श्रृंखला नियम (संभावना): Difference between revisions

Revision as of 10:30, 12 July 2023

प्रायिकता सिद्धांत में, श्रृंखला नियम^[1] (जिसे सामान्य गुणनफल नियम भी कहा जाता है^[2]^[3]) यह वर्णन करता है कि सशर्त प्रायिकताओं का उपयोग करके, आवश्यक रूप से स्वतंत्र न होते हुए भी, घटनाओं या क्रमशः यादृच्छिक चर के संयुक्त वितरण के प्रतिच्छेदन की संभावना की गणना कैसे करें। नियम का उपयोग विशेष रूप से असतत प्रसंभाव्यता प्रक्रिया के संदर्भ में और अनुप्रयोगों में किया जाता है, उदाहरण के लिए बायेसियन नेटवर्क का अध्ययन, जो सशर्त प्रायिकताओं के संदर्भ में प्रायिकता वितरण का वर्णन करता है।

घटनाओं के लिए श्रृंखला नियम

दो घटनाएँ

दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए, श्रृंखला नियम यह बताता है कि

\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (B\mid A)\mathbb {P} (A)

,

जहां $\mathbb {P} (A\mid B)$ दिए गए $B$ में से $A$ सप्रतिबंधप्रायिकता को दर्शाता है।

उदाहरण

एक कलश A में 1 काली गेंद और 2 सफेद गेंदें हैं और दूसरे कलश B में 1 काली गेंद और 3 सफेद गेंदें हैं। मान लीजिए कि हम यादृच्छिक रूप से एक कलश चुनते हैं और फिर उस कलश से एक गेंद चुनते हैं। मान लीजिए कि घटना $A$ कलश चुन रही है, अर्थात $\mathbb {P} (A)=\mathbb {P} ({\overline {A}})=1/2$ , कहाँ ${\overline {A}}$ $A$ की पूरक घटना है। मान लीजिए कि घटना $B$ वह संभावना है जब हम एक सफेद गेंद चुनते हैं। सफ़ेद गेंद चुनने की संभावना, यह देखते हुए कि हमने पहला कलश चुना है, जो $\mathbb {P} (B|A)=2/3.$ है। प्रतिच्छेदन $A\cap B$ फिर पहले कलश और उसमें से एक सफेद गेंद को चुनने का वर्णन करता है। प्रायिकता की गणना श्रृंखला नियम द्वारा निम्नानुसार की जा सकती है,

\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (B\mid A)\mathbb {P} (A)={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}.

निश्चित रूप से अनेक घटनाएँ

उन घटनाओं के लिए $A_{1},\ldots ,A_{n}$ जिनके प्रतिच्छेदन की प्रायिकता शून्य नहीं है, तो श्रृंखला नियम के अनुसार वह इस प्रकार होगा

\begin{aligned} P (A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n}) & = P (A_{n} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1}) P (A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1}) \\ = P (A_{n} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1}) P (A_{n - 1} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 2}) P (A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 2}) \\ = P (A_{n} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1}) P (A_{n - 1} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 2}) \cdot \dots \cdot P (A_{3} ∣ A_{1} \cap A_{2}) P (A_{2} ∣ A_{1}) P (A_{1}) \\ = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) P (A_{3} ∣ A_{1} \cap A_{2}) \cdot \dots \cdot P (A_{n} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{} \end{aligned}

उदाहरण 1

n=4

के लिए, अर्थात चार घटनाएं हैं, तो श्रृंखला नियम के अनुसार वह इस प्रकार होगा

{\begin{aligned}\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{1})\end{aligned}}

उदाहरण 2

हम 52 पत्तों वाले स्काट के डेक से यादृच्छिक रूप से बिना प्रतिस्थापन के 4 पत्ते निकालते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि हमने 4 इक्के चुने हैं?

सबसे पहले, हम सेट करते हैं ${\textstyle A_{n}:=\left\{{\text{draw an ace in the }}n^{\text{th}}{\text{ try}}\right\}}$ . जाहिर है, हमें निम्नलिखित संभावनाएँ मिलती हैं

\mathbb {P} (A_{1})={\frac {4}{52}},\qquad \mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})={\frac {3}{51}},\qquad \mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})={\frac {2}{50}},\qquad \mathbb {P} (A_{4}\mid A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})={\frac {1}{49}}

.

श्रृंखला नियम लागू करना,

\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})={\frac {4}{52}}\cdot {\frac {3}{51}}\cdot {\frac {2}{50}}\cdot {\frac {1}{49}}

.

