संयोजित संबंध

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Transitive binary relations
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-ordering ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Lattice ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Join-semilattice ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Strict partial order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict weak order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict total order ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
Y indicates that the column's property is required by the definition of the row's term (at the very left). For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. ✗ indicates that the property may, or may not hold. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc,$ and there are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

गणित में, सेट पर किसी समुच्चय संबंध को संयोजित या पूर्ण कहा जाता है यदि यह समुच्चय के अलग-अलग जोड़े को एक या दूसरे दिशा में जोड़ता है (या "तुलना करता है"), जबकि यदि यह तत्वों के सभी युग्मों को जोड़ता है तो इसे दृढ़ता से संयोजित किया जाता है। जैसा कि नीचे शब्दावली में वर्णित है, इन गुणों के लिए शब्दावली एक समान नहीं होती है। "कुल" की इस धारणा को सभी के लिए कुल गुणांक के साथ अस्पष्ट नहीं किया जाना चाहिए $x\in X$ में एक है $y\in X$ जिससे $x\mathrel {R} y$ ( क्रमशः देखें)।

कुल ऑर्डर की परिभाषा में संयोजकता प्रमुखता से दिखाई देती है: कुल (या रैखिक) क्रम एक आंशिक क्रम है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय होते हैं; अर्थात् क्रम गुणांक संयोजित होता है। इसी प्रकार, पूर्णतः आंशिक आदेश जो की वह पूर्णतः कुल आदेश होता है। एक संबंध कुल आदेश है यदि यह आंशिक आदेश और दृढ़ता से संयोजित होता है। एक गुणांक पूर्णतः कुल आदेश है तो और अभी संयोजित होता है। एक पूर्णतः योग क्रम को कभी भी मजबूती से नहीं जोड़ा जा सकता (खाली डोमेन को छोड़कर) है।

औपचारिक परिभाषा

एक संबंध समुच्चय पर $R$ को $X$ को संयोजित तब किया जाता है जब सभी के लिए $x,y\in X,$

$${\text{ if }}x\neq y{\text{ then }}x\mathrel {R} y\quad {\text{or}}\quad y\mathrel {R} x,$$

या, समकक्ष, जब सभी के लिए $x,y\in X,$

$$x\mathrel {R} y\quad {\text{or}}\quad y\mathrel {R} x\quad {\text{or}}\quad x=y.$$

गुण से संबंधित सबके लिए $x,y\in X,$

$$x\mathrel {R} y\quad {\text{or}}\quad y\mathrel {R} x$$

दृढ़ता से संयोजित संबंध कहा जाता है।

शब्दावली

जुड़े हुए संबंध की धारणा का मुख्य उपयोग आदेशों के संदर्भ में है, जहां इसका उपयोग कुल, या रैखिक, आदेशों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। इस संदर्भ में, गुण को अधिकांशतः विशेष रूप से नाम नहीं दिया जाता है। जबकि, कुल आदेशों को आंशिक आदेशों के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय होता हैं। इस प्रकार, योग का उपयोग सामान्यतः उन संबंधों के लिए किया जाता है जो जुड़े हुए हैं या दृढ़ता से संयोजित होते हैं। चूँकि, "कुल संबंध" की इस धारणा को क्रमिक होने की संपत्ति से अलग किया जाना चाहिए, जिसे कुल भी कहा जाता है। इसी तरह, जुड़े हुए संबंधों को कभी-कभी पूर्ण कहा जाता है, चूँकि, इससे भी उत्पन्न हो सकता है: सार्वभौमिक संबंध को पूर्ण भी कहा जाता है, और क्रम सिद्धांत में "पूर्ण" के कई अन्य अर्थ हैं। संयोजित संबंधों को कॉननेक्स भी कहा जाता है या संतुष्ट करने के लिए कहा त्रिभाजन (चूँकि ट्राइकोटॉमी ट्राइकोटॉमी की अधिक सामान्य परिभाषा तीन विकल्पों में से एक में अधिक मजबूत होता है $x\mathrel {R} y,y\mathrel {R} x,x=y$ अवश्य धारण करना चाहिए)।

जब विचार किए गए संबंध आदेश नहीं हैं, तो संयोजित और मजबूती से जुड़ा होना महत्वपूर्ण रूप से अलग-अलग गुण होते हैं। वे स्रोत जो दोनों को परिभाषित करते हैं, फिर शब्दों के जोड़े का उपयोग करते हैं जैसे कमजोर रूप से जुड़ा हुआ और संयोजित , पूर्ण और दृढ़ता से पूर्ण, योग और पूर्ण , सेमीकोनेक्स संबंध और connex, या कॉननेक्स संबंध और पूर्णता से संबंध , जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, क्रमशः जुड़े हुए और दृढ़ता से जुड़े हुए विचारों के लिए वैकल्पिक नाम के रूप में।

विशेषताएँ

होने देना $R$ एक सजातीय संबंध हो. निम्नलिखित समतुल्य हैं:* $R$ मजबूती से संयोजित होते है;

• $U\subseteq R\cup R^{\top }$;
• ${\overline {R}}\subseteq R^{\top }$;
• ${\overline {R}}$ असममित संबंध होते है,

जहाँ $U$ सार्वभौमिक संबंध है और $R^{\top }$ का विपरीत संबंध है $R.$

निम्नलिखित समतुल्य हैं:* $R$ जुड़ा है;

• ${\overline {I}}\subseteq R\cup R^{\top }$;
• ${\overline {R}}\subseteq R^{\top }\cup I$;
• ${\overline {R}}$ एंटीसिमेट्रिक संबंध है,

कहाँ ${\overline {I}}$ बाइनरी संबंध विशेष सजातीय संबंधों का पूरक (समुच्चय सिद्धांत) होता है $I$ और $R^{\top }$ का विपरीत संबंध होता है $R.$

प्रगति का परिचय देते हुए, रसेल ने संयोजित सिद्धांत का आह्वान किया:

जब भी कोई श्रृंखला मूल रूप से एक सकर्मक असममित संबंध द्वारा दी जाती है, तो हम इस शर्त से संबंध व्यक्त कर सकते हैं कि हमारी श्रृंखला के किन्हीं दो पदों में उत्पन्न संबंध होना चाहिए।

— बर्ट्रेंड रसेल, गणित के सिद्धांत, पृष्ठ 239

गुण

• किनारों } का संबंध $E$ टूर्नामेंट ग्राफ़ का $G$ के समुच्चय पर सदैव युग्मित हुआ होता है $G$'s शीर्ष।
• यदि दृढ़ता से संयोजित सममित संबंध है, तो यह सार्वभौमिक संबंध होता है।
• कोई भी संबंध मजबूती से तभी जुड़ा होता है, जब वह संयोजित और प्रतिवर्ती होता है।
• समुच्चय पर युग्मित संबंध होता है, $X$ को , प्रतिसंक्रमणीय नहीं हो सकता $X$ मे कम से कम 4 तत्व होते हैं। 3-तत्व समुच्चय पर $\{a,b,c\},$ उदाहरण के लिए, संबंध $\{(a,b),(b,c),(c,a)\}$ दोनों गुण होते हैं।
• यदि $R$ पर एक संयोजित संबंध है $X,$ फिर सभी, या एक को छोड़कर सभी, तत्व $X$ रेंज के द्विआधारी संबंधों का सामान्यीकरण $R.$ इसी तरह, ससभी, या एक को छोड़कर सभी, $R$ के तत्व $X$ के क्षेत्र में होते है।

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Proofs