूक्लिडीय अंतर्वास्त्र में, दिए गए आधार <math>\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}</math>, के लिए, द्विपक्षीय (द्वित्वीय) आधार <math>\{\mathbf{e}^1, \mathbf{e}^2, \mathbf{e}^3\}</math> निम्नलिखित सूत्रों द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:


:<math>
:<math>
Line 78: Line 76:
   \mathbf{e}^3 = \left(\frac{\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2}{V}\right)^\mathsf{T}.
   \mathbf{e}^3 = \left(\frac{\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2}{V}\right)^\mathsf{T}.
</math>
</math>
<!-- Maybe, this formula can illustrate, why dual basis is also called biorthogonal... -->
 
कहाँ {{sup|T}} स्थानान्तरण को दर्शाता है और
यहाँ {{sup|T}} स्थानान्तरण को दर्शाता है और


:<math>
:<math>
Line 88: Line 86:
   \mathbf{e}_3\cdot(\mathbf{e}_1\times\mathbf{e}_2)
   \mathbf{e}_3\cdot(\mathbf{e}_1\times\mathbf{e}_2)
</math>
</math>
यदि आधार सदिशों के लिए निर्मित समांतर चतुर्भुज का आयतन है <math>\mathbf{e}_1,\,\mathbf{e}_2</math> और <math>\mathbf{e}_3.</math>
यह आधार सदिश <math>\mathbf{e}_1,\,\mathbf{e}_2</math> और <math>\mathbf{e}_3.</math> द्वारा बनाए गए त्रिपादीय अनुपात के चतुर्भुज के द्वारा बनाए गए परलेलेपाइपेड के आयतन को दर्शाता है।


इसलिए सामान्यतः परिमित-आयामी वेक्टर स्थान में आधार के दोहरे आधार की गणना निम्नानुसार आसानी से की जा सकती है: आधार दिया गया <math>f_1,\ldots,f_n</math> और संगत दोहरा आधार <math>f^1,\ldots,f^n</math> हम मैट्रिक्स बना सकते हैं
सामान्यतः, सीमित-आयामी सदिश समिष्ट के आधार के द्वित्वीय आधार को निम्न रूप से सीधे निर्धारित किया जा सकता है: दिए गए आधार <math>f_1,\ldots,f_n</math> और संबंधित द्वित्वीय आधार <math>f^1,\ldots,f^n</math> के लिए हम निम्नलिखित मैट्रिक्स बना सकते हैं:
:<math>
:<math>
\begin{align}
\begin{align}
Line 97: Line 95:
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
फिर दोहरे आधार की परिभाषित संपत्ति यह बताती है
तब द्वित्वीय आधार के परिभाषित गुण का प्रमाणित करता है कि
:<math>G^\mathsf{T}F = I</math>
:<math>G^\mathsf{T}F = I</math>
इसलिए दोहरे आधार के लिए मैट्रिक्स <math>G</math> के रूप में गणना की जा सकती है
इसलिए द्वित्वीय आधार के लिए मैट्रिक्स <math>G</math> की गणना की जा सकती है जैसे कि
:<math>G = \left(F^{-1}\right)^\mathsf{T}</math>
:<math>G = \left(F^{-1}\right)^\mathsf{T}</math>
==यह भी देखें==
==यह भी देखें==


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==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==
{{reflist}}
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==संदर्भ==
==संदर्भ==
* {{cite book |title=Tensor Analysis With Applications to Mechanics |last1=Lebedev |first1=Leonid P. |last2=Cloud |first2=Michael J. |last3=Eremeyev |first3=Victor A. |year=2010 |publisher=World Scientific |isbn=978-981431312-4 }}
* {{cite book |title=Tensor Analysis With Applications to Mechanics |last1=Lebedev |first1=Leonid P. |last2=Cloud |first2=Michael J. |last3=Eremeyev |first3=Victor A. |year=2010 |publisher=World Scientific |isbn=978-981431312-4 }}
* {{cite web |title=Finding the Dual Basis |work=[[Stack Exchange]] |date=May 27, 2012 |url=https://math.stackexchange.com/q/150526 }}
* {{cite web |title=Finding the Dual Basis |work=[[Stack Exchange]] |date=May 27, 2012 |url=https://math.stackexchange.com/q/150526 }}


{{DEFAULTSORT:Dual Basis}}[[Category: लीनियर अलजेब्रा]]
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[[he:מרחב דואלי#הבסיס הדואלי]]
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Latest revision as of 10:41, 15 July 2023

