स्यूडोस्केलर: Difference between revisions

Latest revision as of 17:49, 16 July 2023

रैखिक बीजगणित में, एक छद्म अदिश एक राशि है जो एक अदिश के जैसा व्यवहार करती है, अतिरिक्त इसके कि यह समता व्युत्क्रम के अंतर्गत चिह्न बदलता है^[1]^[2] जबकि एक वास्तविक अदिश ऐसा नहीं करता है।

एक छद्म सदिश और एक साधारण सदिश के मध्य कोई भी अदिश गुणनफल एक छद्म अदिश होता है। छद्म अदिश का प्रोटोटाइप उदाहरण अदिश त्रिक गुणनफल है, जिसे त्रिक गुणनफल में एक सदिश के मध्य अदिश गुणनफल और दो अन्य सदिशों के मध्य सदिश गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, जहां बाद वाला एक छद्म सदिश है। एक छद्म अदिश, जब एक साधारण सदिश से गुणा किया जाता है, तो एक छद्म सदिश बन जाता है (अक्षीय सदिश ); एक समान निर्माण छद्म प्रदिश करता है।

गणितीय रूप से, एक छद्म अदिश एक सदिश समष्टि की मुख्य बाह्य घात, या क्लिफ़ोर्ड बीजगणित की मुख्य घात का एक अवयव है; छद्म अदिश (क्लिफ़ोर्ड बीजगणित) देखें। अधिक सामान्यतः, यह अवलकनीय मैनिफोल्ड के विहित बंडल का एक अवयव है।

भौतिकी में

भौतिकी में, एक छद्म अदिश एक अदिश के अनुरूप भौतिक राशि को दर्शाता है। दोनों भौतिक राशियाँ हैं जो एक एकल मान मान मानती हैं जो उचित घूर्णन के अंतर्गत निश्चर हैं। हालाँकि, समता रूपांतरण के अंतर्गत, छद्म अदिश अपने चिन्हों को फ़्लिप करते हैं जबकि अदिश ऐसा नहीं करते हैं। चूँकि एक समतल के माध्यम से परावर्तन समता रूपांतरण के साथ एक घूर्णन का संयोजन है, छद्म अदिश भी परावर्तन के अंतर्गत चिन्हों को बदलते हैं।

प्रेरणा

भौतिकी में सबसे प्रभावशाली सिद्धांतों में से एक यह है कि जब कोई इन नियमों का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली निर्देशांक पद्धति को बदलता है तो भौतिक नियम नहीं बदलते हैं। जब निर्देशांक अक्ष व्युत्क्रमित होते हैं तो एक छद्म अदिश अपने चिन्ह को उत्क्रमित कर देता है, यह बताता है कि यह भौतिक राशि का वर्णन करने के लिए सबसे अच्छी वस्तु नहीं है। 3डी-स्पेस में, छद्म सदिश द्वारा वर्णित राशियाँ अनुक्रम 2 की प्रतिसममित प्रदिश हैं, जो व्युत्क्रमण के अंतर्गत निश्चर हैं। छद्म सदिश उस राशि का एक सरल निरूपण हो सकता है, लेकिन व्युत्क्रम के अंतर्गत चिह्न के परिवर्तन से सफ़र्न है। इसी प्रकार, 3डी-स्पेस में, एक अदिश का हॉज द्विक 3-विमीय लेवी-सिविटा छद्म प्रदिश (या "क्रमचय" छद्म प्रदिश) के नियत समय के बराबर होता है; जबकि छद्म अदिश का हॉज द्विक अनुक्रम तीन का एक प्रतिसममित (स्पष्ट) प्रदिश है। लेवी-सिविटा छद्म प्रदिश अनुक्रम 3 का पूर्ण प्रकार से प्रतिसममित छद्म प्रदिश है। चूंकि छद्म अदिश का द्वैत दो "छद्म-राशियों" का गुणनफल है, परिणामी प्रदिश एक वास्तविक प्रदिश है, और अक्षों के व्युत्क्रमण पर चिन्ह नहीं बदलता है। छद्म सदिश का द्विक अनुक्रम 2 (और इसके विपर्येण) का प्रतिसममित प्रदिश है। निर्देशांक व्युत्क्रम के अंतर्गत प्रदिश एक निश्चर भौतिक राशि है, जबकि छद्म सदिश निश्चर नहीं है।

