रिसॉल्वेंट (गैलोइस सिद्धांत)

गैलोज़ सिद्धांत में अमूर्त बीजगणित के क्षेत्र के अंदर एक अनुशासन, क्रमपरिवर्तन समूह G के लिए एक विलायक एक बहुपद है जिसका गुणांक किसी दिए गए बहुपद p के गुणांक पर बहुपद रूप से निर्भर करता है और समान्य रूप से बोलते हुए, एक तर्कसंगत जड़ है यदि और केवल यदि गैलोज़ p के समूह को G में सम्मिलित किया गया है। अधिक स्पष्ट रूप से, यदि गैलोज़ समूह को G में सम्मिलित किया गया है, तो विलायक का एक तर्कसंगत जड़ है, और यदि तर्कसंगत मूल एक सरल जड़ है तो इसका विपरीत सत्य है। रिज़ॉल्वेंट्स को जोसेफ लुईस लैग्रेंज द्वारा प्रस्तुत किया गया था और व्यवस्थित रूप से इवेरिस्टे गैलोइस द्वारा उपयोग किया गया था। आजकल वे अभी भी गैलोज़ समूहों की गणना करने के लिए एक मौलिक उपकरण हैं। रिज़ॉल्वेंट्स के सबसे सरल उदाहरण हैं

• $X^{2}-\Delta$ जहाँ $\Delta$ विभेदक है जो कि वैकल्पिक समूह के लिए एक समाधानकर्ता है। घन समीकरण के स्थितियों में इस विलायक को कभी-कभी द्विघात विलायक भी कहा जाता है; इसकी जड़ें घन समीकरण की जड़ों के सूत्रों में स्पष्ट रूप से दिखाई देती हैं।
• चतुर्थक फलन का विलायक घन जो 8 तत्वों के डायहेड्रल समूह के लिए एक विलायक है।
• क्विंटिक फलन या सॉल्वेबल क्विंटिक्स डिग्री पांच में अधिकतम पुन: घुलनशील गैलोज़ समूह के लिए एक विलायक है। यह एक बहुपद 6 की घात वाला बहुपद है।

इन तीन विलायक में "सदैव अलग होने योग्य" होने का गुण होता है जिसका अर्थ है कि यदि उनके पास एकाधिक मूल है तो बहुपद "p" अपरिवर्तनीय बहुपद नहीं है। यह ज्ञात नहीं है कि क्रमपरिवर्तन के प्रत्येक समूह के लिए सदैव एक अलग करने योग्य समाधान होता है या नहीं होता है।

प्रत्येक समीकरण के लिए जड़ों को रेडिकल के रूप में और एक पुनर्घुलनशील समूह के लिए एक विलायक की जड़ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है क्योंकि इस जड़ द्वारा उत्पन्न क्षेत्र पर समीकरण का गैलोज़ समूह पुन: घुलनशील है।

परिभाषा

मान लीजिए n एक धनात्मक पूर्णांक है जो समीकरण की डिग्री होगी जिस पर हम विचार करेंगे और (X₁, ..., X_n) अनिश्चितों की एक क्रमबद्ध सूची होगी। यह घात n के सामान्य बहुपद को परिभाषित करता है

$$F(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}E_{i}X^{n-i}=\prod _{i=1}^{n}(X-X_{i}),$$

जहाँ E_i iवां प्राथमिक सममित बहुपद है।

सममित समूह S_n, X_i पर उन्हें क्रमपरिवर्तित करके कार्य करता है, और यह X_i में बहुपदों पर एक क्रिया को प्रेरित करता है। इस क्रिया के तहत किसी दिए गए बहुपद का स्टेबलाइज़र सामान्यतः तुच्छ होता है किन्तु कुछ बहुपदों में बड़ा स्टेबलाइज़र होता है। उदाहरण के लिए एक प्रारंभिक सममित बहुपद का स्टेबलाइज़र संपूर्ण समूह S_n है। यदि स्टेबलाइज़र गैर-तुच्छ है, तो बहुपद कुछ गैर-तुच्छ उपसमूह G द्वारा तय किया गया है; इसे G का एक अपरिवर्तनीय कहा जाता है। इसके विपरीत, एसएन के उपसमूह G को देखते हुए, G का एक अपरिवर्तनीय G के लिए एक विलायक अपरिवर्तनीय है यदि यह S_n के किसी भी बड़े उपसमूह का अपरिवर्तनीय नहीं है।

S_n के किसी दिए गए उपसमूह G के लिए अपरिवर्तनीय खोजना अपेक्षाकृत आसान है; कोई S_n की क्रिया के तहत एकपदी की कक्षा का योग कर सकता है। चूँकि ऐसा हो सकता है कि परिणामी बहुपद एक बड़े समूह के लिए अपरिवर्तनीय हो। उदाहरण के लिए, क्रम 4 के S₄ के उपसमूह G के स्थिति पर विचार करें, जिसमें (12)(34), (13)(24), (14)(23) और पहचान सम्मिलित है (नोटेशन के लिए, क्रमपरिवर्तन समूह देखें) . एकपदी X₁X₂ अपरिवर्तनीय 2(X₁X₂ + X₃X₄) देता है। यह G के लिए एक विलायक अपरिवर्तनीय नहीं है, क्योंकि (12) द्वारा अपरिवर्तनीय होने के कारण, यह वास्तव में बड़े डायहेड्रल उपसमूह D_4: ⟨(12), (1324)⟩ के लिए एक विलायक अपरिवर्तनीय है, और इसका उपयोग चतुर्थक समीकरण के रिसॉल्वेंट क्यूबिक को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

