परिमित माप: Difference between revisions

Latest revision as of 06:56, 16 July 2023

माप सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, एक परिमित माप या पूर्णतः परिमित माप ^[1] एक विशेष माप (गणित) है जो सदैव सीमित मान लेता है। परिमित मापों में संभाव्यता माप हैं। अधिक सामान्य मापों की तुलना में परिमित मापों को संभालना प्रायः आसान होता है और वे जिस समुच्चय (गणित) पर परिभाषित होते हैं, उसके आधार पर विभिन्न प्रकार के विभिन्न गुण दिखाते हैं।

परिभाषा

एक माप (गणित) $\mu$ मापने योग्य समष्टि पर $(X,{\mathcal {A}})$ यदि यह संतुष्ट करता है तो इसे एक सीमित माप कहा जाता है

\mu (X)<\infty .

उपायों की एकरसता से, इसका तात्पर्य है

\mu (A)<\infty {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}}.

यदि $\mu$ एक परिमित माप है, माप समष्टि $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ इसे परिमित माप समष्टि या पूर्णतः परिमित माप समष्टि कहा जाता है।^[1]

गुण

सामान्य मामला

किसी भी मापने योग्य समष्टि के लिए, परिमित माप कुल भिन्नता मानदंड के साथ हस्ताक्षरित उपायों के बानाच समष्टि में एक उत्तल शंकु बनाते हैं। परिमित मापों के महत्वपूर्ण उपसमुच्चय उप-संभाव्यता माप हैं, जो एक उत्तल समुच्चय बनाते हैं, और संभाव्यता माप, जो हस्ताक्षरित उपायों और परिमित उपायों के मानक समष्टि में इकाई क्षेत्र का प्रतिच्छेदन हैं।

टोपोलॉजिकल समष्टि

यदि $X$ एक हॉसडॉर्फ़ समष्टि है और ${\mathcal {A}}$ इसमें बोरेल सम्मलित है $\sigma$ -बीजगणित तो प्रत्येक परिमित माप एक समष्टिीय रूप से परिमित माप बोरेल माप भी है।

मीट्रिक रिक्त समष्टि

यदि $X$ एक मीट्रिक समष्टि है और ${\mathcal {A}}$ फिर से बोरेल है $\sigma$ -बीजगणित, उपायों के अशक्त अभिसरण को परिभाषित किया जा सकता है। संबंधित टोपोलॉजी को अशक्त टोपोलॉजी कहा जाता है और यह सभी बंधे हुए निरंतर कार्यों की प्रारंभिक टोपोलॉजी है $X$ . अशक्त टोपोलॉजी कार्यात्मक विश्लेषण में अशक्त* टोपोलॉजी से मेल खाती है। यदि $X$ वियोज्य समष्टि भी है, अशक्त अभिसरण को लेवी-प्रोखोरोव मीट्रिक द्वारा मीट्रिक किया जाता है। ^[2]

पोलिश रिक्त समष्टि

यदि $X$ एक पोलिश समष्टि है और ${\mathcal {A}}$ बोरेल है $\sigma$ -बीजगणित, तो प्रत्येक परिमित माप एक नियमित माप है और इसलिए एक रेडॉन माप है। ^[3] यदि $X$ पोलिश है, तो अशक्त टोपोलॉजी के साथ सभी परिमित उपायों का समुच्चय भी पोलिश है। ^[4]

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Anosov, D.V. (2001) [1994], "Measure space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
↑ Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 252. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
↑ Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 248. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
↑ Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling. Vol. 77. Switzerland: Springer. p. 112. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

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[eommeasurespace-1] 1.0 ^1.1 Anosov, D.V. (2001) [1994], "Measure space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[Klenke252-2] Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 252. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[Klenke248-3] Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 248. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[Kallenberg112-4] Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling. Vol. 77. Switzerland: Springer. p. 112. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

