बहुपद दीर्घ विभाजन

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बीजगणित में, बहुपद दीर्घ विभाजन एक बहुपद को उसी या उससे कम डिग्री के दूसरे बहुपद से विभाजित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म (कलन विधि) है, जो परिचित अंकगणित तकनीक का एक सामान्यीकृत संस्करण है जिसे दीर्घ विभाजन कहा जाता है। इसे हाथ से आसानी से किया जा सकता है, क्योंकि यह अन्यथा जटिल विभाजन समस्या को छोटी-छोटी समस्याओं में अलग कर देता है। कभी-कभी कृत्रिम विभाजन नामक शॉर्टहैंड संस्करण का उपयोग कम लेखन और कम गणनाओं के साथ तेज होता है। एक और संक्षिप्त विधि बहुपद लघु विभाजन (ब्लोमक्विस्ट की विधि) है।

बहुपद दीर्घ विभाजन एक एल्गोरिथ्म है जो बहुपद के यूक्लिडियन विभाजन को कार्यान्वित करता है, जो दो बहुपद A (भाज्य) और B (भाजक) से शुरू होता है, यदि B शून्य नहीं है, तो एक भागफल Q और एक शेष R उत्पन्न करता है

A = BQ + R,

और या तो R = 0 या R की डिग्री B की डिग्री से कम है। ये स्थितियाँ Q और R को विशिष्ट रूप से परिभाषित करती हैं, जिसका अर्थ है कि Q और R उनकी गणना करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि पर निर्भर नहीं हैं।

परिणाम R = 0 तब घटित होता है जब और केवल यदि बहुपद A में B गुणनखंड हो। इस प्रकार दीर्घ विभाजन यह परीक्षण करने का एक साधन है कि क्या एक बहुपद में कारक के रूप में दूसरा बहुपद है, और यदि है, तो इसका गुणनखंड करने के लिए। उदाहरण के लिए, यदि A का मूल r ज्ञात है, तो A को (x - r) से विभाजित करके इसका गुणनखंड निकाला जा सकता है।

उदाहरण

बहुपद दीर्घ विभाजन

$x^{3}-2x^{2}-4,$ भाज्य $x-3,$ विभाजक द्वारा भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए।

भाज्य को पहले इस प्रकार दोबारा लिखा जाता है:

$x^{3}-2x^{2}+0x-4.$

भागफल और शेषफल को निम्नानुसार निर्धारित किया जा सकता है:

1. भाज्य के पहले पद को भाजक के उच्चतम पद से विभाजित करें (अर्थात् x की उच्चतम घात वाला, जो इस स्तिथि में x है)। परिणाम को बार (x³ ÷ x = x²) के ऊपर लिखें।

${\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\end{array}}$

1. अभी प्राप्त परिणाम से भाजक को गुणा करें (अंतिम भागफल का पहला पद)। भाज्य के पहले दो पदों (x² · (x − 3) = x³ − 3x²) के अंतर्गत परिणाम लिखें।

${\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\color {White}x-3\ )\ }x^{3}-3x^{2}\end{array}}$

1. मूल भाज्य की उचित शर्तों से अभी प्राप्त उत्पाद को घटाएं (सावधान रहें कि ऋण चिह्न वाली किसी चीज़ को घटाना धन चिह्न वाली किसी चीज़ को जोड़ने के बराबर है), और परिणाम को नीचे लिखें ((x³ − 2x²) − (x³ − 3x²) = −2x² + 3x² = x²) फिर, भाज्य से अगले पद को "नीचे लाएं"।${\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\color {White}x-3\ )\ }{\underline {x^{3}-3x^{2}}}\\{\color {White}x-3\ )\ 0x^{3}}+{\color {White}}x^{2}+0x\end{array}}$
2. पिछले तीन चरणों को दोहराएँ, इस बार को छोड़कर उन दो शब्दों का उपयोग करें जिन्हें भाज्य के रूप में अभी लिखा गया है।

${\begin{array}{r}x^{2}+{\color {White}1}x{\color {White}{}+3}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}-4}}}\\+3x-4\\\end{array}}$

1. चरण 4 को दोहराएँ। इस बार, "नीचे लाने" के लिए कुछ भी नहीं है।

${\begin{array}{r}x^{2}+{\color {White}1}x+3\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}-4}}}\\+3x-4\\{\underline {+3x-9}}\\+5\end{array}}$

बार के ऊपर का बहुपद भागफल q(x) है, और (5) के ऊपर बची संख्या शेषफल r(x) है।

${x^{3}-2x^{2}-4}=(x-3)\,\underbrace {(x^{2}+x+3)} _{q(x)}+\underbrace {5} _{r(x)}$

अंकगणित के लिए दीर्घ विभाजन एल्गोरिथ्म उपरोक्त एल्गोरिदम के समान है, जिसमें चर x को विशिष्ट संख्या 10 से (आधार 10 में) प्रतिस्थापित किया जाता है।

