व्युत्क्रम परिवर्तन नमूनाकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 21:03, 15 July 2023

व्युत्क्रम रूपांतर सैंपलिंग जिसे व्युत्क्रम सैंपलिंग, व्युत्क्रम संभाव्यता अभिन्न रूपांतर, व्युत्क्रम रूपांतर विधि, निकोलाई स्मिरनोव रूपांतर, या स्वर्ण नियम^[1] के नाम से भी जाना जाता है; एक मूलभूत विधि है जो छद्म-यादृच्छिक संख्या सैंपलिंग के लिए काम में लाई जाती है, अर्थात किसी भी प्रायिकता वितरण से उसकी करगणना संचार फलन देते हुए किसी भी यादृच्छिक सैंपलिंग संख्याओं को उत्पन्न करने के लिए इसका प्रयोग किया जाता है।

व्युत्क्रम रूपांतर सैंपलिंग एक संख्या $u$ के 0 और 1 के बीच के संख्या सैंपलिंग (जिनकी व्याख्या प्रायिकता के रूप में की जाती हैं) का उपयोग करता है, और पुनः एक ऐसी सबसे छोटी संख्या $x\in \mathbb {R}$ देता है जिसके लिए $F(x)\geq u$ होता है, यहां $F$ एक यादृच्छिक चर के लिए संयोजी वितरण फलन है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि $F$ माध्य शून्य और मानक प्रसरण एक मानक सामान्य वितरण है। नीचे दी गई तालिका समान वितरण से लिए गए प्रारूप तथा मानक सामान्य वितरण पर उनका प्रतिनिधित्व दर्शाती है।

समरूप सैंपलिंग से सामान्य सैंपलिंग में रूपांतर
$u$	$F^{-1}(u)$
.5	0
.975	1.95996
.995	2.5758
.999999	4.75342
1-2⁻⁵²	8.12589

सामान्य वितरण के लिए व्युत्क्रम रूपांतर सैंपलिंग

हम यादृच्छिक रूप से वक्र के निम्न स्थान की अनुपातिता का चयन कर रहे हैं और उस क्षेत्र में संख्या लौटा रहे हैं, जिसके बाईं ओर बिलकुल इस अनुपातिता का स्थान होता है। वक्र के दूसरे सीमा में संख्या के चयन की प्रायिकता नहीं होगी क्योंकि उनमें बहुत कम क्षेत्र होता है। जिसमें किसी संख्या का चयन करने की आवश्यकता होगी वो अत्यधिक निकटता से शून्य या एक के पास अवस्थित होना चाहिए।

संगणनात्मक रूप से, इस पद्धति में वितरण के मात्रात्मक कार्य की गणना करना सम्मिलित है - दूसरे शब्दों में, वितरण के संचयी वितरण फलन (सीडीएफ) की गणना करना (जो 0 और 1 के बीच की संभावना के लिए क्षेत्र में एक संख्या को आरेखित करता है) और फिर उस फलन का व्युत्क्रम उत्पन्न करता है। इस पद्धति के अधिकांश नामों में व्युत्क्रम या व्युत्क्रम शब्द का स्रोत यही है। ध्यान दें कि असतत वितरण के लिए, सीडीएफ की गणना करना सामान्यतः बहुत कठिन नहीं है: हम बस वितरण के विभिन्न बिंदुओं के लिए व्यक्तिगत प्रायिकताओ को जोड़ते हैं। यद्यपि, सतत वितरण के लिए, हमें वितरण की प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ) को एकीकृत करने की आवश्यकता है, जो कि अधिकांश वितरणों (सामान्य वितरण सहित) के लिए विश्लेषणात्मक रूप से करना असंभव है। परिणामस्वरूप, यह विधि कई वितरणों के लिए संगणनात्मक रूप से अक्षम हो सकती है और अन्य विधियों को प्राथमिकता दी जाती है; यद्यपि, यह अस्वीकृति प्रतिसंचय पर आधारित अधिक सामान्य बनाने के लिए एक उपयोगी विधि है।

सामान्य वितरण के लिए, संबंधित विभाजक फलन के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति की कमी का तात्पर्य है कि अन्य विधियों जैसे बॉक्स-मुलर रूपांतर को संगणनीय रूप से प्राथमिकता दी जा सकती है। प्रायः ऐसा होता है कि, सरल वितरणों के लिए भी, व्युत्क्रम रूपांतर सैंपलिंग पद्धति में सुधार किया जा सकता है:^[2] उदाहरण के लिए, जिगगुराट विधिकलन और अस्वीकृति सैंपलिंग देखें। दूसरी ओर, मध्यम-क्रम बहुपदों का उपयोग करके सामान्य वितरण के विभाजक फलन को अत्यंत सटीक रूप से अनुमानित करना संभव है, और वास्तव में ऐसा करने की विधि इतनी तीव्र है कि व्युत्क्रम सैंपलिंग अब सामान्य वितरण से प्रतिचय लेने के सांख्यिकीय पैकेज के आर प्रोग्रामिंग भाषा में व्यतिक्रम विधि है।^[3]

औपचारिक कथन

किसी भी यादृच्छिक चर $X\in \mathbb {R}$ के लिए, यादृच्छिक चर $F_{X}^{-1}(U)$ का सामान्य नियम होता है जैसी कि $X$ , यहां $F_{X}^{-1}$ $X$ की संयोजी प्रसरण फलन $F_{X}$ का सामान्यीकृत व्युत्क्रम है और $U$ $[0,1]$ पर समरूप है।^[4]

वास्तविकता विवरण के लिए, निर्दिष्ट प्रायिकता अंकित्र का विपरीत अनुरूप सांख्यिकीय ज्ञानकोश यह स्थापित करता है कि प्रायिकता वितरण के अनुरूप एक निर्दिष्ट प्रायिकता अंकित्र $X$ के लिए, जिसका संयोजी वितरण फलन $F_{X}$ है, यादृच्छिक चर $U=F_{X}(X)$ समरूप $[0,1]$ पर होता है।

x

से

F(x)

तक के लिए व्युत्क्रम की तकनीक का आरेख। नीचे दाएं कोने में हम सतत फलन देखते हैं और ऊपर बाएं कोने में इसका यूतक्रम।

अंतर्बोध

यदि $U\sim \mathrm {Unif} [0,1]$ है, तो हम $CDF$ $F_{X}(x)$ वाला $X$ उत्पन्न करना चाहते हैं। हम $F_{X}(x)$ को एक सतत, सख्तता से बढ़ने वाला फलन मानते हैं, जो अच्छी समझ प्रदान करता है।

हम देखना चाहते हैं कि क्या हम कुछ सख्तता से बढ़ने वाले रूपांतर $T:[0,1]\mapsto \mathbb {R}$ ढूंढ सकते हैं, जिसके लिए $T(U){\overset {d}{=}}X$ हो। हमें यह ध्यान देना चाहिए कि $F_{X}(x)=\Pr(X\leq x)=\Pr(T(U)\leq x)=\Pr(U\leq T^{-1}(x))=T^{-1}(x),{\text{ for }}x\in \mathbb {R} ,$ यहां अंतिम चरण में उपयोग किया गया कि जब $U$ $[0,1]$ पर समरूप होता है, तो $\Pr(U\leq y)=y$ होता है।

हमने $F_{X}$ को $T$ का व्युत्क्रम फलन अथवा समतुल्य रूप से $T(u)=F_{X}^{-1}(u),u\in [0,1]$ प्राप्त किया है। इसलिए, हम $X$ से $F_{X}^{-1}(U).$ उत्पन्न कर सकते है।