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 == परिभाषा ==
-एक माप (गणित) <math> \mu </math> [[मापने योग्य स्थान]] पर <math> (X, \mathcal A) </math> यदि यह संतुष्ट करता है तो इसे एक सीमित माप कहा जाता है
+एक माप (गणित) <math> \mu </math> [[मापने योग्य स्थान|मापने योग्य समष्टि]] पर <math> (X, \mathcal A) </math> यदि यह संतुष्ट करता है तो इसे एक सीमित माप कहा जाता है
 :<math> \mu(X) < \infty. </math>
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 : <math> \mu(A) < \infty \text{ for all } A \in \mathcal A. </math>
-यदि  <math> \mu </math> एक परिमित माप है, माप स्थान <math> (X, \mathcal A, \mu) </math> इसे परिमित माप स्थान या पूर्णतः परिमित माप स्थान कहा जाता है।<ref name="eommeasurespace"/>
+यदि  <math> \mu </math> एक परिमित माप है, माप समष्टि <math> (X, \mathcal A, \mu) </math> इसे परिमित माप समष्टि या पूर्णतः परिमित माप समष्टि कहा जाता है।<ref name="eommeasurespace"/>
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 === सामान्य मामला ===
-किसी भी मापने योग्य स्थान के लिए, परिमित माप [[कुल भिन्नता]] मानदंड के साथ [[हस्ताक्षरित उपाय|हस्ताक्षरित]] उपायों के बानाच स्थान में एक [[उत्तल शंकु]] बनाते हैं। परिमित मापों के महत्वपूर्ण उपसमुच्चय उप-संभाव्यता माप हैं, जो एक [[उत्तल सेट|उत्तल समुच्चय]] बनाते हैं, और संभाव्यता माप, जो हस्ताक्षरित उपायों और परिमित उपायों के मानक स्थान में [[इकाई क्षेत्र]] का प्रतिच्छेदन हैं।
+किसी भी मापने योग्य समष्टि के लिए, परिमित माप [[कुल भिन्नता]] मानदंड के साथ [[हस्ताक्षरित उपाय|हस्ताक्षरित]] उपायों के बानाच समष्टि में एक [[उत्तल शंकु]] बनाते हैं। परिमित मापों के महत्वपूर्ण उपसमुच्चय उप-संभाव्यता माप हैं, जो एक [[उत्तल सेट|उत्तल समुच्चय]] बनाते हैं, और संभाव्यता माप, जो हस्ताक्षरित उपायों और परिमित उपायों के मानक समष्टि में [[इकाई क्षेत्र]] का प्रतिच्छेदन हैं।
-=== टोपोलॉजिकल स्पेस ===
+=== टोपोलॉजिकल समष्टि ===
-यदि <math> X </math> एक [[हॉसडॉर्फ़ स्थान]] है और <math> \mathcal A </math> इसमें बोरेल सम्मलित है <math> \sigma </math>-बीजगणित तो प्रत्येक परिमित माप एक स्थानीय रूप से परिमित माप [[बोरेल माप]] भी है।
+यदि <math> X </math> एक [[हॉसडॉर्फ़ स्थान|हॉसडॉर्फ़ समष्टि]] है और <math> \mathcal A </math> इसमें बोरेल सम्मलित है <math> \sigma </math>-बीजगणित तो प्रत्येक परिमित माप एक समष्टिीय रूप से परिमित माप [[बोरेल माप]] भी है।
-=== मीट्रिक रिक्त स्थान ===
+=== मीट्रिक रिक्त समष्टि ===
-यदि <math> X </math> एक [[मीट्रिक स्थान]] है और <math> \mathcal A </math> फिर से बोरेल है <math> \sigma</math>-बीजगणित, उपायों के अशक्त अभिसरण को परिभाषित किया जा सकता है। संबंधित टोपोलॉजी को अशक्त टोपोलॉजी कहा जाता है और यह सभी बंधे हुए निरंतर कार्यों की [[प्रारंभिक टोपोलॉजी]] है <math> X </math>. अशक्त टोपोलॉजी कार्यात्मक विश्लेषण में अशक्त* टोपोलॉजी से मेल खाती है। यदि <math> X </math> वियोज्य स्थान भी है, अशक्त अभिसरण को लेवी-प्रोखोरोव मीट्रिक द्वारा मीट्रिक किया जाता है। <ref name="Klenke252" />
+यदि <math> X </math> एक [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समष्टि]] है और <math> \mathcal A </math> फिर से बोरेल है <math> \sigma</math>-बीजगणित, उपायों के अशक्त अभिसरण को परिभाषित किया जा सकता है। संबंधित टोपोलॉजी को अशक्त टोपोलॉजी कहा जाता है और यह सभी बंधे हुए निरंतर कार्यों की [[प्रारंभिक टोपोलॉजी]] है <math> X </math>. अशक्त टोपोलॉजी कार्यात्मक विश्लेषण में अशक्त* टोपोलॉजी से मेल खाती है। यदि <math> X </math> वियोज्य समष्टि भी है, अशक्त अभिसरण को लेवी-प्रोखोरोव मीट्रिक द्वारा मीट्रिक किया जाता है। <ref name="Klenke252" />
-=== पोलिश रिक्त स्थान ===
+=== पोलिश रिक्त समष्टि ===
-यदि <math> X </math> एक [[पोलिश स्थान]] है और <math> \mathcal A </math> बोरेल है <math> \sigma</math>-बीजगणित, तो प्रत्येक परिमित माप एक [[नियमित माप]] है और इसलिए एक [[रेडॉन माप]] है। <ref name="Klenke248" /> यदि <math> X </math> पोलिश है, तो अशक्त टोपोलॉजी के साथ सभी परिमित उपायों का समुच्चय भी पोलिश है। <ref name="Kallenberg112"/>
+यदि <math> X </math> एक [[पोलिश स्थान|पोलिश समष्टि]] है और <math> \mathcal A </math> बोरेल है <math> \sigma</math>-बीजगणित, तो प्रत्येक परिमित माप एक [[नियमित माप]] है और इसलिए एक [[रेडॉन माप]] है। <ref name="Klenke248" /> यदि <math> X </math> पोलिश है, तो अशक्त टोपोलॉजी के साथ सभी परिमित उपायों का समुच्चय भी पोलिश है। <ref name="Kallenberg112"/>
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v t e Measure theory
Basic concepts	Absolute continuity Lebesgue integration L^p spaces Measure Measure space Probability space Measurable space/function
Sets	Almost everywhere Baire set Borel set Carathéodory's criterion Convergence in measure 𝜆-system Essential range infimum/supremum Locally measurable [[Pi-system\| $π$ -system]] σ-algebra Non-measurable set Vitali set Null set Support Transverse measure
Types of Measures	Baire Banach Besov Borel Complex Complete Content (Logarithmically) Convex Discrete Finite Inner (Quasi-) Invariant Locally finite Maximising Metric outer Outer Perfect Pre-measure (Sub-) Probability Projection-valued Radon Random Regular Borel regular Inner regular Outer regular Saturated Set function σ-finite s-finite Signed Singular Spectral Strictly positive Tight Vector
Particular measures	Counting Dirac Euler Gaussian Haar Harmonic Hausdorff Intensity Lebesgue Logarithmic Product Pushforward Spherical measure Tangent Trivial Young
Main results	Carathéodory's extension theorem Convergence theorems Dominated Monotone Vitali Decomposition theorems Hahn Jordan Maharam's Egorov's Fatou's lemma Fubini's Fubini–Tonelli Hölder's inequality Minkowski inequality Radon–Nikodym Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
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