स्थिति को किसी भी विमा तक बढ़ाया जा सकता है। आम तौर पर n-विमीय दिक्स्थान में अनुक्रम r प्रदिश का हॉज द्विक अनुक्रम (n − r) और विपर्येण का एक प्रतिसममित छद्म प्रदिश होता है। विशेष रूप से, विशिष्ट आपेक्षिकता के चार-विमीय दिक्स्थान में, एक छद्म अदिश चौथे अनुक्रम के प्रदिश का द्वैत होता है और चार-विमीय लेवी-सिविटा छद्म प्रदिश के समानुपाती होता है।

उदाहरण

धारा-फलन $\psi (x,y)$ द्वि-विमीय, असंपीड्य द्रव प्रवाह के लिए $\mathbf {v} \left(x,y\right)=\left\langle \partial _{y}\psi ,-\partial _{x}\psi \right\rangle$ .
चुंबकीय आवेश एक छद्म अदिश है क्योंकि इसे गणितीय रूप से परिभाषित किया गया है, भले ही यह भौतिक रूप से उपस्थित हो या न हो।
चुंबकीय प्रवाह एक सदिश (सतह सामान्य) और छद्म सदिश (चुंबकीय क्षेत्र) के मध्य एक अदिश गुणनफल का परिणाम है।
कुंडलता एक प्रचव्रफण छद्म सदिश के संवेग की दिशा (एक वास्तविक सदिश) पर प्रक्षेपण (अदिश गुणनफल) है।
छद्म अदिश कण, अर्थात प्रचव्रफण 0 और विषम समता वाले कण, अर्थात, तरंग फलन के साथ कोई आंतरिक प्रचव्रफण वाला कण जो समता व्युत्क्रम के अंतर्गत चिन्ह बदलता है। उदाहरण छद्म अदिश मेसन हैं।

ज्यामितीय बीजगणित में

ज्यामितीय बीजगणित में एक छद्म अदिश बीजगणित का उच्चतम श्रेणी का अवयव है। उदाहरण के लिए, दो आयामों में दो लांबिक आधार सदिश $e_{1}$ , $e_{2}$ हैं, और संबंधित उच्चतम श्रेणी का आधार अवयव है

e_{1}e_{2}=e_{12}.

तो एक छद्म अदिश e₁₂ का गुणज है| अवयव e₁₂ का वर्ग -1 है और सभी सम अवयवों के साथ विनिमय करता है - इसलिए समिश्र संख्याओं में काल्पनिक अदिश i की तरह व्यवहार करता है। ये अदिश-जैसे गुण ही हैं जो इसके नाम को उत्पन्न करते हैं।

इस समुच्चयन में, एक छद्म अदिश समता व्युत्क्रम के अंतर्गत चिह्न बदलता है, यदि

(e₁, e₂) → (u₁, u₂)

तब, आधार का परिवर्तन एक लांबिक रूपांतरण का निरुपण करता है

e₁e₂ → u₁u₂ = ±e₁e₂,

जहां चिह्न रूपांतरण के सारणिक पर निर्भर करता है। इस प्रकार ज्यामितीय बीजगणित में छद्म अदिश भौतिकी में छद्म अदिश के तदनरूपी होते हैं।

संदर्भ

↑ Zee, Anthony (2010). "II. Dirac and the Spinor II.1 The Dirac Equation § Parity". संक्षेप में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (2nd ed.). Princeton University Press. p. 98. ISBN 978-0-691-14034-6.
↑ Weinberg, Steven (1995). "5.5 Causal Dirac Fields §5.5.57". क्षेत्रों का क्वांटम सिद्धांत. Vol. 1: Foundations. Cambridge University Press. p. 228. ISBN 9780521550017.