यदि P, S_n के अंदर सूचकांक m के समूह G के लिए एक विलायक अपरिवर्तनीय है, तो S_n के अंतर्गत इसकी कक्षा का क्रम m है। माना P₁, ..., P_m इस कक्षा के तत्व हैं। फिर बहुपद

$R_{G}=\prod _{i=1}^{m}(Y-P_{i})$

S_n के तहत अपरिवर्तनीय है। इस प्रकार जब विस्तारित किया जाता है, तो इसके गुणांक X_i में बहुपद होते हैं जो समरूपता समूह की गतिविधि के तहत अपरिवर्तनीय होते हैं और इस प्रकार प्रारंभिक सममित बहुपद में बहुपद के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं। दूसरे शब्दों में, R_G, Y में एक अप्रासंगिक बहुपद है जिसके गुणांक F के गुणांक में बहुपद हैं। मूल के रूप में विलायक अपरिवर्तनीय होने पर इसे एक विलायक (कभी-कभी समाधान समीकरण) कहा जाता है।

अब एक अघुलनशील बहुपद पर विचार करें

$f(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}X^{n-i}=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i}),$

किसी दिए गए क्षेत्र K (सामान्यतः परिमेय का क्षेत्र) में गुणांक और बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र विस्तारक में जड़ों x_i के साथ उपरोक्त में X_i को x_i से और F के गुणांकों को f के गुणांकों से प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक बहुपद $R_{G}^{(f)}(Y)$ प्राप्त होता है, जिसे अस्पष्टता के स्थिति में रिज़ॉल्वेंट या विशेष रिज़ॉल्वेंट भी कहा जाता है) . यदि f का गैलोइस समूह G में समाहित है, तो सॉल्वेंट इनवेरिएंट की विशेषज्ञता G द्वारा अपरिवर्तनीय है और इस प्रकार $R_{G}^{(f)}(Y)$ की एक जड़ है जो K से संबंधित है (पर तर्कसंगत है K) इसके विपरीत यदि $R_{G}^{(f)}(Y)$ का एक परिमेय मूल है, जो एक बहुमूल नहीं है, तो f का गैलोज़ समूह G में निहित है।

शब्दावली

शब्दावली में कुछ भिन्नताएँ हैं।

• लेखकों या संदर्भ के आधार पर, विलायक विलायक समीकरण के बजाय विलायक अपरिवर्तनीय को संदर्भित कर सकता है।
• 'गैलोइस रिज़ॉल्वेंट' एक ऐसा विलायक है, जिसकी जड़ों में विलायक अपरिवर्तनीय रैखिक होता है।
• 'लैग्रेंज रिसॉल्वेंट रैखिक बहुपद को संदर्भित कर सकता है
  $$\sum _{i=0}^{n-1}X_{i}\omega ^{i}$$
• जहां $\omega$ एकता की एक मौलिक nवीं जड़ है। यह पहचान समूह के लिए गैलोज़ रिसॉल्वेंट का रिसॉल्वेंट अपरिवर्तनीय है।
• एक सापेक्ष रिज़ॉल्वेंट को एक रिज़ॉल्वेंट के समान परिभाषित किया जाता है, किन्तु केवल S_n के दिए गए उपसमूह H के तत्वों की गतिविधि पर विचार करते हुए, गुण होने पर, यदि H के उपसमूह G के लिए एक सापेक्ष रिज़ॉल्वेंट में तर्कसंगत सरल जड़ और गैलोइस समूह होता है f का H में निहित है, तो f का गैलोइस समूह G में निहित है। इस संदर्भ में, एक सामान्य विलायक को पूर्ण समाधान कहा जाता है।

समाधान विधि

घात $n$ वाले बहुपद का गैलोज़ समूह $S_{n}$ या इसका एक उचित उपसमूह है। यदि एक बहुपद वियोज्य और अपरिवर्तनीय है, तो संबंधित गैलोज़ समूह एक संक्रमणीय उपसमूह है।

$S_{n}$ के सकर्मक उपसमूह एक निर्देशित ग्राफ़ बनाते हैं: एक समूह कई समूहों का उपसमूह हो सकता है। एक समाधानकर्ता यह बता सकता है कि क्या बहुपद का गैलोज़ समूह दिए गए समूह का एक (जरूरी नहीं कि उचित) उपसमूह है। रिसॉल्वेंट विधि समूहों को एक-एक करके जांचने का व्यवस्थित विधि है जब तक कि केवल एक समूह संभव नही हो सकता है इसका मतलब यह नहीं है कि प्रत्येक समूह की जाँच की जानी चाहिए: प्रत्येक समाधानकर्ता कई संभावित समूहों को समाप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, घात पाँच बहुपदों के लिए कभी भी $D_{5}$ के रिज़ॉल्वेंट की आवश्यकता नहीं होती है: $A_{5}$ और $M_{20}$ के लिए रिज़ॉल्वेंट वांछित जानकारी देते हैं।

एक विधि अधिकतम (सकर्मक) उपसमूहों से प्रारंभिक करना है जब तक कि सही उपसमूह नहीं मिल जाता है और फिर उसके अधिकतम उपसमूहों के साथ प्रसारित रखना है।

संदर्भ

• Dickson, Leonard E. (1959). Algebraic Theories. New York: Dover Publications Inc. p. ix+276. ISBN 0-486-49573-6.
• Girstmair, K. (1983). "On the computation of resolvents and Galois groups". Manuscripta Mathematica. 43 (2–3): 289–307. doi:10.1007/BF01165834. S2CID 123752910.