माध्य मान प्रमेय (विभाजित अंतर): Difference between revisions
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किसी भी n + 1 जोड़ीवार भिन्न-भिन्न बिंदु x<sub>0, ...,</sub> x<sub>''n''</sub> के लिए, n-बार भिन्न अवकलनीय फलन के डोमेन में f आंतरिक बिंदु उपस्तिथ है: | |||
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: <math> \xi \in (\min\{x_0,\dots,x_n\},\max\{x_0,\dots,x_n\}) \,</math> | : <math> \xi \in (\min\{x_0,\dots,x_n\},\max\{x_0,\dots,x_n\}) \,</math> | ||
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: <math> f[x_0,\dots,x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}.</math> | : <math> f[x_0,\dots,x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}.</math> | ||
n = 1 के लिए, | n = 1 के लिए, अर्थात दो फलन बिंदु, सरल माध्य मान प्रमेय प्राप्त करता है। | ||
== प्रमाण == | == प्रमाण == | ||
मन लीजिये <math>P</math>, x<sub>0</sub>, ..., x<sub>''n''</sub> पर f के लिए [[लैग्रेंज इंटरपोलेशन बहुपद]] है, फिर यह [[न्यूटन बहुपद]] से अनुसरण करता है <math>P</math> वह उच्चतम पद है: <math>f[x_0,\dots,x_n](x-x_{n-1})\dots(x-x_1)(x-x_0)</math>. | |||
फिर यह [[न्यूटन बहुपद]] से अनुसरण करता है <math>P</math> वह उच्चतम पद है | |||
मन लीजिये <math>g</math> द्वारा परिभाषित प्रक्षेप का शेष भाग <math>g = f - P</math> तब <math>g</math> के पास है <math>n+1</math> शून्य: x<sub>0</sub>, ..., x<sub>''n''</sub> सर्वप्रथम रोले के प्रमेय को प्रारंभ करके <math>g</math>, फिर तो <math>g'</math>, और इसी प्रकार जब तक <math>g^{(n-1)}</math>, प्राप्त करते है, <math>g^{(n)}</math>का शून्य <math>\xi</math> है इस का तात्पर्य है कि | |||
: <math> 0 = g^{(n)}(\xi) = f^{(n)}(\xi) - f[x_0,\dots,x_n] n!</math>, | : <math> 0 = g^{(n)}(\xi) = f^{(n)}(\xi) - f[x_0,\dots,x_n] n!</math>, | ||
: <math> f[x_0,\dots,x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}.</math> | : <math> f[x_0,\dots,x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}.</math> | ||
== अनुप्रयोग == | == अनुप्रयोग == | ||
प्रमेय का उपयोग [[स्टोलार्स्की का मतलब है]] को दो से अधिक चरों के लिए सामान्यीकृत करने के लिए किया जा सकता है। | प्रमेय का उपयोग [[स्टोलार्स्की का मतलब है|स्टोलार्स्की]] माध्य को दो से अधिक चरों के लिए सामान्यीकृत करने के लिए किया जा सकता है। | ||
== संदर्भ == | == संदर्भ == | ||
Revision as of 17:30, 10 July 2023
गणितीय विश्लेषण में, विभाजित अंतरों के लिए माध्य मान प्रमेय को उच्च व्युत्पन्न करने के लिए सामान्यीकृत करता है।[1]
प्रमेय का कथन
किसी भी n + 1 जोड़ीवार भिन्न-भिन्न बिंदु x0, ..., xn के लिए, n-बार भिन्न अवकलनीय फलन के डोमेन में f आंतरिक बिंदु उपस्तिथ है:
जहां f का nवां अवकलज n ! के समान है, जो इन बिंदुओं पर nवें विभाजित अंतर का गुणा है:
n = 1 के लिए, अर्थात दो फलन बिंदु, सरल माध्य मान प्रमेय प्राप्त करता है।
प्रमाण
मन लीजिये , x0, ..., xn पर f के लिए लैग्रेंज इंटरपोलेशन बहुपद है, फिर यह न्यूटन बहुपद से अनुसरण करता है वह उच्चतम पद है: .
मन लीजिये द्वारा परिभाषित प्रक्षेप का शेष भाग तब के पास है शून्य: x0, ..., xn सर्वप्रथम रोले के प्रमेय को प्रारंभ करके , फिर तो , और इसी प्रकार जब तक , प्राप्त करते है, का शून्य है इस का तात्पर्य है कि
- ,
अनुप्रयोग
प्रमेय का उपयोग स्टोलार्स्की माध्य को दो से अधिक चरों के लिए सामान्यीकृत करने के लिए किया जा सकता है।
संदर्भ
- ↑ de Boor, C. (2005). "बंटे हुए मतभेद". Surv. Approx. Theory. 1: 46–69. MR 2221566.
