वैन लामोन वृत्त: Difference between revisions
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== इतिहास == | == इतिहास == | ||
वैन लैमोन | वैन लैमोन वृत्त का नाम गणितज्ञ फ्लोर वैन लैमोन https://nl.wikipedia.org/wiki/Floor_van_Lamoen के नाम पर रखा गया है जिन्होंने इसे 2000 में एक समस्या के रूप में प्रस्तुत किया था। <ref name=lamoen2000/><ref name=liVLC/> 2001 में किन वाई. ली और 2002 में आमेर के संपादक. गणित. मासिक. द्वारा एक प्रमाण प्रदान किया गया था। <ref name=liVLC/> <ref name=kimberlingX1153/><ref name=lamoen2002/> | ||
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वैन | क्लार्क किम्बरलिंग की त्रिभुज केंद्रों की व्यापक सूची में वैन लामोएन वृत्त का केंद्र बिंदु <math>X(1153)</math> है। <ref name=kimberlingX1153/> | ||
2003 में, [[एलेक्सी मायाकिशेव]] और पीटर वाई. वू ने सिद्ध किया कि प्रमेय का विलोम निम्नलिखित अर्थों में लगभग सत्य है: <math>P</math> त्रिभुज के अभ्यंतर में कोई बिंदु हो, और <math>AA'</math>, <math>BB'</math>, और <math>CC'</math> इसके [[cevian]] बनें, | 2003 में, [[एलेक्सी मायाकिशेव]] और पीटर वाई. वू ने सिद्ध किया कि प्रमेय का विलोम निम्नलिखित अर्थों में लगभग सत्य है: <math>P</math> त्रिभुज के अभ्यंतर में कोई बिंदु हो, और <math>AA'</math>, <math>BB'</math>, और <math>CC'</math> इसके [[cevian|सेवियन]] बनें, अर्थात्, रेखा खंड जो प्रत्येक शीर्ष को P से जोड़ते हैं और तब तक विस्तारित होते हैं जब तक प्रत्येक विपरीत दिशा से नहीं मिलता। फिर छह त्रिभुजों <math>APB'</math>, <math>APC'</math>, <math>BPC'</math>, <math> BPA'</math>, <math>CPA'</math>, और <math>CPB'</math> के परिकेन्द्र एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं यदि और केवल यदि P, T का केन्द्रक है या इसका लंबकेन्द्र (इसके तीन शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन) है )।<ref name=makwooVLC/> इस परिणाम का एक सरल प्रमाण 2005 में [[गुयेन मिन्ह हा]] द्वारा दिया गया था।<ref name=haVLC/> | ||
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यूक्लिडियन तलीय ज्यामिति में, वैन लामोन वृत्त किसी दिए गए त्रिकोण से जुड़ा एक विशेष वृत्त है। इसमें छह त्रिभुजों के परिकेन्द्र सम्मिलित हैं जिन्हें T के अंदर इसकी तीन माध्यिकाओं द्वारा परिभाषित किया गया है। [1][2]
विशेष रूप से, मान लीजिये , , का शीर्ष (ज्यामिति) है, और मान लीजिये इसका केन्द्रक (इसके तीन माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन) है। मान लीजिये , , और किनारे के मध्य बिंदु , , और , क्रमश बनते हैं। यह पता चला है कि छह त्रिकोणों के परिकेंद्र , , , , , और एक सामान्य वृत्त पर स्थित हैं, जो कि वैन लामोन वृत्त है। [2]
इतिहास
वैन लैमोन वृत्त का नाम गणितज्ञ फ्लोर वैन लैमोन https://nl.wikipedia.org/wiki/Floor_van_Lamoen के नाम पर रखा गया है जिन्होंने इसे 2000 में एक समस्या के रूप में प्रस्तुत किया था। [3][4] 2001 में किन वाई. ली और 2002 में आमेर के संपादक. गणित. मासिक. द्वारा एक प्रमाण प्रदान किया गया था। [4] [1][5]
गुण
क्लार्क किम्बरलिंग की त्रिभुज केंद्रों की व्यापक सूची में वैन लामोएन वृत्त का केंद्र बिंदु है। [1]
2003 में, एलेक्सी मायाकिशेव और पीटर वाई. वू ने सिद्ध किया कि प्रमेय का विलोम निम्नलिखित अर्थों में लगभग सत्य है: त्रिभुज के अभ्यंतर में कोई बिंदु हो, और , , और इसके सेवियन बनें, अर्थात्, रेखा खंड जो प्रत्येक शीर्ष को P से जोड़ते हैं और तब तक विस्तारित होते हैं जब तक प्रत्येक विपरीत दिशा से नहीं मिलता। फिर छह त्रिभुजों , , , , , और के परिकेन्द्र एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं यदि और केवल यदि P, T का केन्द्रक है या इसका लंबकेन्द्र (इसके तीन शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन) है )।[6] इस परिणाम का एक सरल प्रमाण 2005 में गुयेन मिन्ह हा द्वारा दिया गया था।[7]
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 Clark Kimberling (), X(1153) = Center of the van Lemoen circle, in the Encyclopedia of Triangle Centers Accessed on 2014-10-10.
- ↑ 2.0 2.1 Eric W. Weisstein, van Lamoen circle at Mathworld. Accessed on 2014-10-10.
- ↑ Floor van Lamoen (2000), Problem 10830 American Mathematical Monthly, volume 107, page 893.
- ↑ 4.0 4.1 Kin Y. Li (2001), Concyclic problems. Mathematical Excalibur, volume 6, issue 1, pages 1-2.
- ↑ (2002), Solution to Problem 10830. American Mathematical Monthly, volume 109, pages 396-397.
- ↑ Alexey Myakishev and Peter Y. Woo (2003), On the Circumcenters of Cevasix Configuration. Forum Geometricorum, volume 3, pages 57-63.
- ↑ N. M. Ha (2005), Another Proof of van Lamoen's Theorem and Its Converse. Forum Geometricorum, volume 5, pages 127-132.
