प्रतिवर्ती समापन

गणित में, समुच्चय X पर द्विआधारी संबंध R का प्रतिवर्ती समापन X पर सबसे छोटा प्रतिवर्ती संबंध होता है जिसमें R सम्मिलित होता है।

उदाहरण के लिए, यदि X भिन्न संख्याओं का एक समूह है और x R y का अर्थ है "x, y से कम है", तो R का प्रतिवर्ती समापन संबंध "x, y से कम है या उसके बराबर है"।

परिभाषा

समुच्चय X पर संबंध R का प्रतिवर्ती समापन S द्वारा दिया जाता है

$S=R\cup \left\{(x,x):x\in X\right\}$

अंग्रेजी में, R का प्रतिवर्ती समापन X पर पहचान संबंध के साथ R का समुच्चय है।

उदाहरण

उदाहरण के तौर पर, यदि

$X=\left\{1,2,3,4\right\}$

$R=\left\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\right\}$

तो संबंध $R$ पहले से ही स्वयं प्रतिवर्ती है, इसलिए यह इसके प्रतिवर्ती समापन से भिन्न नहीं है।

हालाँकि, यदि $R$ में कोई भी युग्म अनुपस्थित था, तो इसे प्रतिवर्ती समापन के लिए अन्तर्निविष्ट किया जाएगा। उदाहरण के लिए, यदि एक ही समुच्चय $X$ पर

$R=\left\{(1,1),(2,2),(4,4)\right\}$

तब प्रतिवर्ती समापन है

$S=R\cup \left\{(x,x):x\in X\right\}=\left\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\right\}.$

यह भी देखें

• सकर्मक समापन
• सममित समापन

संदर्भ

• Franz Baader and Tobias Nipkow, Term Rewriting and All That, Cambridge University Press, 1998, p. 8