विधि

इनवर्स ट्रांसफ़ॉर्म सैम्पलिंग का योजनात्मक चित्र।

y=F_{X}(x)

की उलट फ़ंक्शन को

F_{X}^{-1}(y)=\mathrm {inf} {x|F_{X}(x)\geq y}

से परिभाषित किया जा सकता है।

इनवर्स ट्रांसफ़ॉर्म सैम्पलिंग के द्वारा साधारित वितरण से यादृच्छिक ढंग से वितरित नॉर्मली वितरित यादृच्छिक मानों का उत्पादन करने की एक एनिमेशन

व्युत्क्रम रूपांतर सैंपलिंग विधि द्वारा हल की जाने वाली समस्या इस प्रकार है:

मान लीजिए कि $X$ एक यादृच्छिक चर हो जिसका वितरण, संचयी वितरण फलन $F_{X}$ द्वारा वर्णित किया जा सकता है
हमें ऐसे $X$ के मानों का उत्पादन करना है जो इस वितरण के अनुरूप वितरित हों।

व्युत्क्रम रूपांतर सैंपलिंग विधि निम्नानुसार कार्य करती है:

छद्म आयामी संख्या उत्पन्नक एक यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करेंगा जो $u$ अंतराल में मानक समान वितरण से $[0,1]$ , यानी $U\sim \ toMathrm{Unif}[0,1].$ संबंधित होगा।
वांछित सीडीएफ का सामान्यीकृत व्युत्क्रम खोजें, अर्थात $F_{X}^{-1}(u)$ ।
$X'(u)=F_{X}^{-1}(u)$ की गणना करें. गणना किए गए यादृच्छिक चर $X'(U)$ का वितरण $F_{X}$ है और इस प्रकार $X$ के समान नियम है।

अन्य शब्दों में कहा जाए, तो संयोजी वितरण फलन $F_{X}$ और एक समरूप संख्या $U\in [0,1]$ के दिए गए, यादृच्छिक चर $X=F_{X}^{-1}(U)$ की वितरण $F_{X}$ होती है।^[4]

यदि हम सतत परिप्रेक्ष्य की बात करें, तो व्युत्क्रम फलन को विभिन्नित अवकलित्र उपयोगी असाधारित संख्या ज्ञानकोशों के रूप में प्रदान करने के रूप में तत्वों के रूप में प्रदान किया जा सकता है जो अवकलनीय विशेष राशियों को संतुष्ट करते हैं।^[5] कुछ ऐसे अवकलनीय सांकेतिक समीकरण हैं जो अपने गैर-रैखिकता के बावजूद स्पष्ट घातांक श्रृंखला समाधान स्वीकार करते हैं।^[6]

उदाहरण

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमारे पास एक यादृच्छिक चर $U\sim \mathrm {Unif} (0,1)$ और एक संचयी वितरण फलन है

{\begin{aligned}F(x)=1-\exp(-{\sqrt {x}})\end{aligned}}

व्युत्क्रम करने के लिए हमें

F(F^{-1}(u))=u

को हल करना होगा।

{\begin{aligned}F(F^{-1}(u))&=u\\1-\exp \left(-{\sqrt {F^{-1}(u)}}\right)&=u\\F^{-1}(u)&=(-\log(1-u))^{2}\\&=(\log(1-u))^{2}\end{aligned}}

यहां से हम चरण एक, दो और तीन को निष्पादित करेंगे।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, हम x ≥ 0 (और अन्यथा 0) के लिए $F_{X}(x)=1-e^{-\lambda x}$ के साथ घातीय वितरण का उपयोग करते हैं। y=F(x) को हल करके हम व्युत्क्रम फलन प्राप्त करते हैं

x=F^{-1}(y)=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-y).

इसका तात्पर्य यह है कि यदि हम

U\sim \mathrm {Unif} (0,1)

से कुछ

y_{0}

निकालते हैं और

x_{0}=F_{X}^{-1}(y_{0})=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-y_{0}),

की गणना करते हैं तों यह इस

x_{0}

में घातीय वितरण है।

यह विचार निम्नलिखित आरेख में दर्शाया गया है:

यादृच्छिक संख्या y_i 0 और 1, अर्थात Y ~ U(0, 1) के बीच एक समान वितरण से उत्पन्न होते हैं। उन्हें y-अक्ष पर रंगीन बिंदुओं के रूप में आरेखित किया गया है। प्रत्येक बिंदु को x=F के अनुसार आरेखित किया गया है⁻¹(y), जिसे दो उदाहरण बिंदुओं के लिए ग्रे तीरों के साथ दर्शाया गया है। इस उदाहरण में, हमने एक घातीय वितरण का उपयोग किया है। इसलिए, x ≥ 0 के लिए, प्रायिकता घनत्व

\varrho _{X}(x)=\lambda e^{-\lambda \,x}

है और संचयी वितरण फलन

F(x)=1-e^{-\lambda \,x}

. है। इसलिए,

x=F^{-1}(y)=-{\frac {\ln(1-y)}{\lambda }}

. हम देख सकते हैं कि इस पद्धति का उपयोग करते हुए, कई बिंदु 0 के करीब पहुंच जाते हैं और केवल कुछ बिंदुओं पर उच्च x-मान होते हैं - जैसा कि एक घातीय वितरण के लिए अपेक्षित है।

ध्यान दें कि यदि हम y के अतिरिक्त 1-y से प्रारंभ करते हैं तो वितरण परिवर्तित नहीं होता है। संगणनीय उद्देश्यों के लिए, इसलिए [0, 1] में यादृच्छिक संख्या y उत्पन्न करना और पुनः बस गणना करना पर्याप्त है

x=F^{-1}(y)=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(y).

सटीकता का प्रमाण

यदि $F$ एक संयोजी वितरण फलन हो, और $F^{-1}$ उसका सामान्यीकृत व्युत्क्रम फलन हो (जिसमें निम्नतम का उपयोग किया जाता है क्योंकि सीसीएफ कमजोर रूप से क्रमशः एकचर और समरूप होते हैं), तो इसे हिन्दी में इसकी व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है:

$F$ एक संयोजी वितरण फलन हो, और $F^{-1}$ उसका सामान्यीकृत व्युत्क्रम फलन होता है (जिसमें सीसीएफ तुलनात्मक रूप से मजबूत एकचर और Càdlàg होते हैं)।^[7]

F^{-1}(u)=\inf \;\{x\mid F(x)\geq u\}\qquad (0<u<1).