बहुपद लघु विभाजन

ब्लोमक्विस्ट की विधि उपरोक्त दीर्घ विभाजन का संक्षिप्त संस्करण है। यह पेन-एंड-पेपर विधि बहुपद दीर्घ विभाजन के समान एल्गोरिथ्म का उपयोग करती है, लेकिन शेषफल निर्धारित करने के लिए मानसिक गणना का उपयोग किया जाता है। इसमें कम लिखने की आवश्यकता होती है, और इसलिए एक बार इसमें विशेषज्ञता प्राप्त हो जाने पर यह एक शीघ्र विधि हो सकती है।

सबसे पहले विभाजन को दीर्घ गुणन के समान विधि से लिखा जाता है, जिसमें सबसे ऊपर भाज्य होता है, और उसके नीचे भाजक होता है। भागफल को बाएँ से दाएँ बार के नीचे लिखना है।

${\begin{matrix}\qquad \qquad x^{3}-2x^{2}+{0x}-4\\{\underline {\div \quad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\end{matrix}}$

भाज्य के प्रथम पद को भाजक के उच्चतम पद (x³ ÷ x = x²) से विभाजित करें। परिणाम को बार के नीचे लिखें x³ को कोई शेष न छोड़कर विभाजित किया गया है, और इसलिए इसे बैकस्लैश के साथ उपयोग के रूप में चिह्नित किया जा सकता है। परिणाम x² को भाजक −3 = −3x² में दूसरे पद से गुणा किया जाता है। −2x² − (−3x²) = x² घटाकर आंशिक शेषफल निर्धारित करें। −2x² को प्रयुक्त के रूप में चिह्नित करें और उसके ऊपर नया शेष x² लिखें।

${\begin{matrix}\qquad x^{2}\\\qquad \quad {\bcancel {x^{3}}}+{\bcancel {-2x^{2}}}+{0x}-4\\{\underline {\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\\x^{2}\qquad \qquad \end{matrix}}$

शेषफल के उच्चतम पद को विभाजक के उच्चतम पद से विभाजित करें (x² ÷ x = x)। परिणाम (+x) को पट्टी के नीचे लिखें। x² को कोई शेष न छोड़ते हुए विभाजित किया गया है, और इसलिए इसे उपयोग के रूप में चिह्नित किया जा सकता है। परिणाम x को भाजक −3 = −3x में दूसरे पद से गुणा किया जाता है। 0x − (−3x) = 3x घटाकर आंशिक शेषफल ज्ञात कीजिए। 0x को प्रयुक्त के रूप में चिह्नित करें और नए शेष 3x को इसके ऊपर लिखें।

${\begin{matrix}\qquad \qquad \quad {\bcancel {x^{2}}}\quad 3x\\\qquad \quad {\bcancel {x^{3}}}+{\bcancel {-2x^{2}}}+{\bcancel {0x}}-4\\{\underline {\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\\x^{2}+x\qquad \end{matrix}}$

शेषफल के उच्चतम पद को भाजक के उच्चतम पद (3x ÷ x = 3) से विभाजित करें। परिणाम (+3) को बार के नीचे रखें। 3x को कोई शेष न छोड़कर विभाजित किया गया है, और इसलिए इसे उपयोग के रूप में चिह्नित किया जा सकता है। परिणाम 3 को भाजक −3 = −9 में दूसरे पद से गुणा किया जाता है। −4 − (−9) = 5 घटाकर आंशिक शेषफल ज्ञात करें। −4 को प्रयुक्त के रूप में चिह्नित करें और उसके ऊपर नया शेषफल 5 रखें।

${\begin{matrix}\quad \qquad \qquad \qquad {\bcancel {x^{2}}}\quad {\bcancel {3x}}\quad 5\\\qquad \quad {\bcancel {x^{3}}}+{\bcancel {-2x^{2}}}+{\bcancel {0x}}{\bcancel {-4}}\\{\underline {\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\\x^{2}+x+3\qquad \end{matrix}}$

बार के नीचे का बहुपद भागफल q(x) है, और (5) के ऊपर बची संख्या शेषफल r(x) है।

स्यूडोकोड (छद्मकोड)

एल्गोरिदम को छद्मकोड में निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है, जहां +, - और × बहुपद अंकगणित का प्रतिनिधित्व करते हैं, और / दो शब्दों के सरल विभाजन का प्रतिनिधित्व करते हैं:

function n / d is
    require d ≠ 0
    q ← 0
    r ← n             // At each step n = d × q + r

    while r ≠ 0 and degree(r) ≥ degree(d) do
        t ← lead(r) / lead(d)       // Divide the leading terms
        q ← q + t
        r ← r − t × d 
    return (q, r)

यह समान रूप से अच्छी तरह से तब काम करता है जब डिग्री(n) < डिग्री(d); उस स्थिति में परिणाम केवल निरर्थक (0, n) होता है।

यह एल्गोरिथम उपरोक्त कागज और पेंसिल विधि का बिल्कुल वर्णन करता है: d ")" के बाईं ओर लिखा है; क्षैतिज रेखा के ऊपर, एक के बाद एक पद q लिखा जाता है, अंतिम पद t का मान होता है; क्षैतिज रेखा के नीचे के क्षेत्र का उपयोग r के क्रमिक मानों की गणना करने और उन्हें लिखने के लिए किया जाता है।

