सामान्यीकृत सामान्य वितरण

सामान्यीकृत सामान्य बंटन या सामान्यीकृत गॉसियन बंटन (जीजीडी) वास्तविक रेखा पर पैरामीट्रिक निरंतर संभाव्यता बंटन के दो कुलों में से एक है। दोनों कुल सामान्य बंटन में एक आकृति पैरामीटर जोड़ते हैं। दोनों कुलों को अलग करने के लिए, उन्हें नीचे "सममित" और "असममित" कहा गया है; हालाँकि, यह मानक नामकरण नहीं है।

सममित संस्करण

Symmetric Generalized Normal

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	$\mu \,$ location (real) $\alpha \,$ scale (positive, real) $\beta \,$ shape (positive, real)
Support	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
PDF	${\frac {\beta }{2\alpha \Gamma (1/\beta )}}\;e^{-(|x-\mu |/\alpha )^{\beta }}$ $\Gamma$ denotes the gamma function
CDF	${\frac {1}{2}}+{\text{sign}}(x-\mu ){\frac {1}{2\Gamma (1/\beta )}}\gamma \left(1/\beta ,\left|{\frac {x-\mu }{\alpha }}\right|^{\beta }\right)$ where $\beta$ is a shape parameter, $\alpha$ is a scale parameter and $\gamma$ is the unnormalized incomplete lower gamma function.
Quantile	${\text{sign}}(p-0.5)\left[\alpha ^{\beta }F^{-1}\left(2|p-0.5|;{\frac {1}{\beta }}\right)\right]^{1/\beta }+\mu$ where $F^{-1}\left(p;a\right)$ is the quantile function of Gamma distribution
Mean	$\mu \,$
Median	$\mu \,$
Mode	$\mu \,$
Variance	${\frac {\alpha ^{2}\Gamma (3/\beta )}{\Gamma (1/\beta )}}$
Skewness	0
Ex. kurtosis	${\frac {\Gamma (5/\beta )\Gamma (1/\beta )}{\Gamma (3/\beta )^{2}}}-3$
Entropy	${\frac {1}{\beta }}-\log \left[{\frac {\beta }{2\alpha \Gamma (1/\beta )}}\right]$

सममित सामान्यीकृत सामान्य बंटन, जिसे चरघातांकी घातीय बंटन या सामान्यीकृत त्रुटि बंटन के रूप में भी जाना जाता है, सममित बंटन का एक पैरामीट्रिक कुल है। इसमें सभी सामान्य और लाप्लास बंटन शामिल हैं, और सीमित मामलों के रूप में, इसमें वास्तविक रेखा के सीमित अंतराल पर सभी निरंतर समान बंटन शामिल हैं।

इस परिवार में सामान्य वितरण शामिल है जब $\textstyle \beta =2$ (माध्य $\textstyle \mu$ और भिन्नता $\textstyle {\frac {\alpha ^{2}}{2}}$} के साथ) और इसमें लाप्लास वितरण शामिल है जब $\textstyle \beta =1$। $\textstyle \beta \rightarrow \infty$ के रूप में, घनत्व $\textstyle (\mu -\alpha ,\mu +\alpha )$ पर बिंदुवार एक समान घनत्व में परिवर्तित हो जाता है।

यह परिवार ऐसी पट की अनुमति देता है जो या तो सामान्य से अधिक भारी होती हैं (जब $\beta <2$) या सामान्य से हल्की होती हैं (जब $\beta >2$)। यह सामान्य ($\textstyle \beta =2$) से एकसमान घनत्व तक फैले सममित, प्लैटीकर्टिक घनत्वों की सातत्यता को पैरामीट्रिज करने का एक उपयोगी तरीका है। ($\textstyle \beta =\infty$), और लाप्लास ($\textstyle \beta =1$) से सामान्य घनत्व ( $\textstyle \beta =2$) तक फैले सममित, लेप्टोकर्टिक घनत्वों की एक निरंतरता। आकार पैरामीटर $\beta$ पट के अतिरिक्त शिखरता को भी नियंत्रित करता है।

पैरामीटर अनुमान

अधिकतम संभावना अनुमान के माध्यम से पैरामीटर अनुमान और क्षणों की विधि (सांख्यिकी) का अध्ययन किया गया है। अनुमानों का कोई बंद रूप नहीं होता है और उन्हें संख्यात्मक रूप से प्राप्त किया जाना चाहिए। जिन अनुमानकों को संख्यात्मक गणना की आवश्यकता नहीं होती, उन्हें भी प्रस्तावित किया गया है। सामान्यीकृत सामान्य लॉग-संभावना फ़ंक्शन में अनंत रूप से कई निरंतर व्युत्पन्न होते हैं (यानी यह कुल सी से संबंधित है)^∞सुचारु कार्यों का) केवल यदि $\textstyle \beta$ एक धनात्मक, सम पूर्णांक है. अन्यथा, फ़ंक्शन है $\textstyle \lfloor \beta \rfloor$ सतत व्युत्पन्न. परिणामस्वरूप, अधिकतम संभावना अनुमानों की स्थिरता और स्पर्शोन्मुख सामान्यता के लिए मानक परिणाम मिलते हैं $\beta$ केवल तभी लागू करें जब $\textstyle \beta \geq 2$.