[1] Zee, Anthony (2010). "II. Dirac and the Spinor II.1 The Dirac Equation § Parity". संक्षेप में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (2nd ed.). Princeton University Press. p. 98. ISBN 978-0-691-14034-6.

[2] Weinberg, Steven (1995). "5.5 Causal Dirac Fields §5.5.57". क्षेत्रों का क्वांटम सिद्धांत. Vol. 1: Foundations. Cambridge University Press. p. 228. ISBN 9780521550017.

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-[[रैखिक बीजगणित]] में, एक '''छद्मअदिश''' एक राशि है जो एक [[अदिश]] के जैसा व्यवहार करती है, अतिरिक्त इसके कि यह  यह [[समता व्युत्क्रम]] के अंतर्गत संकेत (चिन्ह) बदलता है<ref>{{cite book |last=Zee |first=Anthony|author-link=Anthony Zee|title=संक्षेप में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत|edition=2nd|publisher=Princeton University Press|year=2010 |chapter=II. Dirac and the Spinor II.1 The Dirac Equation § Parity |chapter-url=https://archive.org/details/isbn_9780691140346/page/98 |page=98 |url=https://archive.org/details/isbn_9780691140346|url-access=registration |isbn=978-0-691-14034-6}}</ref><ref>{{cite book|last=Weinberg |first=Steven|author-link=Steven Weinberg|title=क्षेत्रों का क्वांटम सिद्धांत|volume=1: Foundations|publisher=Cambridge University Press|year=1995|page=228|isbn=9780521550017 |chapter=5.5 Causal Dirac Fields §5.5.57 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=doeDB3_WLvwC&pg=PA228}}</ref> जबकि एक यथार्थ अदिश ऐसा नहीं करता है।
+[[रैखिक बीजगणित]] में, एक '''छद्म अदिश''' एक राशि है जो एक [[अदिश]] के जैसा व्यवहार करती है, अतिरिक्त इसके कि यह [[समता व्युत्क्रम]] के अंतर्गत चिह्न बदलता है<ref>{{cite book |last=Zee |first=Anthony|author-link=Anthony Zee|title=संक्षेप में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत|edition=2nd|publisher=Princeton University Press|year=2010 |chapter=II. Dirac and the Spinor II.1 The Dirac Equation § Parity |chapter-url=https://archive.org/details/isbn_9780691140346/page/98 |page=98 |url=https://archive.org/details/isbn_9780691140346|url-access=registration |isbn=978-0-691-14034-6}}</ref><ref>{{cite book|last=Weinberg |first=Steven|author-link=Steven Weinberg|title=क्षेत्रों का क्वांटम सिद्धांत|volume=1: Foundations|publisher=Cambridge University Press|year=1995|page=228|isbn=9780521550017 |chapter=5.5 Causal Dirac Fields §5.5.57 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=doeDB3_WLvwC&pg=PA228}}</ref> जबकि एक वास्तविक अदिश ऐसा नहीं करता है।
