सेलुलर समरूपता

गणित में, बीजगणितीय टोपोलॉजी में सेलुलर होमोलॉजी (कोशिकीय सजातीयता) सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स की श्रेणी के लिए एक होमोलॉजी सिद्धांत है। यह एकवचन होमोलॉजी से सहमत है, और होमोलॉजी मॉड्यूल की गणना का एक प्रभावी साधन प्रदान कर सकता है।

परिभाषा

अगर $X$ n-कंकाल|n-कंकाल वाला एक CW-कॉम्प्लेक्स है $X_{n}$, सेलुलर-होमोलॉजी मॉड्यूल को होमोलॉजी समूह H_i के रूप में परिभाषित किया गया सेलुलर श्रृंखका सम्मिश्र हैl

$\cdots \to {C_{n+1}}(X_{n+1},X_{n})\to {C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})\to \cdots ,$

जहाँ $X_{-1}$ रिक्त समुच्चय माना जाता है।

समूह

${C_{n}}(X_{n},X_{n-1})$

निःशुल्क मॉड्यूल है, जनरेटर के साथ जिसे पहचाना जा सकता है $n$-की कोशिकाएं $X$. होने देना $e_{n}^{\alpha }$ सेम $n$-की कोशिका $X$, और जाने $\chi _{n}^{\alpha }:\partial e_{n}^{\alpha }\cong \mathbb {S} ^{n-1}\to X_{n-1}$ संलग्न मानचित्र हो. फिर रचना पर विचार करें

$\chi _{n}^{\alpha \beta }:\mathbb {S} ^{n-1}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{n}^{\alpha }\,{\stackrel {\chi _{n}^{\alpha }}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}\,{\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\mathbb {S} ^{n-1},$

जहां पहला मानचित्र पहचान करता है $\mathbb {S} ^{n-1}$ साथ $\partial e_{n}^{\alpha }$ विशेषता मानचित्र के माध्यम से $\Phi _{n}^{\alpha }$ का $e_{n}^{\alpha }$, जो वस्तु $e_{n-1}^{\beta }$ एक $(n-1)$-X का कक्ष, तीसरा मानचित्र $q$ वह भागफल मानचित्र है जो ढह जाता है $X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }$ एक बिंदु तक (इस प्रकार लपेटना $e_{n-1}^{\beta }$ एक गोले में $\mathbb {S} ^{n-1}$), और अंतिम मानचित्र पहचान करता है $X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)$ साथ $\mathbb {S} ^{n-1}$ विशेषता मानचित्र के माध्यम से $\Phi _{n-1}^{\beta }$ का $e_{n-1}^{\beta }$.

सीमा मानचित्र

$\partial _{n}:{C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})$

फिर सूत्र द्वारा दिया जाता है

${\partial _{n}}(e_{n}^{\alpha })=\sum _{\beta }\deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)e_{n-1}^{\beta },$

जहाँ $\deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)$ की सतत मानचित्रण की डिग्री है $\chi _{n}^{\alpha \beta }$ और रकम सब पर ले ली जाती है $(n-1)$-की कोशिकाएं $X$, के जनरेटर के रूप में माना जाता है ${C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})$.

उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण बताते हैं कि क्यों सेलुलर होमोलॉजी के साथ की गई गणनाएं अकेले सेलुलर होमोलॉजी का उपयोग करके की गई गणनाओं की तुलना में अधिक कुशल होती हैं।

n-क्षेत्र

n-गोला|n-आयामी क्षेत्र Sⁿ दो कोशिकाओं, एक 0-सेल और एक n-सेल के साथ एक CW संरचना को स्वीकार करता है। यहां n-सेल निरंतर मैपिंग द्वारा जुड़ा हुआ है $S^{n-1}$ 0-सेल तक. सेलुलर श्रृंखला समूहों के जनरेटर के बाद से ${C_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})$ S की k-कोशिकाओं से पहचाना जा सकता हैⁿ, हमारे पास वह है ${C_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})=\mathbb {Z}$ के लिए $k=0,n,$ और अन्यथा तुच्छ है.