अधिकतम संभावना अनुमानक

अनुमानित अधिकतम संभावना पद्धति को अपनाकर सामान्यीकृत सामान्य बंटन को फिट करना संभव है। साथ $\mu$ प्रारंभ में पहले क्षण में नमूना सेट करें $m_{1}$,

$\textstyle \beta$ न्यूटन की विधि का उपयोग करके अनुमान लगाया जाता है | न्यूटन-रेफसन पुनरावृत्त प्रक्रिया, प्रारंभिक अनुमान से शुरू होती है $\textstyle \beta =\textstyle \beta _{0}$,

$\beta _{0}={\frac {m_{1}}{\sqrt {m_{2}}}},$

कहाँ

$m_{1}={1 \over N}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}|,$

निरपेक्ष मूल्यों का पहला सांख्यिकीय क्षण (गणित) है और $m_{2}$ दूसरा सांख्यिकीय क्षण (गणित) है। पुनरावृत्ति है

$\beta _{i+1}=\beta _{i}-{\frac {g(\beta _{i})}{g'(\beta _{i})}},$

कहाँ

$g(\beta )=1+{\frac {\psi (1/\beta )}{\beta }}-{\frac {\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\log |x_{i}-\mu |}{\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}}+{\frac {\log({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta })}{\beta }},$

और

${\begin{aligned}g'(\beta )={}&-{\frac {\psi (1/\beta )}{\beta ^{2}}}-{\frac {\psi '(1/\beta )}{\beta ^{3}}}+{\frac {1}{\beta ^{2}}}-{\frac {\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }(\log |x_{i}-\mu |)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}}\\[6pt]&{}+{\frac {\left(\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\log |x_{i}-\mu |\right)^{2}}{\left(\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\right)^{2}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\log |x_{i}-\mu |}{\beta \sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}}\\[6pt]&{}-{\frac {\log \left({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\right)}{\beta ^{2}}},\end{aligned}}$

और कहाँ $\psi$ और $\psi '$ डिगामा फ़ंक्शन और ट्राइगामा फ़ंक्शन हैं।

के लिए एक मान दिया गया है $\textstyle \beta$, अनुमान लगाना संभव है $\mu$ न्यूनतम ज्ञात करके:

$\min _{\mu }=\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }$

आखिरकार $\textstyle \alpha$ के रूप में मूल्यांकन किया जाता है

$\alpha =\left({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\right)^{1/\beta }.$

के लिए $\beta \leq 1$, माध्यिका अधिक उपयुक्त अनुमानक है $\mu$ . एक बार $\mu$ अंदाजा है, $\beta$ और $\alpha$ ऊपर वर्णित अनुसार अनुमान लगाया जा सकता है।

अनुप्रयोग

सममित सामान्यीकृत सामान्य बंटन का उपयोग मॉडलिंग में किया गया है जब माध्य और पूंछ व्यवहार के आसपास मूल्यों की एकाग्रता विशेष रुचि की होती है। यदि ध्यान सामान्यता से अन्य विचलनों पर है तो बंटन के अन्य कुलों का उपयोग किया जा सकता है। यदि बंटन का सममित बंटन मुख्य रुचि है, तो तिरछा सामान्य बंटन कुल या नीचे चर्चा किए गए सामान्यीकृत सामान्य कुल के असममित संस्करण का उपयोग किया जा सकता है। यदि पूंछ व्यवहार मुख्य रुचि है, तो छात्र टी बंटन कुल का उपयोग किया जा सकता है, जो सामान्य बंटन का अनुमान लगाता है क्योंकि स्वतंत्रता की डिग्री अनंत तक बढ़ती है। टी बंटन, इस सामान्यीकृत सामान्य बंटन के विपरीत, मूल पर एक पुच्छ (विलक्षणता) प्राप्त किए बिना सामान्य पूंछ से अधिक भारी हो जाता है।

गुण

क्षण

होने देना $X_{\beta }$ आकार का शून्य माध्य सामान्यीकृत गाऊसी बंटन हो $\beta$ और स्केलिंग पैरामीटर $\alpha$ . के क्षण $X_{\beta }$ अस्तित्व में हैं और −1 से अधिक किसी भी k के लिए परिमित हैं। किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक k के लिए, सादे केंद्रीय क्षण हैं