-एक [[छद्मवेक्टर|छद्म सदिश]] और एक साधारण [[वेक्टर (गणित और भौतिकी)|सदिश]] के मध्य कोई भी अदिश गुणनफल एक छद्म अदिश होता है। छद्म अदिश का प्रोटोटाइप उदाहरण [[अदिश त्रिक गुणनफल]] है, जिसे त्रिक गुणनफल में एक सदिश के मध्य अदिश गुणनफल और दो अन्य सदिशों के मध्य सदिश गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, जहां बाद वाला एक छद्म सदिश है। एक छद्म अदिश, जब एक साधारण [[ सदिश स्थल |सदिश]] से गुणा किया जाता है, तो एक [[छद्म सदिश]] बन जाता है ([[अक्षीय सदिश]] ); एक समान निर्माण [[ स्यूडोटेन्सर |छद्मप्रदिश]] बनाता है।
+एक [[छद्मवेक्टर|छद्म सदिश]] और एक साधारण [[वेक्टर (गणित और भौतिकी)|सदिश]] के मध्य कोई भी अदिश गुणनफल एक छद्म अदिश होता है। छद्म अदिश का प्रोटोटाइप उदाहरण [[अदिश त्रिक गुणनफल]] है, जिसे त्रिक गुणनफल में एक सदिश के मध्य अदिश गुणनफल और दो अन्य सदिशों के मध्य सदिश गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, जहां बाद वाला एक छद्म सदिश है। एक छद्म अदिश, जब एक साधारण [[ सदिश स्थल |सदिश]] से गुणा किया जाता है, तो एक [[छद्म सदिश]] बन जाता है ([[अक्षीय सदिश]] ); एक समान निर्माण [[ स्यूडोटेन्सर |छद्म प्रदिश]] करता है।
-गणितीय रूप से, एक छद्म अदिश एक [[सदिश समष्टि]] की मुख्य [[बाहरी शक्ति|बाह्य  घात]], या [[क्लिफ़ोर्ड बीजगणित]] की मुख्य [[बाहरी शक्ति|घात]] का एक अवयव है; [[स्यूडोस्केलर (क्लिफ़ोर्ड बीजगणित)|छद्म अदिश (क्लिफ़ोर्ड बीजगणित)]] देखें। अधिक सामान्यतः, यह [[अवलकनीय मैनिफोल्ड]] के [[विहित बंडल]] का एक अवयव है।
+गणितीय रूप से, एक छद्म अदिश एक [[सदिश समष्टि]] की मुख्य [[बाहरी शक्ति|बाह्य घात]], या [[क्लिफ़ोर्ड बीजगणित]] की मुख्य [[बाहरी शक्ति|घात]] का एक अवयव है; [[स्यूडोस्केलर (क्लिफ़ोर्ड बीजगणित)|छद्म अदिश (क्लिफ़ोर्ड बीजगणित)]] देखें। अधिक सामान्यतः, यह [[अवलकनीय मैनिफोल्ड]] के [[विहित बंडल]] का एक अवयव है।
 ==भौतिकी में==
-भौतिकी में, एक छद्म अदिश एक अदिश(भौतिकी) के अनुरूप [[भौतिक मात्रा]] को दर्शाता है। दोनों भौतिक मात्राएँ हैं जो एक ही मान मानती हैं जो [[उचित घुमाव]] के तहत अपरिवर्तनीय है। हालाँकि, [[समता परिवर्तन]] के तहत, छद्म अदिश अपने संकेतों को फ़्लिप करते हैं जबकि अदिशऐसा नहीं करते हैं। चूँकि एक समतल के माध्यम से परावर्तन (गणित) समता परिवर्तन के साथ एक घूर्णन का संयोजन है, छद्मअदिशभी परावर्तन के तहत संकेत बदलते हैं।
+[[भौतिकी]] में, एक छद्म अदिश एक अदिश के अनुरूप [[भौतिक मात्रा|भौतिक राशि]] को दर्शाता है। दोनों [[भौतिक राशियाँ]] हैं जो एक एकल मान मान मानती हैं जो [[उचित घुमाव|उचित घूर्णन]] के अंतर्गत निश्चर हैं। हालाँकि, [[समता परिवर्तन|समता रूपांतरण]] के अंतर्गत, छद्म अदिश अपने चिन्हों को फ़्लिप करते हैं जबकि अदिश ऐसा नहीं करते हैं। चूँकि एक समतल के माध्यम से [[परावर्तन]] समता रूपांतरण के साथ एक घूर्णन का संयोजन है, छद्म अदिश भी परावर्तन के अंतर्गत चिन्हों को बदलते हैं।
 ===प्रेरणा===