इसलिए के लिए $n>1$, परिणामी श्रृंखला कॉम्प्लेक्स है

$\dotsb {\overset {\partial _{n+2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0,$

लेकिन फिर चूंकि सभी सीमा मानचित्र या तो तुच्छ समूहों से हैं या उनसे हैं, वे सभी शून्य होने चाहिए, जिसका अर्थ है कि सेलुलर होमोलॉजी समूह बराबर हैं

$H_{k}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

कब $n=1$, यह सत्यापित करना संभव है कि सीमा मानचित्र $\partial _{1}$ शून्य है, जिसका अर्थ है कि उपरोक्त सूत्र सभी घनात्मक के लिए मान्य है $n$.

जीनस g सतह

सेलुलर होमोलॉजी का उपयोग जीनस g सतह की होमोलॉजी की गणना के लिए भी किया जा सकता है $\Sigma _{g}$. का मौलिक बहुभुज $\Sigma _{g}$ एक है $4n$-गॉन जो देता है $\Sigma _{g}$ एक 2-सेल वाली सीडब्ल्यू-संरचना, $2n$ 1-सेल, और एक 0-सेल। 2-सेल की सीमा के साथ जुड़ा हुआ है $4n$-गॉन, जिसमें प्रत्येक 1-कोशिका दो बार होती है, एक बार आगे की ओर और एक बार पीछे की ओर। इसका तात्पर्य है कि संलग्न मानचित्र शून्य है, क्योंकि प्रत्येक 1-सेल की आगे और पीछे की दिशाएं रद्द हो जाती हैं। इसी प्रकार, प्रत्येक 1-सेल के लिए संलग्न मानचित्र भी शून्य है, क्योंकि यह निरंतर मानचित्रण है $S^{0}$ 0-सेल के लिए. इसलिए, परिणामी श्रृंखला सम्मिश्र है

$\cdots \to 0\xrightarrow {\partial _{3}} \mathbb {Z} \xrightarrow {\partial _{2}} \mathbb {Z} ^{2g}\xrightarrow {\partial _{1}} \mathbb {Z} \to 0,$

जहां सभी सीमा मानचित्र शून्य हैं। इसलिए, इसका तात्पर्य है कि जीनस जी सतह की सेलुलर होमोलॉजी दी गई है

$H_{k}(\Sigma _{g})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} ^{2g}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

इसी तरह, कोई 1 0-सेल, g 1-सेल और 1 2-सेल के साथ सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स के रूप में जुड़े क्रॉसकैप के साथ जीनस जी सतह का निर्माण कर सकता है। इसके होमोलॉजी समूह हैं

$$H_{k}(\Sigma _{g})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} ^{g-1}\oplus \mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$

टोरस

n-टोरस $(S^{1})^{n}$ 1 0-सेल, n 1-सेल, ..., और 1 n-सेल के साथ सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स के रूप में बनाया जा सकता है। शृंखला संकुल है

$$0\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{n}}\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{n-1}}\to \cdots \to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{1}}\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{0}}\to 0$$

और सभी सीमा मानचित्र शून्य हैं। इसे स्पष्ट रूप से मामलों का निर्माण करके समझा जा सकता है $n=0,1,2,3$, फिर पैटर्न देखें।

इस प्रकार, $H_{k}((S^{1})^{n})\simeq \mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}$ .

सम्मिश्र प्रक्षेप्य स्थान

अगर $X$ इसमें कोई आसन्न-आयामी कोशिकाएँ नहीं हैं, (इसलिए यदि इसमें n-कोशिकाएँ हैं, तो इसमें कोई (n-1)-कोशिकाएँ और (n+1)-कोशिकाएँ नहीं हैं), तो $H_{n}^{CW}(X)$ प्रत्येक के लिए इसकी n-कोशिकाओं द्वारा उत्पन्न मुक्त एबेलियन समूह है $n$.