$\operatorname {E} \left[X_{\beta }^{k}\right]={\begin{cases}0&{\text{if }}k{\text{ is odd,}}\\\alpha ^{k}\Gamma \left({\frac {k+1}{\beta }}\right){\Big /}\,\Gamma \left({\frac {1}{\beta }}\right)&{\text{if }}k{\text{ is even.}}\end{cases}}$

स्थिर गणना बंटन से कनेक्शन

स्थिर गणना बंटन के दृष्टिकोण से, $\beta$ इसे लेवी के स्थिरता पैरामीटर के रूप में माना जा सकता है। इस बंटन को कर्नेल घनत्व के एक अभिन्न अंग में विघटित किया जा सकता है जहां कर्नेल या तो लाप्लास बंटन या गाऊसी बंटन है:

${\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\beta }}+1)}}e^{-z^{\beta }}={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-|z|/\nu }\right){\mathfrak {N}}_{\beta }(\nu )\,d\nu ,&1\geq \beta >0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}(z/s)^{2}}\right)V_{\beta }(s)\,ds,&2\geq \beta >0;\end{cases}}$

कहाँ ${\mathfrak {N}}_{\beta }(\nu )$ स्थिर गिनती बंटन है और $V_{\beta }(s)$ Stable_count_distribution#Stable_Vol_Distribution है।

सकारात्मक-निश्चित कार्यों से संबंध

सममित सामान्यीकृत सामान्य बंटन का संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन एक सकारात्मक-निश्चित फ़ंक्शन है $\beta \in (0,2]$.

अनंत विभाज्यता

सममित सामान्यीकृत गॉसियन बंटन एक असीम रूप से विभाज्य बंटन है यदि और केवल यदि $\beta \in (0,1]\cup \{2\}$.

सामान्यीकरण

बहुभिन्नरूपी सामान्यीकृत सामान्य बंटन, यानी का उत्पाद $n$ उसी के साथ घातीय शक्ति बंटन $\beta$ और $\alpha$ पैरामीटर, एकमात्र संभाव्यता घनत्व है जिसे फॉर्म में लिखा जा सकता है $p(\mathbf {x} )=g(\|\mathbf {x} \|_{\beta })$ और स्वतंत्र सीमांत हैं। बहुभिन्नरूपी सामान्य बंटन के विशेष मामले के परिणामों का श्रेय मूल रूप से जेम्स क्लर्क मैक्सवेल को दिया जाता है।

असममित संस्करण

Asymmetric Generalized Normal

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	$\xi \,$ location (real) $\alpha \,$ scale (positive, real) $\kappa \,$ shape (real)
Support	$x\in (-\infty ,\xi +\alpha /\kappa ){\text{ if }}\kappa >0$ $x\in (-\infty ,\infty ){\text{ if }}\kappa =0$ $x\in (\xi +\alpha /\kappa ,+\infty ){\text{ if }}\kappa <0$
PDF	${\frac {\phi (y)}{\alpha -\kappa (x-\xi )}}$, where $y={\begin{cases}-{\frac {1}{\kappa }}\log \left[1-{\frac {\kappa (x-\xi )}{\alpha }}\right]&{\text{if }}\kappa \neq 0\\{\frac {x-\xi }{\alpha }}&{\text{if }}\kappa =0\end{cases}}$ $\phi$ is the standard normal pdf
CDF	$\Phi (y)$, where $y={\begin{cases}-{\frac {1}{\kappa }}\log \left[1-{\frac {\kappa (x-\xi )}{\alpha }}\right]&{\text{if }}\kappa \neq 0\\{\frac {x-\xi }{\alpha }}&{\text{if }}\kappa =0\end{cases}}$ $\Phi$ is the standard normal CDF
Mean	$\xi -{\frac {\alpha }{\kappa }}\left(e^{\kappa ^{2}/2}-1\right)$
Median	$\xi \,$
Variance	${\frac {\alpha ^{2}}{\kappa ^{2}}}e^{\kappa ^{2}}\left(e^{\kappa ^{2}}-1\right)$
Skewness	${\frac {3e^{\kappa ^{2}}-e^{3\kappa ^{2}}-2}{(e^{\kappa ^{2}}-1)^{3/2}}}{\text{ sign}}(\kappa )$
Ex. kurtosis	$e^{4\kappa ^{2}}+2e^{3\kappa ^{2}}+3e^{2\kappa ^{2}}-6$

Not to be confused with Skew normal distribution.