-भौतिकी में सबसे शक्तिशाली विचारों में से एक यह है कि जब कोई इन कानूनों का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली समन्वय प्रणाली को बदलता है तो भौतिक कानून नहीं बदलते हैं। जब निर्देशांक अक्ष उलटे होते हैं तो एक छद्म अदिश अपने संकेत को उलट देता है, यह बताता है कि यह भौतिक मात्रा का वर्णन करने के लिए सबसे अच्छी वस्तु नहीं है। 3डी-स्पेस में, छद्म सदिश द्वारा वर्णित मात्राएं क्रम 2 के [[एंटीसिमेट्रिक टेंसर]] हैं, जो व्युत्क्रम के तहत अपरिवर्तनीय हैं। छद्म सदिश उस मात्रा का एक सरल प्रतिनिधित्व हो सकता है, लेकिन व्युत्क्रम के तहत संकेत के परिवर्तन से ग्रस्त है। इसी तरह, 3डी-स्पेस में, एक अदिश का [[ हॉज दोहरे ]] 3-आयामी [[लेवी-सिविटा प्रतीक]] के स्थिर समय के बराबर होता है|लेवी-सिविटा स्यूडोटेंसर (या क्रमपरिवर्तन स्यूडोटेंसर); जबकि छद्म अदिश का हॉज डुअल क्रम तीन का एक एंटी-सिमेट्रिक (शुद्ध) टेंसर है। लेवी-सिविटा स्यूडोटेंसर एक पूरी तरह से एंटीसिमेट्रिक टेन्सर है | ऑर्डर 3 का एंटी-सिमेट्रिक स्यूडोटेंसर है। चूंकि छद्म अदिश का दोहरा दो छद्म-मात्राओं का उत्पाद है, परिणामी टेन्सर एक सच्चा टेन्सर है, और व्युत्क्रमण पर संकेत नहीं बदलता है कुल्हाड़ियों का. स्थिति स्यूडोसदिश  और ऑर्डर 2 के एंटी-सिमेट्रिक टेन्सर की स्थिति के समान है। स्यूडोसदिश  का डुअल ऑर्डर 2 (और इसके विपरीत) का एंटी-सिमेट्रिक टेन्सर है। समन्वय व्युत्क्रम के तहत टेंसर एक अपरिवर्तनीय भौतिक मात्रा है, जबकि छद्म सदिश अपरिवर्तनीय नहीं है।
+भौतिकी में सबसे प्रभावशाली सिद्धांतों में से एक यह है कि जब कोई इन नियमों का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली निर्देशांक पद्धति को बदलता है तो भौतिक नियम नहीं बदलते हैं। जब निर्देशांक अक्ष व्युत्क्रमित होते हैं तो एक छद्म अदिश अपने चिन्ह को उत्क्रमित कर देता है, यह बताता है कि यह भौतिक राशि का वर्णन करने के लिए सबसे अच्छी वस्तु नहीं है। 3डी-स्पेस में, छद्म सदिश द्वारा वर्णित राशियाँ अनुक्रम 2 की [[एंटीसिमेट्रिक टेंसर|प्रतिसममित]] प्रदिश हैं, जो व्युत्क्रमण के अंतर्गत निश्चर हैं। छद्म सदिश उस राशि का एक सरल निरूपण हो सकता है, लेकिन व्युत्क्रम के अंतर्गत चिह्न के परिवर्तन से सफ़र्न है। इसी प्रकार, 3डी-स्पेस में, एक अदिश का [[ हॉज दोहरे |हॉज द्विक]] 3-विमीय [[लेवी-सिविटा प्रतीक|लेवी-सिविटा]] छद्म प्रदिश (या "क्रमचय" छद्म प्रदिश) के नियत समय के बराबर होता है; जबकि छद्म अदिश का हॉज द्विक अनुक्रम तीन का एक प्रतिसममित (स्पष्ट) प्रदिश है। लेवी-सिविटा छद्म प्रदिश अनुक्रम 3 का पूर्ण प्रकार से [[प्रतिसममित]] छद्म प्रदिश है। चूंकि छद्म अदिश का द्वैत दो "छद्म-राशियों" का गुणनफल है, परिणामी प्रदिश एक वास्तविक प्रदिश है, और अक्षों के व्युत्क्रमण पर चिन्ह नहीं बदलता है। छद्म सदिश का द्विक अनुक्रम 2 (और इसके विपर्येण) का प्रतिसममित प्रदिश है। निर्देशांक व्युत्क्रम के अंतर्गत प्रदिश एक निश्चर भौतिक राशि है, जबकि छद्म सदिश निश्चर नहीं है।
