रिसॉल्वेंट (गैलोइस सिद्धांत)

गैलोइस सिद्धांत में अमूर्त बीजगणित के क्षेत्र में एक अनुशासन क्रमपरिवर्तन समूह जी के लिए विलायक एक बहुपद होता है जिसका गुणांक किसी दिए गए बहुपद पी के गुणांक पर बहुपद रूप से निर्भर करता है और मोटे तौर पर बोलते हुए ए एक बहुपद का परिमेय संख्या मूल यदि और केवल यदि पी का गैलोज़ समूह जी में सम्मिलित है। अधिक स्पष्ट रूप से यदि गैलोज़ समूह को जी में सम्मिलित किया गया है तो रिसॉल्वेंट का एक तर्कसंगत मूल होता है और यदि तर्कसंगत मूल एक सरल जड़ (बहुपद) है तो विपरीत (तर्क) सत्य है।विलायक को जोसेफ लुई लैग्रेंज द्वारा पेश किया गया था और व्यवस्थित रूप से इवेरिस्टे गैलोइस द्वारा उपयोग किया गया था। आजकल वे अभी भी गैलोज़ समूहों की गणना करने के लिए एक मौलिक उपकरण हैं। विलायक के सबसे सरल उदाहरण हैं

• $X^{2}-\Delta$ कहाँ $\Delta$ विभेदक है जो कि वैकल्पिक समूह के लिए एक समाधानकर्ता है। घन समीकरण के स्थितियों में इस विलायक को कभी-कभी द्विघात विलायक भी कहा जाता है; इसकी जड़ें घन समीकरण की जड़ों के सूत्रों में स्पष्ट रूप से दिखाई देती हैं।
• चतुर्थक फलन का विलायक घन जो 8 तत्वों के डायहेड्रल समूह के लिए एक विलायक है।
• क्विंटिक फलन या सॉल्वेबल क्विंटिक्स डिग्री पांच में अधिकतम पुन: घुलनशील गैलोज़ समूह के लिए एक विलायक है। यह एक बहुपद 6 की घात वाला बहुपद है।

इन तीन विलायक में "हमेशा अलग होने योग्य" होने का गुण होता है, जिसका अर्थ है कि यदि उनके पास एकाधिक मूल है तो बहुपद "पी" अपरिवर्तनीय बहुपद नहीं है। यह ज्ञात नहीं है कि क्रमपरिवर्तन के प्रत्येक समूह के लिए हमेशा एक अलग करने योग्य समाधान होता है या नहीं।

प्रत्येक समीकरण के लिए जड़ों को nवें मूल और एक पुनर्घुलनशील समूह के लिए एक विलायक की जड़ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है क्योंकि, इस मूल द्वारा उत्पन्न क्षेत्र (गणित) पर समीकरण का गैलोज़ समूह पुन: घुलनशील है।

परिभाषा

होने देना n एक धनात्मक पूर्णांक हो जो उस समीकरण की डिग्री होगी जिस पर हम विचार करेंगे और (X₁, ..., X_n) अनिश्चित (चर) की एक क्रमबद्ध सूची। यह डिग्री के सामान्य बहुपद को परिभाषित करता हैn

$$F(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}E_{i}X^{n-i}=\prod _{i=1}^{n}(X-X_{i}),$$

कहाँ E_i है iवां प्राथमिक सममित बहुपद।

सममित समूह S_n समूह कार्रवाई पर X_i उन्हें क्रमपरिवर्तित करके और यह बहुपदों पर एक क्रिया को प्रेरित करता है X_i. इस क्रिया के तहत किसी दिए गए बहुपद का स्टेबलाइज़र (समूह सिद्धांत) सामान्यतः तुच्छ होता है, किन्तु कुछ बहुपदों में बड़ा स्टेबलाइज़र होता है। उदाहरण के लिए एक प्राथमिक सममित बहुपद का स्टेबलाइज़र संपूर्ण समूह (गणित) है S_n. यदि स्टेबलाइजर गैर-तुच्छ है तो बहुपद कुछ गैर-तुच्छ उपसमूह द्वारा तय किया जाता है G; इसे एक अपरिवर्तनीय कहा जाता है G. इसके विपरीत एक उपसमूह दिया गया है G का S_n, का एक अपरिवर्तनीय G के लिए एक रिसॉल्वेंट अपरिवर्तनीय है G यदि यह किसी बड़े उपसमूह का अपरिवर्तनीय नहीं है S_n. किसी दिए गए उपसमूह के लिए अपरिवर्तनीय ढूँढना G का S_n अपेक्षाकृत आसान है; की क्रिया के तहत एकपद की कक्षा (समूह सिद्धांत) का योग किया जा सकता है S_n. चूंकि , ऐसा हो सकता है कि परिणामी बहुपद एक बड़े समूह के लिए अपरिवर्तनीय हो। उदाहरण के लिए, उपसमूह के स्थितियों पर विचार करें G का S₄ क्रम 4 का, जिसमें सम्मिलित है (12)(34), (13)(24), (14)(23) और पहचान (नोटेशन के लिए, क्रमपरिवर्तन समूह देखें)। एकपदी X₁X₂ अपरिवर्तनीय देता है 2(X₁X₂ + X₃X₄). यह इसके लिए कोई समाधानकारी अपरिवर्तनीय नहीं है G, क्योंकि द्वारा अपरिवर्तनीय है (12), यह वास्तव में बड़े डायहेड्रल उपसमूह के लिए एक विलायक अपरिवर्तनीय है D_4: ⟨(12), (1324)⟩, और इसका उपयोग चतुर्थक समीकरण के रिसॉल्वेंट क्यूबिक को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