सम्मिश्र प्रक्षेप्य स्थान $P^{n}\mathbb {C}$ इस प्रकार 0-सेल, 2-सेल, ..., और (2n)-सेल को एक साथ जोड़कर प्राप्त किया जाता है $H_{k}(P^{n}\mathbb {C} )=\mathbb {Z}$ के लिए $k=0,2,...,2n$, और अन्यथा शून्य.

वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान

वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान $\mathbb {R} P^{n}$ एक के साथ सीडब्ल्यू-संरचना स्वीकार करता है $k$-कक्ष $e_{k}$ सभी के लिए $k\in \{0,1,\dots ,n\}$. इनके लिए संलग्न मानचित्र $k$-सेल्स को 2-फोल्ड कवरिंग मैप द्वारा दिया गया है $\varphi _{k}\colon S^{k-1}\to \mathbb {R} P^{k-1}$. (देखें कि $k$-कंकाल $\mathbb {R} P_{k}^{n}\cong \mathbb {R} P^{k}$ सभी के लिए $k\in \{0,1,\dots ,n\}$.) ध्यान दें कि इस मामले में, $C_{k}(\mathbb {R} P_{k}^{n},\mathbb {R} P_{k-1}^{n})\cong \mathbb {Z}$ सभी के लिए $k\in \{0,1,\dots ,n\}$.

सीमा मानचित्र की गणना करना

$\partial _{k}\colon C_{k}(\mathbb {R} P_{k}^{n},\mathbb {R} P_{k-1}^{n})\to C_{k-1}(\mathbb {R} P_{k-1}^{n},\mathbb {R} P_{k-2}^{n}),$

हमें मानचित्र की डिग्री ज्ञात करनी होगी

$\chi _{k}\colon S^{k-1}{\overset {\varphi _{k}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} P^{k-1}{\overset {q_{k}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} P^{k-1}/\mathbb {R} P^{k-2}\cong S^{k-1}.$

अब, उस पर ध्यान दें $\varphi _{k}^{-1}(\mathbb {R} P^{k-2})=S^{k-2}\subseteq S^{k-1}$, और प्रत्येक बिंदु के लिए $x\in \mathbb {R} P^{k-1}\setminus \mathbb {R} P^{k-2}$, हमारे पास वह है $\varphi ^{-1}(\{x\})$ इसमें दो बिंदु होते हैं, प्रत्येक जुड़े घटक (खुले गोलार्ध) में एक $S^{k-1}\setminus S^{k-2}$. इस प्रकार, मानचित्र की डिग्री ज्ञात करने के लिए $\chi _{k}$, यह की स्थानीय डिग्री खोजने के लिए पर्याप्त है $\chi _{k}$ इनमें से प्रत्येक खुले गोलार्ध पर। अंकन में आसानी के लिए, हमने जाने दिया $B_{k}$ और ${\tilde {B}}_{k}$ के जुड़े हुए घटकों को निरूपित करें $S^{k-1}\setminus S^{k-2}$. तब $\chi _{k}|_{B_{k}}$ और $\chi _{k}|_{{\tilde {B}}_{k}}$ होमोमोर्फिज्म हैं, और $\chi _{k}|_{{\tilde {B}}_{k}}=\chi _{k}|_{B_{k}}\circ A$, जहाँ $A$ प्रतिपादक मानचित्र है। अब, एंटीपोडल मानचित्र की डिग्री पर $S^{k-1}$ है $(-1)^{k}$. इसलिए, व्यापकता की हानि के बिना, हमारे पास वह स्थानीय डिग्री है $\chi _{k}$ पर $B_{k}$ है $1$ और की स्थानीय डिग्री $\chi _{k}$ पर ${\tilde {B}}_{k}$ है $(-1)^{k}$. स्थानीय डिग्रियों को जोड़ने पर, हमारे पास वह है

$\deg(\chi _{k})=1+(-1)^{k}={\begin{cases}2&{\text{if }}k{\text{ is even,}}\\0&{\text{if }}k{\text{ is odd.}}\end{cases}}$

सीमा मानचित्र $\partial _{k}$ फिर द्वारा दिया जाता है $\deg(\chi _{k})$.