असममित सामान्यीकृत सामान्य बंटन निरंतर संभाव्यता बंटन का एक कुल है जिसमें आकार पैरामीटर का उपयोग विषमता या तिरछापन पेश करने के लिए किया जा सकता है। जब आकार पैरामीटर शून्य होता है, तो सामान्य बंटन परिणाम होता है। आकार पैरामीटर के सकारात्मक मान दाईं ओर बंधे बाएं-तिरछे बंटन उत्पन्न करते हैं, और आकार पैरामीटर के नकारात्मक मान बाईं ओर बंधे दाएं-तिरछे बंटन उत्पन्न करते हैं। केवल जब आकार पैरामीटर शून्य होता है, तो इस बंटन के लिए घनत्व फ़ंक्शन पूरी वास्तविक रेखा पर सकारात्मक होता है: इस मामले में बंटन एक सामान्य बंटन है, अन्यथा बंटन स्थानांतरित हो जाते हैं और संभवतः लॉग-सामान्य बंटन उलट जाते हैं।

पैरामीटर अनुमान

पैरामीटर्स का अनुमान अधिकतम संभावना अनुमान या क्षणों की विधि के माध्यम से लगाया जा सकता है। पैरामीटर अनुमानों का कोई बंद रूप नहीं होता है, इसलिए अनुमानों की गणना के लिए संख्यात्मक गणना का उपयोग किया जाना चाहिए। चूंकि नमूना स्थान (वास्तविक संख्याओं का सेट जहां घनत्व गैर-शून्य है) पैरामीटर के वास्तविक मूल्य पर निर्भर करता है, इस कुल के साथ काम करते समय पैरामीटर अनुमानों के प्रदर्शन के बारे में कुछ मानक परिणाम स्वचालित रूप से लागू नहीं होंगे।

अनुप्रयोग

असममित सामान्यीकृत सामान्य बंटन का उपयोग उन मानों को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है जिन्हें सामान्य रूप से वितरित किया जा सकता है, या जो सामान्य बंटन के सापेक्ष दाएं-तिरछा या बाएं-तिरछा हो सकता है। तिरछा सामान्य बंटन एक और बंटन है जो तिरछा होने के कारण सामान्यता से विचलन के मॉडलिंग के लिए उपयोगी है। विषम डेटा को मॉडल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अन्य वितरणों में गामा बंटन, लॉगनॉर्मल बंटन और वेइबुल बंटन बंटन शामिल हैं, लेकिन इनमें विशेष मामलों के रूप में सामान्य बंटन शामिल नहीं हैं।

सामान्य से संबंधित अन्य बंटन

यहां वर्णित दो सामान्यीकृत सामान्य कुल, तिरछा सामान्य बंटन कुल की तरह, पैरामीट्रिक कुल हैं जो एक आकार पैरामीटर जोड़कर सामान्य बंटन का विस्तार करते हैं। संभाव्यता और सांख्यिकी में सामान्य बंटन की केंद्रीय भूमिका के कारण, कई वितरणों को सामान्य बंटन के साथ उनके संबंध के संदर्भ में चित्रित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, लॉग-सामान्य बंटन|लॉग-सामान्य, मुड़ा हुआ सामान्य बंटन, और व्युत्क्रम सामान्य बंटन बंटन को सामान्य रूप से वितरित मूल्य के परिवर्तनों के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन सामान्यीकृत सामान्य और तिरछा-सामान्य कुलों के विपरीत, इनमें सामान्य शामिल नहीं होता है विशेष मामलों के रूप में बंटन.

वास्तव में परिमित विचरण वाले सभी बंटन सामान्य बंटन से अत्यधिक संबंधित सीमा में होते हैं। स्टूडेंट-टी बंटन, इरविन-हॉल बंटन और बेट्स बंटन भी सामान्य बंटन का विस्तार करते हैं, और सीमा में सामान्य बंटन को शामिल करते हैं। इसलिए टाइप 1 के सामान्यीकृत सामान्य बंटन को प्राथमिकता देने का कोई मजबूत कारण नहीं है, उदाहरण के लिए। स्टूडेंट-टी और एक सामान्यीकृत विस्तारित इरविन-हॉल के संयोजन पर - इसमें उदाहरण शामिल होगा। त्रिकोणीय बंटन (जिसे सामान्यीकृत गाऊसी प्रकार 1 द्वारा प्रतिरूपित नहीं किया जा सकता है)।

एक सममित बंटन जो पूंछ (लंबी और छोटी) और केंद्र व्यवहार (जैसे फ्लैट, त्रिकोणीय या गाऊसी) दोनों को पूरी तरह से स्वतंत्र रूप से मॉडल कर सकता है, उदाहरण के लिए प्राप्त किया जा सकता है। X = IH/chi का उपयोग करके।

यह भी देखें

• जटिल सामान्य बंटन
• तिरछा सामान्य बंटन