-स्थिति को किसी भी आयाम तक बढ़ाया जा सकता है। आम तौर पर एन-डायमेंशनल स्पेस में ऑर्डर आर टेंसर का हॉज डुअल ऑर्डर का एक एंटी-सिमेट्रिक स्यूडोटेंसर होगा {{nowrap|(''n'' − ''r'')}} और इसके विपरीत। विशेष रूप से, विशेष सापेक्षता के चार-आयामी स्पेसटाइम में, एक छद्म अदिश चौथे क्रम के टेंसर का दोहरा होता है और चार-आयामी लेवी-सिविटा प्रतीक | लेवी-सिविटा स्यूडोटेंसर के समानुपाती होता है।
+स्थिति को किसी भी विमा तक बढ़ाया जा सकता है। आम तौर पर ''n''-विमीय दिक्स्थान में अनुक्रम ''r'' प्रदिश का हॉज द्विक अनुक्रम ''(n − r)'' और विपर्येण का एक प्रतिसममित छद्म प्रदिश होता है। विशेष रूप से, विशिष्ट आपेक्षिकता के चार-विमीय दिक्स्थान में, एक छद्म अदिश चौथे अनुक्रम के प्रदिश का द्वैत होता है और चार-विमीय [[लेवी-सिविटा छद्म प्रदिश]] के समानुपाती होता है।
 ===उदाहरण===
-* [[स्ट्रीम फ़ंक्शन]] <math>\psi(x,y)</math> द्वि-आयामी, असंपीड्य द्रव प्रवाह के लिए <math>\mathbf{v}\left(x,y\right)=\left\langle \partial_{y}\psi,-\partial_{x}\psi\right\rangle </math>.
+* [[धारा-फलन]] <math>\psi(x,y)</math> द्वि-विमीय, असंपीड्य द्रव प्रवाह के लिए <math>\mathbf{v}\left(x,y\right)=\left\langle \partial_{y}\psi,-\partial_{x}\psi\right\rangle </math>.
-* [[चुंबकीय आवेश]] एक छद्मअदिशहै क्योंकि इसे गणितीय रूप से परिभाषित किया गया है, भले ही यह भौतिक रूप से मौजूद हो या नहीं।
+* [[चुंबकीय आवेश]] एक छद्म अदिश है क्योंकि इसे गणितीय रूप से परिभाषित किया गया है, भले ही यह भौतिक रूप से उपस्थित हो या न हो।
-* [[चुंबकीय प्रवाह]] एक सदिश  ([[सतह सामान्य]]) और स्यूडोसदिश  ([[चुंबकीय क्षेत्र]]) के बीच एक [[डॉट उत्पाद]] का परिणाम है।
+* [[चुंबकीय प्रवाह]] एक सदिश ([[सतह सामान्य]]) और छद्म सदिश ([[चुंबकीय क्षेत्र]]) के मध्य एक [[डॉट उत्पाद|अदिश गुणनफल]] का परिणाम है।
-* हेलिसिटी (कण भौतिकी) एक [[स्पिन (भौतिकी)]] स्यूडोसदिश  का संवेग की दिशा (एक सच्चा सदिश ) पर प्रक्षेपण (डॉट उत्पाद) है।
+* कुंडलता एक [[स्पिन (भौतिकी)|प्रचव्रफण]] छद्म सदिश के संवेग की दिशा (एक वास्तविक सदिश) पर प्रक्षेपण ([[डॉट उत्पाद|अदिश गुणनफल]]) है।
-* छद्म अदिश कण, यानी स्पिन 0 और विषम समता वाले कण, यानी, तरंग फ़ंक्शन के साथ कोई आंतरिक स्पिन वाला कण जो पैरिटी (भौतिकी) के तहत संकेत बदलता है। उदाहरण [[स्यूडोस्केलर मेसन|छद्म अदिश मेसन]] हैं।
+* छद्म अदिश कण, अर्थात [[स्पिन (भौतिकी)|प्रचव्रफण]] 0 और विषम समता वाले कण, अर्थात, [[तरंग फलन]] के साथ कोई आंतरिक प्रचव्रफण वाला कण जो [[समता व्युत्क्रम]] के अंतर्गत चिन्ह बदलता है। उदाहरण [[स्यूडोस्केलर मेसन|छद्म अदिश मेसन]] हैं।
 ==ज्यामितीय बीजगणित में==
-{{See also|Pseudoscalar (Clifford algebra)}}
+{{See also|छद्म अदिश (क्लिफ़ोर्ड बीजगणित)}}