दावा: यदि $U$ एक समान वितरण (निरंतर) यादृच्छिक चर है तो $F^{-1}(U)$ का संयोजी वितरण $F$ होता है।

प्रमाण:

{\begin{aligned}&\Pr(F^{-1}(U)\leq x)\\&{}=\Pr(U\leq F(x))\quad &(F{\text{ is right-continuous, so }}\{u:F^{-1}(u)\leq x\}=\{u:u\leq F(x)\})\\&{}=F(x)\quad &({\text{because }}\Pr(U\leq u)=u,{\text{ when U is uniform on}}[0,1])\\\end{aligned}}

छिन्न वितरण

व्युत्क्रम रूपांतर सैंपलिंग सरलता से छिन्न वितरण पर विस्तारित किया जा सकता है जो बिना अस्वीकृति सैंपलिंग की लागत के, अंतराल $(a,b]$ पर स्थित होते हैं। यहां वही विधिकलन अनुसरित किया जा सकता है, परंतु इसके स्थान पर कि 0 और 1 के बीच एक यादृच्छिक संख्या $u$ उत्पन्न करें, $u$ को $F(a)$ और $F(b)$ के बीच एक समरूप वितरण में उत्पन्न करें, और पुनः $F^{-1}(u)$ प्राप्त कर सके।

व्युत्क्रमों की संख्या में कमी

बड़ी संख्या में सैंपलिंग प्राप्त करने के लिए, वितरण में समान संख्या में व्युत्क्रमण करने की आवश्यकता होती है। एक ऐसी विधि जिससे हम व्युत्क्रमों की संख्या कम करके बड़ी संख्या में प्रतिचय प्राप्त कर सकते हैं, वह है स्टोकेस्टिक कोलोकेशन मोंटे कार्लो सैंपलर जो कि एक बहुपद का अवलोकन विस्तार, प्रणाली के भीतर होता है। इससे हम किसी भी संख्या के मोंटे कार्लो प्रतिचय उत्पन्न कर सकते हैं, और मूल वितरण की कुछ ही व्युत्क्रम के साथ, जिनमें एक चर के स्वतंत्र प्रतिचय के साथ व्युत्क्रम विश्लेषणीय जैसे कि मानक साधारित चर उपलब्ध होते हैं।^[8]

यह भी देखें

संभाव्यता अभिन्न रूपांतर
कोपुला (सांख्यिकी), संभाव्यता अभिन्न रूपांतर के माध्यम से परिभाषित।
व्युत्क्रम सीडीएफ के स्पष्ट निर्माण के लिए विभाजक फलन।
असतत घटकों के साथ वितरण के लिए सटीक गणितीय परिभाषा के लिए संचयी वितरण फलन # व्युत्क्रम।

संदर्भ

↑ Aalto University, N. Hyvönen, Computational methods in inverse problems. Twelfth lecture https://noppa.tkk.fi/noppa/kurssi/mat-1.3626/luennot/Mat-1_3626_lecture12.pdf^{[permanent dead link]}
↑ Luc Devroye (1986). गैर-समान यादृच्छिक विविधता पीढ़ी (PDF). New York: Springer-Verlag. Archived from the original (PDF) on 2014-08-18. Retrieved 2012-04-12.
↑ "R: Random Number Generation".
↑ ^4.0 ^4.1 McNeil, Alexander J.; Frey, Rüdiger; Embrechts, Paul (2005). Quantitative risk management. Princeton Series in Finance. Princeton University Press, Princeton, NJ. p. 186. ISBN 0-691-12255-5.
↑ Steinbrecher, György; Shaw, William T. (19 March 2008). "Quantile mechanics". European Journal of Applied Mathematics. 19 (2). doi:10.1017/S0956792508007341. S2CID 6899308.
↑ Arridge, Simon; Maass, Peter; Öktem, Ozan; Schönlieb, Carola-Bibiane (2019). "Solving inverse problems using data-driven models". Acta Numerica (in English). 28: 1–174. doi:10.1017/S0962492919000059. ISSN 0962-4929. S2CID 197480023.
↑ Luc Devroye (1986). "Section 2.2. Inversion by numerical solution of F(X) = U" (PDF). Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag.
↑ L.A. Grzelak, J.A.S. Witteveen, M. Suarez, and C.W. Oosterlee. The stochastic collocation Monte Carlo sampler: Highly efficient sampling from “expensive” distributions. https://ssrn.com/abstract=2529691

[aalto-1] Aalto University, N. Hyvönen, Computational methods in inverse problems. Twelfth lecture https://noppa.tkk.fi/noppa/kurssi/mat-1.3626/luennot/Mat-1_3626_lecture12.pdf^{[permanent dead link]}

[2] Luc Devroye (1986). गैर-समान यादृच्छिक विविधता पीढ़ी (PDF). New York: Springer-Verlag. Archived from the original (PDF) on 2014-08-18. Retrieved 2012-04-12.

[3] "R: Random Number Generation".

[mcneil2005-4] 4.0 ^4.1 McNeil, Alexander J.; Frey, Rüdiger; Embrechts, Paul (2005). Quantitative risk management. Princeton Series in Finance. Princeton University Press, Princeton, NJ. p. 186. ISBN 0-691-12255-5.

[5] Steinbrecher, György; Shaw, William T. (19 March 2008). "Quantile mechanics". European Journal of Applied Mathematics. 19 (2). doi:10.1017/S0956792508007341. S2CID 6899308.

[6] Arridge, Simon; Maass, Peter; Öktem, Ozan; Schönlieb, Carola-Bibiane (2019). "Solving inverse problems using data-driven models". Acta Numerica (in English). 28: 1–174. doi:10.1017/S0962492919000059. ISSN 0962-4929. S2CID 197480023.

[7] Luc Devroye (1986). "Section 2.2. Inversion by numerical solution of F(X) = U" (PDF). Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag.

[8] L.A. Grzelak, J.A.S. Witteveen, M. Suarez, and C.W. Oosterlee. The stochastic collocation Monte Carlo sampler: Highly efficient sampling from “expensive” distributions. https://ssrn.com/abstract=2529691

