कोहोमोटोपी समुच्चय

गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय संस्थिति में, कोहोमोटोपी समुच्चय अंकित संस्थिति समष्टि की श्रेणी (गणित) और आधारबिंदु-संरक्षित निरंतर फलन (संस्थिति) मानचित्रों से लेकर समुच्चय (गणित) और फलन (गणित) की श्रेणी तक विशेष श्रेणी सिद्धांत हैं। वे समरूप समूह के लिए द्वैत (गणित) हैं, लेकिन उनका अध्ययन कम किया गया हैं।

अवलोकन

अंकित संस्थिति स्थान X के p-वें कोहोमोटॉपी समुच्चय को परिभाषित किया गया है

$\pi ^{p}(X)=[X,S^{p}]$

निरंतर मापन के अंकित होमोटॉपी वर्गों का समुच्चय $X$ p-गोला के लिए $S^{p}$ होता हैं। p = 1 के लिए इस समुच्चय में एबेलियन समूह संरचना है, और, इसके अतिरिक्त $X$ एक सीडब्ल्यू-समिश्र है, पहलेसह-समरूपता समूह के लिए समूह समरूप $H^{1}(X)$ है, चुकी वृत्त $S^{1}$ ईलेनबर्ग-मैकलेन $K(\mathbb {Z} ,1)$ प्रकार का स्थान है। वास्तव में, यह हेंज हॉफ का प्रमेय है कि यदि $X$ तब अधिकतम p आयाम का सीडब्ल्यू-समिश्र है तब $[X,S^{p}]$ p-वें सह समरूप समूह $H^{p}(X)$ द्विभाज्य है।

समुच्चय $[X,S^{p}]$ प्राकृतिक समूह (गणित) संरचना भी है यदि $X$ एक निलंबन है (टोपोलॉजी) $\Sigma Y$, जैसे कि एक गोला $S^{q}$ के लिए $q\geq 1$.

यदि X, CW-कॉम्प्लेक्स के समतुल्य होमोटॉपी नहीं है, तो $H^{1}(X)$ हो सकता है कि यह समरूपी न हो $[X,S^{1}]$. वारसॉ सर्कल द्वारा एक प्रति-उदाहरण दिया गया है, जिसका पहला कोहॉमोलॉजी समूह गायब हो जाता है, लेकिन एक मानचित्र को स्वीकार करता है $S^{1}$ जो स्थिर मानचित्र के लिए समस्थानिक नहीं है।

गुण

कोहोमोटोपी सेट के बारे में कुछ बुनियादी तथ्य, कुछ दूसरों की तुलना में अधिक स्पष्ट:

• $\pi ^{p}(S^{q})=\pi _{q}(S^{p})$ सभी पी और क्यू के लिए.
• के लिए $q=p+1$ और $p>2$, समूह $\pi ^{p}(S^{q})$ के बराबर है $\mathbb {Z} _{2}$. (इस परिणाम को साबित करने के लिए, लेव पोंट्रीगिन ने फ़्रेमयुक्त सह-बॉर्डिज्म की अवधारणा विकसित की।)
• अगर $f,g\colon X\to S^{p}$ है $\|f(x)-g(x)\|<2$ सभी x के लिए, फिर $[f]=[g]$, और यदि f और g हैं तो समरूपता चिकनी है।
• के लिए $X$ एक सघन स्थान चिकनी कई गुना , $\pi ^{p}(X)$ सुचारू फ़ंक्शन मानचित्रों के समरूप वर्गों के सेट के लिए समरूपी है $X\to S^{p}$; इस मामले में, प्रत्येक सतत मानचित्र को एक चिकने मानचित्र द्वारा समान रूप से अनुमानित किया जा सकता है और कोई भी समस्थानिक सुचारू मानचित्र सुचारू रूप से समस्थानिक होगा।
• अगर $X$ एक $m$-तो फिर कई गुना $\pi ^{p}(X)=0$ के लिए $p>m$.
• अगर $X$ एक $m$-मैनिफोल्ड#मैनिफोल्ड विद बाउंड्री, सेट $\pi ^{p}(X,\partial X)$ आंतरिक (टोपोलॉजी) के संहिताकरण -पी फ़्रेमयुक्त सबमेनिफोल्ड्स के कोबॉर्डिज़्म वर्गों के सेट के साथ आपत्ति में प्राकृतिक समरूपता है। $X\setminus \partial X$.
• का स्थिर कोहोमोटोपी समूह $X$ कॉलिमिट है

$\pi _{s}^{p}(X)=\varinjlim _{k}{[\Sigma ^{k}X,S^{p+k}]}$

जो एक एबेलियन समूह है।