अगर P एक समूह के लिए एक विलायक अपरिवर्तनीय है Gसूचकांक का (समूह सिद्धांत) m अंदर S_n, तो इसकी कक्षा के अंतर्गत S_n का ऑर्डर है m. होने देना P₁, ..., P_m इस कक्षा के तत्व बनें। फिर बहुपद

$R_{G}=\prod _{i=1}^{m}(Y-P_{i})$

के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है S_n. इस प्रकार जब विस्तारित किया जाता है तो इसके गुणांक बहुपद होते हैं X_i जो समरूपता समूह की कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय हैं और इस प्रकार प्राथमिक सममित बहुपदों में बहुपद के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं। दूसरे शब्दों में, R_G एक अघुलनशील बहुपद है Y जिनके गुणांकों में बहुपद हैं F. मूल के रूप में विलायक अपरिवर्तनीय होने के कारण इसे विलायक (कभी-कभी समाधानकारी समीकरण) कहा जाता है।

अब एक अघुलनशील बहुपद पर विचार करें

$f(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}X^{n-i}=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i}),$

किसी दिए गए क्षेत्र में गुणांक के साथ K (सामान्यतः तर्कसंगतता का क्षेत्र) और जड़ें x_i बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार में। का प्रतिस्थापन X_i से x_i और के गुणांक F उन लोगों द्वारा f उपरोक्त में हमें एक बहुपद प्राप्त होता है $R_{G}^{(f)}(Y)$ अस्पष्टता के स्थितियों में रिसॉल्वेंट या विशेष रिसॉल्वेंट भी कहा जाता है)। यदि गैलोइस समूह का f में समाहित है G रिसॉल्वेंट इनवेरिएंट की विशेषज्ञता अपरिवर्तनीय है G और इस प्रकार यह एक जड़ है $R_{G}^{(f)}(Y)$ वह का है K (पर तर्कसंगत है K). इसके विपरीत यदि $R_{G}^{(f)}(Y)$ एक तर्कसंगत जड़ है जो एकाधिक जड़ नहीं है गैलोज़ समूह f में समाहित है G.

शब्दावली

शब्दावली में कुछ भिन्नताएँ हैं।

• लेखकों या संदर्भ के आधार पर, विलायक विलायक समीकरण के बजाय विलायक अपरिवर्तनीय को संदर्भित कर सकता है।
• 'गैलोइस रिज़ॉल्वेंट' एक ऐसा विलायक है, जिसकी जड़ों में विलायक अपरिवर्तनीय रैखिक होता है।
• 'लैग्रेंज रिसॉल्वेंट रैखिक बहुपद को संदर्भित कर सकता है
  $$\sum _{i=0}^{n-1}X_{i}\omega ^{i}$$
  कहाँ $\omega$ एकता की आदिम nवीं जड़ है. यह पहचान समूह के लिए गैलोज़ रिसॉल्वेंट का रिसॉल्वेंट अपरिवर्तनीय है।
• एक 'सापेक्ष समाधानकर्ता' को एक समाधानकर्ता के समान ही परिभाषित किया गया है, किन्तु केवल किसी दिए गए उपसमूह के तत्वों की कार्रवाई पर विचार करते हुए H का S_n, ऐसी संपत्ति होना, जो किसी उपसमूह के लिए एक सापेक्ष समाधान हो G का H में एक तर्कसंगत सरल जड़ और गैलोइस समूह है f में समाहित है H, फिर गैलोज़ समूह f में समाहित है G. इस संदर्भ में, एक सामान्य विलायक को पूर्ण विलायक कहा जाता है।

समाधान विधि

डिग्री के बहुपद का गैलोज़ समूह $n$ है $S_{n}$ या इसका एक उचित उपसमूह। यदि एक बहुपद वियोज्य और अपरिवर्तनीय है, तो संबंधित गैलोज़ समूह एक संक्रमणीय उपसमूह है।

$S_{n}$ के सकर्मक उपसमूह एक निर्देशित ग्राफ़ बनाते हैं: एक समूह कई समूहों का उपसमूह हो सकता है। एक समाधानकर्ता यह बता सकता है कि क्या बहुपद का गैलोज़ समूह दिए गए समूह का एक (जरूरी नहीं कि उचित) उपसमूह है। रिसॉल्वेंट विधि समूहों को एक-एक करके जांचने का व्यवस्थित विधि है जब तक कि केवल एक समूह संभव न हो। इसका मतलब यह नहीं है कि प्रत्येक समूह की जाँच की जानी चाहिए: प्रत्येक समाधानकर्ता कई संभावित समूहों को रद्द कर सकता है। उदाहरण के लिए, घात पाँच बहुपदों के लिए कभी भी $D_{5}$ के रिज़ॉल्वेंट की आवश्यकता नहीं होती है: $A_{5}$ और $M_{20}$ के लिए रिज़ॉल्वेंट वांछित जानकारी देते हैं।

एक विधि अधिकतम (सकर्मक) उपसमूहों से प्रारंभिक करना है जब तक कि सही उपसमूह नहीं मिल जाता है और फिर उसके अधिकतम उपसमूहों के साथ जारी रखना है।

संदर्भ

• Dickson, Leonard E. (1959). Algebraic Theories. New York: Dover Publications Inc. p. ix+276. ISBN 0-486-49573-6.
• Girstmair, K. (1983). "On the computation of resolvents and Galois groups". Manuscripta Mathematica. 43 (2–3): 289–307. doi:10.1007/BF01165834. S2CID 123752910.