रैखिक बीजगणित में, सदिश समिष्ट के साथ आधार दिया गया है,और इसमे सदिश (गणित और भौतिकी) को सूचकांक समूह के लिए अनुक्रमित किया गया जिसमें सूची ( की प्रमुखता के आयाम से होती है), द्वारा सूचीबद्ध सदिश होते हैं। का द्विप्रतिभूत समूह, समान सूची के द्वारा द्विप्रतिभूत समिष्ट के सदिश का समूह होता है, जिसके अनुसार और बायोर्थोगोनल प्रणाली बनाते हैं। द्विप्रतिभूत समूह सदैव रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है जिसका अर्थ होता है कि में कोई सदिश अन्य में सदिश के रैखिक विस्तार के रूप में लिखा नहीं जा सकता है। हालांकि, यह आवश्यक नहीं है कि यह पूरे द्विप्रतिभूत समिष्ट को आवरण करें। यदि यह पूरे द्विप्रतिभूत समिष्ट को आवरण करता है, तो उसे "द्विप्रतिभूत आधार" या "प्रतिशोधी आधार" कहा जाता है।

अनुक्रमित सदिश समूह को इस रूप में निरूपित करते हैं: और , यदि तत्वों के अनुक्रमित समान होते हैं तो द्विपरक होना अर्थ है कि उनका आंतरिक गुणांक 1 होता है, और अन्यथा 0 होता है। प्रतीकात्मक रूप से, मूल समिष्ट में सदिश पर द्वित्वीय सदिश की मूल्यांकन :

यहाँ क्रोनकर डेल्टा प्रतीक है।

परिचय

सदिश के साथ संचालन करने के लिए, हमारे पास इसके घटकों की गणना करने की सीधी विधि होनी चाहिए। कार्टेशियन फ्रेम में, आवश्यक ऑपरेशन सदिश और बेस सदिश के बीच डॉट उत्पाद होता है।[1] उदाहरण के लिए,

जहां कार्टेशियन फ्रेम में बेस होती हैं। सदिश के घटकों को निम्नलिखित द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:

यद्यपि, गैर-कार्टेशियन फ्रेम में, हमें आवश्यकता नहीं होती कि सभी ,() तथापि, यह सदैव संभव होता है कि सदिश को ढूंढा जा सकता है जिसके लिए निम्नलिखित संबंध स्थापित होता है:

यह समीकरण जब , का द्वित्वीय समूह होता है। ध्यान दें कि अनुक्रम के समिष्ट पर अंक में अंतर होता है। .

कार्टेशियन फ्रेम में, हमारे पास होता है।

अस्तित्व और विशिष्टता

द्वित्वीय समूह सदैव उपस्थित होती है और वह V से V में इंजेक्शन प्रदान करती है, निरंतर वह मानचित्रण है जो vi को vi पर भेजता है। यह विशेष रूप से दर्शाता है, कि द्वित्वीय समिष्ट की आयाम V की आयाम से अधिक या उसके समान होती है।

यद्यपि, असीमित-आयामी V की द्वित्वीय समूह अपने द्वित्वीय समिष्ट V को नहीं छात्रित करती है। उदाहरण के लिए, V में से V में मानचित्रण व्याख्यान V के लिए मान w को विचार करें, जहां w(vi) = 1 हर i के लिए। यह मानचित्रण व्याख्यान सभी vi i पर स्पष्ट रूप से गैरशून्य है। यदि w द्वित्वीय आधार सदिश vi के सीमित रूप होती, उदाहरण के लिए जहां K एक सीमित उपसमय I का होता है, तो किसी भी j जो K में नहीं है के लिए, , होगा,यह w की परिभाषा के खंडन को प्रतिरोधित करता है। इसलिए, यह w द्वित्वीय समूह के छायांकन में नहीं होती है।

असीमित-आयामी समिष्ट का द्वित्वीय समिष्ट मूल समिष्ट से अधिक आयाम (यह अधिक असीमित सर्वाधिक गणितीयता) रखता है, और इसलिए इनमें ऐसा आधार नहीं हो सकता है जिसमें ही सूची संख्या हो। चूंकि, सदिश समिष्ट के लिए, द्वित्वीय समूह उपस्थित होती है, जो मूल समिष्ट के समान द्वित्वीय समिष्ट के समानरूप स्पर्श करती है। इसके अतिरिक्त, टोपोलॉजिकल सदिश समिष्ट के लिए, नियमित द्वित्वीय समिष्ट परिभाषित किया जा सकता है, जिसके अंतर्गत द्वित्वीय आधार उपस्थित हो सकता है।

परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान

आधार सदिश समिष्ट के लिए, द्वित्वीय समूह सदैव द्वित्वीय आधार होती है और यह अद्वितीय होती है। इन आधारों को इस प्रकार से चिह्नित किया जाता है: और । यदि हम कोसदिश को सदिश पर मूल्यांकन के रूप में चिह्नित करते हैं, तो द्वित्वीयता की शर्त इस प्रकार होती है:

द्वित्वीय आधार का एकत्व आधार के साथ संबद्धता आधार के समिष्ट के आधार के समिष्ट के बीच से नक्शा देता है, और यह भी विस्मृति है। टोपोलॉजिकल क्षेत्र के लिए, द्वित्वियों की समिष्ट टोपोलॉजिकल समिष्ट होती है, और इसे इन समिष्ट के आधारों के स्टिफ़ेल मैनिफ़ोल्ड के बीच होमियोमोर्फिज्म देता है।

दोहरे समिष्ट का श्रेणीबद्ध और बीजगणितीय निर्माण

सदिश समिष्ट (मापांक (गणित)) के द्वित्वीय समिष्ट को श्रेणीय दृष्टिकोण में परिचय देने के लिए और विधि है। इसके लिए, को मॉड्यूल मानकीकृत किया जाता है जो अवधारणाओं के ऊपर (अर्थात्, श्रेणी में वस्तु ) की वस्तु होता है। तब हम , का द्वित्वीय स्थान, जिसे , से चिह्नित किया जाता है, निम्नलिखित रूप में परिभाषित करते हैं: , जो सभी -रैखिक मापांक होमोमॉर्फिज़म का मॉड्यूल होता है, जो से . तक होते हैं। इसका अर्थ है कि हम द्वित्वीय को द्वित्वीय के रूप में परिभाषित कर सकते हैं, जिसे द्विगुण के रूप में चिह्नित किया जाता है , और इसे निम्न रूप में परिभाषित किया जाता है:

द्वित्वीय समिष्ट के लिए आधार का समर्पित निर्माण करने के लिए, हम अब अपनी दृष्टि को सीमित करेंगे जहां सीमित-आयामी मुक्त (बायां) -मॉड्यूल, है, जहाँ एकता युक्त अवधारणा के साथ अवधारणा है। फिर, हम मानते हैं कि समूह , के लिए आधार है। यहां से, हम आधार पर क्रोनेकर डेल्टा फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित करते हैं बायां के लिए जहां यदि है और यदि .है। तब समूह प्रत्येक के साथ लचीला स्वतंत्र समूह का वर्णन करता है। चूंकि सीमित-आयामी है, इसलिए आधार पसीमित-आयामी है। फिर, समूह को के लिए आधार बताता है और मुक्त (दायां) -मापांक होता है|

उदाहरण

निर्देशीय रूप में उदाहरण के रूप में, (कार्तीय तल) के मानक आधार सदिश हैं

और उसके द्वितीय समिष्ट के मानक आधार सदिश हैं

त्रिआयामी यूक्लिडीय अंतर्वास्त्र में, दिए गए आधार , के लिए, द्विपक्षीय (द्वित्वीय) आधार निम्नलिखित सूत्रों द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:

यहाँ T स्थानान्तरण को दर्शाता है और

यह आधार सदिश और द्वारा बनाए गए त्रिपादीय अनुपात के चतुर्भुज के द्वारा बनाए गए परलेलेपाइपेड के आयतन को दर्शाता है।

सामान्यतः, सीमित-आयामी सदिश समिष्ट के आधार के द्वित्वीय आधार को निम्न रूप से सीधे निर्धारित किया जा सकता है: दिए गए आधार और संबंधित द्वित्वीय आधार के लिए हम निम्नलिखित मैट्रिक्स बना सकते हैं:

तब द्वित्वीय आधार के परिभाषित गुण का प्रमाणित करता है कि

इसलिए द्वित्वीय आधार के लिए मैट्रिक्स की गणना की जा सकती है जैसे कि

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

  • Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J.; Eremeyev, Victor A. (2010). Tensor Analysis With Applications to Mechanics. World Scientific. ISBN 978-981431312-4.
  • "Finding the Dual Basis". Stack Exchange. May 27, 2012.