-[[ज्यामितीय बीजगणित]] में एक छद्म अदिश बीजगणित का उच्चतम श्रेणी वाला सदिश  स्पेस तत्व है। उदाहरण के लिए, दो आयामों में दो ऑर्थोगोनल आधार सदिश  हैं, <math>e_1</math>, <math>e_2</math> और संबंधित उच्चतम श्रेणी का आधार तत्व है
+[[ज्यामितीय बीजगणित]] में एक छद्म अदिश बीजगणित का उच्चतम [[श्रेणी]] का अवयव है। उदाहरण के लिए, दो आयामों में दो लांबिक आधार सदिश <math>e_1</math>, <math>e_2</math> हैं, और संबंधित उच्चतम श्रेणी का आधार अवयव है
 :<math>e_1 e_2 = e_{12}.</math>
-तो एक छद्म अदिश ई का गुणज है<sub>12</sub>. तत्व ई<sub>12</sub> वर्ग -1 तक और सभी सम तत्वों के साथ भ्रमण करता है - इसलिए जटिल संख्याओं में काल्पनिक अदिश i की तरह व्यवहार करता है। ये अदिश-जैसे गुण ही हैं जो इसके नाम को जन्म देते हैं।
+तो एक छद्म अदिश ''e''<sub>12</sub> का गुणज है| अवयव ''e''<sub>12</sub> का वर्ग -1 है और सभी सम अवयवों के साथ विनिमय करता है - इसलिए [[समिश्र संख्याओं]] में काल्पनिक अदिश i की तरह व्यवहार करता है। ये अदिश-जैसे गुण ही हैं जो इसके नाम को उत्पन्न करते हैं।
-इस सेटिंग में, एक छद्म अदिश समता व्युत्क्रम के तहत चिह्न बदलता है, यदि
+इस समुच्चयन में, एक छद्म अदिश समता व्युत्क्रम के अंतर्गत चिह्न बदलता है, यदि
-:(इ<sub>1</sub>, यह है<sub>2</sub>) → (में<sub>1</sub>, में<sub>2</sub>)
+:(''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub>) → (''u''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub>)
-तब, [[आधार का परिवर्तन]] एक [[ऑर्थोगोनल परिवर्तन]] का प्रतिनिधित्व करता है
+तब, [[आधार का परिवर्तन]] एक [[लांबिक रूपांतरण]] का निरुपण करता है
-:इ<sub>1</sub>e<sub>2</sub> → यू<sub>1</sub>u<sub>2</sub> = ±e<sub>1</sub>e<sub>2</sub>,
+:''e''<sub>1</sub>''e''<sub>2</sub> → ''u''<sub>1</sub>''u''<sub>2</sub> = ±''e''<sub>1</sub>''e''<sub>2</sub>,
-जहां संकेत परिवर्तन के निर्धारक पर निर्भर करता है। इस प्रकार ज्यामितीय बीजगणित में छद्म अदिश भौतिकी में छद्म अदिश के अनुरूप होते हैं।
+जहां चिह्न रूपांतरण के सारणिक पर निर्भर करता है। इस प्रकार ज्यामितीय बीजगणित में छद्म अदिश भौतिकी में छद्म अदिश के तदनरूपी होते हैं।
 ==संदर्भ==
 <references/>
-[[Category: ज्यामितीय बीजगणित]] [[Category: क्लिफ़ोर्ड बीजगणित]] [[Category: लीनियर अलजेब्रा]] [[Category: स्केलर]]
+[[Category:All Wikipedia articles written in American English]]
+[[Category:All articles needing additional references]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles needing additional references from January 2021]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:CS1]]
 [[Category:Created On 03/07/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
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