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Contents

औपचारिक कथन

अंतर्बोध

विधि

उदाहरण

सटीकता का प्रमाण

छिन्न वितरण

व्युत्क्रमों की संख्या में कमी

यह भी देखें

संदर्भ

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Basic method for pseudo-random number sampling}}
-व्युत्क्रम परिवर्तन प्रतिचयन जिसे व्युत्क्रम प्रतिचयन, व्युत्क्रम संभाव्यता अभिन्न परिवर्तन, व्युत्क्रम परिवर्तन विधि, [[निकोलाई स्मिरनोव (गणितज्ञ)|निकोलाई स्मिरनोव]] परिवर्तन, या स्वर्ण नियम<ref name=aalto>Aalto University, N. Hyvönen, Computational methods in inverse problems. Twelfth lecture https://noppa.tkk.fi/noppa/kurssi/mat-1.3626/luennot/Mat-1_3626_lecture12.pdf{{dead link|date=November 2017 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref> के नाम से भी जाना जाता है एक मूलभूत विधि है जो छद्म-यादृच्छिक संख्या प्रतिचयन के लिए काम में लाई जाती है, अर्थात किसी भी प्रायिकता वितरण से उसकी करगणना संचार फलन देते हुए किसी भी यादृच्छिक प्रतिचयन संख्याओं को उत्पन्न करने के लिए इसका प्रयोग किया जाता है।
+'''व्युत्क्रम रूपांतर सैंपलिंग''' जिसे व्युत्क्रम सैंपलिंग, व्युत्क्रम संभाव्यता अभिन्न रूपांतर, व्युत्क्रम रूपांतर विधि, [[निकोलाई स्मिरनोव (गणितज्ञ)|निकोलाई स्मिरनोव]] रूपांतर, या स्वर्ण नियम<ref name=aalto>Aalto University, N. Hyvönen, Computational methods in inverse problems. Twelfth lecture https://noppa.tkk.fi/noppa/kurssi/mat-1.3626/luennot/Mat-1_3626_lecture12.pdf{{dead link|date=November 2017 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref> के नाम से भी जाना जाता है; एक मूलभूत विधि है जो छद्म-यादृच्छिक संख्या सैंपलिंग के लिए काम में लाई जाती है, अर्थात किसी भी प्रायिकता वितरण से उसकी करगणना संचार फलन देते हुए किसी भी यादृच्छिक सैंपलिंग संख्याओं को उत्पन्न करने के लिए इसका प्रयोग किया जाता है।
-व्युत्क्रम परिवर्तन प्रतिचयन एक संख्या <math>u</math> के 0 और 1 के बीच के संख्या प्रतिचयन (जिनकी व्याख्या प्रायिकता के रूप में की जाती हैं) का उपयोग करता है, और पुनः एक ऐसी सबसे छोटी संख्या <math>x\in\mathbb R</math> देता है जिसके लिए <math>F(x)\ge u</math> होता है, यहां <math>F</math> एक यादृच्छिक चर के लिए संयोजी वितरण फलन है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि <math>F</math> माध्य शून्य और मानक प्रसरण एक मानक [[सामान्य वितरण]] है। नीचे दी गई तालिका समान वितरण से लिए गए प्रारूप तथा मानक सामान्य वितरण पर उनका प्रतिनिधित्व दर्शाती है।
+व्युत्क्रम रूपांतर सैंपलिंग एक संख्या <math>u</math> के 0 और 1 के बीच के संख्या सैंपलिंग (जिनकी व्याख्या प्रायिकता के रूप में की जाती हैं) का उपयोग करता है, और पुनः एक ऐसी सबसे छोटी संख्या <math>x\in\mathbb R</math> देता है जिसके लिए <math>F(x)\ge u</math> होता है, यहां <math>F</math> एक यादृच्छिक चर के लिए संयोजी वितरण फलन है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि <math>F</math> माध्य शून्य और मानक प्रसरण एक मानक [[सामान्य वितरण]] है। नीचे दी गई तालिका समान वितरण से लिए गए प्रारूप तथा मानक सामान्य वितरण पर उनका प्रतिनिधित्व दर्शाती है।
 {| class="wikitable floatright"
-|+ समरूप प्रतिचयन से सामान्य प्रतिचयन में परिवर्तन
+|+ समरूप सैंपलिंग से सामान्य सैंपलिंग में रूपांतर
 |-
 ! <math>u</math> !! <math>F^{-1}(u)</math>
@@ Line 20: / Line 20: @@
 |}
-[[File:Inverse transform sampling.png|thumbnail|360px|right|सामान्य वितरण के लिए व्युत्क्रम परिवर्तन प्रतिचयन]]
+[[File:Inverse transform sampling.png|thumbnail|360px|right|सामान्य वितरण के लिए व्युत्क्रम रूपांतर सैंपलिंग]]
 हम यादृच्छिक रूप से वक्र के निम्न स्थान की अनुपातिता का चयन कर रहे हैं और उस क्षेत्र में संख्या लौटा रहे हैं, जिसके बाईं ओर बिलकुल इस अनुपातिता का स्थान होता है। वक्र के दूसरे सीमा में संख्या के चयन की प्रायिकता नहीं होगी क्योंकि उनमें बहुत कम क्षेत्र होता है। जिसमें किसी संख्या का चयन करने की आवश्यकता होगी वो अत्यधिक निकटता से शून्य या एक के पास अवस्थित होना चाहिए।
 संगणनात्मक रूप से, इस पद्धति में वितरण के [[मात्रात्मक कार्य]] की गणना करना सम्मिलित है - दूसरे शब्दों में, वितरण के संचयी वितरण फलन (सीडीएफ) की गणना करना (जो 0 और 1 के बीच की संभावना के लिए क्षेत्र में एक संख्या को आरेखित करता है) और फिर उस फलन का व्युत्क्रम उत्पन्न करता है। इस पद्धति के अधिकांश नामों में व्युत्क्रम या व्युत्क्रम शब्द का स्रोत यही है। ध्यान दें कि असतत वितरण के लिए, सीडीएफ की गणना करना सामान्यतः बहुत कठिन नहीं है: हम बस वितरण के विभिन्न बिंदुओं के लिए व्यक्तिगत प्रायिकताओ को जोड़ते हैं। यद्यपि, [[सतत वितरण]] के लिए, हमें वितरण की प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ) को एकीकृत करने की आवश्यकता है, जो कि अधिकांश वितरणों (सामान्य वितरण सहित) के लिए विश्लेषणात्मक रूप से करना असंभव है। परिणामस्वरूप, यह विधि कई वितरणों के लिए संगणनात्मक रूप से अक्षम हो सकती है और अन्य विधियों को प्राथमिकता दी जाती है; यद्यपि, यह अस्वीकृति प्रतिसंचय पर आधारित अधिक सामान्य बनाने के लिए एक उपयोगी विधि है।
-सामान्य वितरण के लिए, संबंधित विभाजक फलन के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति की कमी का तात्पर्य है कि अन्य विधियों जैसे बॉक्स-मुलर परिवर्तन को संगणनीय रूप से प्राथमिकता दी जा सकती है। प्रायः ऐसा होता है कि, सरल वितरणों के लिए भी, व्युत्क्रम परिवर्तन प्रतिचयन पद्धति में सुधार किया जा सकता है:<ref>{{cite book |author=Luc Devroye |url=http://www.eirene.de/Devroye.pdf |title=गैर-समान यादृच्छिक विविधता पीढ़ी|publisher=Springer-Verlag |place=New York |year=1986 |access-date=2012-04-12 |archive-date=2014-08-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140818200854/http://www.eirene.de/Devroye.pdf |url-status=dead }}</ref> उदाहरण के लिए, [[जिगगुराट एल्गोरिदम|जिगगुराट विधिकलन]] और अस्वीकृति प्रतिचयन देखें। दूसरी ओर, मध्यम-क्रम बहुपदों का उपयोग करके सामान्य वितरण के विभाजक फलन को अत्यंत सटीक रूप से अनुमानित करना संभव है, और वास्तव में ऐसा करने की विधि इतनी तीव्र है कि व्युत्क्रम प्रतिचयन अब सामान्य वितरण से प्रतिचय लेने के सांख्यिकीय पैकेज के [[आर (प्रोग्रामिंग भाषा)|आर प्रोग्रामिंग भाषा]] में व्यतिक्रम विधि है।<ref>{{Cite web|url=https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/base/html/Random.html|title = R: Random Number Generation}}</ref>