यूक्लिडियन विभाजन

Main article: बहुपद का यूक्लिडियन विभाजन

बहुपदों (A, B) के प्रत्येक जोड़े के लिए, जैसे कि B ≠ 0, बहुपद विभाजन भागफल Q और शेष R प्रदान करता है जैसे कि

$A=BQ+R,$

और या तो R=0 या डिग्री(R) <डिग्री(B)। इसके अलावा (Q, R) इस गुण वाले बहुपदों का अद्वितीय युग्म है।

A और B से विशिष्ट रूप से परिभाषित बहुपद Q और R प्राप्त करने की प्रक्रिया को यूक्लिडियन विभाजन (कभी-कभी विभाजन परिवर्तन) कहा जाता है। इस प्रकार बहुपद दीर्घ विभाजन यूक्लिडियन विभाजन के लिए एक एल्गोरिथ्म है।

अनुप्रयोग

बहुपदों का गुणनखंडन

कभी-कभी एक बहुपद के एक या अधिक मूल ज्ञात होते हैं, संभवतः तर्कसंगत मूल प्रमेय का उपयोग करके पाए गए हों। यदि घात n वाले बहुपद P(x) का मूल r ज्ञात हो तो बहुपद दीर्घ विभाजन का उपयोग P(x) के रूप में गुणनखंड करने के लिए किया जा सकता है। (x − r)(Q(x)) जहां Q(x) घात n − 1 का बहुपद है। Q(x) विभाजन प्रक्रिया से प्राप्त भागफल मात्र है; चूंकि r को P(x) का मूल माना जाता है, यह ज्ञात है कि शेषफल शून्य होना चाहिए।

इसी तरह, यदि एक से अधिक मूल ज्ञात हैं, तो उनमें से (r) में रैखिक कारक (x − r) को Q(x) प्राप्त करने के लिए विभाजित किया जा सकता है, और फिर दूसरे रूट, s में एक रैखिक शब्द को विभाजित किया जा सकता है। Q(x) आदि में से। वैकल्पिक रूप से, उन सभी को एक ही बार में विभाजित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए रैखिक गुणनखंड x - r और x - s को एक साथ गुणा करके द्विघात गुणनखंड x² − (r + s)x + rs प्राप्त किया जा सकता है। rs, जिसे फिर डिग्री n - 2 का भागफल प्राप्त करने के लिए मूल बहुपद P(x) में विभाजित किया जा सकता है।

इस प्रकार, कभी-कभी चार से अधिक घात वाले बहुपद के सभी मूल प्राप्त किए जा सकते हैं, भले ही यह हमेशा संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि तर्कसंगत मूल प्रमेय का उपयोग क्विंटिक बहुपद की एकल (तर्कसंगत) जड़ प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, तो इसे चतुर्थक (चौथी डिग्री) भागफल प्राप्त करने के लिए कारक बनाया जा सकता है; चतुर्थक बहुपद के मूलों के लिए स्पष्ट सूत्र का उपयोग क्विंटिक के अन्य चार मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

बहुपद फलनों की स्पर्शरेखाएँ ज्ञात करना

बहुपद दीर्घ विभाजन का उपयोग उस रेखा के समीकरण को खोजने के लिए किया जा सकता है जो विशेष बिंदु x = r पर बहुपद P(x) द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा है। यदि R(x), P(x) को (x – r)² से विभाजित करने का शेषफल है, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ में x = r पर स्पर्श रेखा का समीकरण y = P(x) है y = R(x), भले ही r बहुपद का मूल है या नहीं।

उदाहरण

उस रेखा का समीकरण ज्ञात करें जो x = 1 पर निम्नलिखित वक्र की स्पर्श रेखा है:

$y=x^{3}-12x^{2}-42.$

बहुपद को (x − 1)² = x² − 2x + 1 से विभाजित करके आरंभ करें:

${\begin{array}{r}x-10\\x^{2}-2x+1\ {\overline {)\ x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\{\underline {x^{3}-{\color {White}0}2x^{2}+{\color {White}1}x}}{\color {White}{}-42}\\-10x^{2}-{\color {White}01}x-42\\{\underline {-10x^{2}+20x-10}}\\-21x-32\end{array}}$

स्पर्श रेखा y = −21x − 32 है।

चक्रीय अतिरेक जांच

प्रेषित संदेशों में त्रुटियों का पता लगाने के लिए चक्रीय अतिरेक जांच बहुपद विभाजन के शेष का उपयोग करती है।

यह भी देखें

• बहुपद शेषफल प्रमेय
• कृत्रिम विभाजन, यूक्लिडियन बहुपद विभाजन करने की अधिक संक्षिप्त विधि
• बहुपद विभाजन
• रफिनी का नियम
• यूक्लिडियन डोमेन
• ग्रोबनेर आधार
• दो बहुपदों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक