अल्ट्राकनेक्टेड स्पेस: Difference between revisions
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गणित में, [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल समिष्ट]] को '''अल्ट्राकनेक्टेड''' कहा जाता है यदि कोई भी दो गैर-रिक्त [[बंद सेट|विवृत समुच्चय]] [[असंयुक्त (सेट)|असंयुक्त (समुच्चय)]] नहीं हैं।<ref name=PlanetMath>PlanetMath</ref> सामान्यतः, समिष्ट अल्ट्राकनेक्टेड होता है यदि और केवल तभी जब दो अलग-अलग बिंदुओं के विवृत होने पर सदैव गैर-सामान्य प्रतिच्छेदन होता है। इसलिए, कोई T1 समिष्ट नहीं है | इस प्रकार T<sub>1</sub> से अधिक बिंदुओं वाला समिष्ट अल्ट्राकनेक्टेड होता है।<ref name="StSe">Steen & Seebach, Sect. 4, pp. 29-30</ref> | |||
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प्रत्येक अल्ट्राकनेक्टेड | प्रत्येक अल्ट्राकनेक्टेड समिष्ट <math>X</math> [[ पथ से जुड़ा हुआ |पथ कनेक्टेड]] है (किन्तु आवश्यक नहीं कि [[चाप जुड़ा हुआ|आर्क कनेक्टेड]] हो)। इस प्रकार यदि <math>a</math> और <math>b</math> <math>X</math> के दो बिंदु हैं और <math>p</math> <math>\operatorname{cl}\{a\}\cap\operatorname{cl}\{b\}</math> द्वारा परिभाषित प्रतिच्छेदन <math>f:[0,1]\to X</math> पर बिंदु है , यदि <math>f(t)=a</math> और <math>f(1/2)=p</math>, <math>f(t)=b</math> और <math>1/2 < t \le 1</math> के बीच एक सतत पथ <math>a</math> और <math>b</math> है <ref name="StSe"/> | ||
प्रत्येक अल्ट्राकनेक्टेड समिष्ट सामान्य समिष्ट, [[ सीमा बिंदु सघन |सीमा बिंदु सघन]] और [[ छद्मकॉम्पैक्ट स्थान |स्यूडोकॉम्पैक्ट समिष्ट]] है।<ref name=PlanetMath/> | |||
==उदाहरण== | ==उदाहरण== | ||
निम्नलिखित अल्ट्राकनेक्टेड टोपोलॉजिकल | निम्नलिखित अल्ट्राकनेक्टेड टोपोलॉजिकल समिष्ट के उदाहरण हैं। | ||
* [[अविवेकी टोपोलॉजी]] वाला | * [[अविवेकी टोपोलॉजी]] वाला समुच्चय। | ||
* सिएरपिंस्की | * सिएरपिंस्की समिष्ट। | ||
* [[बहिष्कृत बिंदु टोपोलॉजी]] वाला | * [[बहिष्कृत बिंदु टोपोलॉजी]] वाला समुच्चय। | ||
* वास्तविक | * वास्तविक रेखा पर [[सही क्रम टोपोलॉजी]]।<ref>Steen & Seebach, example #50, p. 74</ref> | ||
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* Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., ''[[Counterexamples in Topology]]''. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. {{ISBN|0-486-68735-X}} (Dover edition). | * Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., ''[[Counterexamples in Topology]]''. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. {{ISBN|0-486-68735-X}} (Dover edition). | ||
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गणित में, टोपोलॉजिकल समिष्ट को अल्ट्राकनेक्टेड कहा जाता है यदि कोई भी दो गैर-रिक्त विवृत समुच्चय असंयुक्त (समुच्चय) नहीं हैं।[1] सामान्यतः, समिष्ट अल्ट्राकनेक्टेड होता है यदि और केवल तभी जब दो अलग-अलग बिंदुओं के विवृत होने पर सदैव गैर-सामान्य प्रतिच्छेदन होता है। इसलिए, कोई T1 समिष्ट नहीं है | इस प्रकार T1 से अधिक बिंदुओं वाला समिष्ट अल्ट्राकनेक्टेड होता है।[2]
गुण
प्रत्येक अल्ट्राकनेक्टेड समिष्ट पथ कनेक्टेड है (किन्तु आवश्यक नहीं कि आर्क कनेक्टेड हो)। इस प्रकार यदि और के दो बिंदु हैं और द्वारा परिभाषित प्रतिच्छेदन पर बिंदु है , यदि और , और के बीच एक सतत पथ और है [2]
प्रत्येक अल्ट्राकनेक्टेड समिष्ट सामान्य समिष्ट, सीमा बिंदु सघन और स्यूडोकॉम्पैक्ट समिष्ट है।[1]
उदाहरण
निम्नलिखित अल्ट्राकनेक्टेड टोपोलॉजिकल समिष्ट के उदाहरण हैं।
- अविवेकी टोपोलॉजी वाला समुच्चय।
- सिएरपिंस्की समिष्ट।
- बहिष्कृत बिंदु टोपोलॉजी वाला समुच्चय।
- वास्तविक रेखा पर सही क्रम टोपोलॉजी।[3]
यह भी देखें
टिप्पणियाँ
संदर्भ
- This article incorporates material from Ultraconnected space on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
- Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).