+सामान्य वितरण के लिए, संबंधित विभाजक फलन के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति की कमी का तात्पर्य है कि अन्य विधियों जैसे बॉक्स-मुलर रूपांतर को संगणनीय रूप से प्राथमिकता दी जा सकती है। प्रायः ऐसा होता है कि, सरल वितरणों के लिए भी, व्युत्क्रम रूपांतर सैंपलिंग पद्धति में सुधार किया जा सकता है:<ref>{{cite book |author=Luc Devroye |url=http://www.eirene.de/Devroye.pdf |title=गैर-समान यादृच्छिक विविधता पीढ़ी|publisher=Springer-Verlag |place=New York |year=1986 |access-date=2012-04-12 |archive-date=2014-08-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140818200854/http://www.eirene.de/Devroye.pdf |url-status=dead }}</ref> उदाहरण के लिए, [[जिगगुराट एल्गोरिदम|जिगगुराट विधिकलन]] और अस्वीकृति सैंपलिंग देखें। दूसरी ओर, मध्यम-क्रम बहुपदों का उपयोग करके सामान्य वितरण के विभाजक फलन को अत्यंत सटीक रूप से अनुमानित करना संभव है, और वास्तव में ऐसा करने की विधि इतनी तीव्र है कि व्युत्क्रम सैंपलिंग अब सामान्य वितरण से प्रतिचय लेने के सांख्यिकीय पैकेज के [[आर (प्रोग्रामिंग भाषा)|आर प्रोग्रामिंग भाषा]] में व्यतिक्रम विधि है।<ref>{{Cite web|url=https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/base/html/Random.html|title = R: Random Number Generation}}</ref>
 ==औपचारिक कथन==
-किसी भी यादृच्छिक चर के लिए <math>X\in\mathbb R</math>, यादृच्छिक चर <math>F_X^{-1}(U)</math> एक ही कानून है {{Clarify|date=May 2023}} जैसा <math>X</math>, कहाँ <math>F_X^{-1}</math> संचयी वितरण फलन का संचयी वितरण फलन # व्युत्क्रम_वितरण_फलन_(विभाजक_फलन) है <math>F_X</math> का <math>X</math> और <math>U</math> पर एक समान है <math>[0,1]</math>.<ref name="mcneil2005">{{cite book | last1 = McNeil | first1 = Alexander J. | last2 = Frey | first2 = Rüdiger | last3 = Embrechts | first3 = Paul | title = मात्रात्मक जोखिम प्रबंधन| date=2005 | series=Princeton Series in Finance | publisher=Princeton University Press, Princeton, NJ | page=186 | isbn=0-691-12255-5}}</ref>
+किसी भी [[random variable|यादृच्छिक चर]] <math>X\in\mathbb R</math> के लिए, यादृच्छिक चर <math>F_X^{-1}(U)</math> का सामान्य नियम होता है जैसी कि <math>X</math>, यहां <math>F_X^{-1}</math> <math>X</math> की संयोजी प्रसरण फलन <math>F_X</math> का [[Cumulative distribution function#Inverse_distribution_function_(quantile_function)|सामान्यीकृत व्युत्क्रम]] है और <math>U</math> <math>[0,1]</math> पर समरूप है।<ref name="mcneil2005">{{cite book | last1 = McNeil | first1 = Alexander J. | last2 = Frey | first2 = Rüdiger | last3 = Embrechts | first3 = Paul | title = Quantitative risk management | date=2005 | series=Princeton Series in Finance | publisher=Princeton University Press, Princeton, NJ | page=186 | isbn=0-691-12255-5}}</ref>
-रैंडम_वेरिएबल#कंटीन्युअस_रैंडम_वेरिएबल के लिए, व्युत्क्रम संभाव्यता इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म वास्तव में [[ संभाव्यता अभिन्न परिवर्तन ]] का व्युत्क्रम है, जो बताता है कि एक [[सतत यादृच्छिक चर]] के लिए <math>X</math> संचयी वितरण फलन के साथ <math>F_X</math>, यादृच्छिक चर <math>U=F_X(X)</math> पर एक[[समान वितरण (निरंतर)]] है <math>[0,1]</math>.
+वास्तविकता विवरण के लिए, [[निर्दिष्ट प्रायिकता अंकित्र]] का विपरीत अनुरूप सांख्यिकीय ज्ञानकोश यह स्थापित करता है कि [[प्रायिकता वितरण के अनुरूप]] एक [[निर्दिष्ट प्रायिकता अंकित्र|निर्दिष्ट प्रायिकता अंकित्र]] <math>X</math> के लिए, जिसका [[संयोजी वितरण फलन]] <math>F_X</math> है, यादृच्छिक चर <math>U=F_X(X)</math> [[समरूप वितरण (सतत)|समरूप]] <math>[0,1]</math> पर होता है।
+[[File:InverseFunc.png|thumb|360px|<math>x</math> से <math>F(x)</math> तक के लिए व्युत्क्रम की तकनीक का आरेख। नीचे दाएं कोने में हम सतत फलन देखते हैं और ऊपर बाएं कोने में इसका यूतक्रम।]]
+== अंतर्बोध ==
+यदि <math>U \sim \mathrm{Unif}[0,1]</math> है, तो हम <math>CDF</math> <math>F_X(x)</math> वाला <math>X</math> उत्पन्न करना चाहते हैं। हम <math>F_X(x)</math> को एक सतत, सख्तता से बढ़ने वाला फलन मानते हैं, जो अच्छी समझ प्रदान करता है।
+हम देखना चाहते हैं कि क्या हम कुछ सख्तता से बढ़ने वाले रूपांतर <math>T:[0,1]\mapsto \mathbb{R}</math> ढूंढ सकते हैं, जिसके लिए <math>T(U)\overset{d}{=}X</math> हो। हमें यह ध्यान देना चाहिए कि <math>F_X(x)=\Pr(X\leq x)=\Pr(T(U)\leq x) = \Pr(U\leq T^{-1}(x))=T^{-1}(x), \text{ for } x\in \mathbb{R},</math>
+यहां अंतिम चरण में उपयोग किया गया कि जब <math>U</math> <math>[0,1]</math> पर समरूप होता है, तो <math>\Pr(U \leq y) = y</math> होता है।
+हमने <math>F_X</math> को <math>T</math> का व्युत्क्रम फलन अथवा समतुल्य रूप से <math>T(u)=F_X^{-1}(u), u\in [0,1]</math> प्राप्त किया है।
+इसलिए, हम <math>X </math> से <math>F_X^{-1}(U). </math> उत्पन्न कर सकते है।
-[[File:InverseFunc.png|thumb|360px|उलटा तकनीक का ग्राफ़ से <math>x</math> को <math>F(x)</math>. नीचे दाईं ओर हम नियमित फलन देखते हैं और ऊपर बाईं ओर इसका उलटा देखते हैं।]]
-== अंतर्ज्ञान ==
-से <math>U \sim \mathrm{Unif}[0,1]</math>, हम उत्पन्न करना चाहते हैं <math>X</math> संचयी वितरण फलन के साथ <math>F_X(x).</math> हम यह मानते है कि <math>F_X(x)</math> एक सतत, सख्ती से बढ़ता कार्य होना, जो अच्छा अंतर्ज्ञान प्रदान करता है।