प्रमेय का कथन और उपपत्ति

होने देना $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ एक प्रायिकता स्थान बनें। याद रखें कि a की सशर्त प्रायिकता $A\in {\mathcal {A}}$ दिया गया $B\in {\mathcal {A}}$ परिभाषित किया जाता है

{\begin{aligned}\mathbb {P} (A\mid B):={\begin{cases}{\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}},&\mathbb {P} (B)>0,\\0&\mathbb {P} (B)=0.\end{cases}}\end{aligned}}

तब हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय है।

Chain rule — Let $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ be a probability space. Let $A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {A}}$ . Then

{\begin{aligned}\mathbb {P} \left(A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}\right)&=\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})\cdot \ldots \cdot \mathbb {P} (A_{n}\mid A_{1}\cap \dots \cap A_{n-1})\\&=\mathbb {P} (A_{1})\prod _{j=2}^{n}\mathbb {P} (A_{j}\mid A_{1}\cap \dots \cap A_{j-1}).\end{aligned}}

Proof

The formula follows immediately by recursion

{\begin{aligned}(1)&&&\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})&=&\qquad \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})\\(2)&&&\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})&=&\qquad \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})\\&&&&=&\qquad \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}),\end{aligned}}

where we used the definition of the conditional probability in the first step.

असतत यादृच्छिक चर के लिए श्रृंखला नियम

दो यादृच्छिक चर

दो असतत यादृच्छिक चर के लिए $X,Y$ , हम घटनाओं का उपयोग करते हैं $A:=\{X=x\}$ और $B:=\{Y=y\}$ उपरोक्त परिभाषा में, और संयुक्त वितरण को इस प्रकार खोजें

\mathbb {P} (X=x,Y=y)=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y)\mathbb {P} (Y=y),

या

\mathbb {P} _{(X,Y)}(x,y)=\mathbb {P} _{X\mid Y}(x\mid y)\mathbb {P} _{Y}(y),

कहाँ $\mathbb {P} _{X}(x):=\mathbb {P} (X=x)$ की प्रायिकता वितरण है $X$ और $\mathbb {P} _{X\mid Y}(x\mid y)$ की सशर्त प्रायिकता वितरण $X$ दिया गया $Y$ .

बहुत सारे यादृच्छिक चर

माना कि $X_{1},\ldots ,X_{n}$ और $x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R}$ यादृच्छिक चर है। सशर्त प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,

\mathbb {P} \left(X_{n}=x_{n},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)=\mathbb {P} \left(X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)\mathbb {P} \left(X_{n-1}=x_{n-1},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)

और श्रृंखला नियम का उपयोग करके, हम $A_{k}:=\{X_{k}=x_{k}\}$ को निर्धारित करते हैं और फिर हम संयुक्त वितरण को इस प्रकार निर्धारित कर सकते हैं

{\begin{aligned}\mathbb {P} \left(X_{1}=x_{1},\ldots X_{n}=x_{n}\right)&=\mathbb {P} \left(X_{1}=x_{1}\mid X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\right)\mathbb {P} \left(X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\right)\\&=\mathbb {P} (X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2}\mid X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2})\cdot \ldots \\&\qquad \cdot \mathbb {P} (X_{n}=x_{n}\mid X_{1}=x_{1},\dots ,X_{n-1}=x_{n-1})\\\end{aligned}}

उदाहरण

$n=3$ के लिए, अर्थात तीन यादृच्छिक चर को ध्यान में रखते हुए। श्रृंखला नियम को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है,

{\begin{aligned}\mathbb {P} _{(X_{1},X_{2},X_{3})}(x_{1},x_{2},x_{3})&=\mathbb {P} (X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},X_{3}=x_{3})\\&=\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\\&=\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2}\mid X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{1}=x_{1})\\&=\mathbb {P} _{X_{3}\mid X_{2},X_{1}}(x_{3}\mid x_{2},x_{1})\mathbb {P} _{X_{2}\mid X_{1}}(x_{2}\mid x_{1})\mathbb {P} _{X_{1}}(x_{1}).\end{aligned}}

यह भी देखें

[[स्वतंत्रता (प्रायिकता सिद्धांत)

|स्वतंत्रता (प्रायिकता सिद्धांत) ]]- जब एक घटना के घटित होने से दूसरी घटना की संभावना प्रभावित नहीं होती

ग्रन्थसूची

René L. Schilling (2021), Measure, Integral, Probability & Processes - Probab(ilistical)ly the Theoretical Minimum (1 ed.), Technische Universität Dresden, Germany, ISBN 979-8-5991-0488-9{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
William Feller (1968), An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. I (3 ed.), New York / London / Sydney: Wiley, ISBN 978-0-471-25708-0
Russell, Stuart J.; Norvig, Peter (2003), Artificial Intelligence: A Modern Approach (2nd ed.), Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall, ISBN 0-13-790395-2, p. 496.