इस प्रकार हमारे पास सीडब्ल्यू-संरचना चालू है $\mathbb {R} P^{n}$ निम्नलिखित श्रृंखला परिसर को जन्म देता है:

$0\longrightarrow \mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {2}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {0}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {2}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {0}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow 0,$

जहाँ $\partial _{n}=2$ अगर $n$ सम है और $\partial _{n}=0$ अगर $n$ अजीब है। इसलिए, सेलुलर होमोलॉजी समूह के लिए $\mathbb {R} P^{n}$ निम्नलिखित हैं:

$H_{k}(\mathbb {R} P^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if }}k=0,n,\\\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &{\text{if }}0<k<n{\text{ odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

अन्य गुण

कोई सेलुलर श्रृंखला परिसर से देख सकता है कि $n$-स्केलेटन सभी निम्न-आयामी होमोलॉजी मॉड्यूल निर्धारित करता है:

${H_{k}}(X)\cong {H_{k}}(X_{n})$

के लिए $k<n$.

इस सेलुलर परिप्रेक्ष्य का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि यदि सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स में लगातार आयामों में कोई कोशिका नहीं है, तो इसके सभी होमोलॉजी मॉड्यूल स्वतंत्र हैं। उदाहरण के लिए, सम्मिश्र प्रक्षेप्य स्थान $\mathbb {CP} ^{n}$ प्रत्येक सम आयाम में एक कोशिका के साथ एक कोशिका संरचना होती है; यह उसके लिए अनुसरण करता है $0\leq k\leq n$,

${H_{2k}}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$

और

${H_{2k+1}}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=0.$

सामान्यीकरण

अतियाह-हिर्ज़ेब्रुक वर्णक्रमीय अनुक्रम एक मनमाने ढंग से असाधारण होमोलॉजी सिद्धांत असाधारण (सह) होमोलॉजी सिद्धांत के लिए सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स की (सह) होमोलॉजी की गणना करने की अनुरूप विधि है।

यूलर विशेषता

एक सेलुलर कॉम्प्लेक्स के लिए $X$, होने देना $X_{j}$ यह हो $j$-वें कंकाल, और $c_{j}$ की संख्या हो $j$-सेल्स, यानी, फ्री मॉड्यूल की रैंक ${C_{j}}(X_{j},X_{j-1})$. यूलर की विशेषता $X$ फिर द्वारा परिभाषित किया गया है

$\chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.$

यूलर विशेषता एक समरूप अपरिवर्तनीय है। वास्तव में, बेट्टी संख्या के संदर्भ में $X$,

$\chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {Rank} ({H_{j}}(X)).$

इसे इस प्रकार उचित ठहराया जा सकता है। त्रिक के लिए सापेक्ष समरूपता के लंबे सटीक अनुक्रम पर विचार करें $(X_{n},X_{n-1},\varnothing )$:

$\cdots \to {H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},X_{n-1})\to \cdots .$

अनुक्रम के माध्यम से सटीकता का पीछा करना देता है

$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},X_{n-1}))+\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )).$

यही गणना त्रिगुणों पर भी लागू होती है $(X_{n-1},X_{n-2},\varnothing )$, $(X_{n-2},X_{n-3},\varnothing )$, आदि। प्रेरण द्वारा,

$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\;\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{j=0}^{n}\sum _{i=0}^{j}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{j},X_{j-1}))=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.$

संदर्भ

• Albrecht Dold: Lectures on Algebraic Topology, Springer ISBN 3-540-58660-1.
• Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-79540-1. A free electronic version is available on the author's homepage.