-हम यह देखना चाहते हैं कि क्या हम कुछ सख्ती से नीरस परिवर्तन पा सकते हैं <math>T:[0,1]\mapsto \mathbb{R}</math>, ऐसा है कि <math>T(U)\overset{d}{=}X</math>. हमारे पास होगा
-<math>F_X(x)=\Pr(X\leq x)=\Pr(T(U)\leq x) = \Pr(U\leq T^{-1}(x))=T^{-1}(x), \text{ for } x\in \mathbb{R},</math>
-जहां अंतिम चरण में उसका उपयोग किया गया <math>\Pr(U \leq y) = y</math> कब <math>U</math> पर एक समान है <math>[0,1]</math>.
-तो हमें मिल गया <math>F_X</math> का व्युत्क्रम कार्य होना <math>T </math>, या, समकक्ष <math>T(u)=F_X^{-1}(u), u\in [0,1]. </math>
-इसलिए, हम उत्पन्न कर सकते हैं <math>X </math> से <math>F_X^{-1}(U). </math>
 ==विधि==
-[[File:Generalized inversion method.svg|thumb|360px|व्युत्क्रम परिवर्तन नमूने का योजनाबद्ध। का उलटा कार्य <math>y=F_X(x)</math> द्वारा परिभाषित किया जा सकता है <math>F_X^{-1}(y)=\mathrm{inf}\{x| F_X(x)\geq y\}</math>.]]
+[[File:Generalized inversion method.svg|thumb|360px|इनवर्स ट्रांसफ़ॉर्म सैम्पलिंग का योजनात्मक चित्र। <math>y=F_X(x)</math> की उलट फ़ंक्शन को <math>F_X^{-1}(y)=\mathrm{inf}{x| F_X(x)\geq y}</math> से परिभाषित किया जा सकता है।]]
-[[File:Inverse Transform Sampling Example.gif|thumb|360px|right|व्युत्क्रम परिवर्तन प्रतिचयन कैसे समान रूप से वितरित यादृच्छिक मानों से सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक मान उत्पन्न करता है, इसका एक एनीमेशन]]व्युत्क्रम परिवर्तन प्रतिचयन विधि द्वारा हल की जाने वाली समस्या इस प्रकार है:
+[[File:Inverse Transform Sampling Example.gif|thumb|360px|right|इनवर्स ट्रांसफ़ॉर्म सैम्पलिंग के द्वारा साधारित वितरण से यादृच्छिक ढंग से वितरित नॉर्मली वितरित यादृच्छिक मानों का उत्पादन करने की एक एनिमेशन]]
+व्युत्क्रम रूपांतर सैंपलिंग विधि द्वारा हल की जाने वाली समस्या इस प्रकार है:
+*मान लीजिए कि <math>X</math> एक यादृच्छिक चर हो जिसका वितरण, संचयी वितरण फलन <math>F_X</math> द्वारा वर्णित किया जा सकता है
+*हमें ऐसे <math>X</math> के मानों का उत्पादन करना है जो इस वितरण के अनुरूप वितरित हों।
+व्युत्क्रम रूपांतर सैंपलिंग विधि निम्नानुसार कार्य करती है:
+#छद्म आयामी संख्या उत्पन्नक एक यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करेंगा जो  <math>u</math> अंतराल में मानक समान वितरण से <math>[0,1]</math>, यानी <math>U \sim \ to  Mathrm{Unif}[0,1].</math> संबंधित होगा।
+# वांछित सीडीएफ का [[संचयी वितरण फलन#इनवर्स_डिस्ट्रीब्यूशन_फंक्शन_(क्वांटाइल_फंक्शन)|सामान्यीकृत व्युत्क्रम]] खोजें, अर्थात <math>F_X^{-1}(u)</math>।
+# <math>X'(u)=F_X^{-1}(u)</math> की गणना करें. गणना किए गए यादृच्छिक चर <math>X'(U)</math> का वितरण <math>F_X</math> है और इस प्रकार <math>X</math> के समान नियम है।
+अन्य शब्दों में कहा जाए, तो संयोजी वितरण फलन <math>F_X</math> और एक समरूप संख्या <math>U\in[0,1]</math> के दिए गए, यादृच्छिक चर <math>X = F_X^{-1}(U)</math> की वितरण <math>F_X</math> होती है।<ref name="mcneil2005" />
+यदि हम सतत परिप्रेक्ष्य की बात करें, तो व्युत्क्रम फलन को विभिन्नित अवकलित्र उपयोगी असाधारित संख्या ज्ञानकोशों के रूप में प्रदान करने के रूप में तत्वों के रूप में प्रदान किया जा सकता है जो अवकलनीय विशेष राशियों को संतुष्ट करते हैं।<ref>{{cite journal | last1 = Steinbrecher | first1 = György | last2 = Shaw | first2 = William T. | title = Quantile mechanics | journal = European Journal of Applied Mathematics | date = 19 March 2008 | volume = 19 | issue = 2 | doi = 10.1017/S0956792508007341| s2cid = 6899308 }}</ref> कुछ ऐसे अवकलनीय सांकेतिक समीकरण हैं जो अपने गैर-रैखिकता के बावजूद स्पष्ट घातांक श्रृंखला समाधान स्वीकार करते हैं।<ref>{{Cite journal |last1=Arridge |first1=Simon |last2=Maass |first2=Peter |last3=Öktem |first3=Ozan |last4=Schönlieb |first4=Carola-Bibiane |title=Solving inverse problems using data-driven models |url=https://www.cambridge.org/core/journals/acta-numerica/article/solving-inverse-problems-using-datadriven-models/CE5B3725869AEAF46E04874115B0AB15 |journal=Acta Numerica |year=2019 |language=en |volume=28 |pages=1–174 |doi=10.1017/S0962492919000059 |s2cid=197480023 |issn=0962-4929|doi-access=free }}</ref>
-*होने देना <math>X</math> एक यादृच्छिक चर हो जिसका वितरण संचयी वितरण फलन द्वारा वर्णित किया जा सकता है <math>F_X</math>.
-*हम मूल्य उत्पन्न करना चाहते हैं <math>X</math> जो इस वितरण के अनुसार वितरित किये जाते हैं।
-व्युत्क्रम परिवर्तन प्रतिचयन विधि निम्नानुसार काम करती है:
-#[[छद्म यादृच्छिक संख्या जनरेटर]] <math>u</math> अंतराल में मानक समान वितरण से <math>[0,1]</math>, यानी से <math>U \sim \mathrm{Unif}[0,1].</math>
-# वांछित सीडीएफ का संचयी वितरण फलन # व्युत्क्रम_वितरण_फलन_(विभाजक_फलन) ढूंढें, यानी। <math>F_X^{-1}(u)</math>.
-# गणना करें <math>X'(u)=F_X^{-1}(u)</math>. परिकलित यादृच्छिक चर <math>X'(U)</math> वितरण है <math>F_X</math> और इस प्रकार वही कानून है <math>X</math>.
-संचयी वितरण फलन को देखते हुए, अलग-अलग तरीके से व्यक्त किया गया <math>F_X</math> और एक समान चर <math>U\in[0,1]</math>, यादृच्छिक चर <math>X = F_X^{-1}(U)</math> वितरण है <math>F_X</math>.<ref name="mcneil2005" />