संदर्भ

↑ Schilling, René L. (2021). माप, अभिन्न, संभाव्यता और प्रक्रियाएं - संभवतः सैद्धांतिक न्यूनतम. Technische Universität Dresden, Germany. p. 136ff. ISBN 979-8-5991-0488-9.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
↑ Schum, David A. (1994). संभाव्य तर्क की साक्ष्यात्मक नींव. Northwestern University Press. p. 49. ISBN 978-0-8101-1821-8.
↑ Klugh, Henry E. (2013). Statistics: The Essentials for Research (3rd ed.). Psychology Press. p. 149. ISBN 978-1-134-92862-0.

[1] Schilling, René L. (2021). माप, अभिन्न, संभाव्यता और प्रक्रियाएं - संभवतः सैद्धांतिक न्यूनतम. Technische Universität Dresden, Germany. p. 136ff. ISBN 979-8-5991-0488-9.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

[2] Schum, David A. (1994). संभाव्य तर्क की साक्ष्यात्मक नींव. Northwestern University Press. p. 49. ISBN 978-0-8101-1821-8.

[3] Klugh, Henry E. (2013). Statistics: The Essentials for Research (3rd ed.). Psychology Press. p. 149. ISBN 978-1-134-92862-0.

[1]

[2]

[3]

@@ Line 99: / Line 99: @@
 कहाँ <math>\mathbb P_X(x) := \mathbb P(X = x)</math>की प्रायिकता वितरण है <math>X</math> और <math>\mathbb P_{X \mid Y}(x\mid y)</math> की [[सशर्त संभाव्यता वितरण|सशर्त प्रायिकता वितरण]] <math>X</math> दिया गया <math>Y</math>.
-===अंततः अनेक यादृच्छिक चर===
+===बहुत सारे यादृच्छिक चर===
-होने देना <math>X_1, \ldots , X_n</math> यादृच्छिक चर हो और <math>x_1, \dots, x_n \in \mathbb R</math>. सशर्त प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,
+माना कि <math>X_1, \ldots , X_n</math> और <math>x_1, \dots, x_n \in \mathbb R</math> यादृच्छिक चर है। सशर्त प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,
 :<math>\mathbb P\left(X_n=x_n, \ldots , X_1=x_1\right) = \mathbb P\left(X_n=x_n | X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots , X_1=x_1\right) \mathbb P\left(X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots , X_1=x_1\right)</math>
-और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, जहां हम सेट करते हैं <math>A_k := \{X_k = x_k\}</math>, हम संयुक्त वितरण को इस प्रकार पा सकते हैं
+और श्रृंखला नियम का उपयोग करके, हम <math>A_k := \{X_k = x_k\}</math> को निर्धारित करते हैं और फिर हम संयुक्त वितरण को इस प्रकार निर्धारित कर सकते हैं
 :<math>\begin{align}
@@ Line 112: / Line 112: @@
 &\qquad \cdot \mathbb P(X_n = x_n \mid X_1 = x_1, \dots, X_{n-1} = x_{n-1})\\
 \end{align}</math>
 ===उदाहरण===
-के लिए <math>n=3</math>, यानी तीन यादृच्छिक चर पर विचार करना। फिर, श्रृंखला नियम पढ़ता है
+<math>n=3</math> के लिए, अर्थात तीन यादृच्छिक चर को ध्यान में रखते हुए। श्रृंखला नियम को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है,
 :<math>\begin{align}
@@ Line 125: / Line 123: @@
 &= \mathbb P_{X_3\mid X_2, X_1}(x_3 \mid x_2, x_1) \mathbb P_{X_2\mid X_1}(x_2 \mid x_1) \mathbb P_{X_1}(x_1).
 \end{align}</math>
 ==यह भी देखें==
-* {{annotated link|Independence (probability theory)}}
+* {{annotated link|स्वतंत्रता (प्रायिकता सिद्धांत)
+}}- जब एक घटना के घटित होने से दूसरी घटना की संभावना प्रभावित नहीं होती
 ==ग्रन्थसूची==

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Contents

घटनाओं के लिए श्रृंखला नियम

दो घटनाएँ

उदाहरण

निश्चित रूप से अनेक घटनाएँ

उदाहरण 1

उदाहरण 2

प्रमेय का कथन और उपपत्ति

असतत यादृच्छिक चर के लिए श्रृंखला नियम

दो यादृच्छिक चर

बहुत सारे यादृच्छिक चर

उदाहरण

यह भी देखें

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दो घटनाएँ

उदाहरण

निश्चित रूप से अनेक घटनाएँ

उदाहरण 1

उदाहरण 2

प्रमेय का कथन और उपपत्ति

असतत यादृच्छिक चर के लिए श्रृंखला नियम

दो यादृच्छिक चर

बहुत सारे यादृच्छिक चर

उदाहरण

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