-निरंतर मामले में, अंतर समीकरणों को संतुष्ट करने वाली वस्तुओं जैसे व्युत्क्रम कार्यों का उपचार दिया जा सकता है।<ref>{{cite journal | last1 = Steinbrecher | first1 = György | last2 = Shaw | first2 = William T. | title = मात्रात्मक यांत्रिकी| journal = European Journal of Applied Mathematics | date = 19 March 2008 | volume = 19 | issue = 2 | doi = 10.1017/S0956792508007341| s2cid = 6899308 }}</ref> ऐसे कुछ विभेदक समीकरण अपनी गैर-रैखिकता के बावजूद, स्पष्ट शक्ति श्रृंखला समाधान स्वीकार करते हैं।<ref>{{Cite journal |last1=Arridge |first1=Simon |last2=Maass |first2=Peter |last3=Öktem |first3=Ozan |last4=Schönlieb |first4=Carola-Bibiane |title=डेटा-संचालित मॉडल का उपयोग करके व्युत्क्रम समस्याओं का समाधान करना|url=https://www.cambridge.org/core/journals/acta-numerica/article/solving-inverse-problems-using-datadriven-models/CE5B3725869AEAF46E04874115B0AB15 |journal=Acta Numerica |year=2019 |language=en |volume=28 |pages=1–174 |doi=10.1017/S0962492919000059 |s2cid=197480023 |issn=0962-4929|doi-access=free }}</ref>
 == उदाहरण ==
-* उदाहरण के तौर पर, मान लीजिए कि हमारे पास एक यादृच्छिक चर है <math> U \sim \mathrm{Unif}(0,1)</math> और एक संचयी वितरण फलन
+* उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमारे पास एक यादृच्छिक चर <math> U \sim \mathrm{Unif}(0,1)</math> और एक [[संचयी वितरण फलन]] है
 : <math>
 \begin{align}
@@ Line 71: / Line 103: @@
 \end{align}
 </math>
-: एक व्युत्क्रम निष्पादित करने के लिए जिसे हम हल करना चाहते हैं <math>F(F^{-1}(u))=u</math>
+: व्युत्क्रम करने के लिए हमें <math>F(F^{-1}(u))=u</math> को हल करना होगा।
 : <math>
 \begin{align}
@@ Line 80: / Line 112: @@
 \end{align}
 </math>
-: यहां से हम चरण एक, दो और तीन करेंगे।
+: यहां से हम चरण एक, दो और तीन को निष्पादित करेंगे।
-* एक अन्य उदाहरण के रूप में, हम घातीय वितरण का उपयोग करते हैं <math>F_X(x)=1-e^{-\lambda x}</math> x ≥ 0 के लिए (और अन्यथा 0)। y=F(x) को हल करके हम व्युत्क्रम फलन प्राप्त करते हैं
+* एक अन्य उदाहरण के रूप में, हम x ≥ 0 (और अन्यथा 0) के लिए <math>F_X(x)=1-e^{-\lambda x}</math> के साथ [[घातीय वितरण]] का उपयोग करते हैं। y=F(x) को हल करके हम व्युत्क्रम फलन प्राप्त करते हैं
 : <math>x = F^{-1}(y) = -\frac{1}{\lambda}\ln(1-y).</math>
-:इसका मतलब यह है कि यदि हम कुछ चित्र बनाते हैं <math>y_0</math>एक से <math> U \sim \mathrm{Unif}(0,1)</math> और गणना करें <math>x_0 = F_X^{-1}(y_0) = -\frac{1}{\lambda}\ln(1-y_0),</math> यह <math>x_0</math> घातीय वितरण है.
+:इसका तात्पर्य यह है कि यदि हम <math> U \sim \mathrm{Unif}(0,1)</math> से कुछ <math>y_0</math> निकालते हैं और <math>x_0 = F_X^{-1}(y_0) = -\frac{1}{\lambda}\ln(1-y_0),</math> की गणना करते हैं तों यह इस <math>x_0</math> में घातीय वितरण है।
-: यह विचार निम्नलिखित ग्राफ़ में दर्शाया गया है:
+: यह विचार निम्नलिखित आरेख में दर्शाया गया है:
-: [[File:Inverse transformation method for exponential distribution.jpg|thumb|none|400px|यादृच्छिक संख्या y<sub>i</sub> 0 और 1, यानी Y ~ U(0, 1) के बीच एक समान वितरण से उत्पन्न होते हैं। उन्हें y-अक्ष पर रंगीन बिंदुओं के रूप में चित्रित किया गया है। प्रत्येक बिंदु को x=F के अनुसार मैप किया गया है<sup>−1</sup>(y), जिसे दो उदाहरण बिंदुओं के लिए ग्रे तीरों के साथ दिखाया गया है। इस उदाहरण में, हमने एक घातीय वितरण का उपयोग किया है। इसलिए, x ≥ 0 के लिए, संभाव्यता घनत्व है <math>\varrho_X(x) = \lambda e^{-\lambda \, x}</math> और संचयी वितरण फलन है <math>F(x) = 1 - e^{-\lambda \, x}</math>. इसलिए, <math>x = F^{-1}(y) = - \frac{\ln(1-y)}{\lambda}</math>. हम देख सकते हैं कि इस पद्धति का उपयोग करते हुए, कई बिंदु 0 के करीब पहुंच जाते हैं और केवल कुछ बिंदुओं पर उच्च x-मान होते हैं - जैसा कि एक घातांकीय वितरण के लिए अपेक्षित है।]]: ध्यान दें कि यदि हम y के बजाय 1-y से शुरू करते हैं तो वितरण नहीं बदलता है। संगणनीय उद्देश्यों के लिए, इसलिए [0, 1] में यादृच्छिक संख्या y उत्पन्न करना और फिर बस गणना करना पर्याप्त है
+: [[File:Inverse transformation method for exponential distribution.jpg|thumb|none|400px|यादृच्छिक संख्या y<sub>i</sub> 0 और 1, अर्थात Y ~ U(0, 1) के बीच एक समान वितरण से उत्पन्न होते हैं। उन्हें y-अक्ष पर रंगीन बिंदुओं के रूप में आरेखित किया गया है। प्रत्येक बिंदु को x=F के अनुसार आरेखित किया गया है<sup>−1</sup>(y), जिसे दो उदाहरण बिंदुओं के लिए ग्रे तीरों के साथ दर्शाया गया है। इस उदाहरण में, हमने एक घातीय वितरण का उपयोग किया है। इसलिए, x ≥ 0 के लिए, प्रायिकता घनत्व <math>\varrho_X(x) = \lambda e^{-\lambda \, x}</math> है और संचयी वितरण फलन <math>F(x) = 1 - e^{-\lambda \, x}</math>. है। इसलिए, <math>x = F^{-1}(y) = - \frac{\ln(1-y)}{\lambda}</math>. हम देख सकते हैं कि इस पद्धति का उपयोग करते हुए, कई बिंदु 0 के करीब पहुंच जाते हैं और केवल कुछ बिंदुओं पर उच्च x-मान होते हैं - जैसा कि एक घातीय वितरण के लिए अपेक्षित है।]]
+: ध्यान दें कि यदि हम y के अतिरिक्त 1-y से प्रारंभ करते हैं तो वितरण परिवर्तित नहीं होता है। संगणनीय उद्देश्यों के लिए, इसलिए [0, 1] में यादृच्छिक संख्या y उत्पन्न करना और पुनः बस गणना करना पर्याप्त है
 : <math>x = F^{-1}(y) = -\frac{1}{\lambda}\ln(y).</math>
 ==सटीकता का प्रमाण==
-होने देना <math>F</math> एक संचयी वितरण फलन बनें, और चलो <math>F^{-1}</math> इसका संचयी वितरण फलन हो#इनवर्स_डिस्ट्रिब्यूशन_फंक्शन_(विभाजक_फंक्शन) (न्यूनतम का उपयोग करते हुए क्योंकि सीडीएफ कमजोर रूप से मोनोटोनिक और कैडलैग|राइट-कंटीन्यूअस हैं):<ref>{{cite book |author=Luc Devroye |title=गैर-समान यादृच्छिक विविधता पीढ़ी|publisher=Springer-Verlag |place=New York |year=1986 |chapter=Section 2.2. Inversion by numerical solution of ''F''(''X'')&nbsp;=&nbsp;''U'' |chapter-url=http://luc.devroye.org/chapter_two.pdf}}</ref>
+यदि <math>F</math> एक संयोजी वितरण फलन हो, और <math>F^{-1}</math> उसका [[संयोजी वितरण फलन#व्युत्क्रम वितरण फलन_(संपूरकभूत अंकित्र)|सामान्यीकृत व्युत्क्रम फलन]] हो (जिसमें [[निम्नतम]] का उपयोग किया जाता है क्योंकि सीसीएफ कमजोर रूप से क्रमशः एकचर और [[समरूप|समरूप]] होते हैं), तो इसे हिन्दी में इसकी व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है:
+<math>F</math> एक संयोजी वितरण फलन हो, और <math>F^{-1}</math> उसका सामान्यीकृत व्युत्क्रम फलन होता है (जिसमें सीसीएफ तुलनात्मक रूप से मजबूत एकचर और Càdlàg होते हैं)।<ref>{{cite book |author=Luc Devroye |title=Non-Uniform Random Variate Generation |publisher=Springer-Verlag |place=New York |year=1986 |chapter=Section 2.2. Inversion by numerical solution of ''F''(''X'') = ''U'' |chapter-url=http://luc.devroye.org/chapter_two.pdf}}</ref>
 :<math>F^{-1}(u) = \inf\;\{x \mid F(x)\geq u\} \qquad (0<u<1).</math>
-दावा: यदि <math>U</math> एक समान वितरण (निरंतर) यादृच्छिक चर है <math>[0,1]</math> तब <math>F^{-1}(U)</math> है <math>F</math> इसके सीडीएफ के रूप में।
+दावा: यदि <math>U</math> एक समान वितरण (निरंतर) यादृच्छिक चर है तो <math>F^{-1}(U)</math> का संयोजी वितरण <math>F</math> होता है।
-सबूत:
+प्रमाण:
 :<math>
@@ Line 107: / Line 153: @@
-== कटा हुआ वितरण ==
-व्युत्क्रम परिवर्तन प्रतिचयन को अंतराल पर काटे गए वितरण के मामलों तक आसानी से बढ़ाया जा सकता है <math>(a,b]</math> अस्वीकृति नमूने की लागत के बिना: समान विधिकलन का पालन किया जा सकता है, लेकिन एक यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करने के बजाय <math>u</math> 0 और 1 के बीच समान रूप से वितरित, उत्पन्न करें <math>u</math> के बीच समान रूप से वितरित <math>F(a)</math> और <math>F(b)</math>, और फिर दोबारा ले लो <math>F^{-1}(u)</math>.
+== छिन्न वितरण ==
+व्युत्क्रम रूपांतर सैंपलिंग सरलता से [[छिन्न वितरण]] पर विस्तारित किया जा सकता है जो बिना अस्वीकृति सैंपलिंग की लागत के, अंतराल <math>(a,b]</math> पर स्थित होते हैं। यहां वही विधिकलन अनुसरित किया जा सकता है, परंतु इसके स्थान पर कि 0 और 1 के बीच एक यादृच्छिक संख्या <math>u</math> उत्पन्न करें, <math>u</math> को <math>F(a)</math> और <math>F(b)</math> के बीच एक समरूप वितरण में उत्पन्न करें, और पुनः <math>F^{-1}(u)</math> प्राप्त कर सके।
 == व्युत्क्रमों की संख्या में कमी ==
-बड़ी संख्या में नमूने प्राप्त करने के लिए, वितरण में समान संख्या में व्युत्क्रमण करने की आवश्यकता होती है।
+बड़ी संख्या में सैंपलिंग प्राप्त करने के लिए, वितरण में समान संख्या में व्युत्क्रमण करने की आवश्यकता होती है।
-बड़ी संख्या में नमूने प्राप्त करते समय व्युत्क्रमों की संख्या को कम करने का एक संभावित तरीका [[बहुपद अराजकता]] विस्तार ढांचे के भीतर तथाकथित स्टोकेस्टिक कोलोकेशन मोंटे कार्लो सैंपलर (एससीएमसी सैंपलर) का अनुप्रयोग है। यह हमें एक चर के स्वतंत्र नमूनों के साथ मूल वितरण के केवल कुछ व्युत्क्रमों के साथ किसी भी संख्या में मोंटे कार्लो नमूने उत्पन्न करने की अनुमति देता है, जिसके लिए व्युत्क्रम विश्लेषणात्मक रूप से उपलब्ध हैं, उदाहरण के लिए मानक सामान्य चर।<ref>L.A. Grzelak, J.A.S. Witteveen, M. Suarez, and C.W. Oosterlee. The stochastic collocation Monte Carlo sampler: Highly efficient sampling from “expensive” distributions. https://ssrn.com/abstract=2529691</ref>
+एक ऐसी विधि जिससे हम व्युत्क्रमों की संख्या कम करके बड़ी संख्या में प्रतिचय प्राप्त कर सकते हैं, वह है स्टोकेस्टिक कोलोकेशन मोंटे कार्लो सैंपलर जो कि एक बहुपद का अवलोकन विस्तार, प्रणाली के भीतर होता है। इससे हम किसी भी संख्या के मोंटे कार्लो प्रतिचय उत्पन्न कर सकते हैं, और मूल वितरण की कुछ ही व्युत्क्रम के साथ, जिनमें एक चर के स्वतंत्र प्रतिचय के साथ व्युत्क्रम विश्लेषणीय जैसे कि मानक साधारित चर उपलब्ध होते हैं।<ref>L.A. Grzelak, J.A.S. Witteveen, M. Suarez, and C.W. Oosterlee. The stochastic collocation Monte Carlo sampler: Highly efficient sampling from “expensive” distributions. https://ssrn.com/abstract=2529691</ref>
 == यह भी देखें ==
-* संभाव्यता अभिन्न परिवर्तन
+* संभाव्यता अभिन्न रूपांतर
-* [[कोपुला (सांख्यिकी)]], संभाव्यता अभिन्न परिवर्तन के माध्यम से परिभाषित।
+* [[कोपुला (सांख्यिकी)]], संभाव्यता अभिन्न रूपांतर के माध्यम से परिभाषित।
 * व्युत्क्रम सीडीएफ के स्पष्ट निर्माण के लिए विभाजक फलन।
 * असतत घटकों के साथ वितरण के लिए सटीक गणितीय परिभाषा के लिए संचयी वितरण फलन # व्युत्क्रम।
@@ Line 132: / Line 209: @@
 [[Category:Articles with invalid date parameter in template|Inverse Transform Sampling]]
 [[Category:Articles with permanently dead external links|Inverse Transform Sampling]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
 [[Category:Created On 06/07/2023|Inverse Transform Sampling]]
+[[Category:Lua-based templates|Inverse Transform Sampling]]
 [[Category:Machine Translated Page|Inverse Transform Sampling]]
+[[Category:Pages with broken file links|Inverse Transform Sampling]]
+[[Category:Pages with math errors|Inverse Transform Sampling]]
+[[Category:Pages with math render errors|Inverse Transform Sampling]]
+[[Category:Pages with maths render errors|Inverse Transform Sampling]]
 [[Category:Pages with script errors|Short description/doc]]
 [[Category:Short description with empty Wikidata description|Inverse Transform Sampling]]
 [[Category:Template documentation pages|Short description/doc]]
 [[Category:Templates Vigyan Ready|Inverse Transform Sampling]]
+[[Category:Templates that add a tracking category|Inverse Transform Sampling]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions|Inverse Transform Sampling]]
+[[Category:Templates using TemplateData|Inverse Transform Sampling]]

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व्युत्क्रम परिवर्तन नमूनाकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 21:03, 15 July 2023

औपचारिक कथन

अंतर्बोध

विधि

उदाहरण

सटीकता का प्रमाण

छिन्न वितरण

व्युत्क्रमों की संख्या में कमी

यह भी देखें

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